表面张力

    黄昆

    （北京大学物理系）

    在中学和大学的普通物理课程中都要讨论表面张力的现象，而且通常还用分子理论说明它的原，但是所有通用的课本对于这问题的讨论都很不恰当，即便不算是错误，也是十分模，因此每教到这里，教师就遭遇很大的困，一年以前，在北京大学担任普通物理课的教师们和我一起对问题做了深入的讨论和分，我们发现，一般课本上所用的分子压强和类似的说法并不能说明表面张力发生的道，通过一段时期的摸索，我们终于能够根据明确的物理形象分析表面张力发生的原因，并且也在同样的基础上解决了接触角以及表面能的问，本文内容主要就是当时讨论所得出的结果。

    本文到现在才写出来，原因是我们所提供的分析，即便对大学一年级生讲授，还是可能有困难，我们也曾考虑过是否能用更简单的方式说明这问题，但是并没有结，最近《物理通报》二卷三期上登载了苏联沙哈诺夫的文章，文中也指出用分子压强讲表面张力是不恰当的，同时还提出怎样讲表面张力的具体意，在理论方面，沙哈诺夫的意见基本上是以表面自由能作为讨论的基，这样的确容易为学生接受，更重要的是不会引向许多错误的想法，沙哈诺夫的建议所针对的是中学物理课，着重的是如何讲，因此，我们觉得同时应该把我们直接分析表面张力的方法也写出来，一方面可以供教师们自己了解分子力究竟怎样引起表面张力的参考，另一方面还希望能引起讨论，研究一下这样直接由分子力来说明表面张力，在大学普通物理甚至在高中物理课中是否可能、适当和必，所以，本文目的不是提供怎样讲授表面张力的意见，而是说明怎样能直接由分子间的力获得表面张力的解释。

    在物理学中，表面张力理论的研究已有百年以上的历，为了解分子压强说法的来源和为什么表面张力问题还得完全重新考虑，就需要知道以前研究情况的梗，我们对这方面还需要掌握更多的历史材料，加以整理分析，打算将来另写专文，就不在本文中予以讨论了。

    在下面的叙述中，我们尽量地避免运用数学形式，因此说明问题就不能够很简，这样做的目的是希望能够时时刻刻提醒所讨论的物理内容，把问题的实质更好地表映出来。

    Ⅰ。表面张力的意义

    过去对表面张力理论的研究缺乏物理形象很鲜明的分析，因此产生了不少的模糊想，最突出的例子，就是说表面张力是为着描述液体表面现象的方便所虚拟的，事实上并不存，显然，讨论表面张力之前，首先必须对这一点有明确的认识。

    不会有人怀疑，拉紧的橡皮带具有一定的张，从橡皮带本身来看，这就是说，带的任何横截面上有着正的胁强（抗张胁强）。说得更具体些，截面两边的分子通过截面相互吸，同样地，房屋的支柱承受屋顶上压的力，柱子横截面上存在负的胁强（压缩胁强），在这样情况下截面上下的分子通过截面相反推，所以，表面张力是否存在应该是可以很明白答复的问，为着说明表面张力存在，就要证明，在液体表面的附近在沿液面的方向有正的胁强存在。或是说得更具体些，通过一个垂直于液面的截面两边的分子是相互吸引，这情形可以形容得更确凿一些：如果沿液面方向的胁强存在于一个厚度为。

    d的表面层中，同时胁强在表面层内的平均值为S，则表面张力可以表示为：

    因为表面张力代表横过液面上单位长度的总的张，上式还可以用积分更精确地表示出来：如果S（x）代表距液面x处沿液面方向的胁强，则（上限∞表示积分应包括所有S（x）不等于零的地，但是实际上自然S（x）主要只存在于液面附近，所以积分中也只有x很小的一部才真实有贡，）

    Ⅱ。两个关键性因素

    为着了解表面张力发生的道理，首先需要注意以下两点。

    （1）分子间的作用力一般都是由吸引力和推斥力两部分构成，吸引力和推斥力的特征有下列主要的区别：

    两个分子间的吸引力和推斥力虽然在分子间距离增加时都要减弱，但是两者的有效作用距离很不，分子间的推斥力可以认为在分子相接触时才发生，而间隔着多数其他分子的两个分子还可以有一定的吸引，至于吸引力的有效作用距离究竟多大，或是说，分子相隔多远时吸引力才可以不计，则决定于分子的性质，不能一般地说，以下，我们普遍地用d代表分子间吸引力的有效作用距离。

    其次，分子间距离改变时，推斥力和吸引力都改变，但是比较起来，推斥力改变很快，吸引力改变得，换句话说，由于相同的距离变化，分子间的推斥力变化比吸引力的变化大很多。

    （2）液体的性质在液体内部是各向同性的，但是在表面的附近则不然。

    液体内部各向同性，直接反映在流体静力学的基本定律中——在静止流体内一点各方面的压强（负胁强）相，原理也很简，流体内的分子，不像固体，没有持久性的排，因此，以一段适当时间内的平均情况讲（宏观看法），环绕液体内部一点分子在各方向上的分布是均匀的，因而构成各向同性的情况。

