凫雁问题与割圆术

    三国时，魏元帝景元四年（２６３年）秋末冬初的一天，刘徽仍在书房里紧张地筹算。窗外，忽然传来大雁的鸣叫声，他立起身，走到窗口，看见一行大雁正排成“人”字，向南方飞去。正是雁南飞的时节，刘徽刚巧正在运算一个“凫雁问题”。

    这是《九章算术》中的一个问题：一只野鸭从南海飞到北海要用７天的时间，一只大雁从北海飞到南海要用９天，问：若它们同时从两地起飞，几天后相遇？在《九章算术》中采取这样的一种算法：把野鸭和大雁所需的飞行天数相加作为除数，把飞行的天数相乘作为被除数，两数相除的结果即是相遇的天数。算式是：

    ７×９６３１５

    ７＋９＝１６＝３１６

    在《九章算术》中只说明了解题的方法，没有说明这样做的原因。刘徽所做的就是解释这种解题方法的工作。为求野鸭与大雁相遇的天数，就应求它们能共同飞完全程的天数（最小公倍数），即将野鸭的７天乘以大雁的９天，得出６３天的数字。这就是说，在６３天中野鸭可全程飞完９次，大雁可全程飞完７次。如果野鸭和大雁一起飞行这段时间，就一共飞行了７＋９次即１６次，或者说它们可以相遇１６次，这样野鸭和大雁合作全程飞行一次，就只需要６３＝３１５天。按照题意列出算图：

    １６１６

    （天数

    ９７

    ６３６３合作

    ６３

    次数）（大雁１次野鸭１次）→７

    （）

    ９→７＋９

    “凫雁问题”是《九章算术》中“均输”章里的一个问题。刘徽是用比例算法来运算的，这说明魏晋时的数学家们认识到：

    “比”是数量之间的联系，“分数”是一种数，“除法”是一种运算方法。

    《九章算术》是我国古代最早的数学著作之一，它可能是经过许多人增补删订而成的。全书共收集了２４６个数学问题与解法，并分为“方田”、“粟米”、“衰分”、“少广”、“商功”、“均输”、“盈不足”、“方程”、及“勾股”等九章。刘徽见到的《九章算术》存在一些遗残，也有一些删补痕迹。于是，他就决心给《九章算术》作注，对其中的问题作详尽的讲解。

    刘徽的工作很有价值，并有不少创见：

    如在注释第四章“少广”时，有几道问题是由已知的面积和体积反求一边之长，这种问题讲的是开平方或开立方的方法。运算中，刘徽认为开方开到个位还开不尽，就应当继续往下开，求其“微数”。这“微数”就是现代数学中的小数，它是我国古代数学研究中对十进位制的成功运用，并采用十进位制分数的方式来标示小数。其微数第一位数以１０为分母，第二位数以１００为分母，第三位数以１０００为分母。如３１４１６，刘徽就把它写成：

    ３１４１６

    １０１００１０００１００００

    这虽然不是现代小数的标准写法，但却也是一种小数的准确表述，比１５８５年比利时数学家斯蒂文发明的小数概念和记述法要早１３００多年。

    又如《九章算术》第一章“方田”，在计算圆形田亩的面积时，采用了传统的“周三径一”的说法，将“圆周率”定为３。刘徽认为，这个数字误差太大，在注释时，他创造出一种当时最新最科学的计算圆周率的方法：“割圆术”。他说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”

    这话的意思是：在圆内作圆内接正多边形，从正１２边形、正２４边形、正４８边形、正９６边形……边数越多越接近于圆的周长。而这种圆内接正多边形的边长正好可利用圆的直径来运算。利用１５７割圆术，刘徽求到圆内接正１９２边形，圆周率为π≈５０＝３１４。

    后来，他还继续求到圆内接正３０７２边形时，圆周率π值≈３９２７１２５０＝３１４１６。这个结果是当时世界上最科学的一个数值。可见刘徽的“割圆术”是一种十分先进的方法。两百多年后，祖冲之利用割圆术求得了更精密的圆周率。

    刘徽还另外撰写了一章“重差”，作为《九章算术》的第１０卷。因其中第一题是一个测望海岛山峰而推算它的高、远的问题，所以后来的学者便将它从《九章算术注》中分离出来，定名为《海岛算经》。《海岛算经》标志着我国古代几何学的杰出成就：主要讲述利用标杆进行两次、三次以及更复杂的四次测量目标物的高和远的计算方法。刘徽利用相似三角形的性质，创造了一种“重差术”（或称二重差分法），用来测量目标物的距离、高度或深度等，从而构成了我国古代地图学的数学基础。

    《九章算术》经过刘徽的注释，就更为系统和完善。在唐代它和《海岛算经》都被列为《算经十书》之一，作为唐朝国子监算学馆（相当于国家设立学校中的数学科）学生必读的教科书。

    在算完“凫雁问题”之后，刘徽便将《九章算术注》全部完成了。这是他从少年时接触到这部书时立下的心愿。干完这件事后，他就将书稿交给朋友们去刊刻，自己则像大雁南飞一样，浪迹天涯去了。

    刘徽后来还撰写了一卷《九章重差图》，可惜没有流传下来。为了求得由底为直角三角形直棱柱分割而成的一个四棱锥与一个三棱锥的体积之比，他采用无限分割、逐次拼合的方法建立了“刘徽原理”，这使得他在数学史上留下了不朽的一页。

    史书上刘徽无传，近人据有关资料推测他是公元２２５—２９５年间的人士。《宋史·礼》中有关记载表明，宋徽宗大观三年（１１０９年）曾敕封刘徽为淄乡男的爵位，以表示对他的褒奖。若依按籍贯封爵的惯例，可以推测他是淄乡（今山东邹平县）人。

    由于刘徽的成就，人们称他为“中国的欧几里得”。

    闪亮数学界的小行星———“祖冲之星”

    南北朝刘宋孝武帝大明六年（４６２年），对于年仅３３岁的祖冲之（４２９—５００年）而言，是他人生历程中关键性的一年。

    这年一天的正午时分，祖冲之循例测量和记录了铜表的日影，然后踱进书房。他兴致很高地喊：“恒儿！来帮爹爹磨墨。”将近十岁的祖恒之应声而来，捋起衣袖磨起墨来，边磨墨边看爹爹写字，在父亲的点拨下，他已认识不少字，这次，他认识父亲写下的头行的三个字：“大明历”。

    祖冲之，是范阳郡遒县（今河北涞源县北）人。他的祖父、父亲都很喜爱数学，对于文学也很有研究。在家学的熏陶下，祖冲之从小就喜爱数学和天文历法，后来又进入华林学省学习并从事科学研究。南朝刘宋于元嘉二十二年（４４５年）颁用何承天制定的《元嘉历》。使用过几年后，祖冲之发现《元嘉历》比古代前十一家历法严密一些，但祖冲之认为还是有疏漏之处，于是从２３岁起他就决心修订历法。为此，祖冲之每天正午时刻都要测量圭表上的日影，来验证历法的精确度。经过整十年的观察、测算，他发现“冬至所在，岁岁微差”，于是他就把岁差的存在应用到历法的编制中去。祖冲之测定岁差为４５年１１月差１度（这与现代天文学测算的结果相比，只差５０２秒，真是惊人！）。祖冲之还测定旧历法１９年７闰不够精确，那样编历每隔２２０年就会出现１天的误差。于是，他认为应该采用新闰周，即３９１年安排１４４个闰年，按新闰周每隔１７３９年才会产生１天的误差。祖冲之还测算出：木星（古代称为岁星）每８４年超辰一次，即求出木星公转周期为１１８５８年；回归年长度为３６５２４２８日，与当今测值只差万分之六日……经过数十年不间断的观测，祖冲之终于制定了自己的历法。现在他决定把这历法上呈给皇帝，并要求改用新历，因为该历法完成于孝武帝大明六年，故署名为《大明历》。年幼的祖阳之所看到的，正是祖冲之写给孝武帝的奏章。

