棋盘上的麦粒

    据说古印度有个国王非常喜爱下棋，而且棋艺高超，很少输给别人。于是骄傲的国王就贴出告示：谁能下棋赢了自己，将给予重赏。有一天，一个术士进宫下赢了国王，国王就问他想得到什么赏赐，术士连忙拜倒回答说：“请您在这张棋盘的第一个格子里放一粒麦子，在第二个格子里放２粒麦子，在第三个格子里放４粒麦子，第四个格子放８粒……依此类推，每一格里放进比前一格多一倍的麦粒。尊敬的陛下，请您就把棋上６４个格子内应放的麦粒赏赐给我吧！”国王一听乐得差点笑出声来，心说这人真傻，竟只要求这么几粒麦子，所以马上就命令手下拿一小口袋麦粒，照术士说的方式数麦粒给他，还没有到２０格，一袋麦粒已经空了；一袋又一袋的麦粒扛出来，但是每一格都在成倍增加，国王终于明白，就是把整个王国的麦粒全赏给术士，也还远远不够。真的需要那么多的麦粒吗？计算一下就知道了。麦粒总数为：

    １＋２＋４＋８＋……＋２６３＝１８６４４６７４４０７３７０９５５１６１５粒。

    这究竟是多少麦粒呢？按每千粒２００克计算，每吨大约就是５００万粒。棋盘上全部麦粒加在一起共有３６８９３４８８１４７４２吨，如果建一个高１０米，宽４米的仓库来装这些麦粒，那么这个仓库的长度就是地球到太阳距离的两倍多，如果一列火车能装运１０００吨小麦，就需要３６８９３４８８１５列火车才能运完。一粒麦粒两粒麦粒虽然很少，但是如果成倍增长，那数字很快会变得很惊人，如果那国王多懂一点数学知识，就不会被术士钻空子了。

    百鸡中的数学

    古时候有一个县官老爷让仆人拿着１００文钱到张老汉那儿买１００只鸡，还要刚好花光那１００文钱，不能多也不能少。当时鸡的价钱是这样的，大公鸡５文钱一只，母鸡３文钱一只，小鸡则花１文钱就可以买到３只。张老汉左思右想，也想不出怎么搭配才能满足１００文钱１００只鸡的要求，因此愁闷不已。他的儿子说道：“父亲，不必发愁，我有办法。”他让父亲带去４只公鸡，１８只母鸡和７８只小鸡，张老汉一看，正好值１００文钱。县官见到张老汉送来了１００只鸡，非常惊讶，知道张老汉必是受人指点，于是又取出１００文钱给张老汉，让他再拿１００只鸡来，但不许重复，张老汉的儿子这次让父亲送去８只公鸡，１１只母鸡，８１只小鸡，又符合了县官的要求。县官大吃一惊，就问张老汉是受谁指点，张老汉据实回答，县官听说张老汉有这么一个聪明孩子，非常欣赏，就对张老汉说：“我再给你１００文钱，要是你儿子还能送１００只鸡来并且与前两次不重复，我就举荐他去读书。”张老汉回家一说，他儿子就不慌不忙地开口了：“父亲，您给县老爷送１２只公鸡，４只母鸡，８４只小鸡去就可以了。”县官后来也没有食言，果然把张老汉的儿子推荐去深造。

    这是一个不定方程问题，古人不会列不定方程组，那么，张老汉的儿子究竟用什么方法计算出这个问题的呢？原来，他发现了一个秘密，４只公鸡值２０文钱，３只小鸡值１文钱，加在一起就是７只鸡值２１文钱，而７只母鸡也恰好值２１文钱。只要少买７只母鸡，就可以买４只公鸡和３只小鸡，这样鸡数不变，钱也不变，答案却变了，这就是能够给出３个答案的原因。“百鸡问题”原载于《张邱建算经》，而在西方系统研究不定方程的是古希腊数学家丢番图，因此西方数学史把不定方程称为丢番图方程。