    液面附近的情况就不同，譬如，我们考虑位置在厚度等于d（吸引力有效作用距离）的表面层里面的一点，如的O，O点显然受到液面外没有分子存在的影响（线荫区域），图中箭头所指的方向、情况都各不相，因此，表面层内的情况不是各向同性，在这里，上述的流体静力学定律也就不能应，换句话讲，在表面层内一点，不像液体内部，各方面的胁强并没有理由是相同，这样至少在表面层内沿液面方向有发生张力的可能性，是完全可以理解的。

    Ⅲ。液体内的胁强

    底下，我们进一步分析分子力和液体内胁强之间的关系。

    计算胁强时，我们可以分别考虑分子间的吸引力和推斥，这样就把胁强也分为两部，两部分的数值，我们分别称为引胁强和斥胁，所以，

    胁强=（引胁强）-（斥胁强）。（3）

    根据上节所讨论的道理，在液体内部，无论引胁强或是斥胁强，都保持在各方面相，用p代表在液体内部一点的压强（胁强=-p），于是

    （引胁强）-（斥胁强）=-p。（4）

    在通常限度内，压强对液体密度的影响很，所以压强改变时，分子间的距离只略微变更，因此，引胁强几乎是不变的（见上节），而可以写为引胁强=A，（5）

    这里A可以看做一个不变常数（即与p的大小无关）。把（5）式代入（4）式，就得到

    斥胁强=A p。（6）

    （5），（6）两式表明，液体内部压强的变化主要是由于斥胁强的变化，引胁强保持几乎不变的数值。

    （5），（6）两式的物理意义也可以这样解释：当液体密度有微小的改变时，由于推斥力很灵敏地为分子距离所影响，所以斥胁强发生一定的变化，但是引胁强则几乎不受影响，因此斥胁强的改变直接表现为压强的改变。

    一般液体内部的引胁强A都十分大，数值在10000大气压左，所以，在一般情况下

    A？p。（7）这说明，在液体中，引胁强和斥胁强都很大，两者几乎抵消，中间很小的差数才是液体的压强。

    以上是液体内部的情，到了表面层内，引胁强和斥胁强之间产生了更基本的区，因为斥胁强是由相互接触的分子所产生的，所以除液体的极表面之外，在表面层内各点上的斥胁强仍旧可以看做是各向同性，换句话讲，在差不多整个表面层内，斥胁强仍旧保持着在各方向相，然而，根据上节的讨论，很显然，一到表面层内在各方向上的引胁强就不会相同。

    斥胁强和引胁强间上述的基本区别，可以看做是分子间推斥力和吸引力的有效作用距离不同的结，在表面层内只有引胁强起了上述的根本变化，自然是因为表面层本身便是根据吸引力的有效作用距离所划分出来的。

    Ⅳ。简化假设

    用分子理论处理像固体和液体这样复杂的系统时，不可避免地要做一些简化假，简化的原则就是针对分析问题的目的，尽可能地消除次要因素，同时不影响问题的主要因，为着扼要地和简单地说明表面张力发生的道理，在这里，我们做以下的假设：

    （1）推斥力和吸引力间差别的绝对化。首先，如第289页注中已指出的，当液体密度有所改变时，认为分子间吸引力不受影响，只是为着简化而做的假设，实际上不是精确，其次，在下面的讨论中，我们将认为斥胁强在整个表面层中都是各向同性，这等于假设，推斥力的有效作用距离小至可以完全忽，这也不是完全精确，（2）分子热运动可以忽略。实验告诉我们，温度对表面张力有一定的影响：温度愈低，张力愈，这固然一方面说明，分子热运动影响表面张力，但同时也说明，分子的热运动并不是产生表面张力的因，否则，当温度降低，热运动减弱时，张力势必要减少而不会增，（3）重力的影响可以不计。重力在液体表面附近所产生的压强和液体内引、斥胁强相比是微乎其微的（参看上节（7）式）。表面张力是由表面层内沿液面方向的引、斥胁强的差别所构成的，这差别和引、斥胁强本身的大小可以比拟（见下节）。因此，忽略重力对讨论表面张力的影响实际上是微不足计，（4）液体不受任何外压强。因为普通所施的外压强都比液体内引、斥胁强小很多，所以和假设（3）一样，不考虑外加压强，对讨论表面张力的影响极，（5）液面是平的。为着说明表面张力发生的原因，讨论平液面的情形就已足够；而且处理弯曲液面的具体问题时，每一小块液面仍旧可以看做平液，可以这样做，是因为一般弯曲液面的曲率半径比表面层的厚度大很多。

    Ⅴ。表面层内的侧向胁强

    现在考虑一下，在上节的假设下，液体内的情形如，由于假设（3），（4），（5），表面层液体内部的压强在各处都等于，因此，在液体的内部（见节（），（）两式）：

    引胁强=斥胁强=A。

    在表面层内的任何地点，一个平行于液面的面积上的胁强也等于，证明这事实的方法和在流体静力学中所常用的一，假想一个正圆柱体，下底在表面层里面，上底在液表面，两底都与液面平，我们考虑柱内液体的平衡条，表面层内的情况虽不是各向同性的，但是可以证明，在一个垂直于液面的面积上的胁强仍是垂直于该面积的（见附录Ⅱ）。因此，作用在液柱四周的力都垂直于柱面，由于圆形对称，效果相互抵，同时，柱的上底又不受任何力，所以，为满足平衡条件，在表面层内的下底上面的胁强也必须等于零。

