便条密码助出逃

    那是１９４０年春天，美国太平洋舰队从加利福尼亚海岸的基地转移到珍珠港，以达到威胁日本，保住西方在亚洲的殖民地的目的。但野心更大的日本殖民主义者并没有因美国的威胁而退却。１９４１年１２月７日拂晓，当太平洋舰队的８艘战列舰和众多的巡洋舰、驱逐舰、潜艇和辅助舰以及岸基飞机还在沉睡中时，日本偷袭了珍珠港。美国２０００余名士兵、１８８架飞机和包括两艘战列舰在内的众战舰的毁灭引爆了太平洋战争。在美特混支援舰队由于加油而错过了迎击日军的时机后，日军像饿狼一样，扑入羊群，一路攻杀。日军攻进新加坡以后，有位高姓浙江人来不及逃出，只好到处躲藏。听说平时所认识的一些熟人纷纷被捕，他急得像热锅上的蚂蚁一样，度日如年。

    一天，高姓商人来到街上观察形势，寻找逃脱的机会，见日本人控制得非常严密，他们不仅加紧检查邮电，就连电线杆上的一些招贴都不轻易放过。新加坡本是一个南天重镇，国际商港，日本人又是初来此地，人地生疏，局势吃紧就不足奇怪。见此情景，高姓商人不禁心灰意冷，折头回返。正当他准备进入家门时，突听有人喊自己的名字，他不禁一惊，折身向另外一个方向快步走去。走着走着一抬头，只见前面站着一个日本人正冲着自己微笑，没等姓高的回过神来，那人上前一把抓住他，拉着就走，他两眼一闭，心想：完了，必死无疑。

    也不知道过了多久，高某感觉没有动静了，一睁眼，仔细一瞧不禁高兴得跳了起来，原来此人乃高某的莫逆之交徐某。徐是个日本留学生，现正在傀儡机构里做事。此人博览群书足智多谋，人称“小诸葛”。

    徐某是个爱国青年，经常利用工作之便寻找机会，拯救一些抗日救国的华裔与外籍人士。当下便许诺帮老高脱离虎口。

    经过几次见面，徐某与老高商定躲在货船或乘坐小渔舟渡海脱逃。为了安全起见，徐某与老高精心设计了一种局外人不得而知的通信“密码”。

    一天凌晨，老高收到了一张条子，上面写着：“南无多宝如来南无宝胜如来南无妙色身如来南无广博身如来南无离怖畏如来南无甘露王如来南无阿弥陀如来南无瞿留孙佛南无拘那含牟尼佛南无迦叶佛南无本师释迦牟尼佛无阿弥陀佛无阿弥佛佛弥佛无阿弥陀佛陀佛南弥佛阿佛佛陀佛南阿佛佛南陀佛南无弥佛阿弥陀佛无阿弥陀佛南无陀佛南无阿弥陀佛南阿佛无阿弥陀佛佛南弥陀佛南阿陀佛无阿弥陀佛陀佛南阿佛南弥佛陀佛南无陀佛”。

    老高一见如获至宝。匆匆忙忙地拿起一张废纸，在上面比画了一下，便懂得了这张纸条的真正含义，然后按照徐某发来的紧急指令，于９点３０分到达海边，果然在那里发现了一只停泊的小船，就毫不迟疑地上了船，经苏门答腊辗转回到中国大陆，逃脱了日军的魔爪。

    据说日军也曾看到过这张小条子的，起先他们也有点疑心，但在经过反复研究之后，认为那只不过是佛教徒使用的一些劝人为善的咒语而已！

    其实，这是一种经过精心设计的密码系统。下面，我们就来讲一讲它的读法。首先，纸条上最上面两段是过去七佛的名号与贤劫四佛的法号，他们与佛教大乘经典里而所记载的完全相同，用意完全是为迷惑敌人，这真是设计者高明的地方。真正重要的信息是从“本师释迦牟尼佛”后面才开始的。第一个重大问题是：没有任何标点符号，怎样把它读断？如果读不断的话，那就根本谈不上破译了。按照徐某的事先指示，老高知道，每遇到一个“佛”字，就表明是一个“休止符”。于是，上面这段重要信息，经过这样的“分解”处理之后，就成为：

    “无阿弥陀佛、无阿弥佛、佛、弥佛、无阿弥陀佛、陀佛、南弥佛、阿佛、佛、陀佛、南阿佛、佛、南陀佛、南无弥佛、阿弥陀佛、无阿弥陀佛、南无陀佛、南无阿弥陀佛、南阿佛、无阿弥陀佛、佛、南弥陀佛、南阿陀佛、无阿弥陀佛、陀佛、南阿佛、南弥佛、陀佛、南无陀佛”。

    下面一个决定性步骤是，把“南无阿弥陀佛”与数学上的二进位记数制建立起一种“一一对应”关系。讲得通俗一点，请你准备一些小纸头，按照上面的次序，自左至右地写着“南无阿弥陀佛”。现在，凡是徐某那张纸条上有的东西，你就在相应的地方，下面打上一个“×”的记号，没有的就不打“×”。接着，把打“×”的地方看做是“１”，不打“×”的地方看做是“０”。例如：（南）无阿弥陀佛就相当于二进位记数制中的０１１１１１，也就是普通十进位里的３１。

    按此办法，继续做下去，就不难得出以下的字母对照表，亦即破译时所应遵循的工作清单：

    真实字符十进制代码二进制代码密码本文单词空白１０００００１佛句子空白６３１１１１１１南无阿弥陀佛ａ３００００１１陀佛ｂ５０００１０１弥佛ｄ９００１００１阿佛ｍ２７０１１０１１无阿陀佛ｎ２９０１１１０１无阿弥佛字母ｏ与数字０３１０１１１１１无阿弥陀佛ｒ３７１００１０１南弥佛

    ｓ３９１００１１１南弥陀佛

    ｔ４１１０１００１南阿佛

    ｕ４３１０１０１１南阿陀佛

    ３１５００１１１１阿弥陀佛

    ９３５１０００１１南陀佛

    。（句点）５１１１００１１南无陀佛

    ：（冒号）５３１１０１０１南无弥佛

    这里应当说明一下，为什么密码要用英文来编制呢？因为当时还没有拼音字母，若使用汉字，单是《康熙字典》里就有４万多个，即使常用的汉字，也有七八千个之多。这就给编码、译码带来极大的困难。此外，还有更深一层的意思，从“南无阿弥陀佛”到英文字母ａ、ｂ、ｃ、ｄ……其间相差十万八千里，有谁会猜到其中的奥妙？

    经过一番破译，真正的信息就暴露出来了：

    “ＯＮＢＯＲＡＤＡＴ９：３０

    ＴＯＳＵＭＡＴＲＡ”

    老高一看，马上懂得它的中文意思是：

    “９点３０分准时上船逃往苏门答腊”。

    他当即依计行事，转移到安全地带，继续与日军作殊死的斗争去了。

    密码的“加与减”

    山本之死给日本海军带来了巨大的震动，特别是他的属下，均沉浸在极度的悲痛之中。联合舰队司令部和驻守拉巴尔的东南方面舰队的指挥官们，从极度的悲痛中刚刚恢复镇静，便首先怀疑到：山本之死是不是因为密码电报被破译而造成的呢？

    在战争中，人们往往用密码来传递情报和信息。为了使密码不易被别人识破，有时情报员都相应地加上（或减去）同一个正整数，并且在密码的结尾写上处理的方法（或用其他方法）通知密码的接收者。接收者在收到密码后先将它还原，然后再译。

    在破译别国的密码方面，美国有着悠久的历史，从陆军设立“黑室”时候就已经开始了，积累了相当丰富的经验。但是，日本这时所使用的密码，也不像当初召开华盛顿裁军会议那时那样简单了。这时所使用的是有复杂乱数表和保密可靠程度很高的机械密码。尽管这样，在日美两国间关系越来越恶化的当时，外务省还是担心，怕同驻外日本使馆联系所使用的密码被他国破译。因此，外务省决定，让驻主要国家的日本使馆使用海军研制的叫做“九七式电报印字机”的新型密码机。

    这种密码，比过去使用的机械密码、海军的“吕密码”和“波密码”等保密程度更高。因此，海军采用的是被称作“海军Ｊ密码”的“九七式日文印字机”，而外务省所采用的是“九七式欧文印字机”。前者用日文片假名密码，而后者用罗马字密码。

    在以罗马字字母表为序排列而成的分上下两册的密码书中，假如“日本”这个词，被编成“ＫＸＬＬ”这样的密码文字，将它输入印字机中，由于印字机中电子元件排列方式不断变化，虽然每次会排列出新的各不相同的罗马字字组来（即所谓二次密码化）。这种印字机的体积，约有旧式安德日德牌印字机两个大那么。如果有人打开印字机盖偷看的话，里面的电子元件就会自动弹射出来的。

    要发的电文中，如果需要五次出“日本”这个词的话，那么，与“日本”这个词相对应的密码文字“ＫＸＬＬ”，不经印字机重新编排，自然就要重复出现五次，这在密码文字中就叫“重复”。在一份密码电子中，某个相同的密码重复出现五次的话，就有被破译的可能。而在“九七式电报印字机”中，经二次密码化了的电文，“重复”出现相同密码的概率仅为两亿分之一。

    这种印字机，与当今世界上先进的计算机当然是无法相比的。但是，就当时的破译技术水平来说，日本的专家们认为，是不可能被破译的。然而，令人难以置信的是，美国的密译机构却把它破译了。

    那么，究竟是怎样被破译的呢？直到战后的很长一段时间内，并没有人知其详情。据风闻：当时美国动员了数百名密码破译专家，而且使用了那时最先进的电子管式电子计算机，负责破译的领导人，由于费神过度，在破译完之后，竟得了严重的神经衰弱症，卧榻不起，后来还获得了十万美元的赏金。直到１９６７年，美国人出版了《密码破译专家》，才大体上解开了人们疑惑多年之谜。

    据该书所载，破译日本“九七式欧文印字机”外交密码的那个最主要的人叫威廉·弗利德曼，为此，他曾荣立了一等功。

    美国陆军设立的“黑室”，１９２１年在当时国务卿史汀生“君子不偷读他人之书信”的建议下，曾一度被解散，但不久后，又以ＳＩＳ———密码情报机关———的名义再度恢复。弗利德曼参与了该机构的恢复工作，成为第二个哈巴德·雅德里。

    美国把日本外务省所使用的“九七式欧文印字机”的密码称为“紫色密码”。在破译该密码的过程中，运用了高深的现代数学，并采用了各种有效的破译手段。据说，他们经约一年半“呕心沥血”的奋斗，最后，终于在１９４０年８月，在只用铅笔和纸的情况下，以推理和想象的方法，成功地制成了“九七式欧文印字机”的仿制品一号。使用紫色密码的“九七式欧文印字机”

    的仿制品第一号出现一年后，也就是爆发战争的那年夏天，美国用这种密码机，几乎破译了日本重要的外交密码电报。

    但更多的是通过破译对方的无线电通信或密码电报来获取信息的。１９６７年６月５日，以色列对阿联发动了突然袭击，并取得了胜利。以色列军队之所以能以劣势打败处于优势的阿联军队，重要的原因，就是掌握和利用了阿军的重要情报。以色列利用阿军通信密码，指挥孔蒂拉的阿拉重炮部队向自己的军队开炮，向援送弹药和汽油的车队发送假命令，使车队误入阿自己的地雷区。由于命令来自四面八方，使阿方无法判断哪个是正确的，哪个是错误的，只好按兵不动，被动挨打，最后以失败告终。这就是有名的第三次中东战争。