    鸡兔同笼问题

    《孙子算经》中有一道很有意思的数学题目：“今有雉（就是鸡）兔同笼，上有３５头，下有９４足，问雉兔各多少？”意思就是说在同一个笼子里关了鸡和兔共３５只，而这些鸡与兔的脚共有９４只，根据这个条件，要求出鸡的数目与兔的数目。如果没有学过解方程组，运用智慧还是能推算出来的。先假设笼子里３５只全是兔子，一只兔子四只脚，那么笼子里就应该有３５×４＝１４０只脚，比实际的９４只多出了４６只脚。每只鸡的脚要比兔子少两只，如果笼子里有一只鸡，脚就会减少两只，现在脚应该少４６只，所以笼子里就有４６÷２＝２３只鸡，剩下的就是１２只兔子。这种假设的方法在许多问题中都会用到，在数学中也称方程思想，当然也可以列出方程组求解。民间也流传着类似的数学谜语：３８只鸡和狗，１００条腿往前走，问有几只鸡几条狗？不妨试一试。

    装错信封

    有一天伯努里在圣彼得堡碰到欧拉，向他提出一个问题：

    “某人写了若干封信，也写了每封信的信封，等到往信封里装信的时候，他把所有的信都装错了信封，这样‘装错信封’的方法有多少种？”欧拉答应回去考虑后再回答他。这是组合数学中“错排问题”，后来欧拉给出一个计算公式。现在来看看它的解法。

    设有四封信，标上１、２、３、４四个号，按自然顺序设置信封。先用信封１、２错装成２、１，只有１种方法，记为：Ｄ２＝１；因为信封１不可能装错，所以：Ｄ１＝０。

    再用封信１、２、３错装成３、１、２和２、３、１，有２种方法，记为：Ｄ３＝２；这两种装运可以这样得到：先把１、２、３的１、２错装成２、１，再把２、１、３中的３与前面的２互换位置就得到３、１、２，和１互换位置就得出２、３、１。

    再看四封信全部装错的种数Ｄ４。

    先把最后一封信４和前面第一封信１装错，剩下的两封信２、３互相装错Ｄ２＝１；依次把４和２装错。剩下１、３互相装错，又一个Ｄ２＝１；把４和３装错，剩下１、２互相装错，共有（４－１）×Ｄ２＝３×１＝３种方法。（如下）４、３、２、１３、４、１、２２、１、４、３

    再把前三封信装错有Ｄ３＝２种方法，用４和第一种方法３、１、２的每一封信互相换装得：

    ３、１、２、４→４、１、２、３

    ３、１、２、４→３、４、２、１

    ３、１、２、４→３、１、４、２

    （４－１）＝３种方法。

    用４和第２种方法２、３、１的每一封信换装又得：

    ２、３、１、４→４、３、１、２

    ２、３、１、４→２、４、１、３

    ２、３、１、４→２、３、４、１

    （４－１）＝３种方法。

    共（４－１）·Ｄ３＝３×２＝６种方法。所以四封信全部装错共有：

    （４－１）Ｄ２＋（４－１）Ｄ３＝３＋６＝９种方法。

    这样推下去，可以得出一个递推公式：ｎ封信全部装错信封的方法有：

    Ｄｎ＝（ｎ－１）（Ｄｎ－１＋Ｄｎ－２）种。（Ｄ１＝０，Ｄ２＝１。）从中可以得到一个重要启示：从具体到抽象，从个别到一般是发现规律的普遍方法。

    难拿的箱子

    美国物理学家纽科姆曾提出一个悖论：“难拿的箱子。”有一天，一个宇宙人乘飞碟来到了地球上的一个小村子里。宇宙人说，他能非常准确地预言每一个村民在两种选择中会选择哪一个。于是许多村民前来验证他的说法。宇宙人用两个箱子来检验前来的村民。其中箱子甲总是透明的，里面装着１００个金光闪闪的金币，而箱子乙则看不到里面装的东西，可能空着，什么也没装，但也有可能装着比１００个多得多的金币。宇宙人告诉每个试验者，有两种方法可以选择：一种是拿走所有的箱子，但是当宇宙人预计受试者这样做时，他会将箱子乙变空；另一种选择是只拿箱子乙，如果宇宙人预测到应试者会这样做时，他会将箱子乙中变满１０００个金币。宇宙人说完就走了。