    上面的结果自然并不说明在表面层内沿液面方向的胁强（垂直于液面的面积上的胁强）也等于零，因为表面层内情况不是各向同性的，所以各方向的胁强并不相，现在我们把引胁强和斥胁强分开，进一步讨论一下这结，在下面的讨论中我们称垂直于液面的胁强（在平行于液面的面积上的胁强）为正向胁强，沿液面方向的胁强（在垂直于液面的面积上的胁强）为侧向胁，所以，上面的结果就是说正向胁强等于，用（3）式，这结果可以写为：

    或

    （正向引胁强）-（正向斥胁强）=正向胁强=0，

    正向引胁强=正向斥胁，（8）

    但是，已经指出，表面层内斥胁强在各方向上仍旧相等，所以

    侧向斥胁强=正向斥胁强

    与（）式合并，就得到，

    侧向斥胁强=正向引胁，（9）

    决定表面张力的是表面层内的侧向胁强（见Ⅰ节（1），（2）两式）。根据

    （9）式，侧向胁强可以表示如下：

    侧向胁强=（侧向引胁强）-（侧向斥胁强）=（侧向引胁强）-（正向引胁强）。（10）

    （10）式是说明表面张力存在的基本关系，为着更好地了解把侧向胁强这样表示的原因，我们把与以上推论相关的物理意义说明一下：

    在液体极表面的正向引胁强显然等于，这是因为在液面上的一个面积只在一边有分子，所以也就不能有分子作用力通，而表面层的底部则直接和液体内部相连，因此在这里正向引胁强（侧向引胁强自然也是一样）的数值也就等于液体内部的引胁强A。根据（8）式，斥胁强的数值处处和正向引胁强相同，由液面至表面层底同样的从零增为A。斥胁强的变化事实上表示着液体的密度由液面至表面层底有所增加，相应的分子距离减小促成斥胁强的增，在这里，应该注意，决定引胁强和斥胁强的因素截然不，譬如，正向引胁强由液面至表面层底的增加就是因为一个平行于液面的小面积在表面层内愈靠近层底，在面积上方的分子数目愈，直当达到表面层底时，凡能影响这面积上胁强的各处才完全充满分子，引胁强也就达到其“饱和值”A。这样确定了的正向引胁强再引起表面层内各点密度的变化，从而产生符合（8）式的斥胁强。

    由上面的说明可以看出，引胁强不受密度的影响，在表面层内任一点都可以由与液面的距离直接计，但是，斥胁强的大小决定于液体密度，在理论的分析中，只能由引胁强间接推算（（8）式）。这就是在（10）式中把侧向胁强用正侧向的引胁强表示出来的原因。

    Ⅵ。表面张力存在的证明

    根据（10）式，为着说明表面张力存在，只需要证明在表面层内侧向引胁强＞正向引胁，（11）

    这不等式可以直接用数学方法证，但是在下面，我们借助图解用推论方式证明这关系。

    我们先用液体内部的情况说明图解的意，图解的目的是把所有在一个小面积上产生引胁强的分子对都清楚地表示出，设dA代表液体内部一个小面积，我们环绕dA作半径为d的球面如分子的平均分，如果我们普遍在每两点间做连线，连线中只有很小一部分通过dA。在图中，我们只画出这些通过dA的连，这样的每一条连线显然就表示出可能在dA上面产生引胁强的一个分子，为着底下的讨论，特别值得注意，在靠近垂直于dA的方向上，连线最密集，而在靠近平行于dA的方向上，连线变得很稀，连线有这样的分布，借的帮助是很容易了解的，因为，从dA的正前后方的一个分子（例如中A点）来看，面积dA所撑的立体角最大，所以通过dA和背后的分子成对的情形就很频，代表这样的分子对的连线自然是在靠近垂直于dA的方，但是靠近平行于dA方向的连线则发生于在dA侧面的分子（例如中B点），从侧面的分子来看，dA所撑的立体角很小，因此通过dA与其他分子成对的情形就很稀少。

    现在我们用同样的方法考虑在表面层内的情，是说明在表面层内一点的正向引胁强的图解，dA和液面平，是说明在同点侧向引胁强的图解，图中dA和液面垂，比较两图，就很容易了解侧向引胁强必然大于正向引胁强，原因是双重的：

    （1）中连线数目显然比多，表示参与产生侧向引胁强的分子对数目比参与产生正向引胁强的分子对，原因很简，因为和比较，对于正向引胁强来讲，液面外没有分子的结果是减少靠近垂直于dA方向原来很密集的连，但是对于侧向胁强来讲，所减的是原来靠近平行于dA方向数目很少的连线。

    （2）其次，在上节中已经指出，正向引胁强和侧向引胁强都和面积dA垂，因此，计算胁强时，只需要取每一分子对间的吸引力在垂直于dA方向的分，所以，同样的吸引力，愈靠近垂直于dA的方向，对胁强的贡献愈，由和看得很清楚，中连线比较地更密集在靠近垂直于dA的方向，结果也是使侧向引胁强大于正向引胁强。