    在这次战争结束后的６年多时间里，阿拉伯为收复失地，一洗当年耻辱，秘密地进行全面的战争准备。从１９７０年开始，他们对西奈半岛以军“防御体系”进行全面侦察；截听以军的无线电通信，破译其密码电报，获取了大量情报。经过长期而周密的准备，埃、叙军队于１９７３年１０月６日，乘犹太人过“赎罪节”

    的时机，在西、北两线同时向以色列军队发动进攻。１０月７日，当“巴列夫防线”被埃军突破，以军第一线部队的反击作战连遭挫折之后，以军统帅部便给１９０装甲旅旅长亚古里拍发了一份十万火急的密码电报。埃军截获并破译了这份密码电报，电报的内容是让亚古里率领装甲旅迅速赶到菲尔丹，向运行军第二军团反击，阻止运行军攻势。埃军总参谋部得到情报后，由于担心重蹈上次战争惨败的覆辙，不敢贸然下决心。第二天，埃军又接连破译了以军几份密码电报，证明了１９０旅的动向确凿无疑，埃军最高指挥部终于做出中途伏击敌军的决定。下午，当１９０旅的１２０辆美制Ｍ－６０坦克全部进入埃军的伏击圈时，埃军步兵、炮兵、装甲兵紧密配合，向敌人发起猛烈攻击，只用了十几分钟，以军的坦克就全部被击毁或缴获，旅长亚古里还来不及指挥部队突围，就乖乖地当了埃军的俘虏。

    并不是所有的密码都是能够破译的，如历史上就曾有过历经三个世纪才破译的密码。

    那是１５９８年，法国亨利四世同西班牙签订了和约。这对英国的政策是一个严重打击。英国和荷兰的间谍试图刺探在威尔文签订的和约的条款，但却徒劳无功，因为这些条款是极端保密的。然而，威尼斯大使康塔里尼却取得了较大收获。他收买了一家小酒店的老板，引诱携带和约原件的西班牙信使在这家小店过夜。西班牙信使当夜被一种药酒醉倒，和约原文被复制下来。窃取文件的手法并不简便。文件须得从焊好封口的一个金属圆筒里拿出来。金属焊接处烙有印章，不弄坏这个印章就取不出来。另外，圆筒是装在一只密封的袋子里，袋底上装有一根链条，信使把这根链条盘在自己身上。总之，花了许多工夫才取出文件，复制成功，又将原件按原来的样子封好，假印章做得非常逼真，信使到达马德里，没有人发现破绽。康塔里尼满怀喜悦地把和约的复制本送往威尼斯。在玛利·都铎执政年代，威尼斯驻英大使米凯尔所用的密码，经过三个世纪以后，即到１８６８年才破译。

    那么，普通密码究竟是如何破译的呢？为了这个问题，我们可假设有一种，可以把数字译成英语的密码。

    例如，以１～２６这２６个数目字顺次代表Ａ～Ｚ的２６个字母，用这２６个数目字组成密码来传递信息。例如：

    ９，１４，２０，５，１８，５，１９，２０，９，１４，７，１３，１，２０，８，５，１３，１，２０，９，３，１９就表示ＩＮＴＥＲＥＳＴＩＮＧＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ译成中文就是：有趣的数学。

    然而，为了使密码不易被别人识破，有时情报员都相应地加上（或减去）同一个正整数，并且在密码的结尾写上处理的方法（或用其他方法），通知密码的接收者。接收者在收到密码后先将它还原，然后再译。例如前面的密码可以改写成：

    １９，２４，４，１５，２，１５，３，１９，２４，１７，２３，１１，４，１８，１５，２３，１１，４，１９，１３，３Ｎ＋１０密码的最后“Ｎ＋１０”表示原来的数字每个都相应地加上了１０。密码的接收者在接到密码时应该先将每个数都相应地减去１０以后再译。这里特别要指出的是，在处理密码时，如果原来的数加上１０以后大于２６，要将加得的结果减２６。如上面密码里原来的数２０加上１０后为３０，但写在密码里应是２０＋１０－２６＝４；而在译密码时，４－１０＝６是一个负数，当所得差为一个负数时则要将这个负数再加上２６进行还原：４－１０＋２６＝２０。

    这样发出的密码，有时还比较容易破译。有没有更安全的办法，使发出的密码更不容易破译呢？

    比如，把第１，３，５，７……个数字加上１０，把第２，４，６，８……个数字减去５。要破译这个密码，概率已是很小了。密码的接收者收到密码时，把５，……个数字相应地减去１０，把第２，４，６，８……个数字加上５，即可还原。

    一天，某军事组织收到了三个情报组发来的密电，电文如下。你能把这三个组密码译出来吗？

    （１）２，１６，１３，２，２６，９，１７，２２，１７，１，２０，１３，９，４，１７，２２，１５，１４，２３，２６，１，１６，９，２２，１５，１６，９，１７，２，２３，２１，２３，２６，２６，２３，５Ｎ＋８（２）７，２１，７，１７，６，７，１，１３，１９，１０，２，１８，２５，９，３，２５，１８，１６，７，１４，１８，１３，１８，６，３，１１，１３，１２Ｎ－２注：Ｎ＋７，指第１、３、…１５个数字由原数７所得，Ｓ－４指第２、４、６…个数字由原数减去４所得。

    答案是：

    （１）ＴｈｅｔｒａｉｎｉｓｌｅａｖｉｎｇｆｏｒＳｈａｎｇｈａｉｔｏｍｏｒｒｏｗ（这列火车明天将开往上海。）（２）ＩｗｉｓｈＩｃｏｕｌｄｔａｋｅａｔｒｉｐｔｏｔｈｅｍｏｏｎ（我希望我能到月亮去作一次旅行。）（３）Ｗｅｓｈａｌｌｃｏｍｅａｔｓｉｘ（我们将于六点钟来。）数学模型你一定不会对模型这个词陌生吧！比如我们在博物馆会看到飞机模型、轮船模型、汽车模型。模型其实是对客观事物的一种模拟，把真实的东西按一定的比例仿制出来，使人们能清楚地了解事物的全貌。除了机械模型以外，还有生物模型、地质模型等等，可以说生活中存在的事物都可以做成模型。

    上面我们提到的都是客观实物的模型，那么数学模型是怎么回事呢？数学模型是指用数学的方法来构筑的模型，也就是说把复杂的实际问题用数学的式子表示出来，从而模拟问题的发展变化。

    模型是对实际事物的一种简化，实物模型与数学模型都是如此。如果不作简化而想把现实的问题用数学式子表达清楚，几乎是不可能的。例如在物理学上讲火车的运动过程，认为火车是匀速行驶的，即它的速度保持不变，从而计算路程与时间的关系。但实际上火车不可能始终匀速前进，火车的起动、进站都要有速度上的变化。在认为火车是匀速前进的前提下，我们得到了一个式子：路程（Ｓ）＝速度（Ｖ）×时间（Ｔ）。

    如果我们考虑了火车起动后速度是一点一点加上去的这一因素，而且认为这个加速度（ａ）是不变的，那么我们可以细化上１２面的数学公式，得到Ｓ＝ｖ０ｔ＋２ａｔ，其中ｖ０代表初速度，如果火车开始是停止的，认为ｖ０等于０，ｔ是时间，ａ是加速度。

    可见上面二个数学模型虽然都反映了火车行驶这一实际生活中的问题，却有较大的差别。第一个模型粗糙一些，第二个模型精致一些。这就是对实际问题简化程度不同的结果。

    那么是不是考虑得越细致，模型就越好呢？也不一定！虽然考虑得细致会更接近于实际情况，但是模型的复杂程度也会随之大大提高，给模型的使用带来很大困难，可能反而变得不适用了。所以一个好的数学模型，既要准确地反映实际情况，又不能太复杂。

    建立一个适当的数学模型会给我们的日常工作，生产等各方面带来极大的方便，而要建立一个好的数学模型，除了要具备扎实的数学基础外，还要对所研究的问题有比较深入的了解，是很不容易的。

    高效安排的运筹学

    春节包饺子是中国民间习俗。包饺子的程序很多：洗菜切菜拌馅（约２０分钟），和面醒面（即将面团盖上湿布放一会儿）（约２０分钟），包饺子（约３０分钟），烧开水（约１０分钟），煮饺子（约１０分钟）。如果按照上述顺序，共需９０分钟。有经验的人不这样干，他先和面，在醒面的同时去做馅（节约１０分钟），然后在包饺子的当中烧开水（节约１０分钟），这样只需７０分钟就可以吃到饺子了。将做一件事情的几个过程合理安排，求得最佳效果，叫“运筹”，出自成语“运筹帷幄”，源于古代作战时策划战略，部署兵力。

    朴素的运筹思想可以追溯到古代，中国古代齐王与田忌赛马的故事就体现了运筹思想。

    “运筹学”作为新兴的应用科学，最早出现于英国。１９３８年在抵抗德国飞机的轰炸中首次使用了雷达，但是雷达与防空战斗机之间并未形成有效的防空体系，于是英国空军邀请数学家帮忙，用数学方法研究雷达警报和控制系统、防空战斗机的配合布置，并对某些未来战斗结果进行预测，立刻大见成效。１９４２年，美国因为运输船频遭德国潜艇袭击，也请来了数学家，数学家根据潜艇都是单独行动的特点，建议扩大运输船编队、适当配备护航舰队。这一招果然见效，大大减少了运输船的损失。战后工业生产的综合化和专业化程度加强，在管理上提出许多深层问题，运筹学开始渗入工业部门，借助建立数学模型，寻求综合性最优化安排，为系统决策和定量分析提供数量根据，以达到最佳效果。计算机技术为运筹学创造了快速发展的条件，利用计算机进行模拟运行，是广泛采用的数字仿真技术。运筹学的产生和发展充分反映了现代科技发展中各学科交叉渗透和新学科不断出现的趋势。

    模糊数学

    人类认识事物，开始时总是模糊的，逐渐才达到清晰，比如对数量的认识，原始社会人类并不认识“数”，通过比较知道有多少之分。而多又有许多、很多、非常多等模糊不清的概念。后来有了数，才能清晰地区分数量，准确地进行计算。数学上一直追求“精确”，它的答案应该是“是”或者“不是”，二者只居其一。然而世界是复杂的，人们认识事物也不是任何事都需要准确无误，也不一定都能够准确无误；生活中经常有“很年轻”、“大部分”、“胖子”等等不能明确表示状态范围的模糊概念。有意思的是，这些模糊概念通常并不妨碍对某些事物的判断，多年不见的老朋友相遇时很快就能认出来，就是凭借一些模糊特征的帮助。可是要让一台计算机认识这个人，就要先输入许多条这个人面部特征的信息、数据。如果此人有一条信息（如胖瘦、皱纹）发生变化，计算机马上就翻脸不认人。再如每个人的声音都是不相同的，如果计算机只能准确地识别某一个人的声音，那么要实现普遍的人机直接对话，在实践上是不可能的。怎样才能把这些信息模糊化，使计算机根据不甚确切的信息就可以判断这个人是谁，或能够接受所有人的口语指令？模糊数学就是研究和处理模糊性现象的学科。