    一个小男孩决定只拿箱子乙，他的理由是，他已看到宇宙人预测的几次都没出错，所以他决定只拿箱子乙，宇宙人当然也不会预测错，因此他可以得到１０００个金币。一个小女孩则决定拿两个箱子，她认为宇宙人已经完成了自己的预言，并且走了，因此箱子不会再变。所以她拿两个箱子当然比一个箱子划算。那么这两种看法到底哪一个正确呢？至今人们仍在寻求答案。

    地图四色引发的思考

    １８５２年英国人弗南西斯·格思里在为地图着色时，发现了一个有趣的现象：每幅地图只用四种颜色着色，就可以使有共同边界的国家都被着上不同的颜色。这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？格思里和弟弟为证明这一问题用去了大堆的稿纸而没有结果；他们向数学家德·摩尔根请教，摩尔根也没有找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、数学家汉密尔顿爵士请教。汉密尔顿对这一问题进行长达１０年的论证，直到去世也没有能解决问题。１８７２年英国数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了全世界数学界广泛关注的问题。许多一流数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。

    这个问题直到电子计算机的出现，才为解决这个数学难题提供了有力的工具。１９７６年美国的阿佩尔和哈肯发表了借助电子计算机做出的肯定四色猜想的证明，费机时１２００小时，作了１００亿个逻辑判断。他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳以示庆贺。

    “四色问题”的被证明不仅解决了一个历时１００多年的难题，而且成为数学史上一系列新思维的起点，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。“四色问题”在有效地编制航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。

    趣话军训排队

    １９３４年秋天，当时日寇压境，政局混乱，北京各大专学校都设有军事训练一课，教官由军事委员会北平会委派。男生一律戎装，制服分冬夏两套。冬天为藏青色粗毛呢中山装，学生帽；夏天，浅棕色卡叽布，上身西式开领，系黑领带，裤子下半一排纽扣束腿，一如猎装。经常在大门外网球场上操练。每逢持枪上肩，喊“一、二、三、四！”边喊边走，精神上颇有威武之感。所学项目，不外乎立正、稍息、左右转弯、齐步、跑步之类。教官都是黄埔军人装扮，着后跟带刺的马靴，腰佩短剑，尉官军衔。他们平日和同学嘻嘻哈哈，在女同学面前更是分外温和。而一旦出现在操场上，居然一派军人气概。

    １９３５年，还在德胜门外黄寺大操场上，集合全北京的大专军训学生举行阅兵典礼。军乐声中，分列行进，很有点备战的气氛。

    １９３７年暑假，大专学生集训于西苑兵营。领了武器，剃了光头，穿上灰色军衣，阵容、装备、课目、要求俨然是正式军旅了。时隔不久，卢沟桥一声炮响，学生们都各奔前程了。

    在学生的军训中，排队也很有讲究，有很多道道。有八个中学生一男一女相间地排成一排。题目要求予以重排：将四个“士兵”排在一头，而将四位“红十字会护士”排在另一头，但仍要像原来一样，八个人排成一排。这项任务必须在四步之内完成，所谓一步，就是将相邻的一对学生一起挪动到其他位置。

    为方便起见，在解题时，可用一分硬币代表男学生，一角硬币代表女学生。

    然后，一次挪动一对相邻的硬币，设法在四次之内把所有的一分硬币集中到一头，而把一角硬币集中到另一头。要记住：只能挪动相邻的一对硬币，而且不准颠倒它们的顺序。譬如说，你可以将Ｄ和Ｅ（字母标志在他们的帽子上）一起挪到队伍的左端，但不准把Ｅ放在Ｄ的左边。

    答：把Ｂ和Ｃ移到队伍的右边，同打鼓的女学生站在一起；然后用Ｅ和Ｆ填补空当；再用Ｈ和Ｂ填补空当；最后再用Ａ和Ｅ填满空当。

    用数学沙漠脱险

    穿越沙漠水是第一需要，精神状态也非常重要。尤其是大部队行军穿越沙漠更是如此。有一则“亚历山大泼水过沙漠”的故事，讲的就是这个道理。

    公元前３２５年，马其顿国王亚历山大率军从印度西归。行至伽德罗西亚沙漠时，烈日当空，气候非常炎热干燥。部队走了几天都没有找到水源，携带的饮水已经用完，干渴使全军将士异常疲惫和虚弱，这不仅影响着行军速度，还严重地威胁着每一个人的生命。