    总起来讲，如果我们比较在表面层中同一点垂直和平行于液面的两个小面积上分子吸引力的情况，就发现通过前者相互吸引的分子对数目既多，而且更集中在垂直于小面积的方向，这样双重的原因致使侧向引胁强大于正向引胁强，因而产生了正的侧向胁强（见（10）式），结果表现为液体的表面张力。

    在Ⅲ节中已经指出，液体内部引、斥胁强的数值A是十分大，根据上面的理论，我们也可以用一般表面张力的数值说明这事，显然在表面层内，无论侧向或是正向引胁强都必然小于A。但侧向胁强是这两者的差，所以必须只是A的一个比较小的分，或者说，A应该有表面层内侧向胁强的一个比较大的倍，取张力T=100达因/厘米为例，假设表面层厚度为10-7厘，则侧向胁强的平均值S应当是（见（1）式）：

    所以，A的数值必然在几千大气压之上。

    Ⅶ。附着层

    上面讨论的都是液体自由表面的情，这节的目的是分析与固体相接触的液体在接触面附近的情况。

    固体和液体分子相互吸引力的有效作用距离，我们用e代表，除去d和e恰好相等，则有以下两种可能：

    在任何情况下，我们普遍用t代表d和e间的较大，接触面内厚度等于t的一层液体可以称为附着层，这样，液体中附着层以外的各处都不受到接触面的影响。

    附着层内的引胁强可以看做是由两部分构成，通过附着层内一个小面积有液体分子间的吸引力，同时还可以有固体分子和液体分子间的吸引，我们称前者所引起的引胁强为固有引胁强，后者所引起的引胁强为附着引胁，所以在附着层内：

    引胁强=（固有引胁强） （附着引胁强）。

    譬如，考虑和固体相接触处的一个小面积（方向任意），就可以看出，在这里固有引胁强等于零，引胁强全部都是由于附着引胁，相反地，与液体内部相连接处和固体相距已超过或是达到固体和液体分子间吸引力的限度，因此附着引胁强在这里等于零，引胁强全部是由于固有引胁强。

    固有引胁强显然可以解释为假想固体不存在时液体内的引胁，这说明，附着层内的固有引胁强和表面层内的引胁强没有区别。

    附着层固有引胁强=表面层引胁强，（14）

    这式两端当然是指在附着层和表面层地点和方向相当的胁强。

    附着层内斥胁强的情况和引胁强完全不，因为斥胁强是相互接触的分子所产生的，所以在附着层内的斥胁强，和在液体内部一样，完全是由液体分子相互作用所产生，同时，和上面讨论表面层时一样，附着层内一点的斥胁强仍旧保持在各方向相等。

    根据附录Ⅱ的推理，可以知道，在附着层内一个垂直于接触面方向的小面积上面的胁强垂直于该面，因此，如果设想一个正圆柱体，两底分别在附着层和液体内部，而且和接触面平行，则作用于液柱四周的胁强相互抵消，同时由于在液体内部柱底上的压强等于零，所以液柱的平衡要求在附着层内的柱底上面也没有胁，换句话说，和表面层的情形一样。

    附着层内正向胁强=0.（15）

    这关系决定了附着层内的斥胁强：

    附着层内正向斥胁强=附着层内正向引胁，（16）

    斥胁强既在各方向相同，侧向斥胁强的数值与上相同。

    Ⅷ。决定接触角的因素

    讨论液体和固体的接触角时，我们仍旧采用Ⅳ节的假，实验结果也说明，接触角并不受重力和外压力的影，表示一个液体和一个固体平面所作接触角附近的情，在下面，我们分析图中虚线截出的三角形内的液体（垂直于纸面的厚度取为单位长度）的平衡条件，从而确定决定接触角的物理因素。

    三角形内液体受到的力可以分为两部分：

    甲、固体加于液体的力。

    由于对称的情况，很明显，整个固体加于液体中任一分子的力必然垂直于固体，因此，固体加于三角形内液体的总力也垂直于固体面。

    乙、虚线下的液体加于三角形内液体的力。

    这一部分力可以由三角形底面上的胁强来计，由看得很清楚，三角形底面分为三个区域，分别在液体内部、表面层内和附着层内。

    在液体内部，压强等于零，所以处于液体内部的底面上没有胁强作用。

    三角形底面在表面层以内的那一部分上面胁强的总和就是表面张力T。对于在三角形内的液体讲，张力作用的方向是沿液面方向下，根据的方位，这力可以用以下分力表示：

    讨论附着层内的胁强时，应该注意，所需要的并不是附着层内侧向胁强的全，因为固体分子对三角形内液体的影响已包括在甲项之下，这里所要讨论的只是底面以下液体分子加于三角形内液体的，所以，根据上节的分析，所应考虑的是，侧向斥胁强和侧向固有引胁，对于三角形内液体讲，前者作用的方向是朝上的，后者是朝下，合起来可以写为朝上的力：

