剩余定理的妙用

    公元前２０４年，赵国赵歇的代王陈余等闻知韩信领兵攻赵的消息后，当即同赵王一起集兵２０万，置于汉军必经之地井陉口。井陉口是太行山的要隘，地势险峻，易守难攻。大队人马过关，车不能并排，马不能成列，很显然，地利已为赵军所占。

    韩信当时所率军队虽号称数万，但真正能打仗的只有几千人，就这些人马也是临时收编、征调而来，缺乏训练，同赵军相比，汉军在兵力上也处于劣势。

    开战前，赵国很会用兵的将领李左车向赵王和陈余提出了战胜汉军的妙计：“韩信连战连捷，势如破竹，其弱点在于孤军深入，后勤补给困难，再加上井陉口狭长的山路，汉军粮食辎重肯定不能跟上来。若由我带领３万人马抄小路袭击其辎重，断敌后续；将军等率主力正面坚守，必可使韩信欲进不成，后退不能，再加上军无粮草，不出１０天汉军必然失败。”

    自恃拥有重兵和占据地利优势的陈余哪里听得进颇有见地的李左车的建议，他根本没把韩信那几千人马看在眼里，口称只要正面迎敌即可取胜，根本用不着再用奇兵。

    韩信派人打听得知陈余拒绝采纳李左车的建议十分高兴，这等于给其进攻扫清了一道障碍，于是就率领汉军进驻在距井陉口２３０里的地方。

    就在驻扎的当天晚上，韩信精选轻骑２０００人多带武器和红旗，从小道上山并隐蔽在赵军营地的一侧。

    韩信对将士们说：“你们守候在此，待赵军见我撤退倾巢出动追击之时，赶快进入赵军营地，把所有的赵旗都换成红旗。”

    把这支伏兵布置停当后，韩信又在谋划着敌强我弱情况下的胜敌之计。他针对大部分士卒未经训练的实际，大胆布下了“背水列阵”这一为兵法所忌的险招。韩信派１万人为先锋，渡过绵蔓水而列阵，这样，这支军队背临河水，面向占有地利和优势兵力的赵军，无疑是处于死地。难怪赵军见韩信如此布兵，都讥笑韩信不懂兵法，并认为此战汉军必败无疑。

    等天亮以后，韩信率领主力杀向井陉口。陈余遂率军出击迎敌。经过长时间的激战，韩信假装抵挡不住赵军的抗击，率军退入背水阵中。陈余见韩信的军队全部进入背水阵这一绝境，认为这是全歼汉军的良机，就率领赵军倾巢出击。

    汉军面对众多赵军的攻击，进不能，退不成，唯有死战才可能有一条生路。汉军将士同赵军展开了一场殊死的搏斗。与此同时，埋伏于赵军营地附近的汉军等赵军一离开营地，趁其内部空虚，一举攻入赵营，很快把２０００多汉军红旗插遍了赵营。

    却说背水阵前，两军奋战正酣。赵军见汉军作战勇猛，知一时半会儿不能取胜，就想退入营中另作打算。待赵军回首遥望自己的营盘时，个个目瞪口呆，好端端一座营盘顷刻间怎么成了遍插红旗的阵地。还没等他们明白过来，汉军里外夹击，赵军大乱。不多时，２０万赵军就为只有数千人马的汉军所败，陈余被杀，赵王歇也当了俘虏。

    在这场战役的前一天，刘邦在卫士们的簇拥下来到了练兵场。只见练兵场上聚集着许多士兵，乱哄哄地在那儿舞刀弄剑。刘邦把韩信叫到面前，对他说：“听说你很有干才，是真是假，耳听为虚，眼见为实。现在这兵场上有不少士兵，你能用一刻钟的时间报出准确数目来吗？”

    韩信知道汉王是在考自己，二话没说，拿起令旗，开始指挥起来。他先是命令士兵们３个人一组进行操练，结果剩２个人无法归组；接着，他便下令改为５人一组，这一改，则剩３个人无法编排；随后，他又下令７个人为一组，这一次，又剩下２个人无法归队。

    在场的人包括刘邦在内，都哈哈大笑起来，以为韩信是瞎忙乎，肯定清点不出具体的人数来。不料，他们的笑声刚落，韩信便高声报道：“共有士兵２３３人！”刘邦一听愣了，不知韩信是用的什么招数，这么快就清点出了人数。不用说，考试合格了，韩信名正言顺地当上了大将军。

    那么韩信到底是如何点兵的呢？秘诀在哪里呢？下面，为了便于弄清这个问题，我们假设这些士兵先后按３、５、７人数列队，它们的余数分别为ａ、ｂ、ｃ。由题意可立方程式：

    ｘ＝３ｎ１＋ａ（１）

    因为３、５、７的最小公倍数是１０５，故将（１）式×３５。

    ｘ＝５ｎ２＋ｂ（２）

    （２）×２１，（３）×１５，得如下方程：

    ｘ＝７ｎ３＋ｃ（３）

    ３５ｘ＝１０５ｎ１＋３５ａ（４）

    ２１ｘ＝１０５ｎ２＋２１ｂ（５）

    １５ｘ＝１０５ｘ＋１５ｃ（６）

    （５）＋（６）－（４），得ｘ＝－３５ａ＋２１ｂ＋１５ｃ＋（ｎ３－ｎ２－ｎ１）×１０５＝１０５（ｎ３＋ｎ２－ａ）＋７０ａ＋２１ｂ＋１５ｃ，令７０ａ＋２１ｂ＋１５ｃ＝１０５ｎ４＋ｒ，上式变为ｘ＝１０５（ｎ４＋ｎ３＋ｎ２－ｎ１－ａ）＋ｒ＝１０５ｎ＋ｒ（７）。

    式（７）表示ｘ有无穷解，ｒ是最小的一个正整数解。１０５是３、５、７的最小公倍数，将式（７）代入（１）、（２）、（３）式后，无论ｎ取任一正整数，三个余数的值总不变。如设ａ＝１、ｂ＝２、ｃ＝３，由７０ａ＋２１ｂ＋１５ｃ＝１５７＝１０５＋５２，得ｒ＝５２。再由式（７）得ｘ＝１０５ｎ＋５２。即知士兵的总人数为５２人、１５７人、２６２人……在有无穷解的情况下，韩信又怎能确定士兵总数呢？因为韩信已知士兵的大概人数（设有一二百人），所以他能在得知几次列队的余数后（设ａ＝１、ｂ＝２、ｃ＝３），很有把握地算出了这部分士兵的总人数（ｘ＝１０５＋５２＝１５７人）。韩信这种点兵的方法，就是后来闻名于世的“中国孙子定理”。如果你有兴趣，还可以用其他方法进行点兵。现在看来这并非是个难解之题，但就当时来说，这么短时间内就准确地脱口而出，这也决非是寻常之辈所能办到的。

    在“韩信点兵”的故事中，如果３个人一组，最后还剩２人，那么总人数可能是５，也可能是８，还可能是１１……换句话说，５、８、１１……这些数被３除后，余数都相等，那么，我们就说５、８、１１……这些数对于３是同余的。用数学符号写出来就是：

    ５≡８≡１１（ｍｏｄ３）这个式子就叫做“同余式”。

    在我国，解联立一次同余式问题，源于古人制定天文历法的推算。早在公元５世纪，著名科学家祖冲之，在制定《大明历》时，曾求解过１１个联立一次同余式问题。遗憾的是，他只写出了答案，没记述推算程序。在他之后，也有一些天文、数学家对联立一次同余式问题进行过研究探讨，不过，成效都不算大。然而，到了公元１２４７年，南宋著名的数学家秦九韶，却在他的名著《数学九章》中，对古代联立一次同余式问题的解法，从理论上作了全面的总结。这便是被人们誉为“中国中世纪数学家的一项杰出创造”的“大衍求一术”。