    这时，派去找水的小分队在一条很浅的干河床上找到了一个小得可怜的水坑，他们费了很大劲才从里面淘出一点点水。他们把水装在头盔里，飞快地向亚历山大跑去，好像是为他呈送了多么了不起的礼物。亚历山大当着全军的面郑重地接过了这顶头盔，并向弄水的人表示感谢，随后默默地低下头把这点水泼在沙地上。全军将士起初一愣，随即为之一惊，然后突然爆发出一阵热烈的欢呼声，仿佛每个人都喝到了亚历山大泼出的那点水。由于全军上下精神振奋，行军速度大大加快，终于走出了伽德罗西亚沙漠。可见，在穿越沙漠中精神状态如何也是极其重要的。

    如果是飞行员跳伞落入沙漠里，则首先要解决遮阳的问题，可选用跳伞携带的遮阳伞，也可用降落伞搭设简易帐篷，此时应将帐篷内的热沙挖去，人坐在帐篷内休息，既可防日晒也可防风沙。白天炎热时不要行动，防止体力过度消耗而虚脱。等到晚上或早晨清凉时再进行必要的活动或行走。

    在沙漠中要学会找水源，一般在半月形的沙丘背面或干涸的河道易挖到水；生长甘草的地方，地下水在４～５米深处。

    沙漠中可食用的植物有肉苁蓉、沙枣、沙米等，可食用的动物有黄羊、刺猬、鸟类等。

    过沙漠时，有了水也不能大意，也要计划使用。解放战争时期，我军的两名侦察员在取得了重要情报后，大部队已经老早出发了。他们为了将情报及时送交部队首长，必须穿越沙漠抄近路迎头赶上。

    近路是一片荒无人烟的茫茫大沙漠。据当地群众说，穿过沙漠需要１０天时间，但是根据沙漠的气候特点和人体负荷情况，每人最多只能带８斤食品和８斤水，而每人每天至少要消耗１斤食品和１斤水。这样，最后２天便会因无法得到食品和水的补充而葬身沙漠。

    尽管当地可以找到民工，但是民工每人也只能带８斤食品和８斤水。各自所带的粮食和水连自己都不够消耗的。怎么办呢？急得两个侦察员抓耳挠腮。

    两人苦苦思索着解决办法。

    “有了，可以这么办！”忽然一个队员想出了妙法。两人一合计确实可行。

    于是两个人便顺利地通过了沙漠，圆满地完成了任务。他们想了什么办法呢？

    原来，他们雇用了一个民工，两天后，请民工回去，并给他２斤食品和２斤水供回去的路上用。民工余下的４斤食品和４斤水，两个队员平分，加上他们各自剩余的食品和水，每人仍是８斤食品和８斤水，而此时余下的路程也只需８天了。可见，这两个战士数学一定学得很好，而且用到了节骨眼上。

    更让人不解的是，在大沙漠中女军人更能安然无恙？在海湾战争中，在气温常常高达４０℃以上的阿拉伯大沙漠中，进驻了一批美国女兵。据一家美军医院透露，过去几个月里，该院已收治１８００多名来自海湾的美军患者。但奇怪的是，他们全部是男性。在同样的恶劣气候条件下，女军人从事着繁重的无线电通信、飞行勤务、战地救护和战场执勤等工作，却安然无恙，适应能力明显强于男性。这种现象引起一些专家的注意，正在从生理、心理等方面分析研究，寻找答案。也许当女性的某些潜在功能被揭示出来，人们将重新认识女性对战争的特殊作用。