    祖冲之请求改颁《大明历》的奏章放在孝武帝刘骏的案头已经好几天了。孝武帝一直决断不了，最后他决定在朝廷上作一次廷议，实际上是让群臣们作一次辩论，再行决断。

    廷议时，开始是祖冲之讲述制定新历的经过，并详尽讲述《大明历》处理岁差、采用新闰周的好处。祖冲之因是烂熟于心、深思熟虑，所以讲得简明精要，很能说服人。

    祖冲之刚讲完，主管历法的大臣戴法兴就猛地站起来，以权威的姿态说：“太阳运动，时慢时快，无规律可循，所以用什么历法都行。再则，现行历法为古代圣贤所创，已经沿用了多少年，我看没有必要改历。”他还列举了《大明历》与古代历书不同之处，指责祖冲之攻击先贤。

    祖冲之针锋相对地说：“戴大人开口古历、闭口古历，似乎古人的历法已十全十美，不可变丝毫。我也认真研究过古历，阅过唐篇、商典，它们也是经过不断修正的，既承袭尊重古人的成就，又发扬光大古人的传统。这说明前人有疏漏之处，才要修正，古人自己都不迷信古人，我们何必还要迷信古人呢？”

    戴法兴恼怒起来：“放肆！即便要改历，可这天上的日月星辰的快慢变化，也决不是凡夫俗子可以推算出来！”

    祖冲之胸有成竹地答：“大人不必发怒。你说过太阳冬至日的位置在建星，年年如此，没有差异。据我考证，这种说法是战国、秦汉时的伪造，戴大人可曾验证过吗？至于太阳现在的位置在哪里，我们可以按月食时月亮所在的位置来推算。”说着，他翻开《太史令》上的月食记录，对戴法兴说：“这四次月食，月亮所在的位置都有记录。月食时，月亮在太阳相对应的位置上，这样便可准确地推算出太阳的位置，与我的新历法完全相符。可见，太阳每年冬至日的位置都会有一些小小的差异。我们岂能迷信古书，而不管事实呢？”

    无话可说的戴法兴干脆蛮横地讲：“历法是古人制定的，代代相传，万世不能更改。即使有差错，也应该永远照用！”

    对此，祖冲之用轻蔑的眼光看了看戴法兴，接着面向孝武帝说：“十九年七闰法已沿用几百年了，与天象愈来愈不相符。在我之前，已有人发现过它的差错。如果古历永不能改，即使有差错，不合天象，也不能改。那么岂不是说先帝改颁何承天的《元嘉历》也不必要了吗？那现在何不还是用汉代的历法呢？”

    祖冲之举出先帝刘义隆改颁《元嘉历》的例证，使得戴法兴哑口无言，再也不敢狡辩。孝武帝见自己宠臣戴法兴的狼狈模样，感到左右为难，便缓和一下气氛，转而问另一位大臣巢尚文：“爱卿，你的意见如何？”

    巢尚文很钦佩祖冲之的学识，见孝武帝询问他的意见，他躬身施礼后说：“皇上，臣以为祖冲之的《大明历》是有道理的，比古历有许多好处。我还知道，祖冲之确实用新历法计算过以往２３年的日月食发生的时间，每次计算结果都与史书记载的实情相符。今天祖冲之话急了一些，冲撞了戴大人，但他也是为国为民呀！”

    巢尚文一席话实际上是希望孝武帝采用《大明历》，百官也大都称是。但戴法兴一伙大臣硬不改口，孝武帝也不好当场表态，便对祖冲之说：“祖冲之，回去把你的理由写来，送朕一阅，再定。”

    退朝后，祖冲之心潮难平，连夜写成《辩戴法兴难新历奏章》一文，呈上孝武帝。但是深受皇上宠信的戴法兴竭力反对，所以《大明历》便一直被扣压，不能颁用。祖冲之只有陷于长期的等待之中。

    虽然岁月没按祖冲之的《大明历》来计算，但是祖冲之却以新的成就来计算这等待的时日。自大明六年之后，祖冲之又干出许多成就。他仿照前朝的巧匠鲁班、马钧制造出新型指南车，并用铜齿轮代替木齿轮；他制成一种水碓磨，利用水力来舂米磨粉；他发明一种千里船，可以日行百余里；为了天文测量计时的准确，他改制了漏壶。更有哲理意味的是，祖冲之按孔子的解释重新仿制了“欹器”。欹器空时侧倒，满时也侧倒，不多不少时就稳稳正正。这可给人以一种启示，如饮酒时，若放一个欹器于座右边，它将提醒你不要过与不及，古人又将欹器称为“宥坐之器”。这足见祖冲之在机械制方面的才干与巧思。祖冲之还精通音律，有许多文史论著，如《易老庄义》、《论语考经释》等，甚至写过小说《述异记》１０卷。然而，祖冲之最著名的论著是数学方面的，有《缀术》、《九章算术注》。《缀术》曾被隋唐国子监用作算学课本，并传入朝鲜、日本诸国使用，其中最有世界影响的，就是祖冲之对圆周率的推算。

    祖冲之先后在南北朝的刘宋朝和南齐朝中担任过南徐州（今镇江市）从事史、公府参军、娄县（今昆山县东北）令、谒者仆射、长水校尉等官职。他是在就任谒者仆射之职时着手运算圆周率的。这个职位要每天清晨进宫，直到晚上才回家，负责引见臣下，传达命令。所以祖冲之只能利用晚上的时间，在书房里精心运算。

    圆周率，在数学中称为π值。我国的数学家，从古代起就开始研究圆周率。公元前１００多年的《周髀算经》中记载：“周三径一”即是说圆周率了。西汉末年，刘歆得出圆周率是３１５４７；东汉时，张衡算出圆周率是３１６２２；三国时，东吴天文学家王蕃算出圆周率为３１５５６。

    到魏晋时期，著名数学家刘徽发明了“割圆术”，指出圆内接正多边形的周长逼近圆周长，这圆内接正多边形的边数越增加就越逼近圆周长，其极限就是圆周长。运用这一方法，刘徽将圆周率算到３１４１６，这已是相当精确的数据了。面对前人这些成果，祖冲之做了更精确的运算。

    祖冲之是借鉴了刘徽的割圆术来推算圆周率的。起初，祖冲之画了一个直径１丈的大圆，然后在圆内画了一个内接正１２边形。用尺一量，每边长２尺６寸多。为求精确，祖冲之采用勾股法来测算。因为从圆心到每边的两点正好构成一个等腰三角形。经过运算，祖冲之得出圆内接正１２边形，每边长０２５８８１９丈，１２边总长３１０５８２８丈。

    为了加快运算的速度，祖冲之叫来儿子祖阳之。祖阳之已长大成人，也继承了家学，成为祖冲之得力的帮手。他们无限加大圆内接正多边形的边数，从４８边形、９６边形、１９２边形一直到１２２８８边形。这时，在那直径１丈的圆形图上要画出１２２８８边形，已经只能用针尖来标点了，可以说这一内接正１２２８８边形已经接近于圆形了。在此基础上，祖冲之运算出圆周率的不足近似值是３１４１５９２６，圆周率的过剩近似值是３１４１５９２７，即：

