45.赵爽解释勾股定理
赵爽，东汉末至三国时代吴国人，他是历史上著名的数学家。
据载，他研究过张衡的天文学著作《灵宪》和刘洪的《乾象历》，也提到过“算术”。他的主要贡献是约在222年深入研究了《周髀》。《周髀》是我国最古老的天文学著作，唐初改名为《周髀算经》，赵爽为该书作了详细注释，取名为《周髀算经注》。
《周髀算经注》简明扼要地总结出古代勾股算术的深奥原理。其中一段500余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献，它详细解释了《周髀算经》中的勾股定理，将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。”他又给出了新的证明：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”“又”、“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明。
赵爽还研究了二次方程问题，得出与韦达定理类似的结果，并得到二次方程求根公式之一。此外，他使用“齐同术”，在乘除时应用了这一方法，还在“旧高图论”中给出重差术的证明。赵爽的数学思想和方法对中国古代数学体系的形成和发展有一定影响。
46.刘徽的“割圆术”
刘徽是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有重要地位。他的作品《九章算术注》和《海岛算经》，是我国宝贵的数学遗产。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有200多个问题的解法。在许多方面，如解联立方程、分数四则运算、正负数运算、几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列。但是，解法比较原始，缺乏必要的证明，刘徽对此作了补充证明。
在这些证明中，刘徽显示了自己多方面的、创造性的才能。他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则，改进了线性方程组的解法。
在几何方面，他提出了“割圆术”，就是将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他用“割圆术”从直径为两尺（66厘米）的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。他计算了3072边形面积并验证了这个值。
刘徽还利用“割圆术”科学地求出了圆周率π＝3.14的结果，奠定了此后千余年，中国圆周率计算在世界上的领先地位。
47.祖暅计算球体积
在数学中，有一个著名的“祖暅原理”，也就是“等积原理”。它是由南北朝杰出的数学家祖暅首先提出来的。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪，才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚了一千多年。
最初研究球体积的计算公式时，祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异。”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高。这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。这个原理很容易理解。取一摞书或一摞纸张堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改变其形状，这时高度没有改变，每页纸张的面积也没有改变。因此，这摞书或纸张的体积与变形前相等。祖暅不仅首次明确提出了这一原理，还成功地将其应用到球体积的推算，从而给出球体积的正确公式。这一原理后人称之为“祖暅原理”。
48.杨辉制成纵横图
纵横图，也叫“幻方”，就是将从1至n平方的自然数排列成纵横各有个数的正方形，使每行、每列、有时还包括每条主对角线上的个数的和都等于同一个数。长期以来，人们习惯于将纵横图当作纯粹的数学游戏，没有给予应有重视。随着近代组合数学的发展，纵横图显示了越来越强大的生命力，在图论、组合分析、对策论、计算机科学等领域中，找到了用武之地。那么，是谁第一个给出了如此丰富的纵横图并讨论了其构成规律的呢？他就是数学家杨辉。
杨辉发明纵横图是从一件小事中得到启发的。一天，杨辉坐轿子外出巡游。走着走着，轿子停下来了，前面传来孩子的大声喊叫声，接着是衙役恶狠狠的训斥声。杨辉忙问怎么回事，差人来报：“一个小孩不让过，说等他把题目算完后才让走，要不就绕道。”杨辉连忙下轿，来到小孩前面，问道：“为何不让本官从此处经过？”小孩答道：“我怕你们把我的算式踩掉，我又想不起来了。”“什么算式？”“就是将1到9的数字分三行排列，不论直着加，横着加，还是斜着加，结果都是等于15。先生（老师）让下午一定要把这道题做好。我正算到关键之处。”
杨辉连忙蹲下身，仔细地看了看那个算式，和小孩一起算了起来。直到天已过午，他们才算出来。杨辉说：“你可以带我去你的先生吗？”“好的。”