    急中生智巧过桥

    在罗马帝国的恺撒—庞培之争中，恺撒最后建立了自己的独裁统治，但他也曾经受过失败的严峻考验。

    公元前４８年初，恺撒在帝国的西部取得了胜利，而庞培则控制着帝国的东部。两支军队比较起来，庞培军无论在数量、装备上都占有优势，其海军拥有６００艘战船，完全控制着亚得里亚海的制海权，恺撒军久经战火考验，英勇善战，往往能够依靠速度出奇以少胜多。

    在公元前５２年冬，两人进行了一次决战。恺撒军队遭到了重创，被迫撤出了都拉斯。惨重的失败使恺撒认识到，都拉斯是庞培长期经营的基地，在这里与之会战，是以己之短击敌之长，犯了一个大错误。于是，恺撒改变了作战计划，决心首先歼灭庞培的那些远离基地的军队，引诱庞培出兵增援，然后于机动之中歼其主力，这一改变了的计划切实可行。不久，恺撒军就大败庞培，庞培的军队全军覆没，庞培只身逃回都拉斯。

    途中，庞培经过一座桥。庞培经过仔细认真观察，发现这座桥中间有一个岗楼，岗楼里面有一个敌人的哨兵把守着，不准任何行人通过这座桥。假若你从东往西走，他就一定把你赶回东岸去；假若你从西往东走，他就一定把你送回西岸去。哨兵在岗亭内每隔８分钟就出来看看。可是通过这座桥，最快的速度也得１０分钟。庞培深知：强硬通过是不行的，但又必须通过，要靠自己想一个巧妙的办法。

    想着想着，庞培灵机一动，有了计策：

    他在哨兵刚睡的时候就开始走，走到７分钟的时候就已经走过了哨兵的岗楼。这时，庞培突然转过身来往回走，不到１分钟哨兵醒了，看见庞培在过桥，就赶忙命令庞培转身回去。

    就这样，庞培顺利地、大方地通过了这座桥，回到了都拉斯。

    飞机起飞中的数学知识

    航行中的航空母舰，其甲板上会产生相对风力。飞机由弹射器弹射起飞时，相对风力可使飞机增速；飞机降落时，它又能降低飞机钩在拦阻索上的返航速度。因此，飞机起飞着舰时，航空母舰必须逆风航行。一般的飞机在甲板上起飞时，必须先在跑道上滑行加速，一直加速到空气作用在机翼上的升力大于飞机重量时，飞机才能逐渐离开甲板。飞机着陆时，速度很大，必须在跑道上边滑跑边减速，才能逐渐停止。所以，甲板跑道对于飞机的起飞、降落起着极其重要的作用。甲板跑道既宽又长，并有着特定的方向，有的呈现东北—西南走向，有的则是东西走向，方向各异。甲板跑道这些特定的走向，与风有着密切的关系，它不是随意确定的。

    其实，在陆地修建机场跑道之前，除考虑地形、净空等条件外，也还必须了解地面风的变化规律，从众多的历史气象资料中，弄清当地风向风速的变化规律，参照盛行风向，跑道的方向设置在刮风次数最多的方向上。因为飞机的起降通常要选择逆风进行，即迎风起落，以缩短飞机起降过程中在跑道上的滑行距离。如遇侧风起落，飞机受风速的影响就要大得多，极易使飞机超过气象条件起落，增大了不安全因素。所以必须依据当地风向风速变化的最高频率，来确定跑道中心轴线走向。某地一年中频率最高的风向是东北风或西南风，跑道方向也就要与其接近；靠海边的跑道要考虑海陆风；地处山区的跑道不能忽视山谷风，以提高跑道的利用率和安全系数。反之，忽视了风的变化规律，一个终年总是东风或西风的地方，跑道却是南北走向的，其利用率、使用价值、安全系数是不言而喻的。

    因此，飞机在航母上起飞时，要考虑多重因素，尤其是航空母舰必须要逆风航行。同时，还要周密筹划飞机起飞顺序。这就要用到数学知识了。如：在一艘航母的机坪上，停着１０架等待执行任务的飞机。接到起飞命令后，第一架飞机开始起飞，每隔４分钟有一架飞机接着起飞。在第一架飞机起飞后２分钟，有一架飞机在机坪上降落。降落在机坪上的飞机，又依次相隔４分钟在原有的１０架飞机之后起飞。问：从第二架飞机起飞后，经过多长时间，机坪上才没有飞机停留？