    （侧向斥胁强）-（侧向固有引胁强）。（18）

    利用上节的结果，侧向斥胁强可以变换如下：

    侧向斥胁强=正向斥胁强=正向引胁强=（正向附着引胁强） （正向固有引胁强）。

    因此，（18）式可以改写为：

    （正向附着引胁强） （正向固有引胁强）-（侧向固有引胁强）。

    （19）

    因为附着层内的固有引胁强和表面层内的引胁强相等，所以（19）式内的最后两项合起来恰好就是表面层内侧向胁强的负，因此，（19）式所表示胁强在附着层内的总和可以写为：

    F=e（平均正向附着引胁强）-T。

    （20）

    在第一项中厚度用e而不用t，因为在t=d和t=e的两种情况下（见前节（12），（13）两式），附着引胁强都只存在于厚度为e的一层内。

    因为整个固体加于三角形内液体的力是在左右的方向，所以作用在这部分液体上的上下方向的力只有向下的力Tcosθ向上的力F。维持液体平衡，两力必须抵消：

    Tcosθ=F。（21）

    F代表液体分子间的相互作用在附着层内所引起侧向的，（18）式实际上规定了F是正值或是负值的意义：正的F值代表液体在固体面上的展延力，负的F值则代表液体在固体面上的收缩力（张力）。根据（21）式，接触角与力F的性质有下列关系：

    任何情形下，固体分子对液体分子总有一些吸引，所以根据（20）式，负的F值必然在0与-T之，因此，F代表收缩力时，接触角是钝角。

    F恰好等于零时，液体在固体面上没有收缩或展延的倾，液面和固体面在这情况下成直角。

    T＞F＞0时，F为展延力，但是小于T。在这情况下，接触角为锐角。

    展延力F超过表面张力T时，液体在固体面上无限展，因此，代表平衡情况的（21）式在这种情况下没有解。

    决定接触角的力F的构成，在（20）式中表示得很清，F是由一个收缩力和一个展延力所组合成，收缩力-T实际上就是液体固有的表面张，展延力则是由固体分子对液体分子吸引所产生的正向附着引胁强间接引起，讲得更仔细一些，正向附着引胁强的存在必然引起附着层内液体密度的增加使得斥胁强增加，这样才能保持正向胁强等于，斥胁强的增加在侧向就表现为液体在固体面上的展延倾向。

    Ⅸ。表面张力和表面能

    设想把一个液体沿一个平面剖开，然后把两部分慢慢地分，在这过程中，我们必须克服液体两部分之间的分子吸引力而做，这样一段过程的结果是造成了两个自由表，所做的功也就表现为两液面的表面能。

    表示AB和CD两个液面相距为x时的情，我们考虑CD面上的一个小面积（平行于CD），令R n（x）代表面积上的胁，这胁强自然是两部分液体间分子吸引力所产生的，所以R n（x）也就等于两部分液体每单位截面的相互吸，因此把两部分完全分开，对单位截面做功可以用下列积分表示：

    液体分开后既然产生一对液面，每单位液面的表面能必然等于积分的一半：

    Ⅺ。分子压强和类似的说法

    在本文开始已经说过，一般分子压强和类似的说法并不能说明分子间的作用力如何引起表面张力的现，底下，我们列举几项这类说法在方法和内容上的主要错误：

    （1）这类说法只片面提出分子间的吸引，但是分子间的推斥力对于表面张力问题有着同样重要的意，从分子理论的观点来看，表面张力的发生就是由于吸引力和推斥力在与分子距离的关系上存在着差，所以只提吸引力来讨论表面张力是没有意义的。

    （2）这类说法通常只孤立考虑在表面层内一个分子所受的，然而，表面张力是许多分子相互关联、集体平衡所产生的效果。

    另一方面，任何系统的张力问题都不可能由其中一个质点所受的力来考，拉紧的橡皮带中，每一个质点都在平衡状态中，作用在质点上的合力也必然等于，同样地，在液体表面层中，每一个分子平均受的力也等于，分子压强的说法只考虑吸引力，给予相反的印象，引起很多错误的想法。

    （3）分子压强实际上就是本文中的正向引胁，但是因为推斥力完全被忽略，在用分子压强的一般说法中，自然就不可能获得和液体压强的正确关系。

    （4）许多书都用所谓“内聚力”和“附着力”来说明接触，结论是：

    “内聚力”大于“附着力”则接触角是钝角，

    “附着力”大于“内聚力”则接触角是锐角。

    很多书对所谓“内聚力”和“附着力”就没有明确的定，其余的书则有两种不同的说法：

    “内聚力”指所有液体分子对一个在接触角附近的分子的吸引力；“附着力”指固体对这分子的吸引力；

    “内聚力”指液体内两个分子的相互吸引力；“附着力”指固体和液体分子间的吸引力。

    其实，根据这两种意义，刚才上面所举对接触角的结论都是错误的。

    附录Ⅰ

    在表面层内，胁强不是各向同性的，因此一个任意方向的小面积上的胁强未必与面积垂，但是，如果小面积与液面平行，则由于对称关系，显而易见胁强与面积垂直（即垂直于液面）。实际上，一个垂直于液面的小面积上的胁强也和面积垂，这事实可以证明如下：