    ３１４１５９２６＜π＜３１４１５９２７圆周率已精确到小数点之后７位。

    祖冲之还确定了圆周率的两个分数形式的近似值：

    约率π＝２２≈３１４

    ７

    密率π＝３５５≈３。１４１５９２６

    １１３

    直到１０００年后，德国数学家奥托和荷兰工程师安托尼兹才得出与祖冲之相同的密率。于是数学界通称为“安托尼兹率”，随着我国古代灿烂的科技文化逐渐得到世界的公认，日本数学家三上义夫建议将这一名称改称为“祖率”。

    公元５００年，刘宋王朝早为南齐王朝取代，祖冲之的《大明历》仍未颁用。这年，祖冲之带着壮志未酬的心情离开了人世。这是南齐永元二年的事情。

    祖冲之的儿子祖阳之继承了父业。若从祖冲之的祖父祖昌算起，直到祖阳之的儿子祖皓，祖家可称得上数学、天文世家。祖阳之幼年就是父亲的帮手，长大后也致力于数学和天文学的科研，他读书和思考时非常专注，甚至不闻霹雳声、走路撞到别人身上。在数学上，他与父亲祖冲之共同解决了球体积的计算问题。他所提出的推算球体积的原理，在数学上通称为“祖阳之公理”。祖冲之撰写《缀术》一书时，他起了很大的作用。祖阳之还监造过八尺铜日圭，测量日影长度；他发现北极星与北天极不动处相差一度有余，纠正了北极星就是北天极的错误观点。他也有许多论著传世，现大多散佚了。

    历经动乱，在梁朝，祖阳之历任员外散骑郎、太府卿、南康太守、材官将军、奉朝清等官职。因此，祖阳之得以在梁武帝天监三年、天监八年、天监九年三次上书，请求梁武帝颁行新历。

    《大明历》经祖阳之修订验证，被认为是当时最好的历法，终于在天监九年（５１０年）正式颁用，实现了祖冲之的遗愿。

    祖冲之一家堪称我国历史上了不起的科学世家；祖冲之也堪称我国科技史上罕见的最博学多才的人。为了纪念和表彰祖冲之在科学上的卓越贡献，除将“密率”改称为“祖率”外，紫金山天文台把该台发现的一颗小行星命名为“祖冲之星”，国际天文界还将月球背面的一座环形山命名为“祖冲之山”。

    中国科学史上的坐标———《梦溪笔谈》

    北宋仁宗天圣九年（１０３１年），沈括诞生于一个官宦之家。在知书识礼的母亲许氏的抚育下，沈括从小就敏而好学，什么书都读，打下了博杂的学识基础。

    沈括的父亲沈周，杭州人，从县令一直做到江南东路按察史、太常少卿，在宦海中沉浮了一辈子。沈括曾随父亲到过泉州、开封、南京、苏州，眼界开阔，上到士大夫、山林隐者，下到商贾医师、里巷小人，什么人都请教，积累了丰富的社会见识。

    沈括自幼就形成了终生受益的学风，也在无意间为撰写《梦溪笔谈》积累了素材。

    汴京城有家酒店，店堂不大，但酒很好。他们卖的酒是在乡间作坊专门酿造的，选用最好的杂粮、清纯的泉水，所以酒味醇香，常常吸引许多酒客。

    小店前酒坛特别多。为招揽酒客，老板常把酒坛像叠罗汉似的整齐地堆起来，而且每一层都比下一层少一个坛，像个金字塔。

    这堆酒坛吸引了不少酒客。忽然，有个青年书生来到酒店。老板想考考他：“客官，你知道这堆酒坛有多少个？”

    青年书生说：“我不需要数，只要你告诉我有几层，每排有几个坛子，我便可以一下子告诉你。”

    老板自忖，昨夜我数了半天，你就能一下算出来吗？便说：

    “最上一层是四排，每排八个，第二层五排，每排九个……从上到下一共七排。”

    老板话音刚完，那青年书生便应答道：“总共有五百六十七个酒坛，对吗？”

    老板惊呆了，这正是他昨晚数得晕头转向的数字，他怎么一下子便算出了呢？于是立即请他进店，并亲自打开一坛酒，为他斟上一满碗，然后向他讨教是用什么方法算出的。

    青年回答：“中间第四层有七十七个坛子，乘上总层数七，再加上一个稳定的数字二十八就行了。”

    这书生就是青年沈括。他所解答的正是一道高级等差级数的求和问题，后来他把这些都写进《隙积术》一书之中。

    宋仁宗至和元年（１０５４年），２３岁的沈括为父亲守丧期满，因其父亲的功名，朝廷任命他为沭阳县主簿。当时沐水泛滥，两岸被积水淤成沼泽。沈括修筑新堤，疏浚沐水，造出良田七千顷。他初涉政坛，政绩便十分显著。

    然而，沈括并不愿永受父亲功名的庇护。嘉七年（１０６２年），沈括在苏州参加科举会试，名列第一。次年，他又考中进士，靠自己的才干进入官场后，首先是在天文学领域中崭露头角。他先被宰相文彦博看中，后被王安石重用，在熙宁五年（１０７２年）任提举司天监。在司天监，沈括重新制造革新天文仪器，举荐平民卫朴入司天监任职，主张实测日、月、五星，修改历法……这些使他有条件能在晚年制定《十二气历》。沈括的《十二气历》以立春为岁首，与现行的公历十分相似，但比现行各国使用的《格里高利历》更为科学，可惜未能得以推行。在司天监，为测定北极星的位置，连续三个月，他每天晚上在上半夜、午夜和下半夜三次起床观测天象，画下２００多幅星图，足见其严谨而科学的态度和坚韧的毅力。

    此外，沈括在水利工程、农耕、军械制造方面都同样地显示出自己的才华，并时时提出许多精辟的科技见解。如熙宁六年（１０７３年）八月，沈括以河北西路察访使的身份考察太行山时，发现地层中有螺蚌、卵石带，据此推断这一带在远古时是海滨。

    同年九月，沈括被王安石调回汴京，兼职主持军器监。他深入冶锻作坊，又研究了熟铁和钢，冷锻和热锻的区别。他取法西北少数民族青堂羌的技术，制成一种柔薄而韧、强弩射不穿的铁甲。

    作为王安石的助手，在熙宁八年（１０７５年），沈括被派往北方与辽国谈判。沈括依据查阅到的档案材料和地图，驳斥了辽国欲将边境线南推３０余里的无理要求。经过六次激烈的辩论，辽使肖禧终于服输而归。沈括在归途中，悉心察看山川地势、河流道路、风土人情，写成《使契丹图钞》一书，这本书在军事上有很重要的作用。沈括还注意观察王安石。沈括发现王安石喜欢放生。他每到集市上买活鱼，都放生江中。那些活鱼一到江中，活蹦乱跳，但是泥鳅、鳝鱼放到江中，则昏头昏脑，往往难以存活。沈括根据这些情况验证孙思邈所说水有流水与止水的区别，因为泥鳅、鳝鱼是生活在静水之中的，放入流水中则难以存活。可见孙思邈在《千金方》中所言人参汤要用流水熬煮、用静水就不灵验这句话是正确的。