    首先，机坪上原来停着的１０架飞机全部起飞共需时间４×（１０－１）＝３６（分）在这３６分钟内，机坪上降落的飞机数为：

    １＋３６－２４

    ６＝６＋６

    式中的余数４表示４分钟，也就是在３２分钟时，第六架飞机降落，在余下的４分钟里还没有飞机降落。

    降落的６架飞机接着起飞，需要用时间４×６＝２４（分）。

    在前面余下的４分钟和现在的２４分钟内，机坪上降落的飞机数为：

    ２４＋４４

    ６＝４＋６

    降落的４架飞机继续起飞需４×４＝１６（分）。这段时间里，降落飞机数为：

    １６＋４２

    ６＝３＋６

    ３架飞机起飞需３×４＝１２（分钟）。这时又降落飞机：

    １２＋２２

    ６＝２＋６（架）

    以下，依次有：

    ２×４＝８（分）８＋２＋２＝１＋４

    （架）

    ６

    １×４＝４（分）４４＝１＋２

    ６

    （架）

    ６６

    １×４＝４（分）４＋２＝１（架）

    ６

    到这里除尽，表示同时有一架飞机起飞，一架飞机降落。因此，机坪上还有一架飞机。

    １×４＝４（分）４＋０＝４

    （架）

    ６６

    在这时只有１架飞机起飞，而没有飞机降落，因此忙碌的机坪终于有了片刻的闲暇。所以共经过的时间为：

    ３６＋２４＋１６＋１２＋８＋４＋４＋４＝１０８（分）或者为：

    ４×［（１０－１）＋６＋４＋３＋２＋１＋１＋１］＝１０８（分）照相机中的学问你一定见过照相机专用的三脚架，它伸出三条长长的腿，稳稳地托住上面的照相机，使得拍出来的照片不会因为拍摄者手的轻微移动而模糊。除了照相机的三脚架，拍电影的摄像机也有一个三脚架，往往脚上还有轮子，方便摄像机的移动。

    我们生活中四个脚的东西很多，像桌子、椅子、各种鞋架子、超市的货物架等等，不是也很稳当吗，为什么照相机不用四脚架，却用三脚架呢？

    这是因为照相机使用了一个重要性质：不在同一条直线上的三个点，能确定一个平面，而且只能确定这一个平面，也就是说，这个平面是唯一的，只有一个，绝对不会有第二个。照相机的三个脚就构成三角形的三个顶点，它们不在同一直线上，按照上面的性质，这三个点正好构成三脚架底部的唯一平面，三脚架上面的照相机就稳当地定在这个平面上，由于是唯一的平面，照相机才不会晃动，影响拍摄效果。

    在生活中，我们有这样的经验：有时候由于地面不平整，椅子的一只脚上下地动，一会上，一会下，使得坐在上面的人很不舒服。因为不在同一条直线上的三个点构成一个唯一平面，而椅子有四个脚，相当于四个点了，其中的三个点构成了一个平面，剩下的那个点可能在这个平面上，也可能不在这个平面上。当椅子的第四个脚不在另三只脚构成的平面上时，这只脚就会悬着，椅子就晃了。

    照相机如果使用四脚架，就必须保证四个脚同在一平面上才能稳定，这就要求地面很平整，如果地面不平，照相机就放不稳当。桌子、椅子和各种架子一般都摆在室内，地面都比较平整，而照相机可不一定都在室内使用啊，有时还要在森林中拍照呢。那就不如使用三脚架了，三脚架对地面没有要求，不论地面情况怎么样，照相机总会放得稳稳当当。这就是照相机使用三脚架的原因。

    引人入胜的魔方

    魔方是生活中常见的一种游戏玩具，它是１９７３年由匈牙利建筑师埃尔诺·鲁比克发明的智力玩具。因为魔方的奇妙好玩，短短几年就风靡全球，为此，１９８０年在德国埃森市，鲁比克被授予“本年度最佳游戏发明奖”。