下午，杨辉见到先生，两个人谈论起数学。杨辉说：“刚才那道题，您是怎么想出来的？”先生笑着说：“不是我想的，是古人想的。南北朝的甄鸾在《数术记遗》一书中写过：‘九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履，一五居中央。’”杨辉问：“你可知道这个九宫图是如何造出来的？”先生摇摇头。
回到家中，杨辉反复琢磨，一有空闲就在桌上摆弄这些数字，终于发现一条规律。他将这条规律总结成四句话：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。意思就是：一开始将9个数字从大到小斜排三行，然后将9和1对换，左边7和右边3对换，最后将位于四角的4、2、6、8分别向外移动，排成纵横三行，就构成了九宫图。
按照类似的规律，杨辉又得到了“花16图”，就是从1到16的数字排列在四行四列的方格中，使每一横行、纵行、斜行四数之和均为34。后来，杨辉又将散见于前人著作和流传于民间的有关这类问题加以整理，得到了“五五图”、“六六图”、“衍数图”、“易数图”、“九九图”、“百子图”等许多类似的图。杨辉将这些图总称为“纵横图”，并于1275年写进自己的数学著作《续古摘奇算法》一书中，流传后世。
49.李冶总结天元术
李冶是著名的数学家。他自幼聪敏，喜爱读书，对数学和文学都很感兴趣。1230年，李冶在洛阳考中词赋科进士，任钧州知事，为官清廉、正直。1232年，钧州城被蒙古军队攻破。李冶不愿投降，只好换上平民服装，北渡黄河避难。经过一段时间的颠沛流离之后，李冶定居于崞山的桐川。
1234年初，金朝为蒙古所灭。金朝的灭亡给李冶生活带来不幸，但由于他不再为官，这在客观上使他的科学研究有了充分的时间。他的工作条件是十分艰苦的，不仅居室狭小，而且常常不得温饱，要为衣食而奔波。但他却以著书为乐，从不间断自己的写作。他在桐川研究工作是多方面的，包括数学、文学、历史、天文、哲学、医学。其中最有价值的工作是对天元术进行了全面总结，写成数学史上的不朽名著——《测圆海镜》。
《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式，即9种求直角三角形内切圆直径的方法，而且给出一批新的求圆径的公式。卷一的《识别杂记》阐明了圆城图式中各勾股形边长之间的关系以及它们与圆径的关系，共600余条，每条可看作一个定理或公式，这部分内容是对中国古代关于勾股容圆问题的总结。后面各卷的习题，都可以在《识别杂记》的基础上，以天元术为工具推导出来。
李冶总结并完善了天元术，使之成为中国独特的半符号代数。这种半符号代数的产生，要比欧洲早300年左右。除此之外，他还发明了负号和一套先进的小数记法，采用了从零到九的完整数码。
50.领先世界的《数书九章》
秦九韶是古代杰出的数学家。他唯一的数学著作《数书九章》被称为“一部划时代的巨著”，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法具有世界意义的重要贡献。美国科学史家萨顿曾说过：“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一。”
《数书九章》全书18卷，81题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。这部巨著总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去。
秦九韶的很多研究成果都在世界上遥遥领先，将中国古代数学推向了顶峰。他发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的最高成就，比西方著名数学家高斯建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”；秦九韶创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，领先英国数学家霍纳572年；秦九韶给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法，在欧洲最早是1559年布丢给出的，他开始用不很完整的加减消元法解一次方程组，比秦九韶晚了312年，且理论上的不完整也逊于秦九韶。
51.朱世杰的杰出著作
宋元时期，中国数学鼎盛时期中，杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一。
在宋元时期的数学群英中，朱世杰的工作具有特殊重要的意义。站在朱世杰数学思想的高度俯瞰传统数学，会有“一览众山小”之感。朱世杰总结了宋元数学，使之在理论上达到新的高度。
在数学科学上，朱世杰全面继承了秦九韶、李冶、杨辉的数学成就，并给予创造性的发展，写出了《算学启蒙》、《四元玉鉴》等著名作品，将我国古代数学推向更高的境界，形成宋元时期中国数学的最高峰。
《算术启蒙》是一部通俗数学名著，全书共三卷，20门，有200多个问题和相应的解答。这部书从乘除运算起，一直讲到当时数学发展的最高成就“天元术”，全面介绍了当时数学所包含的各方面内容。它的体系完整，内容深入浅出，通俗易懂，是一部很著名的启蒙读物。这部著作后来流传到朝鲜、日本等国，出版过翻刻本和注释本，产生过一定的影响。