    于是，王安石买到活鱼就放生江中，买到泥鳅、鳝鱼就放到池塘中去，真正做到了放生。

    在汴京城内，沈括还常与画师、诗人们打交道，他以自己的科技知识解释一些有争议的艺术现象。

    汴京大相国寺内有幅壁画，画的是几个管弦乐师在合奏一阕乐曲。有懂乐器演奏的人看后评论说：“画家画错了，当笛、箫吹奏‘四’字音时，那画中弹琵琶者的手指不按‘四’字音所在的上弦，却按在下弦，显然与大家不合调。”沈括也在场看这幅壁画，他听了这段评论后沉思一阵后说：“画家很懂音乐，很高明。弦乐跟管乐不同。吹奏管乐，手指头按什么音，就发什么音，动作与声音是同时的。演奏弦乐如弹琵琶则不同，只有当手指拨弦之后才会发声，动作要早于声音。因此，画中吹笛、箫者与弹奏琵琶者看起来是不同调的。”沈括的解释，堪称精通乐律的高见。

    还有一次，几位文人一起品茶、论诗。有人谈起唐朝诗人白居易的《游庐山大林寺》，诗中有两句写道：“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开。”诗题下标明这首诗写于唐代元和十二年四月九日（８１７年４月２８日），可知白居易的诗写错了，因为那时桃花早已开过。沈括也表示了不同的看法。他认为，高山上气温较低，所以花期要比平地迟一些，白居易既然是写庐山中的寺景，说桃花开得晚一些正是实事实景，没什么错。

    宋神宗熙宁九年（１０７６年），沈括升迁为翰林学士、三司使（主管财政经济）。身居要职，沈括接受了绘制《天下州县图》的任务。由于王安石变法的失败，作为变法集团干将的沈括也受到株连被罢了官，以集贤院学士身份贬至宣州（今安徽宣城一带），一待就是四五年。沈括并不以丢官而沮丧、消沉，仍然绘制《天下州县图》。

    神宗元丰三年（１０８０年），沈括重被起用，被任命为延路经略安抚使，负责西陲用兵事宜。沈括就职后，屡建军功，从西夏手中收复不少失地。

    沈括在镇守州（今陕西县）、延州（今陕西延安）时，正值隆冬时节，大雪纷飞。延河两岸的一些帐篷上却热气腾腾，积雪均融化成流水。沈括看见这一情景，感到很奇怪，眼下大雪封山，木柴极缺，为什么帐篷内却炊烟不断？帐篷外却不见堆放的木柴。他好奇地走进帐篷，发现这里的人烧的是一种油状的液体。他问这东西是从哪儿来的。当地人告诉他，这是从石头缝里随着泉水一道流出来的，当地人便从水流中捞取装进坛中，看起来油亮亮的，在光照下还显现出彩色的光晕。

    听到这里，沈括想：这既然是从石头中出来的，像油样还可以燃烧，给它取个名字叫作“石油”，岂不合适？这是人类史上最早给石油的命名，一直沿用至今。

    沈括还仔细地观察石油的燃烧，发现石油燃烧的油烟很浓，帐篷上的帷幕都熏黑了。他推测可否像松烟一样做墨，于是亲自试验，扫集了许多石油的油烟，用水调制，压入模型中做成墨锭。写起字来，比松墨还要黑亮。他高兴极了，大量地制作了这种墨锭，模型上刻上“延川石液”，并将这作为上好礼品分赠亲友。在试验这墨锭时，沈括还兴致盎然地写下一首咏石油的《延州诗》：

    二郎山下雪纷纷，旋卓穹庐学塞人。化尽素衣冬未老，石烟多是洛阳尘。

    宋神宗元丰五年（１０８２年），沈括辖下将军不听将令，致使全军覆没。他以“处置失当”代人受过，被贬为均州（今湖北均县）团练副使，被安排在湖北随州居住。实际上是软禁在随州一个又冷又潮湿的法云禅寺里。

    这次贬谪，可以说是彻底地结束了沈括的政治生涯。但他仍未消沉，又拿起笔，细细描绘那卷《天下州县图》。在随州三年，他就整整绘制了三年。

    哲宗即位后，大赦天下，沈括改授秀州团练副使。重返两浙，离家乡近了，他的心情也好多了，又耗费了两年时间才修改完成《天下州县图》。这幅地图，高一丈二尺、宽一丈，还附有１９幅分图。这图幅之大，内容之详堪称是前无古人的。

    从宋神宗熙宁九年（１０７６年）到宋哲宗元二年（１０８７年），沈括共耗费１１年的时间，才绘制成这幅《天下州县图》。次年，沈括将图送进朝廷，受到赏赐，并下令允许他自由地选择自己居住的地方，解除了对他的软禁。

    沈括搬到润州（今江苏镇江市）居住，城里有他原先购置的一片田园。园内竹木茂密，亭台楼阁精美，沈括将它作为自己养老的处所，给它取名为“梦溪园”。直到宋哲宗绍圣二年（１０９５年）沈括逝世时为止，６５岁的沈括给世人留下了《梦溪笔谈》

    等科学著作。

    在“梦溪园”里，沈括深居简出，仔细回忆和整理自己一生的学识与见闻。因为每天与他谈话的，只有桌上的笔砚而已，所以他将自己的著作命名为《梦溪笔谈》。

    《梦溪笔谈》连同《补笔谈》、《续笔谈》，总共３０卷，涉及军事、法律、文艺、考古、数学、物理、化学、生物、农医、工程等学科，其中关于科技的条目占一半的篇幅。所记录的科技成就有许多都列为世界第一：如根据化石推断古代气候的变迁，比西欧早４００多年；用流水侵蚀学说解释华北平原和雁荡山脉的成因，比西方类似学说早７００余年；《十二气历》比欧洲萧伯纳的农历早８００年；计算出围棋局总数是３３６１，并且估计它的布局方式可连写几十万字，这也是当时世界上绝无仅有的计算结果……英国科学史学家李约瑟认为：“沈括可算是中国整部科学史中最卓越的人物。”他的《梦溪笔谈》是“中国科学史上的里程碑”。

    一个日本数学家三上义夫在一篇文章上写道：像沈括这样多才多艺的人物，“在全世界数学史上找不到，唯有中国出了这一个人。我把沈括称为中国数学家的模范人物或理想人物，是很恰当的。”

    宋元数学四大名家

    中国古代数学经过从汉到唐１０００多年的发展，在宋元时期（１０—１４世纪）达到了最高峰。宋元时期是以筹算为主要内容的中国古代数学的鼎盛时期，其发展速度之快、数学著作出现之多和取得成就之高，都可以称得上是中国古代数学史上最光辉的一页。尤其是从１３世纪中叶到１４世纪初叶，短短几十年的时间里，陆续出现了秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰四位著名的大数学家；他们是宋元数学的杰出代表。

    秦九韶（１２０２—１２６１），字道古，鲁郡（今山东兖州）人，生于四川。青年时代，秦九韶随父亲来到临安（今浙江杭州），学习天文历法和数学。宝庆元年（１２２５年），秦九韶随父返回四川，绍定六年（１２３３年）前后做过县尉。

    端平二年（１２３５年），秦九韶离开四川。后来做过蕲州（今湖北蕲春）通判及和州（今安徽和县）守。淳四年（１２４４年）担任建康通判；同年十一月，因母丧回家守孝。在守孝的３年时间里，秦九韶埋头著述，于淳七年（１２４７年）完成巨著《数书九章》。时人称赞秦九韶“性极机巧，星象、音律、算术以及营造等事无不精究”。

    守孝期满后，秦九韶又去做官，开始热衷于功名利禄。他攀附权臣贾似道，于宝六年（１２５８年）任琼州（今海南海口）守。后又追随吴潜，于开庆元年（１２５９年）任司农寺丞。景定元年（１２６０年），吴潜罢相，秦九韶受到牵连，被贬梅州（今广东梅县），不久死在任所。