    我们先看看魔方是什么样的。它是一个立方体的形状，它的六个表面上分别涂上了六种不同的颜色，每一个面又分成九块，这九块的颜色开始时是相同的。立方体内部有一个结构很巧妙的十字轴，组成大立方体的２６个小组件也不是完全一样的。而是分成三类：中心块、边块和角块，无论组装还是拆卸都很方便，制造成本也很低廉。

    魔方的旋转中心有一个六向接头，每一个头分别连接着六个中心块、八个角块和十二个边块。它们依次镶嵌在旋转中心上，组成了一个完整的魔方体。这时，它就可以按横列或纵列绕中心块任意旋转，出现变化无穷的图案。

    据精确计算，魔方能变幻出各种不同颜色的全部图案总数为：４３２５×１０２９，这么大的数，约相当于全世界总人口６０亿的７０亿倍，真是不得了。

    魔方的玩法简单极了，每个动作都是以一个面为单位，按顺时针或逆时针的方向旋转９０度，任何人只要瞧上一眼都能学会，连两三岁的小孩也能自由摆弄它。虽然如此，要想把一个弄乱了的魔方恢复成原始的模样却是极其困难的。目前已知的最少还原步法为５２步，而理论上有人证明只需２３步就可以把一个任意打乱的状态“六面还原”。这中间还存在着巨大的鸿沟难以跨越。

    魔方是一种极有数学意义的智力玩具，其中包含着数学上“线性代数”以及“群论”的深刻道理，而且它还与理论物理问题有内在联系。如今，虽然智力游戏玩具越来越丰富了，但魔方在全世界仍然有无数的爱好者。

    狼、羊、白菜怎样过河？

    这个题目是这样的：有一个人带着一只狼、一只羊、一棵白菜来到河边（我们假设狼是不吃人的）。河边正好有一条空着的小船，渡河时船很小只能允许主人带一样东西，如果带两样东西上船船就会沉下去。另一方面，如果没人照管，狼会吃掉羊，羊又会啃白菜，所以狼与羊、羊与白菜在主人不在的情况下，是不能放在一起的。问主人应当采取什么样的过河方案，才能把狼、羊、白菜都安全地带到对岸去呢？

    这个问题称“狼、羊、白菜问题”，是一个古老的智力题，流传很广。它出自英国神学家阿尔奎恩的《益智题》一书。阿尔奎恩也是一位教育家，在逻辑学、神学、数学、天文学方面都有很多著作。

    这个问题的正确答案是这样的。主人先带羊过河，因为狼不吃白菜；然后空船返回。第二次带狼过河，到对岸后放下狼，带羊返回。将羊放在此岸上后，把白菜带过河；然后空船返回。第四次把岸上的羊带过河。这时，主人把狼、羊、白菜都带过了河，可以继续走路了。

    这真是一个有趣的问题，对吗？如果你没有想到返回的船上还可以带回一样东西的话，也许你就解答不出这道题了，这就是求解这道题的关键所在。主人第一次过河时，必须带羊走，因为狼与白菜可以放在一起，没有危险；第二次主人带狼过河，狼到对岸后，如果羊不带回，那么狼会吃羊，所以主人要带回羊；第三次主人带白菜过河，使河对岸出现狼和白菜这种安全的局面；最后一次带羊过河；三样东西就这样全给带到对岸，而且毫无损失。

    这个问题还有另一个答案，那就是主人第二次过河时，带白菜过河，与狼对调一下。由于狼与白菜对羊而言，地位相同（一个吃羊，一个羊要吃），所以才有第二种方案。“狼、羊、白菜问题”就这两种方案，你全知道了。

    如果主人带的东西更多，那么在分析这道题时会复杂许多。这时就要借助数学工具———图来化简问题，寻求算法了。

    蚂蚁举重物引出的数学知识

    你看过蚂蚁工作时的样子吗？它带着和它细小身材不相称的大麦粒敏捷地顺着一株植物茎向下面爬去。这真是不可思议，这小小的蚂蚁从哪儿来的这么强大的体力，能够并不十分吃力地搬动比它体重重过十倍的重物呢？要是一个人搬运相当于他体重这么多倍的重物，如背着一架大钢琴爬上梯子，简直是不可能的。难道蚂蚁比人还有力气吗？