《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，它受到近代数学史研究者的高度评价，认为是中国古代数学科学著作中最重要的、最有贡献的一部数学名著，其中最杰出的数学创造有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积术”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）。
朱世杰的杰出著作将中国古代数学推向更高的境界，为中国古代数学的光辉史册，增加了新的篇章。
52.“珠算宗师”的发明
程大位是明代珠算家。他读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣。从20岁起，他便在长江中﹑下游一带经商。因商业计算的需要，他随时留心数学、遍访名师，搜集了很多数学书籍，刻苦钻研、时有心得。他约在40岁时回家，专心研究、参考各家学说，加上自己的见解，于60岁时完成《直指算法统宗》一书（简称《算法统宗》）。
《算法统宗》全书近600个问题，绝大多数是由其他数学著作，如刘仕隆的《九章通明算法》、吴敬的《九章算法比类大全》等书中摘录的。《算法统宗》中第一、二卷是全书所用的基本知识；第3到12卷为各种应用题解法汇编，各卷基本上以《九章算术》的章名为标题；第13卷到16卷为“难题”，其实算法都很简单，只是条件用诗歌表达，比较隐晦；第17卷为“杂法”。书中各类问题都用珠算，程大位使用的一套简明顺口的珠算加减乘除口诀及开方方法，一直沿用至今。
《算法统宗》系统总结了我国的珠算法，是一部比较完备的珠算书，标志着我国数学史上由筹算向珠算转化的完成，程大位也因此被誉为“珠算宗师”。明朝末年，这本书传入朝鲜﹑日本及东南亚各地，对这些地方的珠算发展起了重要作用。
世界第一卷尺也是程大位于1578年左右发明的，他当时称它为“丈量步车”，他因此被誉为“卷尺之父”。
“丈量步车”较之当今的钢卷尺、皮卷尺显得很庞大，但从其原理、构造、用途和用法来看，它就是卷尺的雏形。它由木制的外套、十字架，竹制的篾尺，铁制的转心、钻脚和环等部件组成。篾尺收放均从外套的匾眼中进出，钻脚便于准确插入田地测量点，便于提携。更为珍奇的是，程大位发明的卷尺不但有实物，而且在《算法统宗》第三卷中有完整的零件图、总装图、设计说明和改型说明等全套书面资料，这在世界发明史上是相当罕见的。
53.汪莱的数学成就
汪莱是清朝人，他在数学、天文、经学、训诂学、音韵学和乐律等方面都有很深造诣，其中以数学成就最大。
汪莱在P进位制、方程论、弧三角术和组合计算方面取得了重要研究成果。当时普遍采用十进位制，汪莱认为不必“尽立数于十”，对于具体问题，究竟采用何种进位制为宜，原则上应当“审法与数相宜而已”，比20世纪40年代，随着电子计算机的出现才兴起的P进位制研究早150余年。
中国古代方程多侧重解法（开方术）及布列法（天元法），只求解方程的一个正根，对方程根的个数及性质认识模糊。汪莱指出，二次方程有二根，并论证了三次方程正根与系数的关系和三次方程有正根的条件。汪莱对方程的认识、根的存在与判别的研究，是我国方程理论研究的发端。汪莱说“弧三角之算，穷形固难，设形亦难，稍不经意，动乖其方”。他分别论证了已知三边，三角，二角夹边或二边夹角，二角对一边或二边对一角等各种情况下有解的条件，其成就在梅文鼎、戴震、焦循诸家之上。
汪莱将组合计算公式建立在中国传统的贾宪三角形规律上，论证了组合运算及其若干性质。他得出的递兼（组合）的定义、性质、计算公式以及恒等式均与现代组合运算结果相同。他发现了组合规律，更赋予古老的贾宪三角形以组合的意义。
54.李锐突破古典代数学的窠臼
《畴人传》是一部以历法沿革为主线，以人物为核心的大型天文、数学家传记，共收录自远古至清初的中外历算家300多人。每个人物均由“传”、“论”两部分组成：“传”主要是原始文献的荟萃，“论”是编者对传主的简短评语。没有对中国古代天文、数学的全面了解和博览群书的条件，是很难胜任这一任务的。李锐正是这部书的总体设计者和主要执笔人。
1795年，阮元出任浙江学政，开始筹划编纂《畴人传》。不久李锐被邀至杭州，成为这本书的主笔。在此期间，他常往来于苏、杭之间，广泛接触江南各藏书名家收藏的珍本秘籍。在此基础上，李锐对中国古代数学进行了认真的研究，他的工作与乾嘉学派对古代经典的广泛整理是相一致的。先后经他整理过的中国古代数学名著有《九章算术》、李冶的《测圆海镜》和《益古演段》、王孝通的《缉古算术》、秦九韶的《数书九章》等。
除了编撰书籍，李锐对代数方程论很有研究。他对代数方程论的兴趣发轫于对秦九韶、李冶等数学家著作的整理与研习，但其直接导因是汪莱在《衡斋算学》第五册中对各类方程是否仅有一个正根的讨论。在为汪莱所作的跋文中，他将汪莱所得到的96条“知不知”归纳为三条判定准则，其中第一条相当于说系数序列有一次变号的方程只有一个正根，第三条相当于说系数序列有偶数次变号的方程不会只有一个正根，它们与16世纪意大利数学家卡当提出的两个命题十分相似。
李锐认为，数字方程所具有的正根个数等于其系数符号序列的变化数，或者比此变化数少一个偶数。这一认识与法国数学家笛卡儿于1637年提出的判别方程正根个数的符号法则是不分伯仲的。
除了关于方程正根个数的判定法则之外，李锐首先提出了负根和重根的概念。他还将方程的非正数解称为“无数”，并称“凡无数必两，无一无数者”，这里隐约含着共扼虚根出现的思想。李锐又在整数范围内讨论了二次方程和双二次方程无实根的判别条件，创造了先求出一根首位再由变形方程续求其余位数字和其余根的“代开法”。