    什么是“大衍求一术”呢？通俗地讲，就是求“一个数的多少倍除以另一数，所得余数为１”的方法。这种方法近似于现代的求最大公约数的辗转相除法，在西方，直到公元１８世纪，才有人对这个问题进行系统的研究；至于解题方法，则是到了１８０１年，才被德国数学家高斯发现，并因此把这种方法命名为“高斯定理”。显而易见，高斯的方法比秦九韶晚了５５０多年；若是与《孙子算经》相比，就更晚了，至少晚１５００年。

    公元１８５２年，“孙子问题”的解法传入欧洲，西方数学家们惊奇地发现，该解法竟和高斯的方法完全一样。在感慨之余，便称这种方法为“中国孙子定理”。

    格拉特将军巧算二元二次方程

    美军从独立战争开始到１８６１年的内战，只有两人获得过中将军衔，一位是华盛顿，一位是司各脱，其后几年未设这一职位。１８６４年２月，参众两院通过法案，决定恢复中将军衔，林肯总统批准了这项法案，并将这一新设的军衔授予格兰特。

    格兰特是一位颇受争议的将军。在南北战争进行到关键时刻，林肯授予他以最高军衔并委以北军总司令的重任，表现出了非凡的用人胆略。林肯信任格兰特，相信他能将屡屡失败的北军从迷谷中引向光明。

    “格兰特将军，在这场伟大的战争中，国家对于你所建树的功勋表示嘉奖，”林肯在授衔仪式上说，“因此，现特授予你合众国陆军中将军衔。给予你这崇高荣誉的同时，也意味着把相应的重任交给你。”在这个仪式上，士兵们排成方队。说来也巧，场上的士兵正好排成６２个方阵，每个方阵的人数全一样。整齐的队伍，加上北军士兵个个精神抖擞，整个训练场显出威武雄壮的气派，林肯一看非常高兴，大大夸奖了格兰特一番。

    格兰特听到了林肯的夸奖心里非常高兴，他提议要与士兵们站在一起。他脱下战袍，改换轻装，加入了士兵们的行列。格兰特的这一举动打破了原来的方阵，陪同林肯的将军们都为他捏了一把汗。可格兰特不忙不慌，只见他命令士兵改换阵势，把全部士兵（包括自己在内）改排成一个大方阵。说起来真巧，原来的小方阵一下子排成大方阵，而且人数不多不少。这样一来林肯很高兴，格兰特也出尽了风头。你知道他用什么方法吗？这批士兵有多少人呢？

    “方阵问题”在我国古算中很常见，也是很有意思的题目。当然，它们的解法不算困难。

    设原先６２个实心小方阵，每个小方阵的每边人数为ｘ；将军本人也加进去以后，排成的一个大方阵，每边人数为ｙ。

    根据题意，可以列出一个方程如下：

    ６２ｘ２＋１＝ｙ２。

    这是一个不定方程，移项分解就得到：

    ６２ｘ２＝ｙ２－１＝（ｙ－１）（ｙ＋１）。

    到此地步，就可看出ｙ非等于６３不可。因为６３－１不多不少恰好就是６２，而６３＋１＝６４，又正好是８的平方。因此这批士兵共有：６２×８２＝３９６８（人）。加上将军自己，正好可以排成一个每边有６３人的方阵。

    三角函数破阵

    孙膑与庞涓是同窗好友。庞涓早于孙膑下山前去魏国，被魏王封为大将。孙膑虽有雄韬大略，却不善谄媚之术，四处周游，无人重用。为了施展才华，他投奔到同窗学友庞涓处，希望能向魏王引荐。但是庞涓素知孙膑的才智在自己之上，因而担心引荐孙膑，会抢了他大将的位置，一心想除掉这个隐患，同时，他又耳闻孙膑从老师那里也有所得，想据为己有。他想出一毒计，在魏王前诬孙膑有叛国行为，请魏王对其施以膑刑，让他无法逃脱。

    庞涓将受不白之冤的孙膑关在一个秘密的地方，极力表明自己在魏王面前替孙膑说了多少好话，才使他免于一死，同时向孙膑索要《孙子兵法》。孙膑当即答应。

    孙膑一直对自己无辜地突遭不幸感到困惑，可万万没有想到原来是同窗好友设下的陷阱，经童仆一说，他才恍然大悟。可是现在他双腿不能行走，又在庞涓的看管之下。当晚他一会儿号啕大哭，一会儿嘻皮笑脸，语无伦次，傻相百出。他将抄好的书简翻出来，投入火中。将食物打翻在地，见了土块和污物，孙膑却抓起来就吃。庞涓相信孙膑确实已成为一个废物，就放松了戒备。

    后来一个叫禽滑厘的人听说了孙膑的遭遇，他深知孙膑的才能，就想帮助他逃出魏国。于是他将孙膑的情况告诉了齐国的相国邹忌，邹忌又转告齐王。齐王便派人将孙膑偷偷地带回齐国。孙膑在齐国受到重用。

    孙膑所在的齐国与庞涓所在的魏国有多次交战。相传一次庞涓将孙膑的部队围在即墨城中，是孙膑活用鬼谷子所传的阵图使他突出重围，为日后大败庞涓创造了机会。孙膑的部队被庞涓围在即墨已经七天了。内无粮草，外无援兵，诸将忧心如焚，纷纷进帐请战：与其被困死，不如杀出重围，也许还能生还几个呢！

    大敌当前，众寡悬殊，作为全军统帅的孙膑，也在筹思对策。

    这天晚上，孙膑攀上山顶的那棵老柏树，纵目眺望，只见远处庞兵营房火把映天，兵马屯扎整齐。环视一周，自己正是被困核心，外界形成六角包围，就像被六把钳子紧紧夹住一样。

    “全军突围是不可能的了！”孙膑自言自语地喃喃说道。

    “元帅，怎么这般泄气？”随从问道。

    只见孙膑不慌不忙地答道：“你等有所不知，这阵势名为七曜阵，按日、月、金、木、水、火、土排列，客座应在中心，占日位，为我军所在，受外围‘一月五星’控制，严密包围。‘一月五星’互相牵动，好生厉害，我军倘若妄动，即刻会遭到群起聚歼，后果将不堪设想！”说着，信手在沙地上画个草图。

    孙膑心想，要想突围成功，必定要派一员猛将打头阵。只听他大喝一声：“甘蒙听令！”

    孙膑手下猛将甘蒙无论如何没有想到会点到自己，自己这两下子，孙膑最清楚。这时他连声叫喊：

    “我不行啊，我不行！”

    什么行不行？一声惊堂木响：“甘蒙胆敢违抗军令，来人啊，推出去砍了！”

    甘蒙慌了，连忙同意：“我去，我去。只怕误了军机，可不是闹着玩的。”

    当晚，孙膑设酒席给甘蒙饯行，笑呵呵劝酒。甘蒙却愁肠百结：此去必死无疑，我一死不足惜，可怜数万弟兄都要断送在我手中了！

    “孙将军，趁我未去黄泉之前，可还有什么话说？”

    “甘将军，何出此言，今晚饮的是庆功酒，此番定能马到成功！”孙膑一边敬酒，一边说下去，“你催动坐骑，径直朝金木门的中心驰出，不去管番将的迎杀，便可安然突围。”