    果真是这样的吗？这个问题，没有几何学的帮助，也是无法解答的。

    让我们先分析一下动物的肌肉。从刚杀死的青蛙身上取下肌肉，做个实验。把青蛙的腿肚肌连同它附着的大腿骨和腱子挂起来，把一个钩子穿在腱子上，钩上挂一个砝码。假如把两根电线连在这肌肉的两端，并接通电流，那么这条肌肉就马上收缩而提起砝码。逐渐增加砝码以测出这条肌肉的最大举重能力。现在依次把两条、三条或四条同样的肌肉连接起来，连通电流，于是砝码提高到和肌肉条数相当的倍数。试想，如果这些肌肉都是生长在一起的，也会得到同样的结果。因此我们知道肌肉提高力的大小并不决定于肌肉重或长度，而决定于它的粗细，也就是决定于它的截面大小。

    设想有两个动物：第二个动物的直线尺寸都是第一个的２倍，那么第二个的体积、体重就是第一个动物的８倍；但是，在面的度量上，第二个动物肌肉的截面却只是前者的４倍。这样看来，虽然一个动物身体已经长到原来的２倍，体重已经变为原来的８倍，但它的肌肉力量却只增加到原来的４倍。也就是说，这动物体力和体重相比反而弱了一半。根据同样理由，一个动物在长度上是同类的另一个的３倍，在相对的体力上将减弱到只抵另一个的１；４倍长的动物，它的提高力也相对地降低到１。

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    动物的体积和重力不和肌肉力量作同样比例增长的原理，解释了为什么昆虫类，如黄蜂、蚂蚁等能够背负等于本身体重３０倍、４０倍的重物，而人类在正常情况下———运动员和重物搬运工人例外，却只能负荷体重的９，而我们认为能干活的马，也只能１０负荷自己体重的７。

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    蜘蛛结网引发的故事

    笛卡儿是１７世纪法国的哲学家和数学家，他在哲学和数学领域做出了很多贡献。他有敏锐的观察力，善于思考，很注重生活中与数学有关的问题。

    有一次他患了重病，躺在床上，望着天花板。他看到一只蜘蛛正忙着在角落上结网。它一会儿在天花板上爬来爬去，一会儿顺着吐出的丝在空中移动。看着看着，他被吸引住了，陷入了沉思。

    他在想什么呢？原来，一个问题出现在他的脑中———如何在空间确定蜘蛛的位置呢？

    思考了一会儿，他想到，在房间这个空间里，墙与地面是不动的，唯有蜘蛛在移动，能不能将墙与地面作为不动的参照平面，用两面墙的交线以及墙与地面的交线，在空间来确定蜘蛛的位置呢？

    他急忙让家人拿来纸笔，试着画了一个图形。Ｐ代表空中的蜘蛛，由Ｐ到两面墙的距离为Ｘ和Ｙ，到地面的距离为Ｚ。这样，通过三个距离值就准确地标出蜘蛛Ｐ的位置来了。

    病好以后，他又进行了长时间的研究，由此创建出一门新的数学分支，就叫做解析几何。在空间解析几何中，用三条互相垂直的线（Ｘ、Ｙ、Ｚ）组成一个空间坐标，三条线也叫做轴，即Ｘ轴、Ｙ轴和Ｚ轴；三轴两两决定一个平面，如ＸＹ平面、ＹＺ平面和ＸＺ平面，每个轴都垂直于另两个轴所决定的平面。在这个坐标系中的任何一点均可用三轴的坐标值来表示（Ｘ、Ｙ、Ｚ），如Ｐ（２，２，１）即表明了Ｐ点的位置。这个坐标，就叫做笛卡儿坐标。

    有了笛卡儿坐标，人们就可以把几何学上的问题用代数方程来进行研究，许多问题解决起来就容易多了。

    解析几何这门课程，同学们上高中后就可学习到了。你们也要像笛卡儿一样，留心观察周围的各种现像，锻炼自己的观察力、思考能力，这样你们就会发现，生活中有许多奇妙的科学问题。

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