    模糊数学打破普通集合论中元素对集合的绝对隶属关系，在“此”与“彼”之间考虑中间状态，运用模糊逻辑和模糊控制将模糊概念以准确的形式表现出来。１９６５年美国加利福尼亚大学教授查德发表《模糊集合》，为模糊数学铺平了道路。在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于０和１之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。比如“老人”是个模糊概念，７０岁的肯定属于老人，它的从属程度是１，４０岁的人肯定不算老人，它的从属程度为０，按照查德给出的公式，５５岁属于“老”的程度为０５，即“半老”，６０岁属于“老”的程度０８。指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。当隶属于０和１之间值时，就是模糊集合。模糊数学的产生是科学技术与数学密切结合的必然结果。模糊数学的研究正在世界各国迅速发展，广泛应用于家用电器、高精度过程控制、宇航系统、机器人等人工智能控制领域。

    用模糊数学排除假警报的克星

    有意的假警报，在军事上有时是被作为一种谋略手段来战胜敌人，有时候也用它来提神静气，振奋精神。前者运用较为频繁，后者用的就不多了，美军在一次战斗中就曾使用过。那是１９４２年１０月２６日，美军特遣舰队与日军在圣克鲁斯打了一场大海战。在这次遭遇中，美军损失惨重，旗舰也受了重伤。美军士兵在这次海战中被日军打怕了，他们时刻担心日军飞机和潜艇会突然出现，战斗情绪十分低落。看着自己的这些惊魂未定的部下，舰队指挥官十分忧虑，决心尽快恢复士气。

    一天，天色昏暗，乌云滚滚。突然，舰上的警报全响了。舰队指挥官通报说，舰队右侧发现了敌人潜艇，要大家做好迎击的准备。士兵们慌作一团。正当官兵们十分恐惧地等待着敌人的攻击时，舰队的警报解除了。广播里宣告说这是一场误会，刚才发现的不是敌人潜艇，而是一只鼠海豚。听到这个消息，士兵们哄然大笑。通过这次玩笑，士兵们低落的士气一扫而光。

    幽默是一种力量。这个小小的玩笑，不仅松弛了大家的恐惧及紧张的心理，也使士兵们看到了自己与男子汉气概不相称的风声鹤唳、草木皆兵的情绪。

    无意的假警报后果往往不堪设想。１９８０年６月，美国高级军用电子计算机两次发出警报：苏联的洲际弹道导弹向美国飞来了。这个权威性的“发言”，谁也不敢等闲视之。于是，地面上一片惊慌，将近１５０架Ｂ－５２轰炸机的驾驶员，立即开动了引擎，等待信号起飞，眼看一场大打出手的场面就要来临。可是，信号始终没有发出。事后检查，是一个集成电路发生了故障，计算机计算错了，发出了假警报。

    电子计算机正在多方面代替人的繁重劳动。近年来，它的存储容量越来越大，计算速度越来越快，准确性越来越高，功能越来越完善，甚至已发展到能识别图像、分辨声音和嗅认气味。导弹和宇宙飞船的跟踪和控制，要是没有计算机帮忙，事情就很不好办。另外，它工作起来又是多么任劳任怨，埋头苦干。叫人最不放心的，是它的可靠性，万一某一个或者几个元件、电路发生故障，计算机就会“乱弹琴”，发出荒诞的结论或者古怪的信息。据报导，在比利时布鲁塞尔召开的一次世界博览会上，电子计算机承担了办理饭店座位分配的任务，因机器故障，竟使几万客人找不到位置吃饭，闹了一个大笑话。

    怎样进一步提高计算机的可靠性，当务之急是提高元件质量，使机器少出毛病。从长远来说，计算机应该“再学习”，向人脑学习。

    人的脑子有１００多亿个神经元，每年约有８００多万个神经元的功能失调，累计起来，一个活到８０岁的人，就有７亿个神经元不能工作，约占人脑总神经元的十分之一。可是，这并不影响人的正常思维。要是计算机的电子元件和电子线路，能像人脑的神经元和神经系统那样，即使一部分元件发生故障，也能保证计算机正常工作，可靠性就会大大提高，不致出现前面说的笑话了。

    你也许会说，那我们就按人脑结构设计计算机好了。谈何容易。别的不说，神经元互相之间是怎样联系的，现在还无法说清楚。人对自己脑子的结构还了解得很不够，又怎样能着手设计人脑式的计算机呢？

    在信息密度和存储容量方面，计算机也要向人脑学习。现在计算机存储装置的信息密度相当高。可是，人脑的信息密度和记忆容量，却比计算机高亿倍。

    再有，计算机的进一步微型化是有光明前途的。１９６４年，美国的第一台计算机是一个重３０吨、占地１７０平方米的庞然大物；现在采用固体线路，安装密度可达１０４元件／厘米３，真是进步很大。可是，人脑每立方厘米有１０７个神经元，是微型机的１０００倍。

    计算机用来作识别机的时候，往往一点不通人情。比如我们见到一个好久未见的熟人，他可能比以前胖些或者瘦些，不管怎样，我们仍旧能认识他。计算机可不是这样，它只能把这人现在的身长、体重、胖瘦等，与以前储存的资料作比较，稍有差别，就会作出“不认识”的判断。

    计算机有个力求精确的习惯，要使它模仿人脑的功能进行一些识别和分类，倒希望它有一定程度的模糊。这就用得上模糊数学了。

    模糊数学是１９６５年创立的。现已发展成模糊集合、模糊代数、模糊拓扑、模糊逻辑、模糊规划等学科。随着计算机的发展，应用也越来越广。模糊数学处理的是模糊的东西，可模糊数学本身并不模糊。

    我们接触和使用电子计算机的机会越来越多。大家都很关心的是：将来能设计出像人脑一样的电子计算机吗？不少科学家是抱乐观态度的。他们认为，可以设计出一种能用来设计的较复杂的计算机，而较复杂的计算机，又能设计出更复杂的计算机。这样下去，最后设计出像人脑那样的计算机是可能的。正因为这样，也有人担心头脑发达的机器人，将来会不会对它的主人采取不礼貌的行为。许多科学家是不相信这点的。

    对策论的运用———田忌赛马

    齐王与大将军田忌商议赛马。他们约定：双方各出上、中、下三种等级的马各１匹。每次举行三场比赛，输者每输一场就要付给对方１０００两黄金。由于齐王的马比田忌同等级的马匹都要稍胜一筹，而在每一比赛中，双方都用同等级的马参加对抗，结果齐王连胜３场，得到了３０００两黄金。

    没过多久，齐王又邀请田忌参加赛马。田忌感到左右为难，一方面齐王旨意不好违抗，另一方面再次参赛又必输无疑。田忌帐下的军师孙膑，是一位很有才华的军事家。他替田忌出了一个主意：用自己的下等马去和齐王的上等马比赛；用自己的上等马去和齐王的中等马比赛；用自己的中等马去和齐王的下等马比赛。比赛开始，齐王的第一匹马遥遥领先。齐王见对方的马匹竟如此不堪一击，高兴不已。不料好景不长，在第二、第三场比赛中，田忌的赛马都取得了胜利。齐王反而输给田忌１０００两黄金。

    可笑的是，齐王输了钱还弄不清自己是怎么输的呢。

    实际上，齐王出马的等级和顺序总共有六种：（上、中、下）（上、下、中）（中、上、下）（中、下、上）（下、中、上）（下、上、中）。田忌的对策也同样有这六种。这样，搭配起来共有３６种对抗格局。齐王赢３０００金的格局共有６种，赢１０００的格局有２４种，只有６种才会输１０００。从总数来看，齐王取胜的机会有６＋２４３０５６１３６＝３６＝６，输的机会只有３６＝６。

    那么，田忌是如何取胜的呢？原来孙膑摸清了齐王的对策，他认定齐王上一次赢了比赛之后，便不会轻易改变出马顺序，仍然按（上、中、下）的次序出马参赛。于是，孙膑就采取了相应的对策，根据田忌的马比齐王次一等级的马稍快一些的优势，放弃一场而抓住另两场的机会，取得了最后的胜利。孙膑的策略之所以能成功，就在于他正确估计了对方的策略。

    田忌赛马虽然是战国时期的历史故事，但它体现了新兴的数学分支———对策论的思想。

    计算机代码中的数学问题

    在数学历史中，存在着许多成对的分支。它们的相对重要性时而兴盛，时而衰退，例如像算术与几何学的关系或者纯数学与应用数学之间的关系。另外一对动态对立物可以在算法与分析数学中看到。后者所研究的是基础结构和“完美的定理”；与此相应，前者的目标是达到实际解所需要的过程。例如，我们已经看到在各种数制中求２的平方根这样的无理数的各种算法。研究哪一个过程更有效，换言之，用最少的步骤达到所需的精确度，是算法的一项主要研究项目。

    术语“算法”本来是指用阿拉伯数字进行计算，以区别在算盘上所进行的计算。由于算盘的使用在欧洲的衰退，同时随着计算量变得越来越大，对于机械计算器的需求也越来越强烈。１７世纪，帕斯卡、笛卡儿、莱布尼兹都梦想着可以对所有数学问题进行编码，而且可以机械地生成求解方法的通用语言。这些人本身也制造了各种机械的计算器。莱布尼兹设计的通用计算法已经超越了微积分的范畴，包括了可以判定伦理及法律问题的形式规则。任何有效的算法都可以通过使用计算器来增强计算能力。但是直到２０世纪，软件和硬件才结合到了一起。

    巴贝奇（ＣｈａｒｌｅｓＢａｂｂａｇｅ，１７９１—１８７１）于１８１９年设计了“差分机”，并于１８２２年制造出可动原型。他希望这台机器能够提高乘法速度和改进对数表等数字表的精确度。英国政府出资赞助制造一台全功能差分机，使之有能力计算出保险精算、行政管理及科学研究等所需的高精度的数据表。但是，到了１８３４年，巴贝奇的这项方案大大超出了预算，而且进程也落后于预期的日期。虽然巴贝奇的智能以及资金约定额没有问题，但是政府延缓了进一步的资助。从那时起，巴贝奇把注意力转移到了“分析机”的设计上来。实际上，这就是现代计算机的前身。其最主要的特征是把存储器和运算器分离开来：存储器在计算过程中存放数字，而运算器进行算术运算。通过在穿孔卡片上编码进行输入和输出操作，而控制器控制着程序。他也曾设想将结果直接输出到打印机上，这样分析机就能像蒸汽机那样自动运算了，但是分析机没有被实际制造出来。到了１８４２年，政府停止了对差分机的资助。巴贝奇对英国科学界的怀疑得到进一步的证实。在大学学习期间，巴贝奇和他人联合创建了分析协会，其主要目的是使剑桥的数学教学达到欧洲大陆的水平。１８３０年，他写了一篇抨击英国科学现状的文章，强烈指责了皇家科学院封闭的思想状况，这导致了不列颠科学促进协会的建立。不幸的是，巴贝奇计算机的高昂造价使他的计算机沉睡了将近１００年。

    正如巴贝奇所预见的那样，由于提高计算速度的需要，计算机迅速地发展了起来。１９４０年，在ＩＢＭ赞助下，哈佛大学研制成功了第一台自动计算器。第一台电子可编程的计算机“巨人”