他还对末元算书中包含的各种方程变形法，如倍根变形、缩根变形、减根变形、负根变形，逐一进行了解释并加以完善。这些研究标志着李锐在方程论领域的工作突破了中国古典代数学的窠臼，成为清代数学史上引人注目的理论成果。
55.李善兰译书
19世纪60年代至90年代，一批近代科学家脱颖而出，李善兰就是其中的佼佼者。
李善兰出生书香门第，少年时代便喜欢数学。10岁那年，李善兰在读家塾时，从书架上“窃取”中国古代数学名著——《九章算术》“阅之”，仅靠书中的注解，竟将全书400多个数字应用题全部解出，自此，李善兰对数学的兴趣更为浓厚。
15岁时，李善兰迷上了利玛窦、徐光启合译的《几何原本》，尽通其义，可惜徐、利二人没有译出后面更艰深的几卷，李善兰深以为憾。咸丰二年（1852年），他结识了英国传教士伟烈亚力与艾约瑟，他们对李善兰的才能颇为欣赏，遂邀请他到墨海书院共译西方格致之书。
李善兰到墨海书院之后，与伟烈亚力合作，翻译《几何原本》后九卷，以续成利玛窦、徐光启的未尽之业。《几何原本》一书，在西方各国亦多为全译，英国虽有一部从希腊文译为英文的完本，但因翻译和校勘粗疏，伪误层见叠出。伟烈亚力只能就英译本照本宣科，口译为汉语，谬误之处由李善兰匡正、审定。经伟烈亚力和李善兰“四历寒暑”的努力，《几何原本》译本终于完成，西方近代的符号代数学以及解析几何和微积分以《几何原本》全本为载体，第一次传入中国。
在《几何原本》后九卷的翻译过程中，艾约瑟又邀请李善兰同译英国人胡威力所著《重学》，“重学”即力学。于是，李善兰“朝译几何，暮译重学”。李善兰所译的《重学》虽然只是原文书的中间部分，但译出的部分已较为详细地介绍了力学的一般知识。书中的牛顿力学三大定律则是第一次传入中国。
56.爱动脑筋的华罗庚
华罗庚是著名的数学家，中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自安函数论等多方面研究的创始人和开拓者。国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华氏算子”等。
华罗庚之所以成为举世闻名的数学家，与他爱动脑筋是分不开的。
上初中时，一天，老师出了道“物不知其数”的题目。老师说，这是《孙子算经》中一道有名的算题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”“23！”老师的话音刚落，华罗庚的答案就脱口而出。当时的华罗庚并未学过《孙子算经》，他是用如下妙法思考的：“三三数之剩二，七七数之剩二，余数都是二，此数可能是3×7＋2＝23，用5除之恰余3，所以23就是所求之数。”
华罗庚还曾对传统的珠算方法进行了认真思考。他经过分析认为：珠算的加减法难以再简化，但乘法还可以简化。乘法传统打法是“留头法”或“留尾法”，即先将乘法打上算盘，再用被乘数去乘；每用乘数的一位数乘被乘数，则在乘数中将该位数去掉；将乘数用完了，即得最后答案。华罗庚觉得：何不干脆将每次乘出的答数逐次加到算盘上去呢？这样就省掉了乘数打上算盘的时间。例如：28×6，先在算盘上打上2×6＝12，再退一位，加上8×6＝48，立即得168，只用两步就能得出结果。对于除法，也可以同样化为逐步相减来做节省的时间就更多的。凭着这一点改进，再加上他擅长心算，华罗庚在当时上海的珠算比赛中获得了冠军。
57.陈景润攻克世界著名数学难题
有这样一个举世震惊的奇迹：一位屈居于6平方米小屋的数学家，借一盏昏暗的煤油灯，伏在床板上，用一支笔，耗去了几麻袋的草稿纸，攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的“1＋2”，创造了距摘取数论皇冠上的明珠“1＋1”只是一步之遥的辉煌。创造这个奇迹的就是著名数学家陈景润。
“哥德巴赫猜想”这一两百多年悬而未决的世界级数学难题，曾吸引了各国成千上万位数学家的注意，而真正能对这一难题提出挑战的人却很少。陈景润在高中时代，就听老师极富哲理地讲：自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论，“哥德巴赫猜想”则是皇冠上的明珠。这一至关重要的启迪之言，成了他一生为之呕心沥血、始终不渝的奋斗目标。
1973年，陈景润终于找到了一条简明的证明“哥德巴赫猜想”的道路，当他的成果发表后，立刻轰动世界。其中“1＋2”被命名为“陈氏定理”，同时被誉为筛法的“光辉的顶点”。华罗庚等老一辈数学家对陈景润的论文给予了高度评价。世界各国的数学家也纷纷发表文章，赞扬陈景润的研究成果是“当前世界上研究‘哥德巴赫猜想’最好的一个成果”。
陈景润研究“哥德巴赫猜想”和其他数论问题的成就，至今仍然在世界上遥遥领先。世界级的数学大师、美国学者阿·威尔曾这样称赞他：“陈景润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山巅上行走。”
陈景润还在组合数学与现代经济管理、尖端技术和人类密切关系等方面进行了深入的研究和探讨。他先后在国内外报刊上发表了科学论文70余篇，多次获奖，在国内外都享有很高的声誉。但陈景润毫不自满，他说：“在科学的道路上我只是翻过了一个小山包，真正高峰还没有攀上去，还要继续努力。”
58.泰勒斯测量金字塔的高度
泰勒斯是古希腊时期的科学家，希腊七贤之一，是古希腊及西方第一个自然科学家，被称为“科学和哲学之祖”。