    果真如此。两天后，救援的军队会师牛头山，大破七曜阵，直杀得庞涓人仰马翻，溃不成军。甘蒙立下了特等大功。

    其中奥妙何在呢？原来孙膑曾命令可靠侦探探得番将坐骑的最快速度，只相当于甘蒙追风马的八成（百分之八十），孙膑估计到甘蒙一出营房（从日位朝金木连线的中点方向），庞涓人马就会分别从六角座位（以日位为中心的正六边形各顶点）冲击，始终紧盯着甘蒙奔驰处靠近，但他们却追不上甘蒙。

    你知道这是什么道理吗？

    图（甲），当甘蒙从日位出发，径直朝金木门的中心驰出（箭头方向），显然，仅讨论金点（或木点）的敌人追逐情况即可。

    图（乙），甘蒙从Ｏ点跑至Ｐ１，同时金点敌将从Ａ点追至Ｐ′１，＝０８０Ｐ１；继续前进，则敌将路线成ＡＰ１……Ｐ′２……Ｐ１１′曲线。

    图（丙），某种不同情况下，甘蒙跑到ＯＨ三分点的Ｐ处：

    敌将追至Ｐ１（比曲线要近得多），接着立即抢先到Ｈ点拦截，即使这样，他也追不上甘蒙，因为ＡＨ＝３ａ，对△ＡＰ′Ｈ运用余弦定理，则有Ｐ′Ｈ２＝（１６ａ）２＋（３ａ）２＝２×１６ａ·３ａｃｏｓ３０°＝０７６ａ２，故Ｐ′Ｈ＝０８７２ａ，Ｐ′Ｈ大于ＰＨ的八成，即Ｐ′Ｈ＞０８ａ。

    所以，当敌将到达Ｈ点时，甘蒙已过Ｈ点；再继续前进，路线几乎在同一直线，甘蒙马快，愈来愈追不上。

    用不定方程算张宗昌有多少兵力

    张宗昌是绿林大盗出身，本来肚子里没有什么文化，可说是斗大字不识一筐。作为一军之长更是个糊涂蛋，竟不知自己手下有多少兵！一日，他到某营地视察。该营营长集合了士兵之后，不知是因为紧张，还是与张宗昌一样是个糊涂蛋，点了半天的士兵也没点清。其实，这个营的人数不多，不过３００多人。按照当时的排队惯例，两人排一行多出１人，改为３人、４人、５人、６人排一行，也都多出１人，７人排一行却不多不少。我想学过最小公倍数原理的同学们一定可以算得出来。

    解这道题有个办法，先求出２、３、４、５、６的最小公倍数是６０，推算出士兵总数应该是：６０ｘ＋１，并且知道６０ｘ＋１能被７除尽，经过几次试算，就能找出ｘ是什么数，也就知道人数是多少了。

    这个办法，实际上是“凑”出个数来，对付较简单的数是可以的。如果我们把题目改一下，把“士兵不超过４００人”改为“士兵人数在１０００到１２００人之间”，或者改为“士兵人数在３９００到４２００之间”，用凑数的办法就很困难了。如果采用列不定方程的办法，就可以使解答具有普遍性，不论数目的数字多大，总是可以应用这种方法解答的。

    设这支队伍有ｘ人。每２人、３人、４人、５人、６人排一行都多出一人，换一句话说，（ｘ－１）能被２、３、４、５和６整除，而２、３、４、５和６五个数的最小公倍数是６０，因此（ｘ－１）亦能被６０整除。除ｘ－１＝ｙ，ｙ应是正整数。变换一下，就列出不６定方程式：

    ｘ＝６０ｙ＋１

    Ｘ能被７整除，即６０ｙ＋１＝８ｙ＋４ｙ＋１是正整数。设４ｙ＋１＝７７７ｔ，ｔ也应是正整数。变换一下，得出：

    ７ｔ－１

    ４＝ｔ＋

    设３ｔ－１

    ３ｔ－１

    ４

    ４＝ｔ１，为了使ｙ是正整数，ｔ１亦是正整数，变换一下，得出：

    ４ｔ１＋１

    ｔ＝３＝ｔ１＋

    ｔ１＋１

    ３

    ｔ１＋１

    设３＝ｔ２，为了使ｔ是整数（并注意ｔ１是正数），ｔ２亦必须是正整数，变换一下，得出：

    ｔ１＝３ｔ２－１

    现在我们来列一个ｔ２与ｘ的关系式，

    ｘ＝６０ｙ＋１＝６０（７ｔ－１）＋１＝１０５ｔ－１４４＝１０５（４ｔ１＋１３）－１４

    ＝１４０ｔ１＋２１＝４２０ｔ２－１１９

    ｔ２是正整数，可以取１、２、３……，但题目规定这支队伍不超过４００人，所以ｔ２只能取值１，即ｘ＝４２０－１１９＝３０１，这支部队有３０１人。

    引入这样多未知数，目的就是要求出未知数ｘ的通解（也可以求出ｙ的通解），当取任何整数，我们将得到方程式ｘ＝６０ｙ＋１所有整数解，这样的解，具有普遍性，数学上称为通解。事实上，这一题的解法，基本上已告诉大家，对ａｘ＋ｂｙ＝ｃ这种类型的不定方程式，求出所有整解的一般方法。如果你知道，求两个整数最大公约数的“辗转相除”方法（或者将一个分数化成连分数的方法），你就会发现，上面的解法实质上就是“辗转相除”。

    采用这个方法，很快就可以算出，当队伍人数在１０００与１２００之间时，解答是１１４１（ｔ２＝３）。队伍人数在３９００到４２００之间时，解答是４０８１人（ｔ２＝１０）。

    水兵的“特解”方程故事

    统观全球流行的水兵服装，其显著特点是：上装有方形披肩，下装裤管肥大。

    古代男子流行蓄长发，而水手为了适应海上的漂泊生活，喜欢将长发梳成辫子，并涂油增加美感。谁知油光锃亮的辫梢又常常玷污水手的服装。于是，他们又在自己的肩上披上一块方巾来保洁。这个方法历经数百年的演变后，就成了今天别树一帜的水兵上装款式。

    水兵裤裤筒肥大，这同样与他们的海上活动紧密相关。水手们长年在惊涛中拼搏，一旦不慎落水，肥大的裤子将易于挣脱，从而减轻了负重；水手日常冲洗甲板劳作频繁，肥大裤口可以罩住靴子、阻挡水花溅入；也有助于将裤筒翻卷过膝盖。不知从何时开始，这种水兵裤在陆地上也逐渐流传开来，并被人们视为时髦，甚至有意加大尺寸，变成了“喇叭裤”。

    水兵们除穿着奇特外，做事也有自己的原则，由于他们长年要在海上度过，所以，养成了善于思考的好习惯，你看，一次海上训练时，有５个水兵带了１只猴子，来到南太平洋的一个荒岛上，在这里，他们做了一个小小恶作剧，从而引出了一个小小的数学难题———他们一行５人刚踏上这个小岛时，发现那里有一大堆椰子，因为长时间的航行，旅途极度劳累，他们一躺下就睡着了。不久，第一名水兵醒来，他把椰子平分为５堆，还剩下一只椰子便丢给猴子吃了，自己私藏起一堆，就翻身睡下。隔了一会儿，第二名、第三名、第四名、第五名水兵先后醒来，各自将这出“戏”（平分成５堆，自己私藏一堆，丢１只椰子给猴子吃）重演了一番。天亮了，大家都心里有数，谁也不说，但为了公平起见，又把剩下的椰子重新分成５堆，大家各取一堆。这时，说也奇怪，正好又多出１只椰子，把它丢给了猴子。你能算出原先一共有多少只椰子吗？