    （Ｃｏｌｏｓｓｕｓ）于１９４３年研制成功。它是图灵和冯·诺依曼在英国外交部做密码破译工作时合作的结晶。然而，对未来的计算机体系结构产生影响的是同一时期在宾州大学研制的ＥＮＩＡＣ（ＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＮｕｍｅｒａｔｏｒＩｎｔｅｇｒａｔｏｒＡｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒ）。冯·诺依曼希望ＥＮＩＡＣ（最初是设计成用来计算弹道学的表格的机器）能够实现曼哈顿计划所要求的某些计算。但结果他却发现他自己是在设计一种新型计算机。这种新型存储程序计算机叫做ＥＤＶＡＣ（ＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＤｉｓｃｒｅｔｅＶａｒｉａｂｌｅＡｕｔｏｍａｔｉｃＣｏｍｐｕｔｅｒ）。这一新型计算机有５个主要的组成部分：输入、输出、控制单元、存储单元和运算单元。这种计算机之所以叫“存储程序计算机”，是因为程序同数据一起存储在机器中的，同时，控制单元执行指令序列。这一类型的计算机始建于１９４９年的英国，叫做ＥＤＳＡＣ（ＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＤｅｌａｙＳｔｏｒｅＡｕｔｏｍａｔｉｃＣａｌｃｕｌａｔｏｒ）。后来，美国和英国都生产了这样的计算机。到了２０世纪６０年代，存储程序计算机开始普及。半导体元件的发明取代了阴极射线管，使得计算机的速度和可靠性得到了提高。尽管这些设计与巴贝奇的设计相似，但是这些计算机的研究是在完全忽视了巴贝奇的早期工作的情况下完成的。

    正如我们所了解的那样，计算机的发明是在实际需要的背景下产生的，无论是在商业、行政部门、密码学还是在数学物理中的方程求解中都存在着这样的需求。存储程序计算机已将硬件和软件分开。为了执行适当的计算而做的编程和算法研究不是出于实际需要，而是出于逻辑学家们对形式体系的探索。

    普通算术就是形式体系的一个常见例子。它有一个明确的符号集合和为了对问题求解操作这些符号的过程。除了参照形式体系的法则外，这些符号本身没有意义。例如，如果要验证算式ＡＢｍＢＡｅＢＥＢ是可满足的，可以使用各种方法求得Ａ，Ｂ，Ｅ，ｍ和ｅ的具体实例。也许把ＡＢｍＢＡｅＢＥＢ看成乘法等式１２×２１＝２５２更简单明了（Ａ←１，Ｂ←２，ｍ←×，ｅ←＝，Ｅ←５），但是，ＡＢｍＢＡｅＢＥＢ表明具体符号并不重要，重要的是在给定公理体系下能够证明命题为真，在此例中就存在这样一个具体的算式。实际上，我们不仅可以用字母表示函数，甚至可以用数字来代表算子而不是表示具体的量。这是特定用途计算机到通用计算机的转换中的一个至关重要的因素。在现代计算机中，任何一个指令，例如在显示器上特定位置显示一个红点的命令，实质上就是一串数字。事实上，一个完整程序一旦被编码成二进制，那么本质上它就是一个（非常大的）数。由于计算机在速度和功能方面突飞猛进的发展，计算机这一单纯的编码方式往往被忽视。

    哥德尔（ＫｕｒｔＧｏｄｅｌ，１９０６—１９７８）于１９３１年发表的《〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题》中给出了为形式系统中的每个可表达的命题赋予一个唯一的数的方法。这样，每个命题真值得证明都可以表达为唯一的一串自然数。并扩展到已知一串这样的符号，就有可能决定它是否有意义。在这篇论文中，有两个经典结论。其中第一个是不完全性定理，即像整数算术一样的基本公理系统均含有在该系统下不可判定的命题。这与语言学中的两难问题“这个句子是错误的”有点类似。不可判定命题的存在，证明了按照罗素和怀特海的设想寻求数学公理化的想法是行不通的。同时，哥德尔也粉碎了希尔伯特的梦想：希尔伯特试图建立一个完备且自相容的算术系统，即一个不存在内部矛盾的算术系统。哥德尔的第二个结论是：如果一个系统是相容的，则在该系统的范畴内不能证明此系统的相容性。简而言之，算术是不完全的。这样的打击足以使数学家们放弃寻求一个普遍的数学，而致力于从不同公理形式如何产生不同系统的研究。寻求数学语言的目的是使我们能够回答疑问，因此在此之前，讨论着重于判断数学命题真伪的过程上。现在，数学家们更加关心的是可计算性而不是可判定性。数学家们从可判定性的研究步入了可计算性的研究领域。

    在把目光集中于算法的同时，函数概念的推广也受到关注。在最一般的意义下，函数ｆ是数学对象间的任意关联。一个函数可计算是指，存在一个对于ｆ定义域中的每个ｘ都能求出ｆ（ｘ）的算法。只有在１９世纪末，人们构造出病态函数时，才发现可能存在不可计算的函数。因此，研究转向了计算算法。判定一个给定算法是否是计算所需函数的算法相对来说比较容易的。但是，对于一个函数，当我们要证明不存在计算它的算法时，则需要精确定义什么是算法。在定义什么是算法时，哥德尔所给出的递归函数概念，起到了非常重要的作用。所谓递归函数，是指从若干个基本函数出发，按给定规则通过有限步操作而得到的函数。可判定性与此相似：对于命题ｙ＝ｆ（ｘ），当在一个形式体系下，存在这一命题真伪的证明时，它在这一形式体系下是可判定的。希尔伯特的第１０问题是关于丢番图方程求解算法的问题。正是受这一问题启发，人们开始了可计算性的研究。１９３６年，普林斯顿大学的丘奇和剑桥大学的图灵各自独立地发表了可计算性的概念，而图灵进一步指出两个概念本质上是等价的。图灵的算法定义基于计算的机器模型，丘奇立即把该模型命名为图灵机。他们的研究否定了万能算法的存在，即不存在判定所有命题真伪的算法。这些结果以及哥德尔的结果成功地粉碎了计算机有朝一日能够判定出所有数学命题真伪的梦想。然而对算法的关注引发了软件革命，这一革命宣告了计算数学这一新领域的诞生。计算数学不断地向老问题挑战，例如太阳系的稳定性等问题，同时人们把注意力转移到生物系统和生命自身的复杂动力系统。

    战争博弈论

    人们总是喜欢玩博弈，无论老幼都为之疯狂。大部分博弈既需要技巧又需要运气。经历了命运变迁之后，一个真正的博弈玩家能够在多项连续的博弈中保持冷静、思虑周全。然而，有一些博弈却不能仅凭运气来玩，在这里，既没有骰子可掷，又没有平局的幸运，这些博弈完全要依赖于策略才能取胜。关于这样博弈的研究，就是对策论的研究课题。还有一些博弈简直就是生与死的较量。在模拟战争中，由于战术失误的代价较低，因此，军事战略家们总是利用军事策略博弈来改进他们的战术设计技术。把国际象棋和围棋看成是理想的战争博弈，也许并非偶然。把博弈理论首次实际运用于分析一种新型战争———未来有可能爆发的最后一次大战也并不奇怪。

    在１９世纪普鲁士人发明了一种叫做“兵棋”（Ｋｒｉｅｇｓｐｉｅｌ）的战争博弈。这是一种纯战术棋类博弈，而且该博弈变得越来越真实。在博弈中，裁判员根据实际战争中所获得数据进行胜负的裁决。普鲁士军队在军事上的成功，很大程度上依赖于从这一博弈中获得的战术素养。远到美国和日本，许多国家都开始研究战争博弈。在第一次世界大战中，德国的失败打破了博弈的神话。新武器及运输系统的高速发展意味着需要修改军事策略的整个基础。因此，一方面军事需要数学家和科学家来发展军事装备，另一方面也需要他们给以策略上的指导。至今为止，在军事历史上，这些策略是将军们的工作。第二次世界大战后，两个拥有破坏性武器的超级大国的存在，从根本上改变了战争规则。

    但人们坚持用数学方法来分析策略博弈，以得到有实用价值的理论。波莱尔是法国数学家和２０世纪２０年代的法国海军部长。他在《对策论》一书中分析了纸牌游戏中的斗智问题，并分析了对策论在经济和政治中的应用。在普林斯顿大学的匈牙利数学家冯·诺依曼以及同校的奥地利经济学家摩根斯顿合写的经典著作《对策论与经济行为》中，我们可以看到波莱尔的影响。他们把对策论作为经济交互作用的可能模型，虽然这一新理论在早期与军事的关系更大，但是经济学家们还是逐渐接受了它。

    冯·诺依曼出生于匈牙利的布达佩斯，自小就显示出计算的才能。１９２１年，他进入了布达佩斯大学，尽管他一次课也没有上过，但仍于１９２６年以对策论的论文而获得博士学位。在柏林和苏黎世期间，他没有按照他父亲为他选定的科目学习化学，而是继续向外尔、波依亚等数学家学习数学，后来在哥廷根又向希尔伯特学习数学。１９３０年，他来到普林斯顿，１９３３年成为新建立的普林斯顿高等研究院首批的５位终身教授之一，从此就一直在那里工作。纳粹当权时，他辞去了在德国的职位，并决定移居美国。他并不是作为难民逃亡美国的，而是他认为那里有更多的机会。１９４０年起，他担任了军事事务中各个领域的顾问。在洛斯阿拉莫斯，为制造原子弹，他研究了量子力学。１９５５年，他担任了美国原子能委员会委员。在谈到苏黎世时期的冯·诺依曼时，波伊亚说：“他是我唯一畏惧的学生。当我在课上讲一个未解决的问题时，他经常是在下课后就在一张纸片上用潦草的字给出完整的解答。”１９５７年，冯·诺依曼死于癌症，据他的朋友们告知，他为自己不能继续进行研究工作而感到绝望。他最著名的工作是关于对策论、量子力学及计算机理论的研究。

    最单纯的博弈是两人双策略零和博弈。在此博弈中，两个非常理智的玩家都企图战胜对方，在博弈中总分是零，一个人赢的分数就是对方失去的分数。一个最有趣的例子是分蛋糕的游戏，这是两个孩子分蛋糕时经常出现的场面。怎样分才能使得孩子们不感觉到对方的蛋糕比自己的大呢？这一游戏的解分为两个步骤：一个孩子先把蛋糕切成两半，然后由另一个孩子挑选蛋糕。每个孩子都喜欢要大的那块。在每一个孩子都认为对方是贪婪的这一合理假设下，存在最优解。第一个孩子必须用最公正的方法切蛋糕，否则如果其中有一块大得很多，那么毫无疑问第二个孩子一定会选择大的那一块。这被冯·诺依曼对称为极小极大理论进行了阐述，在上述两个玩家参与的情况下，存在“鞍点”或最优解。极小极大理论被推广到有更多玩家的情况，随着玩家人数的增加，求最优解的过程越来越复杂。多数讨论博弈的书中都给每位玩家准备一张表；随着玩家的增多这些表变得越来越大，需要很大的矩阵来进行计算。

    ２０世纪４０年代，纳什把冯·诺依曼的理论推广到了非零和博弈中。这一博弈的一个例子就是股票市场。炒股的人中有赢的，也有输的。但是钱的总数是随着股票市场资本的增加而变化。纳什发现非零和博弈也有一个“均衡”的解。纳什于１９２８年出生于弗吉尼亚，毕业于卡耐基技术学院，并于１９５０年以论文《关于非零和博弈》获得博士学位。他在读博士期间写的一篇论文使他在很久以后的１９９４年获得了诺贝尔经济学奖。从１９５１年起，他执教于麻省理工学院，也就是在这里，他在黎曼流动几何学和欧氏空间领域做出了突破性的工作。１９５９年，这位最有希望的年轻科学家得了精神分裂症。１９９６年在世界精神病学会上，他讲述了７０年代他的经历和康复过程。他继续做了许多出色的工作，甚至他在住院期间也没有停止对几何学、拓扑学和微分方程以及几何空间等领域的研究。