泰勒斯在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想，它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论，这在数学史上是一次不寻常的飞跃。在数学中引入逻辑证明，它的重要意义在于：保证了命题的正确性；揭示各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑。
证明命题是希腊几何学的基本精神，泰勒斯就是希腊几何学的先驱。他将埃及的地面几何演变成平面几何学，并发现了许多几何学的基本定理，如“直径平分圆周”、“等腰三角形底角相等”、“两直线相交，其对顶角相等”、“对半圆的圆周角是直角”、“相似三角形对应边成比例”等，并将几何学知识应用到实践当中去。
据说，埃及的大金字塔修成一千多年后，还没有人能够准确的测出它的高度。不少人作过努力，但都没有成功。
一年春天，泰勒斯来到埃及，人们想试探一下他的能力，就问他是否能解决这个难题。泰勒斯很有把握地说可以，但有一个条件——法老必须在场。第二天，法老如约而至，金字塔周围也聚集了不少围观的百姓。
泰勒斯来到金字塔前，阳光将他的影子投在地面上。每过一段时间，他就让别人测量他影子的长度，当测量值与他的身高完全吻合时，他立刻在大金字塔在地面的投影处作一记号，然后在丈量金字塔底到投影尖顶的距离。这样，他就报出了金字塔确切的高度。在法老的请求下，他向大家讲解了如何从“影长等于身长”推到“塔影等于塔高”的原理，也就是今天所说的相似三角形定理。
59.毕达哥拉斯从瓷砖中得到启示
毕达哥拉斯是古希腊数学家。他以发现勾股定理（西方称“毕达哥拉斯定理”）著称于世。这个定理早已为巴比伦人所知，在中国古代大约是公元前2到1世纪成书的数学著作《周髀算经》中假托商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。后来，人们就简单地将这个事实说成“勾三股四弦五”，这就是著名的勾股定理。不过，最早的证明大概可归功于毕达哥拉斯。他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。据说，毕达哥拉斯证明勾股定理是源于一次宴会。
一次，毕达哥拉斯应邀参加一个餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺的是正方形的大理石地砖。由于大餐迟迟不上桌，一些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言。但是，善于观察和理解的毕达哥拉斯却凝视脚下这些排列规则的方形瓷砖。他不是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和“数”之间的关系。
他拿了画笔并蹲在地板上，选了一块瓷砖，以它的对角线AB为边画一个正方形。他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和。他很好奇，再以两块瓷砖拼成的矩形的对角线做另一个正方形。他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此，毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。
60.潜心求索的“几何之父”
欧几里得是古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年～前283年）时期的亚历山大里亚。他的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，他提出五大公设，发展了欧几里得几何，被认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品，是几何学的奠基人。
欧几里得生于雅典，当时雅典是古希腊文明的中心，浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得。当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。
一天，一群年轻人来到位于雅典城郊外的“柏拉图学园”。只见学园的大门紧闭着，门口挂着一块木牌，上面写着：“不懂数学者，不得入内！”这是当年柏拉图亲自立下的规矩，为的是让学生们知道他对数学的重视，然而却把前来求教的年轻人给闹糊涂了。有人在想，正是因为我不懂数学，才要来这儿求教的呀，如果懂了，还来这儿做什么？正在人们面面相觑，不知是退是进的时候，欧几里得从人群中走了出来。他整了整衣冠，看了看那块牌子，然后果断地推开了学园大门，头也没有回地走了进去。
“柏拉图学园”是柏拉图40岁时创办的一所以讲授数学为主要内容的学校。在学园里，师生之间的教学完全通过对话的形式进行，因此要求学生具有高度的抽象思维能力。数学，尤其是几何学，所涉及对象就是普遍而抽象的东西。它们同生活中的实物有关，但是又不来自于这些具体的事物，因此，学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径。