    在中，dA为在表面层内任意一点的一个垂直于液面的小面，图仅示dA的侧，设CD表示任意一对通过dA而相互作用的分，对于包含dA的平面作与CD对称的C′D′。C′D′同样代表一对通过dA而相互作用的分子，而且显然两对分子在液体内出现的几率是一样的，因此计算dA上面的胁强时可以一同考虑。

    黄昆

    （北京大学物理系）

    不以磁极概念为根据来讲电磁学，是苏联电磁学教学内容中的一个重要的特，在苏联的大学普通物理教学大纲中以及在福里斯、季莫列娃的《普通物理学》、巴巴列克西的《物理学教程》等参考书中，论述电磁现象都不是从磁极的概念开始，关于这一点它们和资本主义国家的书籍相比较，优越性是十分突出，在资本主义国家的书籍中，我们也能够找到不从磁极出发来讲电磁现象的例子，但是它们和苏联的书（特别是福里斯、季莫列娃的书）相比，就有根本的区，这是因为资本主义国家的书在问题上并没有明确的目的性，在全部的表述上和处理问题的方法上并没有重视如何正确地认识磁性的本质这一根本问题。

    不根据磁极的概念讲授磁的现象，是贯穿着有关这一部分教学内容的根本性问题，因而就关系着教学过程所必须着重考虑的各个关键性的环，本文仅就个人粗浅的体会和意见来讨论几个有关的问题，希望读者指正与批评。

    一、为什么不应当根据磁极的概念介绍磁的现象

    从中国最早发现磁的现象以及它的应用，一直到十八世纪末，人们对于磁的现象虽然已经积累了一定的精确的科学知识（库伦定律发现于1785年），但是，人们仍旧把它当做某一些特殊物质所特有的现象，在那时候磁的现象就是通过磁极的概念而被理解，当1812年奥斯特发现了电流的磁效应，人们首次认识到磁现象的普遍，正是这种对于电和磁的现象之间的相互联系的认识，构成以后电磁学能够大发展的一个根本的因，但是，在那时候仍然存在着这样的一个情况：磁性固然是与电流相联系着的普遍现象，而又同时是某一些物质所特有性质的表，为了解决磁性这一个双重性质的问题，安培提出了磁性物质的磁性是由于分子电流所产生的假，这一假说一直到我们这一世纪，当物理学的发展深入到了原子内部结构的时候，才得到证，廿世纪物理学的发展是人类认识物质世界过程中的一个光辉的成，由表面上没有联系的现象，深入到事物的本质，找到了其中的内在联系，同时我们还肯定了一个重要的基本事实，即一切电磁现象都是和物质所带电荷联系着的，并没有什么“磁荷”的存在。

    从这里我们清楚地看到，我们绝不可能开一个半世纪的倒车，一开始就把磁的现象作为某些物质所特有性质的表现介绍给学生，并且从开始就把学生的思想引到一些客观上并不存在的“磁荷”概念上，我们必须根据现象的本质，根据客观现象原来的面貌，给学生的学习和理解电磁现象的客观规律，作一个正确的开端。

    二、如何把磁的现象提出来

    对于这个问题福里斯、季莫列娃的书已提供了最满意的答，由于这个问题对于讲授的系统性有很重要的意义，在这里再简单提一下。

    在讲电磁感应和位移电流以前，有关磁现象的最根本的问题有两个：

    （1）磁场与运动电荷之间的相互联系，

    （2）磁场对于运动电荷的机械作用。

    福里斯、季莫列娃一书首先提出两根载电流的导线之间具有机械作用的现象，把这个现象作为要讨论的问题的开，分析这个现象便直接引到上面所讲的两个有关现象的最根本的问，这样，学生在一开始就抓住了有关这一部分的教学内容中最本质的东，而且，问题这样地提出以后，讲授的系统已经具备了良好的基，根据磁场对电流的机械作用，我们便有了条件提出磁场强度的概，接着，我们可以提出关于与运动电荷相联系的磁场的规律——毕奥、萨伐尔、拉普拉斯定律和磁场对于运动电荷的机械作用的定律——安培定，这两条基本规律结合起来恰好就是答复了最初提出的电流相互作用的问，依照对于教材的这样的组织方式，这一部分讲授就能够系统分明，内容紧密和有机地联系在一起。

    三、磁场强度的定义和安培定律

    如何不从磁极概念出发把描述磁场属性的磁场强度概念介绍出来，是一个比较复杂的问，我们可以采取不同的方，一种方法，如塔姆的《电学原理》中所采用的方法，是直接写出常用的安培定律的公式，即作用在一段电流Ids上的力为这个公式一方面是实验定律的总结，另一方面又作为磁场强度的定，换一句话说，通过这一个公式我们既提出了安培定律所表示的客观规律又定义了磁场强度。

    特别是因为在安培定律中各物理量的方向之间具有比较复杂的关系，上述引入磁场强度的方法是很难被一般学生所掌握，即使是高年级的学，我认为，定义应当明确和具，尽管一般物理量也都是以一定的客观规律性为基础的，但是定义的叙述最好是和客观规律的提出区分开，否则，学生不是感到不能掌握定义，就是把实验定律错误地当做是定义的结果。