    纳什的研究表明，在许多情况下，最优解并不是产生于那些显而易见的行为过程中。所谓的“囚犯的难题”这一著名例子就说明了这一点。这个例子是由德累瑟设计而塔柯在给精神科学生讲课时解释的。经过复述，它已经有些变动，但是塔柯所解释的原型是：有两个犯人被拘留，并且分别关押在不同的房间；如果其中的一个人坦白了，则他将受到奖赏而另一个人则要受到惩罚；如果两个人都坦白了，则他们两个人都要被惩罚；如果他们都不坦白，则他们将被释放。如此进退两难的选择的最佳选择是：这两个人都保持沉默，从而两个人都将被释放。但两人都有这样的担心：如果另一个人坦白了的话，自己将会被惩罚。这一担心可能导致两个人都坦白，结果使这两个人都受到惩罚。这一策略博弈和设想被用于军事、商业和个人之间的谈判领域。实践发现，人们对最优解具有敏锐的意识，而一个偶然的失误将导致对方的反击，这就是被称为以牙还牙（ｔｉｔ－ｆｏｒ－ｔａｔ）的战术。

    在一些博弈当中存在着最优对策，一旦这一最优对策被发现，则这一博弈也随即变得毫无价值。例如○×游戏，就是一个在孩子们中流行的游戏，但是这一游戏的要点一旦被孩子们掌握，每个玩者都变得聪明起来，因此每一局都会打成平手，这样孩子们对游戏的兴趣就会减退。纳什证明了，即使是国际象棋也有一个最优策略。但由于国际象棋太复杂，致使这一最佳策略仍没有被发现，甚至对最优策略将是平局还是白方胜也不清楚。如果一个最优策略被发现，那么国际象棋就会像○×游戏一样变得毫无价值。对付核战争是否有最优策略呢？在短暂的若干年里，美国是唯一拥有核武器的国家。由于害怕前苏联也将建立核武器装备，一些发明家，如冯·诺依曼，甚至是罗素也倡导立即对前苏联进行首次核攻击，并为加强全球和平建立一个世界协商机构。然而这一提议未能实施，而政策不久就倾向于遏止并建立ＭＡＤ，这些策略大多来自秘密智囊团ＲＡＮＤ。

    利用第一次世界大战后剩余的防卫资金，智囊团ＲＡＮＤ于１９４５年成立。开始时，它是道格拉斯飞行航空计划的一部分，于１９４８年正式成为从军队和商业部门筹集资金的非营利组织机构，这就是智囊团的原型。它的智囊致力于“想不能想的问题”，ＲＡＮＤ意为“研究与发展”（ｒｅｓｅａｒｃｈａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ），它的主要研究就是在核世界中制定国家的策略。我们提到的２０世纪４０年代到５０年代的所有美国数学家当年都曾经在ＲＡＮＤ工作过。纳什向他们介绍了许多游戏，包括兵棋。战争的后勤学仔细地研究了军事行动的决策，并且安装了自动防范系统以防意外的袭击。由于担心对立双方武器贮存的增加，所以以牙还牙的策略似乎是不可取的：核博弈是一种只能玩一次的博弈。对于两代人实施霸权政治的滥用给世界的公众与他们的领袖带来影响。认为不能想象的事，双方都不会去做。

    ＲＡＮＤ的运作更像是一所大学而不像是个军事机构，它给智囊团成员保持自己生活习惯的自由。办公室２４小时开放。ＲＡＮＤ出版了许多著作。其中有１９５４年威廉姆斯出版的名著《资深策略家》，他把对策论运用于非军事领域，其中也插入了一些黑色幽默。由于ＲＡＮＤ的成功，引发了大量智囊团的成立，但是没有一个智囊团拥有如此激情的数学家这一专注于抽象思维的永久团队。

    在这样的策略博弈中，所使用的术语是合作与竞争。由于对策论把人看成是完全利己的，因此，后来受到了人们的批判。但是研究表明：现实生活中的人们确实注重他们相关的收益。在零和博弈中，平局意味着双方收益没有变化。但是在像股票市场这样的非零和博弈中，输赢是相对的。玩家更注重的是自己赢得更多，而不是攻击对方。因此，当双方都能在交易中获利时，双方就会进行合作。虽然对策论在它的初期发展得比较缓慢，但现在它是市场经济分析的主要工具。最近，它又被用于全球公共设施拍卖给私人企业的活动中。这使得政府在执照拍卖中获得更多的税收，同时也扩大了市场的发展。整个宏观市场在竞争和合作中发展———这是一个对策论的世界。

    物理“场”中的数学现象

    从１８世纪中期开始，伴随着数学方法广泛应用于对物理现象特别是物理运动的分析，微积分也在不断地发展。微积分的应用包括了热力学、天体力学、流体力学及对光、电、磁的研究。这些学科都是通过建立描述物理现象的微分方程，以及开发求解这些方程的方法来解决问题的。由于难以求出微分方程的精确解，就把注意力引向近似方法。虽然上述学科所涉及的物理现象看起来是不同的，但它们都或多或少与空间的媒介相关联。特别是从牛顿的《自然哲学的数学原理》开始，人们狂热地争论“作用于一段距离”的真实性。例如，重力是如何越过空间发生作用的；重力和磁力是否是同一种类型力的不同方面，还是完全不同的现象；也许空间充满了被称为“以太”的物质？如果是的话，以太是什么东西，它有什么样的性质等等。为了解释这些疑问，我们将集中精力考察位势理论的历史以及它与电磁学的关系。

    莱布尼兹的微积分被推广到多元函数。这样，与平面上的曲线ｙ＝ｆ（ｘ）一样，空间中的曲线ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）也成了研究的对象。于是，人们就有可能引进偏微分方程。在偏微分方程中针对每个变量可以独立地对其余变量求导。运动的粒子相互作用，可以表示为微分方程。从该微分方程的解可以得到该粒子运行的轨道。牛顿关于行星沿着椭圆轨道运行的研究结果，只是通过作出例如太阳和行星都是一个质点这样粗糙的假定，每个行星可以与其他行星相互独立地加以处理而得到。现在，最初反对日心说模型和非圆形轨道的论调以失败告终，而开始建立更加精确和完善的轨道模型，其中一个方法是着眼于动力系统中能量的变化，而位势理论就是表示能量守恒这个物理观念的数学方法。

    天体力学要关注的一个重要现象是，行星毕竟不是沿着完全椭圆的轨道运行的，而是在这一轨道上摇摆着行进。事实上，越来越多的精确数据表明，太阳系的所有星球都偏离光滑的轨道。由此人们开发了摄动理论，在该理论下，一个行星轨道不仅与它和太阳间的相互作用有关，而且与它和其他行星之间的相互作用也有关。这就使得使用数学进行分析极其困难，因为人们需要考虑的变量太多了。人们重点探讨了三体问题：把太阳系简化成只有太阳、地球和月亮的体系。在这一体系下，我们得不到精确的解。１７４７年，欧拉开发了一个新方法：行星间的距离可以用三角级数展开式来近似。

    这就是欧拉的《无穷小分析引论》所研究的主要问题。莱昂哈德·欧拉（ＬｅｏｎｈａｒｄＥｕｌｅｒ，１７０７—１７８３）是历史上最多产的数学家。在巴塞尔大学，欧拉得到了约翰·伯努利的特别指导（伯努利家族在几个世代产生了许多优秀的数学家，是一个数学家族）。从１７２７年起，欧拉加入了由叶卡捷琳娜二世刚刚创建的彼得堡科学院。１７３３年，约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利回到家乡巴塞尔，把圣彼得堡科学院教授的职位让给了年轻的欧拉。一年后，欧拉结了婚，后来他成了１３个孩子的父亲，虽然只有５个孩子活到了成人。他后来说，他的一些最重要的发现是抱着孩子及在孩子的喧哗声中得来的。但是他的视力严重衰退。１７４０年，他的一只眼睛已经失明，１７７１年双目失明。１７４１年，他应普鲁士腓特列大帝的邀请来到柏林，并于几年后担任新成立的柏林科学院第一任数学研究所所长。欧拉于１７６６年回到圣彼得堡。尽管当时他的双目已近乎失明，但他的大部分研究是在此之后凭着富有献身精神的助手们的帮助，及他非凡的记忆力完成的。

    欧拉的数学成果实际上囊括了所有的数学领域，其中包括制图法、造船术、历法及金融等应用性质非常强的领域。但是他的成名作是《无穷小分析引论》（１７４８年）、《刚体运动理论》

    （１７６５年）及在微积分学中的研究成果。他的研究工作为数学分析及分析力学奠定了基础。数学中所用的函数符号ｆ（ｘ）及现在通用的圆周率“π”、自然对数的底“ｅ”，－１的平方根“ｉ”，求和符号“∑”等，都是欧拉首先提出并开始使用的。他认为在对自然现象的建模过程中，几何学、数论和分析学相辅相成共同发展。

    使用摄动理论能得到更精确的行星轨道，但同时在理论上也产生了许多麻烦，那就是行星没有理由停留在现有的轨道上。小小的摆动很容易被增幅，并使行星完全离开它的轨道。就好像一个天使还需要让行星维持在它们原有的轨道运行上一样（到了２０世纪，人们发现能够用混沌理论解释太阳系动力学），用来描述行星运动的方程变得越来越多而且越复杂。在法国，人们更喜欢用分析方法而不是用几何方法来研究行星运动，从而产生了更多的难以处理的方程。分析方法以拉格朗日（ＪｏｓｅｐｈＬｏｕｉｓＬａｇｒａｎｇｅ，１７３６—１８１３）为代表。拉格朗日建立了“拉格朗日方程组”。拉格朗日的长达５００页的《分析力学》（１７８８年）一书中没有一个图。１７９９年，他发表了系列著作《天体力学》的第一卷。该卷着重讨论了位势理论和摄动理论。法国科学家的许多成果产生于法兰西革命时期，那时很多数学家都受到了政治动乱的干扰。青年柯西（ＡｕｇｕｓｔｉｎＬｏｕｉｓＣａｕｃｈｙ，１７８９—１８５７）由于全家暂时离开了巴黎，侥幸逃过了法兰西革命的最坏时期。从巴黎工学院毕业后，柯西在为拿破仑入侵英国而做港口的疏通工作，但是他更希望能集中精力研究数学。经过几番周折，他终于在法国巴黎工学院得到了助理教授的职位。

    柯西是一个多产的学者，其中最著名的著作有《无穷小计算讲义》（１８２１年）和《微分学教程》（１８２９年），而他的全集多达２７卷。但是在１９世纪早期的法国的政治环境下，柯西一直没有改变他的天主教信仰，因此他与同事之间的关系一直很紧张。由于为了支持耶稣会而与法国科学院发生了冲突，在１８３０年又拒绝宣誓效忠新君主，他的教授职位被剥夺并且与查理十世同时被流放。返回巴黎后，虽然他是法兰西学院数学教授职位的最佳人选，但仍两次落选。只是当１８４８年路易斯被推翻后，柯西才又重新成为工学院的教授。在１８４０年到１８４７年之间，柯西发表了长达４卷的《数学物理分析》，这一研究奠定了实分析和复分析的基础，而实分析和复分析又是数学物理的基础。