    《数书九章》共１８卷８１题，按用途分为大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易９类。该书突出的成就是对“大衍求一术”（整数论中的一次同余式解法）和“正负开方术”（数字高次方程的求正根法）的研究；其中的“大衍求一术”在世界数学史上占有崇高的地位。

    李冶（１１９２—１２７９），生于金代大兴城（今北京）的一个官僚家庭。童年的李冶独自在元氏（今河北元氏）求学。１２３０年，李冶往洛阳应试，中词赋科进士。初授高陵（今陕西高陵）主簿，没有赴任，后担任钧州知事。１２３２年，蒙古军攻破钧州城，李冶弃职隐居晋北峰山（今山西绛县）一带。在此期间，他完成了数学名著《测圆海镜》。

    １２５１年左右李冶回到元氏，并在封龙山买下田产。与张德辉和元裕的交往最密，当时人称“龙山三老”。

    １２５７年５月，忽必烈召见李冶于上都（今内蒙古多伦附近）。他的回答得到忽必烈的赞赏。１２６１年，忽必烈征召李冶，遭到拒绝。１２６５年李冶被召为翰林学士，任职１年，以老病辞去。辞职后李冶隐居封龙山，１２７９年卒。

    《测圆海镜》共１２卷，收１７０个问题，是最早记述“天元术”的著作。李冶还写了《益古演段》，共３卷６４个问题，是学习“天元术”的入门书。

    杨辉（约１３世纪中叶），字谦光，杭州人。生平事迹史载很少。他一生中写过许多数学著作，有《详解九章算法》１２卷、《日用算法》２卷和《杨辉算法》７卷。在这些著作里收录了不少现已失传的、古代各类数学著作中非常有价值的算题和算法，为后世保存了十分宝贵的古代数学资料。

    朱世杰（约１３世纪末１４世纪初人），字汉卿，号松庭，河北人。他著的《四元玉鉴》和《算学启蒙》是我国古代数学发展进程中的一个重要里程碑。既有以天元术和高次方程的解法等为代表的北方数学成就，也有日用和商用算法、各种歌诀等南方数学的成就。朱世杰不仅全面继承了中国古代数学的光辉遗产，而且还作出了创造性的贡献。

    宋元四大数学家所取得的辉煌成就再次证明：宋元数学是中国传统数学的高峰，代表着当时世界的先进水平，在世界范围内处于遥遥领先的地位。

    奋战在生命最后一刻的华罗庚

    华罗庚是中国现代数学家，江苏金坛人。华罗庚自幼家境贫困，身有残疾，初中毕业后不久即辍学，但他自强不息，勤奋自学，１９２９年开始在上海《科学》杂志上发表论文，被熊庆来慧眼发现，推荐到清华大学任算学系助理兼管理员。华罗庚如鱼得水，努力学习数学，同时自修英文、德文。至１９３３年，华罗庚的水平与能力为大家所认识，被破格提升为助教，教授微积分课。他在解析数论方面获得了一系列出色成果，包括华林问题、哥德巴赫猜想、塔里问题研究。１９３６年，维纳将华罗庚推荐给英国剑桥大学著名数学家哈代，以访问学者身份赴英国剑桥大学进修。在英国华罗庚致力于解析数论，特别是圆法与三角和估计的研究。１９３８年回国任西南联大教授，致力多项研究。１９４１年，他完成了总结性的主要著作《堆垒素数论》。１９４６年赴美，先后任普林斯顿高等研究所研究员、伊利诺大学终身教授。１９５０年回国，历任清华大学教授、中科院数学研究所所长、中科院数理化学部主任、中国科技大学副校长、中科院副院长等职，为中国数学事业的发展作出了杰出贡献。

    华罗庚是中国解析数论、典型群、矩阵几何学、自守函数与多变函数等多方面研究的创始人与开拓者。他的多项成果成为数学领域的经典内容，如数论中的华氏不等式、维诺格拉多夫—华氏中值定理、华—王（元）方法、代数中的嘉当—布劳威尔—华定理、多变函数论中的华氏算子法等。他一生发表论文１５０多篇，１０余部专著，有些已列入２０世纪数学经典著作。他又是杰出的数学教育家，为国家培养出一大批优秀数学家，并为应用数学在中国的发展作出了重要贡献。１９８５年他在出席日本国际数学大会时，因心脏病突发倒在演讲台上。

    数学家吴文俊

    吴文俊是中国数学家，上海市人。他１９３６年入上海交通大学数学系，１９４６年入中央研究院数学研究所，师从陈省身攻研拓扑学，１９４７年赴法国留学，１９４９年获法国国家博士学位。他在拓扑学、数学机械化证明、代数几何、中国数学史、对策论等研究领域均有杰出的贡献，在国内外享有盛誉。他导出的示性类之间的公式被称为“吴公式”，是２０世纪５０年代拓扑学的重要突破之一。尤其令人称道的是他在几何机械化证明研究领域的杰出成就。代数计算可以采用机械工具（算盘、计算器、计算机）完成，但是几何证明却无法交给机器来做。吴文俊开创的正是这个尖端领域。２０世纪７０年代后期，在计算机技术大发展的背景下，吴文俊继承和发展中国古代数学的算法化传统，致力于研究几何定理的机器证明，他创造的用计算机证明几何定理的方法被称为“吴方法”，数学机械化研究已成为欧洲和美国积极研究的前沿领域，国际流行的主要符号计算软件都实现了他的算法，有重要的应用价值。在他的指导下，从１９９８年起中科院数学与系统科学院“数学机械化与自动推理平台”项目组开始在微分几何等新领域发展数学机械化，并力争解决信息处理、计算机图形与视觉、数控技术中的关键理论问题，建立自动推理平台。

    他在１９９１年任国家科委攀登项目“机器证明及其应用”首席科学家。从１９５６年到１９９７年曾先后获得国家自然科学一等奖、第三世界科学院数学奖、陈嘉庚数理科学奖、香港求是科技基金会杰出科学家奖及国际Ｈｅｒｂｒａｎｄ自动推理杰出成就奖。２０００年获首届国家最高科学技术奖。

    陈景润的哥德巴赫猜想之旅

    陈景润（１９３３—１９９６），福建闽侯人，我国现代著名的数学家，在数论和哥德巴赫猜想研究方面取得了卓越的成就。世界级的数学大师阿·威特尔称赞他道：“陈景润的每一项工作，都好像在喜马拉雅山顶行走。”

    陈景润出生在一个工人家庭，父亲是一位邮政工人，陈景润在众多的兄弟姐妹中排行老三。１９４５年，陈景润随家迁居福州，并进了英华中学。陈景润从小性格内向，只知道啃书本，同学们给他起了一个绰号“书呆子”。陈景润从小就对数学情有独钟，喜欢钻研，刚好这时候学校来了一位著名科学家沈元教授，他在一堂数学课中，讲了１７世纪德国数学家哥德巴赫提出的一个猜想。他还打了个形象的比喻，自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论，而哥德巴赫猜想就是数学皇冠上的明珠。他的这堂课深深刻在陈景润的脑海里，他暗下决心，一定要摘取这颗“数学皇冠上的明珠”。