欧几里得进入学园之后，便全身心地沉潜在数学王国里。他潜心求索，以继承柏拉图的学术为奋斗目标，他熬夜翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿。经过对柏拉图思想的深入探究，他得出结论：所有一切现象的逻辑规律都体现在图形之中。因此，对智慧的训练，就应该从图形为主要研究对象的几何学开始。他领悟到了柏拉图思想的要旨，并开始沿着柏拉图当年走过的道路，将几何学的研究作为自己的主要任务，最终取得了令世人敬仰的成就。
61.希帕蒂娅注解数学名著
古希腊是数学的故乡，古希腊人为数学的进步耗费了大量心血甚至生命，做出了卓越的贡献。这个文明古国哺育了许多数学家，比如泰勒斯、毕达哥拉斯、欧几里得、阿波罗尼斯、阿基米德、托勒密、海伦等。希帕蒂娅——有史以来的第一位女数学家也诞生在这里。
希帕蒂娅出生在亚历山大城的一个知识分子家庭。父亲赛翁是有名的数学家和天文学家，在著名的亚历山大博物院教学和研究，那是一个专门传授和研讨高深学问的场所。一些有名的学者和数学家常到她家做客，在他们的影响下，希帕蒂娅对数学充满了兴趣和热情。
20岁以前，她几乎读完了当时所有数学家的名著，包括欧几里得的《几何原本》、阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》、阿基米德的《论球和圆柱》、丢番图的《算术》等。
希帕蒂娅时代离《几何原本》成书已经600多年了，由于当时没有印刷术，这本著作抄来抄去，出现了不少错误。希帕蒂娅同父亲一起，搜集了能够找到的各种版本，通过认真修订、润色、加工及其大量评注，一个新的《几何原本》问世了。它更加适合读者阅读，因而立即受到广泛欢迎，成为当今各种文字的《几何原本》的始祖。
希帕蒂娅还曾独立写了一本《丢番图〈算术〉评注》，书中有她的不少新见解，并补充了一些新问题。有的评注写得很长，足以看作是一篇论文。希帕蒂娅还评注了阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》，并在此基础上写出适于教学的普及读本。此外，希帕蒂娅还研究过托勒玫的著作，与父亲合写了《天文学大成评注》，独立写了《天文准则》等．这在当时是很了不起的贡献。
62.让塔塔里亚享誉欧洲的比赛
16世纪的意大利是一个分裂的国家。1512年2月，法军劫掠布雷西亚。为了避难，父亲将塔塔里亚背进教堂，法军发现了他们。等塔塔里亚的母亲赶到时，父亲已经死了，塔塔里亚也被砍伤了脸部，头部口舌多处受伤。伤愈后，他的语言失灵，说起话来有些结巴，别人就给他起了一个绰号“塔塔里亚”，意大利语的意思就是“口吃者”。早年丧父，家境贫寒的塔塔里亚并没有被贫苦的生活所吓倒，他在母亲的启蒙教育下自学成才。
1534年，塔塔里亚在威尼斯教学时，宣称已掌握了一元三次方程的解法。这一声明拉开了“三次方程论的威尼斯之战”的序幕。当时，有一位数学家叫菲奥尔，他认为塔塔里亚这个自学成才的年轻人不会这么厉害，要与塔塔里亚一比高低。双方协定于1535年2月22日，在米兰进行一场数学竞赛，双方各出30道题目给对方做，两小时内决出胜负。谁解的最多最快，谁就获胜。
由于是自学成才，所以，塔塔里亚赛前十分紧张。他明思苦想，在头脑里进行了三次方程的各种组合，终于在比赛前八天发现了一种新方法，这使他激动不已。于是，他利用这8天的时间反复熟悉自己的方法，并构造了30道只能用这一新方法才能解决的三次方程。
比赛当天，米兰市热闹非凡，人们都想看一看这场特殊的比赛到底谁是赢家。比赛正式开始，塔塔里亚胸有成竹，运笔如飞。而菲奥尔皱紧眉头、一筹莫展，最终以0﹕30败北。从那以后，塔塔里亚享誉欧洲。
63.笛卡儿开创解析几何学
笛卡儿是一位勇于探索的科学家，他建立的解析几何在数学史上具有划时代的意义。他堪称17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。
笛卡儿的主要数学成果集中在他的“几何学”中。当时，代数还是一门新兴科学，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。在笛卡儿之前，几何与代数是数学中两个不同的研究领域。笛卡儿站在方法论的自然哲学的高度，认为希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。
笛卡儿的思想核心是：将几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想，他创立了我们现在称之为的“解析几何学”。
1637年，笛卡儿发表了《几何学》，创立了平面直角坐标系。他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的位置，用坐标来描述空间上的点。他进而又创立了解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何性质。
解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，将相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。这种对应关系的建立，不仅标志着函数概念的萌芽，而且标明变数进入了数学，使数学在思想方法上发生了伟大的转折——由常量数学进入变量数学的时期。
另外，笛卡儿的这一天才创见，开拓了变量数学的广阔领域，为后来牛顿、莱布尼兹发现微积分奠定了基础。
64.费马与概率论