    法国人利用截取幂级数来得到近似函数，并希望通过保留更多的项来取得更佳的近似的想法，受到了许多寻求更加可行的方法的人的批判。例如，１８６０年后期，查尔斯·德洛内在他发表的一篇文章中给出了一个占据了一整章的大方程，并给出了近６０种估计它的项的方法。１８３４年，汉弥尔顿向皇家学会提交了一篇论文，在该文中他提出了“汉弥尔顿方程”。汉弥尔顿使用一个特征方程来刻画在一个能量场内任意多个质点的运动。不仅如此，汉弥尔顿自己也解释道：他的表达式（方程）生产了一种解法，该方法不同于拉格朗日的求解方法，而拉格朗日的方法在求解过程中往往行不通。从１９世纪中叶开始，黎曼将位势理论的方法及术语用于几何学的研究中。这个被称为微分几何的新领域把微积分的概念扩展到三维空间。在三维空间中，点、曲线、面这样的几何对象可以用向量描述，并且可以使用函数及作用于函数上的算子来刻画速度、加速度以及能量等动力学概念。例如，对于一元函数ｆ（ｘ），只定义了对变量ｘ的导数，而对三元函数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ），则定义了３个不同的向量算子。这些算子是：梯度算子（记为ｇｒａｄ）、旋度算子（记为ｃｕｒｌ）和散度算子（记为ｄｉｖ）。实际上，在一个动力系统中的每一个变量，都可被认为是这个系统中的“一个维”。黎曼对于高维空间的研究，使微分几何学成为在一个统一框架中刻画物理系统的理想工具。正是使用了微分几何，麦克斯韦表述了他的电磁学理论。

    １９世纪中期，产生了许多关于电与磁的实验和理论结果。１８世纪８０年代，查尔斯·库仑通过试验发现两个电荷间的引力与两个电荷的乘积成正比，与两者的距离的平方成反比。科学家们可以将在对重力的研究中得到的一些模型和方法，应用到静电现象中去。１８１２年，泊松利用与上一世纪拉普拉斯的《天体力学》类似方法研究了静电现象。他设想电流是由存在于所有物体中的相反电荷的两种流体形成的，同性电荷相斥，异性电荷相吸。第二年，他推导出了刻画电势和电荷密度间的关系的偏微分方程。该方程被称为泊松方程。１８２０年奥斯特通过带电的电线能使磁针摆动这一现象发现了电磁学。这激发了安培研究电与磁之间的相互关系，对这一研究他采用了“电动力学”这一术语。安培使用数学方法证明了：同静电力一样，电磁力也满足平方反比定律。法拉第电磁感应的发现表明了电与磁之间是紧密相关的。但当时的物理理论还无法对此做出恰当的解释。例如，安培提出的以太中微小的电力涡动是磁力传播的机制这一观点，将会碰到与笛卡儿在研究行星运行的涡动模型时所遇到的类似问题。

    通过分析地球和月亮间的相互作用力，天文学家们清楚地认识到：由于两个球体的大小及它们之间的距离，已不能把它们作为质点来考虑，而是应该考虑整个球体间的相互影响。从地球上的一点看，月亮的引力效应与月亮的体积或质量及形状有关。物体在内部和表面的受力关系在数学上被处理为体积分和面积分的关系，这一关系于１８２８年被表述为格林定理。乔治·格林中年开始到剑桥大学学习数学，后来成为该校的研究员。格林定理是关于电磁位势的定理，但也可以用于引力位势。

    １８７３年，继法拉第之后，麦克斯韦发表了论文《电和磁》，论文中的主要概念是电场和磁场。麦克斯韦试图避免被卷入关于以太本质和空间的真正本性的争论中，采用自上而下的方法。该理论回避了依赖诸如电荷、电流这样的不易理解的微观概念，而是采取了宏观的途径：他假设了场的存在以及在运动时场与场之间、场与媒介之间存在着相互作用。麦克斯韦认为空间是一个具有弹性的连续体，因为空间是连续的，所以运动能够从一点到另一点传递；又因为空间是有弹性的，所以媒介本身可以存贮动能和势能。他大量地使用了位势理论和微分几何学，并最先分别用汉弥尔顿的四元数符号及笛卡儿的等价形式写出了他的方程。而正是亥维赛给出了我们现在使用的矢量形式的麦克斯韦方程。

    麦克斯韦的理论及表示形式并没有马上获得成功。对麦可斯韦的场论，汤普森指责麦克斯韦为“神秘主义者”，这使得人们联想起当牛顿提出重力时所受到的遭遇。这一时期对空间本质的认识比较混乱，而许多物理学家将麦克斯韦方程应用于自己的研究中。１８６１年，麦克斯韦推算出电磁波的速度与光速非常接近，从而促使他把光作为电磁波谱的一部分。１８８８年，赫兹通过实验验证电磁波谱的存在，从而证明了麦克斯韦理论的正确性。在同一时期，迈克耳孙和莫雷的实验证明了如果存在以太，那么当运动穿过它时，不管运动的物质是一个行星还是一束光线，媒介将不受影响。在实验证据面前，对于相隔一段距离的物体间相互作用的早时异议就完全消失了。１９０５年，爱因斯坦对时间和空间的观念重新进行了探讨。

    麦克斯韦方程早期被应用于电报和无线电通信。亥维赛将麦克斯韦方程应用于电报学，考察了被别人忽视了的传输线里的自感应效应，这项研究促进了感应线圈的产生。感应线圈被用于横跨大西洋的电缆中，以便对信号进行增幅。１９０２年，马可尼成功地将无线电信号传到了大西洋彼岸。这给数理物理学家们提出了电磁波是如何在沿地球的大气层中传播的这一问题，特别是当接收器与发送器相距很远时，电信工业自开创以来从未停留过前进的步伐。

    探秘宇宙海洋中的数学奥妙

    所有早期文明都重视绘制地图。不论是为了建筑、征税还是为了制订作战计划，测量师的工作是与应用数学有关的最古老的职业之一。大约公元前２２００年拉格什城的苏美尔统治者古得亚的一座雕像，展示了一位测量员，他手里拿着宁基苏神殿的按比例缩小的设计、图、测量用的尺子以及书写用的工具。这是我们知道的最早的按比例绘制的设计图。人们在巴比伦的黏土板、埃及的纸草书及中国的丝绸上发现了地图。罗马人继承了希腊人的测量传统，当时的有关文献中记载了测量及按比例绘图的规则。

    在绘制小区域的地图时，我们可以假设这一区域是平坦的。但当我们试图画更大区域的地图时，地球的曲率就成了重要的要考虑的因素之一。我们不清楚人类是何时发现地球是球形的。有些人认为人类占据了地球的一半。厄拉多塞从公元前２４０年起，担任亚历山大新城的图书馆馆长。他制作了第一张以科学原理为依据的地图，该地图含有经线和纬线，经线和纬线构成了不规则的坐标网格，但是这种绘制地图的方法，在当时好像并没有产生什么影响。而托勒密于公元１５０年发表的《地理学》却成了制图学的标准教材，此书中说到地球是球形的，而且只有一部分地区有人居住。地球的周长为１８００００视距（有人们认为视距大约１６０米），这一长度远没有厄拉多塞的２５００００视距精确。《地理学》的伟大贡献是奠定了把球面投影到平面的基础。花剌子密修改了托勒密的地图，他保留了托勒密关于地中海地区的那一部分，但提高了中亚地区的精确度。

    把球形的地球投影到平面上往往要产生一些失真。绘图员最关心的是确定哪些因素使失真最厉害，哪些因素使失真最少。等角投影可以减少角和形状上的失真；等积投影可以保持相对的面积；等距投影可以保持相对距离。正像我们将要看到的那样，陆地地图和海洋图有不同的要求。

    １４世纪，随着欧洲航海和贸易的发展，出现了带有直线网格或罗盘方位线的航海指南图，以帮助航海家们制定航海计划。这些图主要绘制于威尼斯、热那亚和马略卡岛。虽然我们不清楚人们在制作这些航海图时是否使用了特殊的投影技术，但是它们都相当精确。我们还不太了解在这一时期人们使用中国发明的罗盘的程度及天文导航的状况。但是美洲大陆的发现及托勒密的《地理学》的出版，为绘制精确的世界地图作好了准备。托勒密的《地理学》直到１５世纪才在欧洲露面，首先在１４７７年印刷于波仓那。文艺复兴时期人们使用了各种各样的投影方法。这常常是由于美学的原因，如弗朗西斯科·罗塞利于１５０８年首次使用了流行的卵形世界地图。这些投影基于图形的结构，而不是基于三角公式。

    被誉为“当代托勒密”的杰拉德·墨卡托（ＧｅｒａｒｄｕｓＭｅｒｃａｔｏｒ，１５１２—１５９４）为航海家设计了一套特别的投影法。墨卡托就学于洛文大学，学习哲学、数学、天文学和制图学，他还是雕刻师和器械制作师。从１５３０年中期起，他绘制了一系列地图，包括了佛兰德地图和巴勒斯坦地图。１５４４年因异端行为被投入监狱，但由于大学的努力疏通，很快被释放。之后他到了现在位于德国的克里夫公国杜伊斯堡，并于１５６４年成为威廉公爵的宫廷“宇宙志学家”。在１５６９年，就是在杜伊斯堡，他创建了“墨卡托投影法”，用以绘制世界地图。该投影法的新颖之处是把经纬线画成直线，以便于航海家们使用。在一个球面上，如果一艘船沿着一个固定的方向行驶时，他的航线通常是一条曲线。事实上，假设按着固定的方向行驶（除非是朝着南北极之一行驶），它通常的航线是球面上的一条曲线。实际上有可能连续沿一个固定方向，船舶会螺旋式地朝一个极前进。但是将这些航程线投影成直线，就可以减轻航海家的工作。墨卡托投影法的另外一个长处是：实际航线的变化角度和航海图上的航线变化角度保持一致。虽然当纬度增高的时候会使地图扭曲得很厉害，但是它仍是当时绘制世界地图最常用的投影法。以后该投影法被彼得斯的等积投影法所取代。

    在《航海中的失误》（１５９９年）一书中，爱德华·赖特对墨卡托投影法进行了数学分析。在同一年由理查德·哈克卢特出版的《航海原理》一书中，赖特发表了基于墨卡托投影法的世界地图。随着对陆地和天体认识的深入，人们开始研制地球仪和天体仪。这些仪器通常是为了教学的需要，同时它们也被作为新知识的象征。在通常情况下，人们将地球仪和天体仪安装在一起，使之成为双胞胎球体。随着天体观测精确度的逐步增加以及三角投影法在法国、英国和其他欧洲国家的兴起，世界地图需要定时更新。

    然而，为了绘制精确的地图和航海图，需要知道关键地点精确的经度和纬度。纬度很好计算，它们与北极的等高线一致。当时，为了确定纬度，人们可以利用太阳的位置并使用太阳光与赤道的夹角的偏差表对纬度进行修正。然而，经度就比较难以计算了。以某一个子午圈为零时区，从该子午圈开始每隔１５°产生时差为１小时的时区。当地时间可以通过天体观测或日晷来确定。但是，为此我们需要同时知道零时区的时间。一种方法是将月亮看成是夜晚的时钟，通过观测它在空中的运行来计算时间。但是月亮的运行轨道是非常不规则的，而且由于航海时间较长，所以只有当航海家手中有早已绘制好的月亮运行轨迹表时，该方法才有效。格林尼治皇家天文台就是为这一目的于１６７５年创建的。

    １７６７年皇家天文学家内维尔·马斯基林发表了《航海年鉴》，年鉴含有一年中每隔３小时的月球位置表。那时约翰·哈里森的航海钟已接近完成，并且它很快成为在海上确定经度的有效工具。该仪器有一个标准时间表，这样通过对太阳或恒星的观测来确定当地时间，然后利用当地时间与标准时间的差，就可给出海船所在地区的经度。

