傅里叶展开是古典分析中傅里叶级数或一般正交级数展开的推广。

    希尔伯特空间H上每个连续线性泛函F，对应于惟一的y∈H，使F(x)=(x，y），并且||F||=||y||，这就是里斯的连续线性泛函表示定理。因此，希尔伯特空间的共轭空间与自身（保持范数不变地）同构（实际上是一种共轭线性同构），即H=H*。这个结果在希尔伯特空间算子理论中具有很重要的作用。

    欧几里得空间（Euclideanspace），是指一类特殊的向量空间，对通常3维空间V3中的向量可以讨论长度、夹角等几何性质。

    一类特殊的向量空间。对通常3维空间V3中的向量可以讨论长度、夹角等几何性质。若a＝（a1，a2，a3），β＝（b1，b2，b3)，则a的长度a与β的内积a与β的夹角a，β=arccos(假定a，β均非零向量)。推广之，在n维向量空间Rn中，若a＝（a1，……，an），β＝（b1，……，bn），规定

    它具有类似的几何性质。Rn连同运算＜，＞，称为一个欧几里得空间。更一般地，若V是R上向量空间，称V×V到R的一个满足一定条件的映射为内积，带有内积的空间称为欧几里得空间。若＜a，β＞＝0，称a与β正交（垂直)。若V的一个基中的向量两两正交且长度为1，则称为标准正交基，V3中常用的直角坐标系就是标准正交基。每个n维欧几里得空间存在标准正交基，可由任意基改造而得。

    在数学里面，内积空间是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积，或标量积，或点积。这个增添的结构允许我们谈论向量的角度和长度。内积空间由欧几里得空间抽象而来，这是泛函分析讨论的课题。

    具有内积运算的线性空间，是n维欧氏空间的无限维推广.设K是实数域或复数域，H是K上线性空间，如果对H中任何两个向量x，y，都对应着一个数(x，y)∈K，满足条件：

    1.(共轭对称性)对任意的x，y∈H，有

    (x，y)=

    2.(对第一变元的线性性)对任何x，y，z∈H及α，β∈K，有(αx+βy，z)=α(x，z)+β(y，z)

    3.(正定性)对一切x∈H，有(x，x)≥0且

    (x，x)=0⇔x=0，

    这时(·，·)称为H中的内积，而称H为(实或复)内积空间，或准希尔伯特空间.令

    ‖x‖=，

    则按范数‖·‖，H成为赋范线性空间.设(X，‖·‖)是赋范线性空间，X中能定义内积(·，·)并使‖x‖=恒成立的充分必要条件是X的范数‖·‖满足下面的平行四边形公式：对任何x，y∈X，

    ‖x+y‖+‖x-y‖=2(‖x‖+‖y‖)

    完备的内积空间称为希尔伯特空间，希尔伯特空间H上连续线性泛函的全体记为H，称H为H的共轭空间.H的共轭空间H就是H本身.事实上，设f∈H，则存在惟一向量y∈H使得对所有x∈H都成立着f(x)=(x，y)，且‖f‖=‖y‖(里斯定理).反之，对每个y∈H，fy(x)=(x，y)确定了H上一个连续线性泛函fy∈H

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