    此题存在着无限多解。现只求最小整数解，并探讨解的一般规律。

    设Ｎ是最初的椰子数，Ｆ是天亮后最末一次分配时，每名水手所分到的椰子数，于是可列出下列的方程组：

    Ｎ＝５Ａ＋１

    ４Ａ＝５Ｂ＋１

    ４Ｂ＝５Ｃ＋１

    ４Ｃ＝５Ｄ＋１

    ４Ｄ＝５Ｅ＋１

    ４Ｅ＝５Ｆ＋１

    化简后可得：

    １０２４Ｎ＝１５６２５Ｆ＋１１５２９

    由于椰子数Ｎ曾被连续６次分成５堆，因此如果某数是该方程的一个解，则把此数加上５６（５６＝１５６２５）后，显然仍是方程的解。一般人解不定方程应用题，总是设法求出它的正整数解，可是数理逻辑学家怀特海却想出一个异乎寻常的办法，他先请负整数来帮忙，求出特解之后，再“让位”给正整数。

    令Ｆ＝－１，代入方程可求出Ｎ＝－４，既然－４是这个不定方程的一个“特解”，那么－４＋５６仍然是该方程的特解，于是就马上求出了本题的椰子数应该是：

    －４＋１５６２５＝１５６２１（只）

    怀特海怎么会“领悟”出这种传奇式的解法呢？假定当初有－４只椰子，则在其中硬拿出一只给猴子后，还剩下－４－１＝－５（只），分成五堆，每堆有－１只椰子，私自藏起一堆后，还剩四堆，所以一共仍然是－４只椰子，这正好是回到了没有以前的情况。

    设想ｘ是原来的椰子数，ｙ是经过一位水手搞小动作以后的椰子数，则有变换Ｔ（ｘ）＝ｙ，其解析表达式是：

    ｙ＝４（ｘ－１）

    ５

    显然，ｘ＝－４时，ｙ＝ｘ，所以－４是这个线性变换的“不动点”。不动点是数学里一个非常重要的概念，其意义已远远超出了题趣。

    方程知道火箭炮在哪里

    在海湾战争中，出尽风头的美国军队显然对这样的一个事实感到万分羞愧。１９８５年，有几个小偷公然登上了海军“山鹰”号航空母舰，拆卸了Ｆ－１４飞机上的零部件。事情被发现后，美国全国一片哗然，许多人批评说，一些军火库的防护网尽是破洞，报警系统名存实亡。

    国际军火商显然知道哪些美国军事装备容易搞到手。美国官员多次截获了出售数以百计的导弹、大炮，甚至直升机的清单。在德国的一个美军基地里，美国官员发现先进的“毒刺”式导弹就随意放在锈迹斑斑的金属箱子中，外面还有“毒刺”式导弹的标记，好像生怕窃贼认不出来似的。

    盗窃武器的人不仅有一般的小偷，甚至军人和警卫人员也从事盗窃。失窃的武器大到导弹，小到手枪，五花八门。这些盗贼胆大包天的程度使人难以相信。

    美军华盛顿一个军火库，夜里丢失了新研制的火箭炮。警察局长派善于运用数学侦察的爱克探长前往军火库侦察。爱克探长先找到当晚看守军火库的值勤士兵，问他们可曾发现什么异常情况。两个士兵回答：“昨天午夜我们听到军火库后面有响动，问口令但没有人回答。正端起枪想转到后面看看，只觉得脑袋上重重地挨了一下，然后就什么也不知道了。”

    爱克探长赶忙问：“那在什么时间？”

    一个士兵回答：“那时我刚好上厕所回来，看了看表是１点４０分。”

    探长看到现场只留下一个人的脚印，脚印一直往北，他掏出本子写下一点什么，然后沿着脚印前进，一直走到北城门口。爱克探长发现盗窃犯是从北城门这儿跑出去的。他向昨晚在这儿值班的两个警卫了解情况，两个警卫低下头说：“我俩都打盹睡着了。”

    只见爱克探长又在小本上记下一点什么。他要了一份华盛顿全城的地图，仔细看了一遍，然后在笔记本上开始计算。

    突然，爱克探长用手往北一指说：“快去逮捕偷盗火箭炮的人！他现在正在城北３２千米处的快乐旅店里。他的特征是：身高１８米左右，体重约１６０斤，右脚有点跛。”大家围着爱克探长，问他怎么算的。爱克探长淡淡一笑，说：“身高是根据脚印的大小及步子的长短推算的；体重是根据脚印的深浅程度推算的；跛足是根据脚印的形状知道的，这都是一般侦探都知道的常识。”

    一名警官问：“你又怎么知道偷武器的人就在城北３２千米的快乐旅店里呢？”

    “我首先计算了偷武器的人逃走的速度。他打晕守军火库的士兵是在１点４０分，守北城门的警卫２点醒来刚好看见他，说明他从军火库走到北城门用了２０分钟。从军火库到北城门的距离，从地图上看，是３６千米。”

    爱克探长又说：“于是，我设窃贼逃走的速度为每小时ｘ千米。”爱克探长在地上写了一个大大的ｘ说：“已知２０分钟走了３６千米。２０分钟等于１／３小时，这样就可以知道他走了１／３个ｘ千米的距离，恰好等于３６千米，列出方程式就是：

    １

    ３ｘ＝３６，

    ｘ＝１０８千米

    也就是他每小时的速度是１０８千米。”

    大家问：“你又怎么知道他在城北３２千米处的快乐旅店里呢？”

    爱克探长说：“他偷火箭炮的时间是晚上１点４０分；戒严令是清晨５点，北面只有一条大路可走，他从１点４０分走到清晨５点，共走了３小时２０分钟，即３小时，在这段时间里他所走的距离，等于从军火库到北城门，又从北城门继续往北走的距离。”

    “这段距离是多少呢？”

    “这是另一个未知数，用ｙ代表。现在我们设从北城门继续往北走的距离为ｙ。

    列出方程式：

    １

    ３×１０８＝ｙ＋３６

    ｙ＝３２４千米。

    北边大路上，从２０千米到４０千米的距离里，只在３２千米的地方有旅店。５点钟天已经亮了，他不敢再走，必定在那儿藏身。”

    正说着，只听得外面一阵马达声响过，几名警察押着一个高个子右脚跛足的中年人走了进来。

    杨子荣的方程百鸡宴

    《智取威武山》中有一场是杨子荣布置好“百鸡宴”，准备迎接我军、清除匪徒。这“百鸡宴”使人联想起我国１１世纪的数学家谢察微提出的有趣的“百鸡问题”。问题是这样提出的：

    公鸡５元钱１只，母鸡３元钱１只，小鸡１元钱３只，如果１００元钱买１００只鸡，问公鸡、母鸡和小鸡各几只？

    现在很难考查，当初杨子荣是不是这样去买鸡的？解答：设公鸡ｘ只，母鸡ｙ只，小鸡ｚ只。

    ｘ＋ｙ＋ｚ＝１００

    列方程：

    ５ｘ＋３ｙ＋１ｚ＝１００

    ３

    解此联立方程，得ｚ＝１００－ｘ－ｙ

    这是一个不定方程，有无数组解。但因鸡的数目只能是正整数，所以可以有４组答案ｘ１＝１２ｙ１＝４ｚ１＝８ｘ２＝８

    ｙ２＝１１

    ｚ２＝８１

    ｘ３＝４

    ｙ３＝１８

    ｚ３＝７８

    ｘ４＝０

    ｙ４＝２５ｚ４＝７５

    由杨子荣布置好的“百鸡宴”可以看出，英雄杨子荣有勇更有谋，遗憾的是，英雄牺牲后，人们还不知道他家真正的地址。杨子荣所在部队的干部战士只知他是胶东人，不知道具体地址，也不知他有杨宗贵这个名字。杨子荣自参军后没给家写过信，家里也无法与部队联系。部队虽曾派人查询过他的家乡，均无结果。杨子荣参军后，村里曾把他家按军属优抚。后来有人从东北回来说，在下城子一带看到杨子荣穿着皮袄，戴着皮帽，匪里匪气的，加上他不给家里写信，村里就当匪属对待，地也不给代耕了。妻子许万亮受了不少连累，全国解放后仍没有子荣的信，终因忧思成疾，于１９５２年秋离开人间。临终前她拿着结婚时子荣给买的一把梳子，流着泪说：杨子荣不会当土匪。直到１９７３年，原牡丹江二团副政委、《林海雪原》的作者曲波，找到１９４６年６月团里战斗模范的一张合影，把杨子荣的形象翻拍放大，根据找到的一点线索，寄往牟平县民政局，带到峡河村让人辨认，这才找到了英雄的家。１９９１年，牟平县在杨子荣参军的县城边小庙旁修建了杨子荣纪念馆，县城中心“杨子荣广场”塑有雕像，基座上镌刻着“杨子荣”三个大字。