    随着人们发现地球并非是一个标准的球体而是一个扁平的球体———它的两极比较平坦，投影法变得更加复杂。牛顿在《自然哲学的数学原理》中关于地球是扁平的论证，最终被实践所证实。如果地球的两极是平坦的话，同样１°的纬度，两极附近的长度比赤道附近的长度要长，同时由于地球的引力，纬度不同加速度也不同。人们组成了测量远征探险队来检测这些结果。１７３５年，巴黎科学院决定派出特使团到拉普兰和秘鲁去测量北极与赤道附近纬度１°的差别。克里斯蒂安·惠更斯关于单摆的经典研究指出，钟摆的频率与重力加速度的值有相关。这种差异早在１６７２年就已被注意到。为了使巴黎的单摆与在凯恩的单摆摆动得一样快，必须缩短在巴黎的单摆的臂长。不幸的是，由于观测的错误导致出了一个矛盾的结论。有些人甚至认为地球是一个瘦长的球体，也就是说在两极被拉长而不是被压扁了。到了１８３２年，美国的天文学家纳萨尼尔·鲍迪奇测量了全球从拉普兰到好望角的５２个地区。在他对拉普拉斯的《天体力学》的译本中，他对上述测量结果加以分析，并给出了地球的扁率是１／２９７，这一结果在近百年之后才得到国际上的承认。

    对地球不是标准球体的认识，促使人们去寻找一种不仅能处理平面和圆球面而且也能方便地处理一般球面的三角学。在一个圆球面上，三角形内角和大于１８０°，如果是一般球面的话，三角形内角和的超出量将随三角形的位置不同而变化。勒让德于１７９９年在这一方面做出了十分出色的研究，他寻找到了一个三角形的边与三角形内角和的关系公式。使用这一计算公式，人们定义了新的投影法。用该公式我们可以计算出所需的扭曲度。兰伯特于１７７２年发表了一系列的投影法，其中之一是现在仍在使用的保形圆锥投影法。用这一投影法将地球投影到一个锥面上，该锥面与地球面在标准纬度上相接，把这个锥面展开后就是一张平面地图。

    贸易工具得到了迅速的改进。从希腊人继承来的，由阿拉伯人完善的天体观测仪天空投影是一种模拟计算机。通过旋转一个刻着星座图和各种天体轨道的圆盘，我们可以计算日出及日落的时间。纬度不同，星体的投影也不同，所以这种星盘通常由若干个圆盘组成，每个圆盘对应于不同的纬度。这种星盘可以计算星体的地平纬度和方位，还可以计算时间和测量天文距离。阿拉伯人首先开始使用地平纬度和方位作为标准度量。地平纬度是天体与地平线的角度，方位是到子午线的角距。日晷也是常用的计时工具，它利用太阳的地平纬度或方位的变化来计时。多数刻度盘需要用指南针来定位，通过参照太阳在空中运动的速度的变化，刻度盘变得越来越精确。１７世纪，人们还制出了经调整纬度后可以运用于任意地区的通用日晷。简易的水手天体观测仪被象限仪所替代，由于有了光学仪器和更加精细的刻度，航海家、天文学家及测量员所使用的象限仪、六分仪以及相关的仪器的精度得到了极大的提高。

    对土地、海洋和天空测量精度要求的提高加大了计算量，提高精确度意味着计算量的增加，因而对数的使用在１７世纪具有重大的现实意义。尽管三角函数表和对数表中总是存在着一些印刷上的错误，航海家使用这些表仍可以简化计算。计算尺的发明虽然没有提高精确度，但大大节省了计算时间。从１８世纪起计算尺得到了广泛应用。从那时起我们的宇宙观已经完全不同于托勒密的宇宙观：地球现在只是一个行星，一个绕着太阳运转的扁平球体。２０世纪后期，当人们开始利用人造地球卫星绘制地球轨道的改变着的地理结构时，我们终于可以从地球外面来俯视地球了。

    解密现代艺术与数学的亲密关系

    ２０世纪是物理学、生物学和人类科学等各个领域科学发现和技术进步的大爆炸时期。在启蒙运动时期，人们相信已积累起来的知识给予我们以征服自然的无穷力量和挣脱现实世界束缚的能力。而艺术对这一时期的发展的反应却并不总是正面的。威廉·布莱克对牛顿的机械宇宙论的否定就是一个例证。２０世纪早期，相对论和量子力学使我们的宇宙观发生了根本的变化，同时宇宙又变得神秘莫测起来。然而，在两次世界大战中，科学和政治的发展相互抵触，的确有很多理由需要我们重新审视人类在宇宙中的位置。期望在将来，我们的智慧和其他知识能够均衡发展。

    下面考察一下数学以及数学和物理的结合对大众文化和艺术的影响。艺术是对哲学思想的改变和艺术家们对变化技术环境反应的最直接表现形式。可以肯定，数学并不是对所有文化运动都产生着关键性的影响。但是，考察数学充当了唯一的且重要的角色的那些文化领域，是非常有意思的。将数学术语恰当地运用于艺术表现的事实说明：艺术家们开始使用数学的语言和思想，并将其贯穿于五彩缤纷的艺术生活之中。

    许多新兴的艺术运动发生于２０世纪开始的前２０年，它接受了数学家们研究出的几何语言和几何思想。油画和雕刻都非常自然地表现了二维和三维空间中的艺术形象。但是，现有的几何学知识对展示人类和世界的全貌存在着一定的局限性。新几何学能对新兴的艺术形式产生怎样的影响呢？

    意大利文艺复兴时期，透视学能够使我们在二维空间的表面上更真实地表现三维空间的物体。透视学拓宽了绘画的语言，艺术家们很快就学会了这一新方法。后来，他们为了达到视觉和审美的效果，又有意识地打破了这些规则。２０世纪的立体主义、超现实主义和未来主义等术语都来自新几何学的概念，如非欧几何学、多维空间特别是四维空间。从总体上看，２０世纪初新几何学对个别艺术家的影响要比对每次运动的影响大。２０世纪２０年代末，爱因斯坦的相对论中的四维时空变得越来越受到重视。但是在此之前，人们对空间的第四维已经做了大量的研究。在１９世纪中叶由罗巴切夫斯基和Ｊ鲍耶于１８３０年左右分别独立创立的非欧几何学，带来了一场几何学革命。１８５４年，黎曼发表了一篇启迪性的论文《关于几何学基础的假设》，该论文使多维空间的数学研究和探索宇宙空间奥秘的物理实验又上了一个台阶。

    现在，欧氏几何学只是多种几何学中的一种。刻画空间真理的真实几何，以前是，将来也是数学家和物理学家的研究对象。但与此同时，艺术家们已开始涉足关于感知和表现的几何学。首先，如果我们将三维空间的思想扩展到第四维上去，我们马上就会遇到如何表达的问题。艾德温·艾伯特于１８４４年出版的《平地》（１８４４年）一书中，就有一个极佳的类比：从四维空间观察三维空间时，就好像我们三维空间的人观察一个二维空间“平地”的物体一样。克劳德·伯拉顿在很多书中都描绘了上述观点，包括《平面上的人：一个高维空间的寓言》（１９１２年）一书。这一观点的关键，是通过一个物体的切片或横截面使我们对整个物体有一个直观的认识。这样，当我们用油画来描绘一个物体时，无论这一物体是存在于三维还是四维空间，我们都需要这一物体在不同角度的切片或多重透视图。这正是立体派描绘物体的一种手法。人们认为透视法具有局限性，它所提供对物体的观测过于狭窄，所以透视法遭到了拒绝。哲学家康德把应对物体的感知和物体本身加以区别的观点，也推进了立体派的多重透视表现形式的发展。事实上，立体派对第四维给出了一些超越了纯数学和空间范围的陈述。有一些陈述体现了柏拉图的神秘的、不合理的哲学理念。简而言之，第四维使得艺术家们得以突破三维透视，自由地探索现实。这种自由不仅存在于立体主义者中，也存在于意大利的未来主义者中。意大利未来主义者于１９０９年发表的《智慧宣言》，由政治和艺术两部分组成，它推进了现代主义、工业主义和技术的进步与发展。波丘尼、塞维里尼和巴拉等艺术家表达出了第四维的活力。

    亨利·庞加莱是一位最有影响力的法国数学家。他是一位受人尊敬的学者。他的著作涉及数学、政治、教育和伦理学等各个领域。１９０６年，他担任了法国科学院的院长。他的科普读物将物理和数学推向整个社会。他的知识相对性的哲学思想和对数学的创造性思维的关注，在２０世纪早期产生了巨大的影响。所谓的数学的创造性思维，包括了像在解决难题时的非逻辑的潜意识思维。莫里斯·普林斯特是一个不太知名的数学家，这也许是由于他的影响只限于立体派艺术家的圈子里。他还是保险统计师和业余油画爱好者，并且与艺术家麦钦格和格里斯一起研究探讨了非欧几何学。

    １９０５年，当爱因斯坦还是一位专利局的审查员时，就发表了他的狭义相对论。１９１６年，当时已是教授的爱因斯坦发表了广义相对论。到了２０世纪２０年代末，把第四维作为空间维度的观念，几乎完全被作为时间维度的第四维度所取代。时间因而和运动就成了艺术家们关注的焦点，例如艺术家杜尚及波丘尼等。其中，波丘尼就有一幅雕刻是《空间持续性的独特造型》（１９１３年）。还有其他艺术家如库普卡以及马列维奇的抽象派艺术。

    立体派是由毕加索和布拉克所创建的。毕加索１９０７年的油画《亚威农少女们》是第一幅立体派油画。立体派的鼎盛时期结束于１９２２年。从那时起，立体派的实践者们，摒弃了早期的立体派的统一风格。虽然立体派也是艺术的一个学派，但是在学派内部，总是存在着不同的哲学指导思想和实践。毕加索本人并没有受到多少数学思想的影响，而是受到了塞尚的移动透视法和非洲艺术结构及雕刻术的影响。布拉克本人最关注的是几何表现形式，而事实上，正是他启用了“立体主义”这一术语。的确，有一部分人还在继续关注透视和结构的古典几何因素。１９１２年，巴黎举行了一个具有深远影响的名为“黄金分割”的画展。“黄金分割”指的是建筑和艺术中常常出现的经典比例。此时，艺术家，如格里斯和维庸等都已接近于纯抽象派，立体派纯抽象和的几何形式从所有的表现形式中消失。

    与第四维的影响相比，非欧几何学对２０世纪初期的艺术的影响更加难以定量化。其原因可能是在于对非欧空间的表现上的困难。意大利数学家贝尔特拉米（ＥｕｇｅｎｉｏＢｅｌｔｒａｍｉ，１８３５—１９００）制作了一个伪球面实物模型来表示罗巴切夫斯基几何，它的存在本身足以激发艺术家的想象。也许它的形式化的数学特征使得它不如第四维那样给艺术家们带来更多的艺术自由，只有油画家杜尚等少数几个人曾说服画家们学习数学和科学。然而，非欧几何学的思想，对超现实主义画家及超现实主义的创始人达达、特里斯坦产生了影响。

    １９３６年，油画家希拉托出版了他的《维数主义宣言》，引用了爱因斯坦的理论作为它的灵感之一。《维数主义宣言》声称：

    “受到了世界新概念的鼓舞，艺术发展到了新的空间。”油画开始离开平面向空间发展，并由此产生了新的空间结构和多媒体装置。该宣言还强调：“雕刻应该放弃封闭的、一成不变的、没有活力的空间，即欧几里得的三维空间，以便征服闵科夫斯基的四维空间的艺术表现形式。”有许多著名的艺术家在这一宣言上签字。宣言允许对第四维的各种主流的解释，即作为空间的维度、作为精神的第四维度及作为时间的第四维度。