17世纪伊始，就预示了一个颇为壮观的数学前景。而事实上，这个世纪也正是数学史上一个辉煌的时代，几何学首先成了这一时代最引人注目的引玉之明珠。由于几何学的新方法——代数方法在几何学上的应用，直接导致了解析几何的诞生；射影几何作为一种崭新的方法开辟了新的领域；由古代的求积问题导致的极微分割方法引入几何学，使几何学产生了新的研究方向，并最终促进了微积分的发明。几何学的重新崛起与一代勤于思考、富于创造的数学家是分不开的，费马就是其中的一位。
费马一生从未受过专门的数学教育，数学研究只是业余之爱好。然而，在17世纪的法国，很少有数学家可以与之匹敌。他是解析几何的发明者之一；他对微积分诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨；是独承17世纪数论天地的人；他也是概率论的主要创始人。
早在古希腊时期，偶然性与必然性及其关系问题便引起了众多哲学家的兴趣与争论，但是对其有数学的描述和处理却是15世纪以后的事。l6世纪早期，意大利出现了卡尔达诺等数学家研究骰子中的博弈机会，在博弈的点中探求赌金的划分问题。到了17世纪，法国的帕斯卡和费马研究了意大利的帕乔里的著作《摘要》，建立了通信联系，从而建立了概率学的基础。
费马和帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率论的基本原则——数学期望的概念。这是从点的数学问题开始的：在一个被假定有同等技巧的博弈者之间，在一个中断的博弈中，如何确定赌金的划分，已知两个博弈者在中断时的得分及在博弈中获胜所需要的分数。费马这样做出了讨论：一个博弈者A需要4分获胜，博弈者B需要3分获胜的情况，这是费马对此种特殊情况的解。因为显然最多四次就能决定胜负。
一般概率空间的概念，是人们对于概念的直观想法的彻底公理化。从纯数学观点看，有限概率空间似乎显得平淡无奇。但一旦引入了随机变量和数学期望时，它们就成为神奇的世界了，费马的贡献便在于此。
65.莱布尼茨创建微积分
莱布尼茨是17、18世纪之交，德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。他的研究成果遍及力学、逻辑学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史、外交等。“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口，他对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展。由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。
微积分思想最早可以追溯到由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。1665年，牛顿创始了微积分，莱布尼茨在1673年～1676年也发表了微积分思想的论著。
以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别的加以研究的。卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。只有莱布尼茨和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。
关于微积分创立的优先权，在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。因此，后人公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建微积分。
66.让微积分长大成人的欧拉
微积分的发明是人类精神的最高胜利。1687年，牛顿在《自然哲学数学原理》一书中首次公开发表他的微积分学说。几乎同时，莱布尼茨也发表了微积分论文。但牛顿、莱布尼茨创始的微积分基础不稳，应用范围也有限。
18世纪，一批数学家拓展了微积分，并拓广其应用产生一系列新的分支，这些分支与微积分自身一起形成了被称为“分析”的广大领域。欧拉就生活在这个分析的时代。如果说在此之前数学是代数、几何二雄并峙，欧拉和18世纪其他一批数学家的工作则使得数学形成了代数、几何、分析三足鼎立的局面。如果没有他们的工作，微积分不可能春色满园，也许会打不开局面而荒芜凋零。欧拉在其中的贡献是基础性的，被尊为“分析的化身”。
在分析之前，数学主要是解决常量、匀速运动问题。18世纪工业革命时，以蒸汽机纺织机等机械为主体技术得到广泛运用，但如果没有微积分、没有分析，就不可能对机械运动与变化进行精确计算。到现在为止，微积分和微分方程仍然是描写运动的最有效工具，教科书中陈述的方法，不少都是欧拉的贡献。更重要的是，牛顿、莱布尼茨微积分的对象是曲线，而欧拉明确地指出，数学分析的中心应该是函数，第一次强调了函数的角色，并对函数的概念作了深化。
欧拉一生丰硕的数学和科学成果让人叹为观止，他写过30多本著作和大量富有创造性的科学论文。彼得科学院整理他的著作，整整用了47年时间。
由于欧拉的杰出成就和卓越贡献，后辈数学家极为推崇他。大数学家拉普拉斯普说：“读读欧拉，他是我们一切人的老师。”
67.“数学王子”高斯
在德国哥廷根大学的广场上，矗立着一座用白色大理石砌成的纪念碑。它的底座砌成正十七边形，纪念碑上是一个青铜雕像，他就是高斯。