    传令兵通信中的一元二次方程

    传令兵通信，作为部队最常见的人工通信方式，在近距离通信中，显得方便快捷。但在长距离或稍长距离通信中，人工通信就显现出它的致命弱点来，最大的问题就是通信时效低。如从下面正在行军的一支大部队中传令兵传递信息的速度就可看出这点。

    假设有这样一支大军，首尾长达５０英里，大军以匀速向前推进时，一个传令兵从队伍的最后面，骑着快马向前疾驶，传达一个紧急命令。任务完成后，他马不停蹄，立即回到他的原来位置。说来也巧，他返回原位时，大军正好向前推进了５０英里。试问：传令兵一共走了多少路？

    如果这支部队停止不动，显然他向前走了５０英里，又向后走了同样的距离，但由于大军在向前推进，因此他走到队伍前端肯定不止５０英里，而返回时所走的路要比５０英里少，因为队伍是朝着他迎面而来的。求解本题时，当然要假定传令兵始终是按匀速运动的。

    更困难的问题是，假设有一支庞大的、排成方阵的军队，长与宽都达５０英里，以匀速向前推进了５０英里。一位传令兵开始出发时处在方阵后沿的中心位置上，他绕着整个队伍环行一圈，最后回到了出发点。假设传令兵的速度保持不变，他走完全部路程，返回原位时，这支部队也正好完成了推进５０英里的任务。试问：传令兵一共走了多少路？

    设整个队伍的长度为１，大军向前推进这一长度的所需时间也等于１，由此可见大军行进的速度也是１。设ｘ为传令兵所走的路程，当然这也就是他的速度。他在向前疾驶时，他与前进中的部队的相对速度为ｘ－１；而在返回途中，相对速度则是ｘ＋１。前进也好，返回也好，每段路程都是１（相对于这支大军而言），而这两段路程是在单位时间内完成的，从而我们可以得到下列方程：

    １

    １

    ＝０。

    ｘ－１＋ｘ＋１＝１。

    此方程经过整理、化简后，可得一元二次方程：ｘ２－２ｘ－１由此求出ｘ的正根为１＋槡２。我们将它乘以５０，即可得出最后的答数１２０７英里。换句话说，传令兵所走过的路程等于大军的长度再加上该长度的槡２倍。

    问题的第二部分也可以用类似方法去求解。这时，传令兵与行进中的军队的相对速度分别为：他在前进时为ｘ－１，返回时为ｘ＋１，向两边走时为ｘ２－１。（他从哪里开始对问题是没有影响的，因此为了简单起见，我们不妨认为他的出发点是在方阵后沿的角上，而不是在后沿的中央。）同前面一样，每段路程对这支大军而言都是１，由于他在单位时间里走完了四段路，于是我们得以列出下面的方程：

    １

    １

    ２

    ｘ－１＋ｘ＋１＋槡

    经整理后，此方程是一个一元四次方程：ｘ４－４ｘ３－２ｘ２＋４ｘ＋５＝０。

    满足问题各项条件的解只有一个，即ｘ＝４１８１１２。再乘以５０，就得到最后的答数。

    二赖子用方程吃白饭

    二赖子是乡亲们给起的外号。由于此人一贯耍赖，为人不正直，在乡邻中口碑不好，没有人愿意理他。可自从日本鬼子来了以后，二赖子甘当汉奸，身板也硬了起来，昔日的赖性又重犯了。但他这个汉奸顶多只能称之为“蠢汉”。有一天，二赖子身边带着有数的钱，来到一个小饭馆。一进门，他便高声吆喝道：

    “张老四，给我上点可口的饭菜，今天晚上老子要给皇军带路，伺候不好我，小心皇军找你算账！”饭馆老板表面上答应着，心里暗暗骂道：“呸，王八羔子，看你还能逞能几天！”二赖子本不想付钱，便耍赖道：“张老四，你先借我一点钱，数目不多，就和我身上带的钱一样多。”饭馆老板不想和这个无赖纠缠下去，便借给了他。二赖子借了与他身边所带同样数目的钱，然后花掉１元钱，吃了一顿饭。第二顿，他又带着剩余的钱，来到另一个饭馆，又向老板借了与身上相同数目的钱，又花掉１元钱。第三顿，到了第三家饭馆，又借了与身边同样多的钱，又花掉了１元钱。这时身边已分文没有了。他一共吃了３顿饭，虽然张老板知道他身上有多少钱，但当时他不敢说出来。

    １９４５年，爱好世界和平的人民迎来了人间的春天，中国人民也从侵略者的铁蹄下解放出来，二赖子得到了应有的惩罚。在欢庆胜利的喜筵上，三位老板聚到一起，不约而同地谈起了二赖子借钱蹭饭的事。张老板告诉其他两位老板：二赖子身上只带了８角７分５厘。你知道张老板是怎样算出来的吗？

    设二赖子原来带有ｘ元。

    从第一家饭馆出来剩下的钱为：ｘ＋ｘ－１

    从第二家饭馆出来剩下的钱为：２（ｘ＋ｘ－１）－１从第三家饭馆出来己分文不剩了，于是：２［２（ｘ＋ｘ－１）－１］－１＝０求解此方程，求得：

    ｘ＝０８７５元

    即原来二赖子身边只带８角７分５厘，却骗了３顿饭。

    福尔摩斯算小孩数量

    大侦探福尔摩斯是英国小说家柯南道尔笔下的大英雄，他与他的助手华生医生一起，侦破了许多谜案，成为世界著名的大侦探家。

    一天，福尔摩斯在华生家中做客，两人站在开着窗户的客厅里聊天，从庭园中传来一群孩子的笑声。于是，福尔摩斯问：

    “你家有多少孩子？”

    华生回答说：“那些孩子不全是我的。那是我和弟弟、妹妹、叔叔四家人的。但我的孩子最多，弟弟次之，妹妹更其次，叔叔的孩子最少。他们不能按九人一队凑满两队。但四家孩子数的积恰好等于我们房子的门牌号码，而这个数您是知道的。”

    福尔摩斯听了很有兴趣，他说：“让我试试把每家的孩子数算出来。”经过一番计算，福尔摩斯又问：“解这个题，已知数据还不够。能告诉我，叔叔的孩子是一个呢？还是不止一个？”华生做了回答，但回答的内容我们不知道。

    福尔摩斯果然算出了正确的答案。你能算出门牌号码和每一家的孩子数吗？

    让我们看看福尔摩斯是怎么做的。根据华生给定的条件，我们知道：

    （１）由于凑不满每队９人的两队，可见孩子总数少于１８个。

    （２）四家的孩子数各不相同。假如叔叔家有３个孩子，则妹妹家至少有４个，弟弟家至少有５个，华生家至少有６个，那么四家孩子总数有３＋４＋５＋６＝１８个，与（１）有了矛盾，所以叔叔家的孩子数只可能是１个或２个。