    然而，总的来说，２０世纪３０年代，除超现实主义外，很少有油画家对空间第四维度或非欧几何空间感兴趣。勃勒东发现了特别适合于他的新“超现实主义”观点的新几何学。虽然勃勒东的超现实主义的理论在很大程度上基于弗洛伊德的潜意识分析，但是，高维空间对他的理论也有启发作用。他把时空四维空间与无理性或潜意识的更高维结合起来。我们可以从一些作品的题目中看到人们对多维空间的兴趣。例如恩斯特的《被非欧空间苍蝇的飞行所吸引的年轻人》（１９４２年）。从一些作品的内容中也可以发现对多维空间的兴趣，例如，超现实主义画家达利有名的作品《记忆的持续》（１９３１年）所表示出的怜悯注视的手法以及１９５４年的《耶稣殉难》中所表现的超立体手法，都显示出艺术家们对高维空间的兴趣。最具有科学性的现实主义者是多明古艾兹，他是一个雕刻家，迷上了物体在时间中的生存状态。他的“石板延续表面”的这一思想似乎与波丘尼的雕刻非常接近。

    １９３９年，多明古艾兹发表了一系列高维空间的所谓的“宇宙”的油画。他的多面体表现形式曾被人们与庞加莱所展示的几何模型及曼·雷为１９３６年超现实主义展览而拍摄的几何模型相对比。真正数学化的、美观的非欧几何的表现形式的实现要等到高性能计算机的出现。

    作为纯粹数学理论的新兴多维几何学及非欧几何学不仅被用于新兴物理学，而且给艺术及寻求推翻已有的思维模式的哲学运动以启迪。在艺术界，这些表现方式以各种形式被大家接受，包括了从精神到无政府状态，甚至二者兼而有之。放弃欧氏几何学，作为典范意味着为生命、宇宙和万物创造了一个新的透视法。

    天文智慧宫的数学秘密

    ７世纪阿拉伯半岛兴起了一种一神论的宗教，并且传播到了基督和波斯社会。６２２年先知穆罕默德从麦加逃出，在麦地那避难。仅隔８年，他带领军队胜利地攻进麦加。受到穆罕默德的启示录的启示，他的信徒传播了可兰经的预言并建立了伊斯兰帝国。在帝国的鼎盛时期，国土从科尔多瓦一直延伸到撒马尔罕。早期帝国由伍麦叶王朝统治，首都位于大马士革。７５０年伍麦叶王朝被阿拔斯人推翻，并迁都巴格达。伍麦叶余党逃到了西班牙，并建立了由其余党组成的伊斯兰国家。

    阿拔斯人的伊斯兰教国家，在巴格达寻求建立一个新的亚历山大城。他们在这一新的亚历山大城中创建了天文台、图书馆和称为“智慧宫”的研究中心。为了把当时所有能够收集到的文献都翻译成阿拉伯语，他们实施了一项巨大的翻译工程。在阿拉伯数学中我们可以看到巴比伦、印度以及希腊思想的影响。阿拉伯人综合和发展了前人的研究，并诱发了基础性的研究，特别是代数学及三角学的基础研究。虽然代数符号论来自欧洲，但代数的思想却应归功于阿拉伯数学。尽管早期的数学通常是用代数来解释的，但明确认识到几何问题可以用代数来表示，几何方法可以转化为代数算法，以及代数方法可以超过原有的几何方法并向前进一步发展等等，这些思想都是阿拉伯人的贡献。

    丢番图（ＤｉｏｐｈａｎｔｕｓｏｆＡｌｅｘａｎｄｒｉａ，约２００—约２８４）的《算术》是代数学史上的一部影响深远的著作。通过破解传说中刻在丢番图墓碑上的数学谜语，我们可以知道他的终年，但还是不能确定他是哪一个世纪的人。人们认为《算术》是希腊数学的划时代杰作。《算术》的核心内容，是关于以代数方法解方程和不定方程的研究，这里的方法不依赖于几何证明。关于整系数方程的整数解的研究，是当今数学的一个分支，这一分支被称为丢番图方程，寻找毕达哥拉斯的三元组就是这样的一个例子。丢番图还使用了介于修辞学的和完全的符号代数之间的一种过渡性的代数符号体系。阿拉伯数学家把《算术》翻译成了阿拉伯语并加以广泛研究。

    花剌子密是阿拉伯最重要的一位数学家，他的名字使人联想到他出生于中亚的花剌子模，似乎他大部分时间都生活在巴格达。他是新创办的智慧宫的主要领导人。他的代数论文《移项与化简的科学》后来对欧洲数学产生了极大的影响。事实上，“代数学”这一术语来自ａｌ－ｊａｂｒ的拉丁语译音。花剌子密的研究动机，是为了解决贸易、遗产继承及土地利用等方面的实际问题。在代数方面，《移项与化简的科学》包括了线性方程和二次方程。术语“移项”及“化简”指的是代数变换。他把二次多项式分成６个不同的类型。他不是把二次方程写成ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０这样的一般形式，其中ｘ是未知数，ａ、ｂ、ｃ是系数；而且要求方程的所有系数与所有解都为正数。因为正项的和不等于０，因此上述二次方程的一般表达式在他的代数理论下是无意义的。另外，他把方程ａｘ２＋ｂｘ＝ｃ和ａｘ２＋ｃ＝ｂｘ看成是两个不同类型的方程。对每种类型的方程，他都给出了方程的代数解法，并且给出了求解过程的几何证明。在几何证明中可能使用了欧几里得的结果，与巴比伦及印度的方法也有相似之处。代数方法的几何证明是用文字叙述的：花剌子密并没有建立符号语言，但是他所展示的代数方法和几何方法间的相互转换，似乎与希腊的数学风格有很大的不同。

    到了凯拉吉时代，阿拉伯数学家们试图把代数学从几何思想中解放出来，并使代数学成为解决算术问题的一般方法。凯拉吉在巴格达创立了一个影响力极大的代数学派，他的主要著作是《发赫里》（ａｌ—Ｆａｋｈｒｉ），在该书中他给了高次幂及其倒数的定义，给出了求高次幂的积的规则，但未能定义ｘ０＝１。接着他试图寻找求高次幂的和，或称多项式的和的方法，并给出了二项式展开定理。他的独到之处是运用归纳方法给出了二项式展开定理及其展开的系数表。这一系数表今天称为帕斯卡三角形。虽然他对定理的归纳证明是不完备的，但无论如何它是一个不用几何的代数方法。

    到了欧玛尔·海亚姆（ＯｍａｒＫｈａｙｙａｍ，１０４８—１１３１）的时代，土耳其人占领了巴格达，并宣布成立一个正统的穆斯林国家。欧玛尔·海亚姆在沙布尔完成学业后，于１０７０年离开了动荡不安的沙布尔，来到了比较安宁的撒马尔罕（Ｓａｍａｒｋａｎｄ，今属乌兹别克斯坦）。虽然他作为诗人和《鲁拜集》（Ｒｕｂａｉｙａｔ）的作者的知名度更高，但他主要是科学家和哲学家。在撒马尔罕他写了《代数》一书，其中最新颖的部分是用几何方法解三次方程。他从阿波罗尼奥斯的翻译本中学到了关于圆锥曲线的知识，领悟到三次方程的解可以通过两个圆锥曲线的交点求出。例如形如ｘ３＋ａｘ＝ｃ的方程的解，是适当画出的一个圆和一条抛物线的交点。他对一部分三次方程和它们的解进行了分类，并给出了把其他三次方程转换到所分的类中，或者转换到更简单的二次方程的代数方法。虽然从代数发展的角度来看，这一做法似乎是一种倒退，但在许多方面，他都做出了独特的贡献。他指出古代没有留下任何关于三次方程解法的文献，所以我们断定他一定是查阅了大量的资料。他还声称不能用尺规作图的方法解三次方程，而这一结论的证明，直到７００年之后才被给出。他第一个察觉到三次方程可能有多个解，但没有意识到可以有３个解。欧玛尔·海亚姆承认他的研究是不完全的，并且寻求类似手解二次方程的公式来给出三次方程及更高次方程的一般代数解，这一课题直到意大利文艺复兴时期才得以解决。欧玛尔·海亚姆的解析几何学是阿拉伯人将代数和几何融合在一起的产物。直到４００年后，笛卡儿的研究才使解析几何学得到了进一步的发展。

    天文学是阿拉伯数学家们研究的主要对象。阿拉伯三角学的发展，使得阿拉伯数学家们编制出了更加精确的天文表。伊斯兰教的宗教法规的精确性，客观上促进了数学的发展。伊斯兰的历法基于朔望月，每个月的第一天，从新月后的蛾眉月出现开始。每天５次的祷告必须在固定时刻进行，祷告的时刻是由太阳的位置决定的。例如，从中午时刻的影长算起，当一个物体的影长增加到该物体自身的高度时，就必须开始进行下午的祷告。而且信徒们必须面向建于麦加的伊斯兰寺院内的圣堂进行祷告。关于祷告的次数、时刻和方位的这３个法规，都迫切需要天体和行星及地理学的知识。一开始，他们通过观测来尽量满足法规的要求，并使用了从希腊和印度流传过来的表。阿拉伯人最大限度地改进了这些表和观测方法。从１３世纪起，清真寺开始雇用能够熟练使用天体观测仪、四分仪及日晷的天文学家。

    显然，任何天文学计算上的发展都需要精确的三角表。下面，我们通过回顾ｓｉｎ１°的求值方法来看一下这些发展。当时已经有了正弦、余弦和正切的准确定义及两角和及差的正弦等一系列公式。一般的方法是从ｓｉｎ６０°＝槡３／２及ｓｉｎ３０°＝１／２这样的值出发，通过几何计算来精确求值。然后使用半角公式不断地二等分角度直到得到１°或接近１°角的正弦值。阿布·瓦法（Ａｂｕｌ－Ｗａｆａ，９４０—９９８）从已知的ｓｉｎ６０°的值出发，计算了ｓｉｎ７２°的值，并通过一个适当的公式计算出ｓｉｎ１２°的值。再使用半角公式进一步求出了ｓｉｎ１°３０′及ｓｉｎ４５′的值。因为这两个角非常接近，ｓｉｎ４５′到ｓｉｎ１°３０′的正弦曲线近似于直线，所以使用算术方法就可以求出ｓｉｎ１°的值。使用这样的方法，阿布瓦法编制出了每隔１５′的正弦表。在六十进制下，上述表的精确度是小数点后５位，而在十进制下精确度为小数点后８位。

    虽然我们已经有了三角表的制表理论，但是在此后的３００年间，三角表的制表技术没有重大的突破。那时的巴格达被蒙古统治，帝王是兀鲁伯（ＵｌｕｇｈＢｅｇ，１３９４—１４４９）。兀鲁伯在撒马尔罕建立了科学中心，卡什（Ａｌ—Ｋａｓｈｉ，１３８０—１４２９）是当时新天文台的第一任台长。他极大限度地改进了三角表的精确度。运用正弦三倍角公式，他建立了一个三次方程，这一方程使他可以通过ｓｉｎ３°的值来求ｓｉｎ１°的值。然后他利用迭代方法计算出ｓｉｎ１°的值。这一值在六十进制下精确到小数点后９位，在十进制下精确到小数点后１６位。利用已建立的关系，他完成了三角表的其余部分。但这也仅仅是计算技巧的改进。２００年后，开普勒使用了类似的方法。在提高数值精度的同时，阿拉伯人完善了既是观测仪又是模拟计算器的天体观测仪。天体观测仪利用天体来进行测时。当时巴格达之星已经开始走向衰退，蒙古统治者被土耳其人取代，他们的首都和文化中心建立在伊斯坦布尔。

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