高斯有“数学王子”的美誉，并被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名。高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。
在数学史上，很少有人像高斯那样早熟。当他还在咿呀学语时，他就能将鸡栏中的小鸡数得一清二楚。他在3岁的时候就已经显示出不凡的智慧。
一个星期六的晚上，高斯的父亲在费力地计算工人的工资，他一点儿也没察觉到儿子在旁边观看。当他好不容易计算出来后，松了一口气。不料，高斯拉拉他的衣角，细声说：“算错了，爸爸。总数是……”父亲惊讶不已，决定重算一遍，结果是儿子对了。他原来并不打算让高斯上学，但看到儿子如此聪明，他改变了主意。高斯7岁时，父亲将其送进学校。
高斯上四年级的一天，神情严厉的老师夹着讲义来上算术课。他阴沉着脸对大家说，如果做不好今天的题，就不用回家吃饭了。他让学生们计算1＋2＋3＋……＋100＝？随后，他拿出一本书读起来，教室里一片寂静。
所有的学生都在急忙地计算，数字越加越大，稍不留心错一位，又得重新开始。高斯没有急于计算，而是细心地观察，他发现1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101……50＋51＝101。总共有50个101，他立刻得到：1＋2＋3＋…＋99＋100＝50×51＝5050。
当他将答案交给老师时，老师大吃一惊。因为高斯用的这个方法，是许多古代数学家经过长期努力找出来的求等差级数和的方法，老师意识到高斯很有数学天赋。后来，老师经常没一些算术书送给高斯。
这些新书带给高斯极大的兴趣和喜悦，他每天晚上都在阁楼上学习到深夜。没用多长时间，高斯就将这些书看完了，并且不断探索新问题。
高斯一生勤奋努力，刻苦钻研，治学严谨，成果丰硕，对人类的科学事业做出了巨大贡献。他是最后一位卓越的古典数学家，又是一位杰出的现代数学家。他不仅预见了19世纪的数学，而且为19世纪的数学发展奠定了基础。
68.伽罗华开创群论
1832年5月的一个清晨，巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人。过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就将这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨10点，这个年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学家说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗华。
伽罗华最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为“伽罗华理论”。这套理论创立了抽象代数学，将代数学的研究推向了一个新的里程，为数学研究工作提供了新的数学工具——群论。群论对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始。
作为这个理论的推论，可以得出五次以上一般代数方程根式不可解，以及用圆规、直尺（无刻度的尺）三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。
今天，由伽罗华开创的群论，不仅对近代数学的各个方向，而且对物理学、化学的许多分支都产生了重大的影响。
69.具有独创精神的黎曼
黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。
黎曼对数学最重要的贡献在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命。他建立了一种全新的、后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。
1854年，黎曼作了一次演讲。演讲中，他对所有已知的几何，包括刚刚诞生的非欧几何之一的双曲几何作了纵贯古今的概要，并提出一种新的几何体系，后人称为“黎曼几何”。
1861年，他写了一篇关于热传导的文章，这篇文章后来被称为他的“巴黎之作”。他在文中对1854年的演讲内容做了技术性的加工，进一步阐明其几何思想。
黎曼主要研究几何空间的局部性质，他采用的是微分几何的途径。他摆脱高斯等前人将几何对象局限在三维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。
黎曼引入流形和微分流形的概念，将维空间称为一个流形。维流形中的一个点可以用可变参数的一组特定值来表示，而所有这些点的全体构成流形本身。这个可变参数称为“流形的坐标”，而且是可微分的，当坐标连续变化时，对应的点就遍历这个流形。
由于黎曼考虑的对象是任意维数的几何空间，对复杂的客观空间有更深层的实用价值。所以，在高维几何中，由于多变量微分的复杂性，黎曼采取了一些异于前人的手段使表述更简洁，并最终导致张量、外微分及联络等现代几何工具的诞生。爱因斯坦就是成功地以黎曼几何为工具，才将广义相对论几何化。
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