    福里斯、季莫列娃和巴巴列克西两书都是先把载电流的线圈在磁场中平衡时的法线方向定为磁场强度的方向，再根据线圈受到的力矩确定磁场强度的大，巴巴列克西一书是这样定义磁场强度的：在一定磁场中线圈所受力矩M是与线圈的面积S、电流强度I和法线与磁场强度方向之间夹角α的正弦成正比，即

    比较起来，福里斯、季莫列娃的定义显然更为简单明确，因此也是更宜于我们采用的。

    上述二书都在提出安培定律以后，再一次计算出线圈在磁场中所受的力，这是很必要，这个计算一方面验证了定律和定义之间所必须存在的一致性，另一方面安培定律的公式中的常数也是与定义相比较而得以肯定，但是，这一计算的意义，学生掌握起来是有一定困难的，因为安培定律的公式和磁场强度的定义之间的关系是比较复杂，定义本身实际上已部分反映了磁场对线圈作用的规律（M与IS成正比），因而也就包含在安培定律之中；另一方面，所取H的定义又决定了安培定律的具体表现的形式：

    F=kHIΔSsinα。

    我们提出这一点的目的只希望说明，教师必须注意估计学生的困难，再根据他们的水平决定对问题应当如何进行讲解。

    四

    、单位的问题

    怎样提出磁场强度的单位是教师必须考虑的问，巴巴列克西一书在引进磁场强度的定义

    时，在说明上列公式中的c是一个决定着H的单位的常数后，接着就提出在绝对单位制中我们给予c速度的量纲和数值3×10 10，并且指出c也就是光在真空中传播的速，我个人以为，这样规定单位的方法，学生接受起来必然会有些勉强的，因而会影响了学生学习的主动性，因为他们会认为在这问题的背后有着一套无从掌握的奥妙的东西，自己只看到了问题的表面。

    问题的困难在于：学生唯一最易于接受的选择单位的方法就是令定义中的常数等于1.但是，这时学生只知道电流的绝对静电单，如果我们用电流的绝对静电单位，再令c=1，那么H的单位实际上就成为奥斯特的3×10 10，介绍这样的单位当然是没有用的。

    福里斯、季莫列娃一书对于单位的处理是远远地更为细致，但是同时也是比较复杂和分散，书中先根据毕奥、萨伐耳、拉普拉斯公式

    定出H的CGSE单位（I为CGSE单位）。接着指出，使用这单位则在定义

    在提出安培定律之后，再介绍电流的CGSM单位以及磁场强度的奥斯特单，这一节内容是比较复杂难懂，例如，在前面已经给出c的量纲和数值以后，这里重新令c为1以定电流的CGSM单位，学生是会感到费解的。

    如果我们认为，磁场强度的CGSE单位平时不用可以不必介绍，那么我们可以依照下述的方式把单位介绍出来。

    既然我们的目的只是规定CGSM单位，首先便可以指出，CGSM单位是为着研究与电流的磁场和磁场作用于电流上的力有关各现象所提出来的单，然后提出，如果能使在这范围内的两条基本规律：

    之中的常数k和k′都等于1，显然可以大大简化这方面问题的处，最后再说明，这要求等于说，我们不但给H定了单位，而且也给电流I定了新的单位（即和CGSE不同的单位）。这就是H和I的CGSM单位。

    为着避免在利用两个式子同时确定两个物理量的单位的问题上，学生会感到困难，我们最好按福里斯、季莫列娃书中的方法先推出两根导线间的作用，表示这作用力的式子包含常数（k′/k），令这常数为1就规定了电流的单位；然后再用磁场强度定义的公式，令k=1规定了H的奥斯特单，当然，为什么这样定单位的目的，仍可以像上面说过的一样向学生说，他们可以明显地看到，这样的办法，恰好使两个基本公式获得了最简单的形式。

    在比较电流新的CGSM单位和学生已知的CGSE单位时，我们就可以分析c的量纲，并且提出它的实验值。

    上述方法的缺点在于，单位的问题必须等到两个基本定律都提出之后才获得解决；优点是学生可以很清楚地了解到选取单位所根据的原，只要能够在开始的时候很明确地把问题的原则让学生了解，前面的缺点便很不重要了。

    五

    、关于磁极的讨论

    不根据磁极的概念讲授磁现象，当然不意味着我们对于磁极闭口不，恰恰相反，在课程中必须适当地讨论磁极的概，我们可以提出下列三点理由：

    （1）学生从中学就知道磁极，而且以后在阅读中还会遇，只有对这问题进行讨论，才能使学生认识到磁荷是不存在的。

    （2）在许多问题中，以假想的磁偶极子代替闭合电流可以简化问题的分，换一句话说，磁极的概念是有用的理论工，一个简单的例子便是在非均匀磁场中闭合电流受力的问题。

    （3）学生对于磁铁具有两极的看法应当有明确的认识，知道它的理论根据和它的应用限，按最低的要求来讲，由中学来到大学的学生一般都能够对磁铁的问题做一定的推算，虽然我们不能在普通物理课程中，由于说明磁荷之不存在而使学生对于磁铁有了模糊的想法，甚至于丧失了原来所具有的一些分析实际问题的能力。