    （３）如果叔叔家有２个孩子，那么各家孩子数可能是这样七种情况：

    孩子数

    他们的和

    他们的积

    ２、３、４、５

    １４

    １２０

    ２、３、４、６

    １５

    １４４

    ２、３、４、７

    １６

    １６８

    ２、３、４、８

    １７

    １９２

    ２、３、５、６

    １６

    １８０

    ２、３、５、７

    １７

    ２１０

    ２、４、５、６

    １７

    ２４０

    （４）如果叔叔家有１个孩子，那么各家孩子数可能是下面四种情况（只考虑积不小于１２０）。

    孩子数

    他们的和

    他们的积

    １、３、５、８

    １７

    １２０

    １、３、６、７

    １７

    １２６

    １、４、５、６

    １６

    １２０

    １、４、５、７

    １７

    １４０

    从（３）和（４）的分析可知门牌号肯定是１２０。所以四家孩子数的可能情况为下面三种：

    ２、３、４、５１、３、５、８１、４、５、６如果叔叔家孩子数只有１人，那么就有两种答案，解就不能确定了。现在福尔摩斯能回答得一点不差，看来四家孩子数必定是“叔叔家２个，妹妹家３个，弟弟家４个，华生家５个”。

    寻觅五次方程

    １６世纪，数学家们在偶然中发现了复数。到了１８世纪，复数系作为实数的扩张而被建立起来。但在处理复数时产生了一些错误。例如在欧拉的《代数引论》（１７７０年）中，欧拉提到－２×－３＝槡６而不是－槡６，这使得以后的学者们感到困惑。即便是高斯的杰作《算术研究》（１８０１年）也回避了所谓“虚数”的使用。关于复数的研究成为一门新的数学分支。《算术研究》的最重要的成果，是证明了代数基本定理。高斯充分意识到这一定理的重要性，因此，他花费了许多年的时间来研究这一定理。直到１８４９年，他首次把这一定理推广到了复数域。用现代的术语来描述的话，代数基本定理是：对任意实系数或复系数有限多项式方程，它的根或是实数或是复数。这一定理对长期争论的下述问题给出了否定的答案：高次方程的根是否具有比复数更复杂的“高层次”的结构？高斯认识到这一定理的重要性，在此之后又给出了更详细的证明。

    当时，代数中最棘手的问题是五次方程能否用代数方法，即通过有限代数步骤求解的问题。在学校里我们学习过二次方程的解法。在１６世纪，人们又知道了三次方程和四次方程的解法，但是数学家们没有找到五次方程的解法。对于五次方程解的存在性问题，代数基本定理似乎给出了解法存在的希望。然而，这一定理仅仅是保证了解的存在性，而没有说存在计算严格解的公式（近似数值方法和图形方法已经存在）。这一问题给我们带来了两位悲惨的天才数学家。

    尼尔斯·亨里克·阿贝尔（ＮｉｅｌｓＨｅｎｒｉｋＡｂｅｌ，１８０２—１８２９）出生于挪威的一个小村庄中一个贫穷的庞大家族。当时的挪威由于英国和瑞典间的战争而变得日益衰退。一位具有同情心的教师鼓励阿贝尔自学成才，但在他１８岁时，由于父亲的去世，家族的生活重担就落在了这一位年轻虚弱的孩子的肩上。１８２４年，阿贝尔完成了关于五次方程及更高次方程无代数解的研究论文。阿贝尔相信这是他进入学术界的凭证，他将这一论文寄给了当时在哥廷根大学的高斯。不幸的是，高斯似乎没有打开过这封信。

    １８２６年，挪威政府最终出资资助阿贝尔周游欧洲。由于他害怕拜访高斯会引来不快，因此他没有去哥廷根而是去了柏林。在那里他结识了普鲁士教育部的工程和数学顾问奥古斯特·克列尔（ＡｕｇｕｓｔＬｅｏｐｏｌｄＣｒｅｌｌｅ，１７８０—１８５５）。克列尔当时正在创办《纯粹与应用数学杂志》（现名《克列尔杂志》）。这样，阿贝尔的研究找到了发表的地方。阿贝尔在这一杂志创刊期间发表了许多论文，并使这一杂志很快成为有声望的出版刊物。阿贝尔在这一杂志上发表了五次方程不可解的证明之后，离开德国去了巴黎。在巴黎，阿贝尔变得绝望。因为他发现很难从法国数学家那里得到必要的支持。他找到了柯西（Ａｕｇｕｓｔｉｎ—ＬｏｕｉｓＣａｕｃｈｙ，１７８９—１８５７）。柯西是数学分析领域的重要人物，但是与人很难相处。就像阿贝尔自己所说的那样：“柯西是个疯子，又拿他没有办法。”假如我们可以对高斯和柯西所带来的伤害给出正当的理由的话，那就是：当时五次方程已经是臭名昭著了，不论是成名的数学家还是一些无名小卒都试图给出答案，从而一举成名。阿贝尔回到了挪威，由于肺结核而更加虚弱，但他继续向《克列尔杂志》寄文章。他死于１８２９年。他本人至死也不知道他的声望已经高不可及，就在他死后两天，一封来自柏林的就职邀请被人送到他的家中。

    阿贝尔证明了五次以上的多项式方程不能利用根式求得一般解。然而，可解的必要条件及其求解方法要等到伽罗瓦来给出。伽罗瓦的一生是短暂的而且充满了灾难。作为一位杰出的天才数学家，他性情易变和世人对他的不公正，使他成为一位悲剧人物。对那些不如他聪明的人，他从不宽容，而且他憎恨权威人士所带来的不公正。伽罗瓦在读到勒让德的《几何原理》（出版于１７９４年并成为之后１００年来几何学的主要教科书）一书之前，他并没有显示出自己的数学才能。他读了《几何原理》之后，就如饥似渴地学习勒让德和阿贝尔的著作。他的狂热、他的自负及他的急躁使他与他的老师以及考试官之间的关系遭到了损害。在数学家的摇篮———巴黎工学院的入学考试时，没有作任何准备的伽罗瓦当然落了榜。由于他遇到了一位赏识他的老师，他落榜的痛苦被暂时压了下去。１８２９年３月，伽罗瓦发表了关于连分数的第一篇论文。他一直认为这是他最重要的工作。伽罗瓦把这些新发现投到了法国科学院。柯西答应给他发表，但是柯西却忘记了自己的诺言，更糟的是柯西把伽罗瓦的手稿给弄丢了。

    伽罗瓦的第二次巴黎工学院入学考试的失败成了一个数学逸事：他习惯于用脑而不是用笔来处理复杂的概念，再加上主考官的吹毛求疵，伽罗瓦被激怒了，当发现他的面试很糟时，他把黑板擦扔到了一位主考官的脸上。一个牧师的阴谋诽谤，促使伽罗瓦的父亲自杀，而且在他父亲的葬礼上还发生了一场骚乱。在他父亲死后不久的１８３０年２月，伽罗瓦又写了三篇论文，并投给法国科学院的数学大奖赛进行评选。作为此次大奖赛评委的傅里叶在没有读到这些文稿时就去世了，而从此以后这三篇文稿就再也没有找到。这一系列令人失望的事情无论对谁都是一场考验。这也使伽罗瓦对科学院的体制感到反感。在这一体制下，他没有得到应该得到的一切。他轻率地投身到了政治运动中，成为一名坚定的共和党人。这在１８３０年的法国不是一个聪明的选择。作为最后的一次努力，他将一份研究报告寄给了泊松，而泊松的回应是，这些结果需要进一步的证明。