    １９５０年，陈景润高中尚未毕业，就以同等学力考入厦门大学。１９５３年，陈景润大学毕业后被分配到北京一所名牌中学任教。由于他不善言辞，个性也不适宜教书，压力很大，人也病倒了。当时该中学领导在一次会议上碰上来北京的厦门大学校长王亚南，向他抱怨陈景润不行。王亚南了解陈景润的个性和价值所在，于是把他调回厦门大学担任学校图书馆管理员。陈景润回到厦门大学，病也开始好转了。他利用这个有利的时机，如饥似渴地研读了华罗庚的《堆垒素数论》和《数论导引》。他要努力研究，做出成绩来，才不辜负信任和爱护他的人。

    功夫不负苦心人，陈景润终于写出了第一篇数学论文《关于塔利问题》，并把它寄到中科院数学所。他希望自己的数学才能能得到当时著名数学家华罗庚的认可，像当年华罗庚被熊庆来赏识一样。果然，华罗庚盛情邀请陈景润参加１９５６年全国数学论文宣读大会。１９５６年底，华罗庚把他调到中国科学院数学研究所担任实习研究员。

    陈景润调到北京后，在华罗庚的栽培之下，迅速成长起来。他在圆内整点问题、球内整点问题、华林问题、三维除数问题等方面，都改进了中外数学家的结果，取得了最新的成就。但是他并不满足，他要完成青年时期的梦想，向哥德巴赫猜想挺进。陈景润当时居住在６平方米的小屋内，借一盏昏暗的煤油灯，进行繁复的计算，条件十分艰苦。但是他浑然不顾，废寝忘食，昼夜不舍，潜心思考，达到了痴呆的地步。有一次一头撞在树上，还问是谁撞了他。１９６６年５月，陈景润耗去了几麻袋的草稿纸，写成论文《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》，攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的（１＋２），创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠（１＋１）只有一步之遥的辉煌。可是论文太长了，厚达２００多页。考虑到科学的简明性，闵嗣鹤教授建议他简化一下。他又投入到更加艰巨的工作中去了。这时“文革”开始，陈景润受到了一定程度的影响，但他并没有放弃。１９７３年，陈景润终于将论文简化完成。

    陈景润的工作轰动了世界，国际上的反响非常强烈。当时英国数学家哈勃斯丹和西德数学家李希特的著作《筛法》正在印刷所校印，他们见到陈景润的论文后，立即要求暂不付印，并在这部书里加添了一章“陈氏定理”。他们把它誉为筛法的“光辉的顶点”。一个英国数学家在给陈景润的信里称赞他说：“你移动了群山！”

    陈景润分别在１９７８年和１９８２年两次收到在国际数学家大会作４５分钟报告的邀请。他本想在他有生之年内完成（１＋１），彻底摘取皇冠上的明珠。可惜的是，在他生命最后的１０多年中，帕金森综合症困扰他，使他长期卧病在床，最终未能实现夙愿。虽然小有遗憾，但是陈景润在数论和哥德巴赫猜想方面的研究上取得了举世瞩目的成就，他将永垂千古，流芳中国科学史。

    魅力永存的勾股定理

    有一个数学定理是每一个人在学校都要学习的。这个定理现在有一个名字，叫做毕达哥拉斯定理。但是远在毕达哥拉斯出生前，这一定理早已广为人知。这一定理的存在，使得我们可以比较在不同文化背景下，古代数学家处理数学问题的风格及他们所关注的问题。

    巴比伦数学最具魅力的文献之一，是现今保存在哥伦比亚大学的被命名为《普林顿３２２》的表。它含有４列１５行数字，似乎是一个不完整的表，且很有可能是一张损坏的大表的一部分。人们普遍认为，这张表展现了部分毕达哥拉斯三元数组的推导过程。如此精密复杂的推导过程足以说明，早在公元前１８００—前１６５０年，巴比伦人就已经知道了毕达哥拉斯定理，这要比毕达哥拉斯早１０００多年。这一解释被另一张表所证实。这张表发现于巴比伦附近的同一地区，它现在是毕达哥拉斯定理最早的例子之一。巴比伦人使用了几何计算的法则来求代数方程的解。然而，这时的代数是用语言而不是用符号来表述的。有些人推测巴比伦人可能已经开始着手研究三角学。

    人们一般认为，印度的吠陀梵语文化始于公元前的第一个千年的初期。通过吠陀经（印度最古的宗教文献和文学作品的总称）和奥义书（印度教古代吠陀教义的思辨作品，为后世各派印度哲学所依据）这样的手稿，我们可以了解到印度文化和宗教是在这一时期确立的。同样，通过《摩奴法典》可以了解到社会行为准则的确立。这一时期的数学记录在《测绳的法则》上，而《测绳的法则》是《吠陀经》的附录的一部分。理所当然的，《测绳的法则》中的大部分数学内容，是为了确保符合宗教仪式准则的需要。术语Ｓｕｌｂａ表示测量祭坛尺寸的绳索。我们找到了３个版本的手稿，最早的一个可能是写于公元前８００年—前６００年。波德海亚纳将毕达哥拉斯定理的一个特例明确地陈述为：

    “在一个正方形的对角线上拉紧的绳索为边做出的正方形，它的面积是原来正方形面积的两倍。”之后，卡特雅亚那（印度学者，《测绳的法则》的作者之一）得出了更一般的命题：“以在一个矩形的对角线上的绳索为边所做出的正方形的面积，是以该矩形的相邻两个边为边的两个正方形的面积之和。”书中没有给出证明，只是描述了一些实际的应用。按法典规定：一个新建的祭坛的大小必须是已有的同样布局的祭坛大小的整数倍。这一强制性的法典表明，几何方法比数值方法更合适。例如，如果要把已知正方形的面积增加一倍，则可以做一个边长为该正方形的对角线长度的正方形。这比计算出新正方形的边长是已知正方形边长的２倍更加简单。虽然印度人已有估算槡２的极好方法，但是由于宗教法规要求绝对精确，估算不能达到要求。

    中国最早的数学文献是《周髀算经》，写于公元前５００年—前２００年，基于约５００年前商朝的文献。正如它的名字所显示的那样，它主要论述天文学方面的问题。其中还包括一些算术和几何的初步说明。它完成于周、秦年间的战国时期，可能是由许多游说思想家中的一员按照某位封建君主的提议写成的。当时最著名的思想家是孔子，他的中庸之道的哲学思想，是对动荡不安的时代的反映。

    《周髀算经》的第一节记载了周公（旦）和商高两人讨论直角三角形的对话。他们用几何论证的方式陈述了被叫做勾股定理的毕达哥拉斯定理。这里使用了“出入相补原理”，并以最小的毕达哥拉斯三元数组（３，４，５）为例对该方法做了图示。读者一定很清楚其他毕达哥拉斯三元数组，但是毕达哥拉斯定理的一般陈述一直到公元３世纪才由评注者们给出。刘徽就是这样的一位评注者。他用“割补”原理给出了毕达哥拉斯定理的第二个几何证明。在该原理中两个小正方形被适当切割，以构成大正方形。这样，我们就可以使用规则：勾２＋股２＝弦２（即现代的ａ２＋ｂ２＝ｃ２）进行数值计算。由于毕达哥拉斯定理是求平方根和解二次方程的基础，所以它对于中国数学非常重要。一个叫做“破竹”的经典问题后来在欧洲的著作中再现，这成为中国数学通过印度和阿拉伯世界传往西方的一个佐证。