    这是他最后的一线希望。１８３１年，伽罗瓦两次被捕：一次是涉嫌煽动暗杀国王路易菲利普；另一次是由于当权者害怕共和党人造反，他被安上非法穿着他曾加入的当时已解体的炮兵军营的制服这一捏造的罪名，他被判处入狱６个月。在假释期间，一件风流韵事同其他事情一样使他对世人感到厌恶。在给他的亲密朋友夏瓦立叶的一封信中，伽罗瓦述说了对生命希望的破灭。１８３２年５月２９日，他接受了一场决斗，这场决斗的原因至今不明。他在一封给所有共和党人的信中这样写道：“我死于一个声名狼藉、无耻的卖弄风情的女人之手，在一次悲惨的决斗中，我的生命消失了。”伽罗瓦最著名的著作是在决斗的前一夜完成的。在手稿的页边的空白处，他写到“我没有时间了，我没有时间了”。他必须把与理解主要结果无关紧要的一些中间过程留给其他人来完成。他需要写下他所发现的要点。这篇论文中的第一个主要结果就是伽罗瓦理论。文章最后是给夏瓦立叶的遗嘱，他恳求夏瓦立叶去“公开质问雅可比和高斯，要求他们给出评价，不是问他们结果是否真实，而是如何评价这些定理的重要性”。那一天的清晨，伽罗瓦与他的敌手相会，两人相隔２５步远，伽罗瓦在决斗中受了枪伤，第二天早晨死于医院，年仅２１岁。

    伽罗瓦的研究基于拉格朗日和柯西的以往研究，但他对关于五次方程的问题做出了突破性的工作，找到了更一般的方法。他并没有抓住原来的五次方程及它的图形解释不放，而是着眼于五次根自身的特性。为了简化起见，伽罗瓦研究了没有实根的所谓的不可约方程（因为如果五次方程有实根，则五次方程就可以分解成四次方程，因此存在代数解法）。一般的，实系数不可约多项式是不能分解成更简单的实系数多项式乘积的多项式。例如，（ｘ５－１）可以因式分解成（ｘ－１）（ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１），而（ｘ５－２）则是不可约的。对于任意给定次数的实系数且无实数解的多项式不可约代数方程，伽罗瓦的方法，是建立能够利用开方根来对方程求解的条件。

    这一方法的关键是发现任意不可约代数方程的根不是独立的，而是能用另一个根来表示的。这些关系可以对根的所有可能的置换构成的群，这就是对根的对称群加以形式化而得到。对于五次方程，这样的群含有５！＝５×４×３×２×１＝１２０个元素。伽罗瓦理论的数学工具非常复杂，这也可能是他的理论没能很快被接受的原因之一。但是，从代数方程的解到它们的相应的代数结构的这一抽象性的提高，使伽罗瓦能够从相关的群的性质来判断方程是否可解。不仅如此，伽罗瓦理论还为我们提供了寻找方程解的方法。关于五次方程，刘维尔于１８４６年在他的《纯粹与应用数学杂志》上发表了伽罗瓦的许多研究成果并注释道：“伽罗瓦已经证明了的这一‘美妙的定理’：一个素数次的不可约方程用根式可解，当且仅当它的任意根是任何其中两根的有理函数。”由于不可约五次方程不存在这样的关系，因此五次方程不能用根式求解。

    在这三年期间，数学界失去了两颗最璀璨的新星。阿贝尔和伽罗瓦都是在死后才得到了他们应有的重视。１８２９年，雅可比从勒让德那里得知阿贝尔的“丢失了的”手稿的事，１８３０年挪威驻巴黎领事要求寻找阿贝尔的论文，引发了一场外交风暴。柯西最终找到了阿贝尔的研究报告，但是又被法国科学院的编辑给弄丢了！同年，阿贝尔同雅可比一起获得了数学大奖，不过这时阿贝尔已经死了。阿贝尔的研究报告最终于１８４１年出版。１８４６年刘维尔编辑发行了伽罗瓦的一些手稿。刘维尔悲叹道：法国科学院由于伽罗瓦的文章的含糊不清而拒绝接受。然而“当一个试图把读者从一条他人走过的路带向一个新的领域时，的确需要清晰的描述”。刘维尔接着写道，“伽罗瓦已经不存在了，我们不要再纠缠于无用的相互责难之中，让我们忘记过失，关注我们所取得的成绩。”伽罗瓦在其短暂的一生中的成果总计不到６０页。论战仍没有结束，为报考巴黎高等师范学校和巴黎工学院的考生而刊发的数学杂志的编辑，对伽罗瓦事件作出了以下的评述：“一个才智过人的考生由于弱智的主考官而落榜，因为他们不理解我，我是一个野蛮人。”

    优美的代数语言

    我们已经看到了代数是怎样从几何空间的束缚中解放出来的。我们还看到了，从笛卡儿起，ｘ与ｙ这样的代数符号是怎样表示任意数值以及如何按与算术的法则相容的方式组合起来的。本章回顾代数学在欧洲的发展历程。最初由英国采纳，然而再把形成的方法在欧洲大陆推广。随着代数学不同通用语言的传播，使数学到底是什么这一根本问题，再次成为讨论的焦点。

    对任意数ｘ，ｙ和ｚ算术运算的主要代数法则

    ｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘ加法满足交换律：两数之和与加数的顺序无关ｘ·ｙ＝ｙ·ｘ乘法满足交换律ｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘ加法满足交换律：两数之和与加数的顺序无关ｘ＋０＝ｘ加法含有单位元“０”，它使所有的数不变ｘ·１＝ｘ乘法含有单位元“１”，它使所有的数不变ｘ·（ｙ＋ｚ）＝ｘ·ｙ＋ｘ·ｚ乘法与加法相结合英国的数学分析滞后于欧洲的其他国家。大部分原因是由于英国人忠于牛顿的流数术的符号体系，而这一符号体系比不上莱布尼兹的符号体系：ｄｙ／ｄｘ。英国人对分析学的重新定位虽然在初期受到抵制，但给英国的数学带来了深远的影响。１８１７年，乔治·皮科克（ＧｅｏｒｇｅＰｅａｃｏｃｋ，１７９１—１８５８）在剑桥大学担任荣誉学位考试官时，最终使用微分符号代替了流数术的符号。查尔斯·巴贝奇说，１８１３年创建的分析学会的目标，是促进“使用微分符号取代流数术符号”，另一目标是“使世界更合理”。皮科克在他的《代数论》中表明要把代数组建成“一种可论证的科学”。这项工作的第一步是把算术代数和符号代数分开：算术代数是由数和运算符组成的，而符号代数是“关于符号与运算符的组合的科学。这样的组合仅依赖于某些特定规则，与符号本身的特定值无关”。这看起来模糊的陈述却打开了对代数学广泛研究的大门。

    凭着坚定的决心和聪明才智，一个完全不知名的乡村中学教师乔治·布尔（ＧｅｏｒｇｅＢｏｏｌｅ，１８１５—１８６４）开始着手写他的第一篇关于数理逻辑的论文。后来布尔成了德·摩尔根的朋友。德·摩尔根在有关逻辑的争论中得到了苏格兰哲学家威廉·汉弥尔顿的支持。这里的汉弥尔顿与爱尔兰的威廉·罗文·汉弥尔顿不是同一人。这场辩论现在来说并不重要，但它却激励了通过自学成为数学家和语言学家的布尔于１８４７年发表了一篇题为《逻辑的数学分析》的短篇论文。就在同一年，德·摩尔根自己的《形式逻辑》也出版了。两年后，很可能是由于德·摩尔根的支持，布尔被任命担任在爱尔兰的科克新成立的女王学院的数学教授。布尔坚定地认为逻辑应被看成是数学的一个分支而不是形而上学的一部分，而且他还认为逻辑的规则不是来源于一般的语言，而是以纯形式元素构造出来的。只有当逻辑结构形成以后，才有可能用语言来解释。他否认数学只是研究数和量的科学这一观点，而这一观点可以追溯到希腊。但他却支持任何相容的符号逻辑体系都是数学的一部分的观点。这使得我们第一次清楚地认识到：数学不再是单纯地研究数和量的科学，而且还是研究结构的科学。１８５４年，布尔在他出版的《思维规律的研究》中阐述了上述观点，并建立了形式逻辑和一种新的代数，这种代数我们今天称之为布尔代数。布尔代数实质上是事物一些类的代数。变量ｘ不再表示数，而是表示从一个给定域中选取一个类的智力行为。例如，ｘ可以是“人”的域中“男人”的类。除了附加公理ｘ２＝ｘ之外，符号所遵循的规则与算术代数相同。在算术代数中只有０，１满足上述等式。而在布尔代数中，ｘ２＝ｘ总是永真的。例如取“人的集合”两次，仍是人的集合。布尔同时也认为１和０有特殊意义：１代表全域，而０代表“空集”。

    德·摩尔根（ＡｕｇｔａｓｔｕｓＤｅＭｏｒｇａｎ，１８０６—１８７１）是新代数的坚定支持者。他出生于印度，就学于剑桥大学三一学院。但是他不被认为是牛津或剑桥学派的一员，原因是尽管他是英格兰教的成员，但是他拒绝参加为获得硕士学位而需的神学考试。然而，在他２２岁那年，他被任命为新成立的长期以来一直被称为伦敦大学而后来改称为伦敦学院的教授。他极大地推进了皮科克的思想。早在１８３０年，他就曾叙述道：“除了一个例外以外，本章的所有算术或代数的陈述及符号均无具体的意义。符号代数是由符号及符号组合的规则决定的、许多具有不同意义的代数的语法规则。”这里的例外是等号：ｘ＝ｙ表示ｘ和ｙ必须具有相同意义。这一陈述记载于名为《双重代数与三角学》（１８３０年）一书中。这里“双重代数”指的是复数的二元性，以区别于关于实数的“单重代数”。可是，德·摩尔根似乎没有完全抓住机会推广自己的意见。他虽然看到了单重代数和双重代数具有相似性，但他仍然相信不可能存在三重代数和四重代数。后来证明他的这一想法是错误的。

    尽管双亲早逝，但汉弥尔顿的才能很早就显现了出来。作为一个天才的语言学家，他５岁就能读希腊文、希伯来文和拉丁文。他进入了都柏林三一学院学习。２２岁当他还在读大学时，汉弥尔顿就已经获得了爱尔兰皇家天文学家、邓辛克天文台台长和天文学教授的称号。他的一个非常喜爱的研究课题，是空间和时间不可分的相关性，因为几何学是空间的科学，代数学是时间的科学。１８３３年，汉弥尔顿在爱尔兰皇家学会的讲演中，对复数ａ＋ｉｂ作为（ａ，ｂ）这样的有序数偶，并给出了ａ＋ｉｂ的相加和相乘的几何解释。

    （ａ，ｂ）＋（ｃ，ｄ）＝（ａ＋ｃ，ｂ＋ｄ）（ａ，ｂ）·（ｃ，ｄ）＝（ａｃ－ｂｄ，ａｄ＋ｂｃ）后来，他试图把二维复数扩展到三维。在曲面上看起来很简单，定义三维复数ｚ＝ａ＋ｉｂ＋ｊｃ，而ｚ的模为ａ２＋ｂ２＋ｃ２。定义加法运算非常简单，但乘法运算无法进行，因为：乘法运算不能交换。为了三维数和高维数，耗费了汉弥尔顿１０年的时光。

    １８４３年１０月１６日，当他同妻子沿着皇宫边的护城河散步时，突然有了灵感：把二维复数扩展到四元数而不是三元数，并且放弃乘法交换律。这样，四元数被表示成Ｚ＝ａ＋ｉｂ＋ｊｃ＋ｋｄ，其中ｉ２＝ｊ２＝ｋ２＝ｉｊｋ＝－１。这意味着ｉｊ＝ｋ而ｊｉ＝－ｋ，所以不满足交换律，而且整个结构是相容的。这样，一种新的代数产生了。汉弥尔顿停下脚步并把这一公式用小刀刻在了布劳顿桥的石柱上。当天，他通知爱尔兰皇家学会，说他要在下一次会议上宣读一篇关于四元数的文章，他把这一四维数组叫做四元数。

    这一重要的发现不仅产生了新代数，而且使得数学能够自由地构造出新的代数体系。这也是他第一次表述了现在我们所知道的非交换代数的理论。非交换意味着：在三维空间中，两个相继的旋转按照旋转的次序的不同可以得到不同的结果。这与二维空间不同。汉弥尔顿的一生都用于研究这一新代数，并于１８５３年发表了《四元数讲义》。他的主要工作是把四元数用于几何学、微分几何学及物理学。我们在下一章将会看到麦克斯韦用四元数的记号给出了电磁学的方程。汉弥尔顿确信四元数是完整描述宇宙规则的关键。他死于１８６５年，生前未完成《四元数基础》。这部书后来由他的儿子编辑出版。

    这一时期，不仅代数学脱离了几何学的束缚，而且几何学也从空间的概念中解放出来。在第１６章，代数学和几何学都逐渐被作为纯抽象的结构来研究。我们熟悉的算术代数及二维和三维几何都是它们的特殊情况。

    在新代数领域中，我们看到了美国数学正慢慢崛起。哈佛大学数学教授和《测地学观察》主编本杰明·皮尔斯（ＢｅｎｊａｍｉｎＰｅｉｒｃｅ，１８０９—１８９０）受到了汉弥尔顿研究的影响，并将汉弥尔顿的研究传播到了美国。皮尔斯构造了１６２种不同代数的表。每种代数从２个到６个元素开始，将它们用加法运算和乘法运算结合起来，并满足乘法对加法的分配律。每个代数体系都有加法单位元“０”，但不一定含有乘法单位元“１”。这些线性结合代数被表示成矩阵。在１９世纪７０年代，作为哈佛大学教授的皮尔斯，也只能借助女士抄写用石版印刷来出版他的著作。由此可以想象当时美国的经济状况是多么糟糕，正因如此，皮尔斯的著作只印刷了１００份。皮尔斯的儿子查尔斯·桑德斯·皮尔斯（ＣｈａｒｌｅｓＳａｎｄｅｒｓＰｅｉｒｃｅ，１８３９—１９１４）继承了父亲的工作，证明了１６２个代数体系中只有３个体系可以唯一定义除法运算：它们是算术代数、复数代数和四元数代数。再回过头来看英国，威廉·金顿·克利福德（ＷｉｌｌｉａｍＫｉｎｇｄｏｎＣｌｉｆｆｏｒｄ，１８４５—１８７９）创建了现在我们所知道的克利福德代数，特别是研究了主要用于描述非欧空间运动的八元数和十元数。代数发展到这一步已经走了很长的一段路程。

    此后，数学将朝沿着交织在一起的不同的方向发展。布尔的追随者将数学应用于逻辑，产生了代数逻辑。皮亚诺以及后来的罗素试图从逻辑中得到数学：一个可以称为逻辑主义的宏伟计划。另一些人鉴于出现了如此多的新数学结构，开始寻找数学的可靠基础以巩固数学体系。

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