    最后我们来看一看传奇人物毕达哥拉斯（Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓ，约公元前５８０年—前５００年）。几乎可以确定毕达哥拉斯和释迦牟尼、孔子、大雄、老子及琐罗亚斯德是同一时代的人物。他的数学和神秘主义相结合的思想在公元前３世纪得到高度发展，形成了新柏拉图主义。只有毕达哥拉斯学派的成员才对他有所了解，而即使是仅隔２００年的亚里士多德也无法为我们提供这个人的清晰描述。毕达哥拉斯及其信徒的贡献，是他们的数学思想体系。毕达哥拉斯的数为万物本源的思想，通过柏拉图、柏罗丁、扬布利科斯及普罗克洛斯等人流传下来，并且为对西方思想影响深远的新柏拉图主义奠定了基础。

    从师于埃及人及迦勒底人之后，毕达哥拉斯定居于今天的意大利南部的克罗托内。在那里创建了毕达哥拉斯学派。这个学派更像是一个秘密结社或教派。学派的研究成果只传授给学派内部的人员。学派成员过着集体生活，有严格的行为准则和道德规范。规范包括灵魂转世的信仰和严格的素食主义。因毕达哥拉斯本人没有著作留下来，我们只能通过推测来判断他本人取得的数学成就。当禁止公开研究成果的教条被废止后，许多学者开展了关于毕达哥拉斯的研究。毕达哥拉斯学派的一个关键的学说认为数是万物，没有数，则任何事物都是无法想象和不可能的。他们最膜拜的数是１０（或四元素图），它是１，２，３，４四个数的和１＋２＋３＋４。这四个数是生成宇宙各维空间的生成元的个数。１是无维点，是其他维空间的生成元。两个点相连可以生成一维空间的直线，３个点两两相连构成二维空间的三角形，而４个点两两相连可以生成三维空间的四面体。四元素图成了毕达哥拉斯学派的象征。他们比以前的所有数字神秘主义者更加热衷于构造这样一个宇宙：在这里，数既具扮演哲学上的角色，又扮演启示性的角色。为了得到高八度的音，我们把琴弦的有效长度缩短到原来的１／２。从这里出发，毕达哥拉斯学派对音乐进行了数值的分析，并以四元素图表示音符的弦长比例。天体和谐的整体概念就是来自这一音乐的数值理论。这一理论在两千年后还对开普勒的行星模型产生了巨大的影响。

    然而，使毕达哥拉斯扬名的是毕达哥拉斯定理。如上所述，这一定理实际上自古就已为人们所知。人们认为毕达哥拉斯是从埃及人那里学到了这一定理的。而实际上，希腊文献多次提及他们的几何知识来源于埃及。但是不幸的是，我们没有关于毕达哥拉斯定理的相应埃及文献。亚里士多德认为毕达哥拉斯学派首先证明了２的平方根是无理数。从毕达哥拉斯定理可得到，如果一个等腰直角三角形的直角边的长度为１，则斜边长度为槡２。按希腊数学的描述，毕达哥拉斯学派试图把直角边为单位长度的直角三角形的斜边与直角边的比，即槡２∶１，表示成整数的比，就像（３，４，５）这样的直角三角形那样。结果却恰恰相反，证明了这个值不能表示成整数的比。这一斜边和单位直角边被称为是不可比的。也就是说，用等刻度直尺不能丈量这个比。由于给定的单位直角边是有理数，所以相应的斜边是无理数。历史学家第欧根尼说，这一事实是毕达哥拉斯学派的成员发现的。他就是（梅塔蓬图姆的）希帕索斯。毕达哥拉斯学派的其他成员把他带到海上扔进了海里。因为他破坏了毕达哥拉斯学派的信条———即毕达哥拉斯学派的关于所有事物都可以由整数及整数的比来表示。人们现在认为这一传说值得怀疑。但是可公度与不可公度间的关系以及有理数与无理数间的关系，对数学曾起过非常重要的作用。实际上，直到两千年后，人们才使用有理数来定义无理数。

    希腊人给出了毕达哥拉斯定理的一个巧妙的证明。该证明记载在欧几里得《几何原本》第１卷末尾。它的证明方法是非常通用的几何证明方法———使用一系列构造方法，分别把以两个直角边的长度为边长的两个正方形转换成两个长方形，这两个长方形合在一起构成以斜边的长度为边长的正方形。这一证明中没有用到任何数值，而且证明特有的“风车”图在后来的许多欧亚文明的数学中出现。的确，正如普罗克洛斯所评注的那样：“我在钦佩发现这一定理的发现者的同时，对《几何原本》的作者更加感到惊奇。”总之，我们仍在使用毕达哥拉斯作为这一定理的名字，而毕达哥拉斯数学宇宙观的魅力永存。

    几何之父———欧几里得

    古希腊数学家、几何学奠基人欧几里得一生的细节鲜为人知，无人知道他的出生及去世的日期，甚至他出生何处也无法确定。只知道大约公元前３００年他在埃及的亚历山大当过教师。他的著作《几何原本》１３卷，是世界上最早的公理化数学著作。欧几里得的伟大贡献在于他总结整理了前人的生产经验和研究成果，并作了全面的系统阐述，对公理和公设作了适当的选择，然后仔细地将这些定理做了安排，使每一个定理与以前的定理在逻辑上前后一致。从公理和公设出发，用演绎法叙述了平面几何、立体几何的许多成果以及大量代数和数论的内容。全书结构科学、严谨，思想家们公认其完整的演绎推理结构是十分杰出的典范。《几何原本》后来被翻译成多种文字，在全世界刊行了上千种不同版本，以后各个时代的思想家、科学家都接受了欧几里得的传统。《几何原本》是中国最早翻译的西方自然科学的著作。早在明朝末年，中国著名的科学家徐光启等人曾将前六卷译为汉文，在当时的知识分子之间广为流传。除《几何原本》外，欧几里得还著有《数据》《图形分割》《数学的结构》《光学之书》

    《反射光学之书》等。

    数学力量———阿基米德

    古希腊数学家和物理学家阿基米德，出生于西西里岛的叙拉古一贵族家庭，自幼勤奋好学，曾到埃及亚历山大跟从欧几里得的学生柯农，学习哲学、数学、天文学、物理学等方面的知识。返回叙拉古以后，专事研究。他在继承欧几里得学术的基础上，将数学紧紧地和力学、机械学研究结合在一起，不仅利用力学的方法解决数学问题，而且还用数学方法研究力学和其他实际问题。他著有《论圆量》和《论球体与圆锥体》，计算出圆周率的上限为２２／７，下限为２２３／７１，得出计算球体、圆柱体和其他更复杂球体的体积、表面积和周长的公式。他使用的“穷竭法”，为现代积分计算奠定了基础。在物理学方面，他是力学和流体力学的奠基人，发现了杠杆原理和后来以阿基米德定律命名的浮力原理；他把理论运用于实践，发明了杠杆、滑轮和螺旋等机械。阿基米德将当时的数学和物理学推向了一个新的高度。他是一个热忱的爱国者，当他的祖国遭罗马进攻时，他设计出可以吊起敌舰的巨型回旋起重机和大型投石机，曾重创罗马军。公元前２１２年，罗马军统帅在攻陷叙拉古城之后，召请阿基米德，他要求士兵容他做完几何题再去，被一士兵挥剑砍死，时年７５岁。阿基米德对科学事业的伟大贡献是永存的。后世数学家尊他为数学之神，并且认为，任何一张列出有史以来３位最伟大的数学家的名单中，必定有他，另外两位通常是牛顿和高斯，而且往往把阿基米德置在首位。

    我思故我在的笛卡儿

    １５９６年，笛卡儿出生于法国西南部的拉·爱伊城的一个贵族家里。父亲是布列塔尼议会的议员，读过很多书，尤其精通自然科学和哲学。笛卡儿刚生下来特别瘦，两岁的时候，母亲又去世了，小笛卡儿的身体更加孱弱了。父亲十分心疼小笛卡儿，只要有空便陪他玩。笛卡儿稍大一点时，父亲便教他认字，他特别聪明，总是能很快地掌握父亲教给的知识。慢慢地笛卡儿认的字多了，他便开始找书看。父亲的书房里有很多书，小笛卡儿不管理解不理解都拿来看。他对自然科学特别感兴趣，有一次，父亲见他拿着一本很深奥的数学论著在认真地读，感觉很好奇，便问他从书上学到了什么。小笛卡儿高兴地告诉父亲：“爸爸，我发现书上的图形很多，我在看它们到底是怎么回事呢？”看到小笛卡儿这么爱读书，父亲便买回了许多儿童书籍让他看。不过笛卡儿不太喜欢父亲特意为他买回家的书，他更喜欢大人看的书籍。

    ８岁的时候，笛卡儿该上学了。父亲为他选择了当时欧洲著名的教会学校———拉夫雷士公学校。这所学校教学水平高、纪律严格。由于笛卡儿身体比较差，所以父亲便请求学校对小笛卡儿要特别照顾一些。学校校长特许他不必到学校上早读，但好学上进的笛卡儿却并没有因此而偷懒，他每天都早早起床，利用这一段时间阅读哲学、数学、文学和历史等多方面的课外书籍。正是在这段时间，笛卡儿对数学和哲学产生了浓厚的兴趣。

    笛卡儿在拉夫雷士公学校读了８年书，他的成绩特别好，１６１２年以优异的成绩考入了普瓦蒂埃大学攻读法学。在大学里笛卡儿如饥似渴地读书。他每天除了上课就是在图书馆，他对什么都感兴趣，几乎读遍了图书馆的所有书籍。笛卡儿尤其爱看数学和哲学方面的书。他喜欢研究数学，经常为了算一道题而忘记吃饭。大学期间他在数学方面就有了很多自己的见解。１６１６年，笛卡儿获得了法学博士学位。毕业后他先是到巴黎做了一段律师。这期间他认识了巴黎上流社会中许多人，还结交了当时法国不少有名的数学家。笛卡儿经常和这些数学家在一起探讨数学，这段时间里他积累了大量的数学知识。渐渐地，笛卡儿厌倦了巴黎灯红酒绿的生活，于是他辞去了律师职务，躲在巴黎僻静的市郊专心研究数学和哲学。

    １６１８年，欧洲爆发了战争。１６２０年笛卡儿参军了。在军队中笛卡儿没有放弃对数学的研究，一有空他便思考数学问题，研究数学几乎成了他生活中最大的乐趣。他经常一边吃饭一边进行数学演算，周围的人都笑他是“数学痴”。１６２６年，笛卡儿随军来到荷兰，一天他在街上看到当地政府贴出的一张征求数学难题解法的布告。笛卡儿站着看了一会便将难题解答了出来。于是，他将答案告诉了有关部门，并因此受到了奖励。

    之后，笛卡儿离开了军队，专心进行数学研究。当时在数学上占主导地位的是欧几里得的几何学和代数学。几何学与代数学还是两个完全独立的学科。笛卡儿想，如果能用直观的几何图表表示出抽象的代数方程，那数学计算就方便多了。于是他决定找出一种能够将几何与代数有机结合起来的工具。他进行了许多探索，做了大量的演算，但一直没有结果。由于总是熬夜进行研究，本来就身体不好的笛卡儿病倒了。这一天，笛卡儿躺在床上养病，他突然看到屋顶角上的一张蜘蛛网，有一只蜘蛛停在网的正中。笛卡儿突然有了灵感，如果将蜘蛛看成一个点，蜘蛛网线看成几何上的线那会怎样呢？笛卡儿顿时来了精神，他忘了自己正在生病，下床就开始演算了起来。就这样在蜘蛛网的启发下，笛卡儿创建了直角坐标系，改变了古希腊以来代数与几何分离的局面，开创了解析几何新时代，为世界近代数学做出了重大贡献。

    此外，笛卡儿在物理学、生物学、哲学方面也有许多贡献，他的哲学著作《方法谈》在世界哲学史上有着深远的影响。

    欧拉的数学生命

    瑞士数学家里昂纳得·欧拉一生发表论文、专著达８８６部，是极富成就、历史上著述最多的数学家。欧拉１３岁入读巴塞尔大学，１５岁大学毕业，１６岁获得硕士学位，１９岁开始发表文章，并获得巴黎科学院奖金。１７２５年在丹尼尔·伯努利的推荐下他到俄国讲学，任彼得堡科学院院士。１７４１年赴德国科学院工作了２５年后应俄国沙皇礼聘重回彼得堡，直至逝世。

    欧拉是１８世纪、也是数学史上最杰出的数学家之一，在几乎所有数学的最重要分支中，都有他开创性的贡献。至今每个数学部门都可以看到欧拉的名字，也经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支（如无穷级数、微分方程等）的产生与发展奠定了基础。他还把数学研究渗透到几乎整个物理领域。

    欧拉２８岁时因工作过度致使右眼失明。年近６０岁时另一只眼睛也逐渐失明。双目失明并没有使他停止研究和创作，他口述自己的研究让别人替他记录，凭借惊人的记忆力和想象力，顽强而艰苦地进行探索，直到他生命的最后一刻还在计算天王星的轨道。他留给后人丰富的科学遗产，被科学史学家们列为人类有史以来贡献最大的四位数学家（阿基米德、牛顿、欧拉、高斯）之一。他的书通俗易懂，很多数学家就是被他的书所吸引，走上数学之路的。

    １＋２＋３＋…＋１００＝？高斯的奇迹

    数学老师上课时出了一道算术题：１＋２＋３＋…＋１００＝？老师刚把算题写完，一个小男孩儿立刻回答：“５０５０。”一时让老师惊诧不已。这个１０岁男孩儿叫高斯。卡尔·弗里德里希·高斯，德国数学家、物理学家和天文学家，近代数学的奠基人之一，生于德意志不伦瑞克一个贫苦家庭，幼年便表现出极高的数学才能。当时数学界流传一个设想：“正多边形的边数如果是大于５的质数，这个正多边形就不可能用尺规做出。”高斯却用尺规做出了正１７边形，立刻轰动了数学界，这年高斯１９岁。哥廷根大学毕业后，他因证明代数基本定理获赫尔姆施泰特大学数学博士学位，并长期担任哥廷根大学教授兼任哥廷根天文学台台长。

    高斯的数学成就遍及各个领域。早期研究数论，成果收入在《算术研究》中。他在超几何级数、复变函数论、统计数学、椭圆函数论等方面都有开创性贡献。他的曲面论是近代微分几何的开端，并奠定了这一学科发展的基本方向。高斯才华横溢，不仅在数学方面成就显著，在物理学、天文学、测地学方面也有显赫贡献。他与德国物理学家韦伯一道建立了电磁学中的高斯单位制，用自己的行星轨道计算法和最小二乘法，算出各行星的轨道，并在晚年写出《天体运动论》。

    高斯的成就深刻地影响了当时的学术界。因为他在数学方面的成就卓著实在无人匹敌，所以在数学界被誉为“数学王子”和“数学巨人”；人们用他的名字来命名磁感应强度的单位；为纪念他，他的出生地被改名为高斯堡，在柏林、哥廷根都建有他的纪念碑。

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