    福里斯、季莫列娃和巴巴列克西两书都对磁极做了一定的讨，对比起来，我们很容易觉察到后者是有些缺点的。

    巴巴列克西一书在开始的两节之中肯定了磁的现象都根源于电荷的运，但是，在后面另有称为“以磁荷概念为基础的磁场理论”的一节中，磁荷的介绍并没有紧密地联系到实际存在电流的情形，说明在什么意义下实际电流的作用可以用设想的磁荷代，在这节中作者提出了在无限均匀介质之中两磁荷间的力的公式作为我们赋予磁荷的基本性，这个公式要求我们想象完全为介质所包围的孤立的磁，这样的情况没有可能和任何实际的情况联系起来，因为与电流相联系的永远同时要求两个相等和相反的假想磁，当然上式隐含的对象乃是无限细的磁棒端，但是磁棒端必然伴随着磁棒，因而也就不可能完全为介质所包，可以说，离开了电流独立地提出单个磁荷的概念，无论如何是很不妥当的。

    福里斯、季莫列娃一书在说明磁荷是假想的而不是客观存在的东西这个问题上是彻底和成功的，没有给读者留下任何模糊的印，但是在教学过程中，我个人感到完全依靠书的内容讲授还不能完全满足上述三点的要，书中对于磁棒的说明只能使读者确信，利用磁极的概念可以正确算出磁棒在均匀磁场中所受的力，但是读者看不到任何根据可以相信，从棒的磁极能够计算有限距离内的磁场强，很仔细的读者甚至会合理地疑问，棒的磁极为什么不能设想是处于棒内其他的两点而必须在棒端。

    为着更好地解决这样的问题，我们可以在讲过毕奥、萨伐耳、拉普拉斯定律和安培定律之后，计算一个小方形载流线圈在无限长的载流直导线的不均匀磁场内所受的力（可以考虑法线沿磁场和垂直于磁场方向的两种情况）以及小线圈在远处所产生的磁场（可以考虑在法线上一点和在线圈平面内的一点的两种情况）。然后提出利用假想偶极子代替小线圈的可能性，用直接的计算证明（结合上述例子的具体情况）下列三点：

    （1）磁偶极子在各种磁场中受力和小线圈相同。

    （2）磁偶极子在远处所产生的磁场（距离？线圈的线度）和线圈相同。

    （3）磁偶极子和小线圈在近处所产生的磁场（距离可以和线圈线度比拟）是十分不同的。

    在这个基础之上讲到磁棒时就可以提出：如果我们把棒中的分子电流都以磁偶极子代替，那么在所获得的假想模型中：

    （1）在外场中受力和实际磁棒相同。

    （2）在外部各点所产生的磁场也和实际磁棒四周的场相，这是由于所谓外部各点是指与棒隔有宏观距离的各点，它们的距离？分子电流的线度。

    （3）在内部的磁场和实际磁棒中分子电流所产生的磁场不同，因为内部各点必然接近这一个或那一个分子电流圈，所涉及的距离不能再认为比分子电流圈的线度大很多。

    另外，再与讲电介质极化时所得的结果比较，我们可以立刻得出结论：这假想的模型正就是学生在中学所熟悉的两端聚有相等和相反磁荷的磁棒。

    这样，学生对于磁棒具有两磁极的看法可以有一个清楚的认识，知道应用它的理论根据和限，由于原来提出磁偶极子的方式，学生对于引用磁极的概念完全不意味着有什么磁荷存在这一点，接受起来是极为自然的。

    六、磁介质中分子电流的模型

    凡普通物理学范围内的书籍，一般对磁介质中的分子电流都采用类似的图画，并且要求读者由图上看出内部相邻的分子电流恰好完全抵，以此为根据便做出结论说，分子电流只存在于磁介质的表面，依照我个人做学生时的经历，这样的讲法是很缺乏说服力，一来由图上看不出分子电流恰好抵消，二来在想象之中我们也很难想得出，在两个不同分子中的电流怎么可以抵消。

    实际上，问题的主要关键首先在于，我们对采用模型的意义应当有一正确的认，真实的磁介质中的磁场是极端复杂的，在一个原子大小的范围内就有很强烈的变，然而我们需要考虑的量，如B， H，P实际上是一些宏观的平均，采用模型的目的也只是求算这样的宏观，明确这一点以后，我们可以肯定下列两点：

    （1）分子电流的实际形状事实上只牵涉到磁介质中微观场在各点的区别，因此在我们所采用的模型中分子电流的形状是可以由我们任意选择的。

    （2）当我们说，在所采用的模型中分子电流互相抵消，这只意味着它们所产生的宏观效果互相抵，相邻分子中的电流实际上的抵消当然是不可能的。

    对于模型的意义有了清楚的认识以后，我们就有可能提出比平常所利用的图画（）更为具体和有用的模型，就是这样的一个模型：我们设想分子电流是分布在垂直于磁化强度P的许多等距离的平面层上，单位长度内共有n 0，每层上的分子电流可以用相等的小方形电流来代表，电流强度各为i 0.

    利用上述的模型，我们能够很直接和具体地算出我们平常所需要的各种结，如果方形电流每边为a，那么每一层上单位面积所包含分子电流数为1/a 2，因此在单位体积内电流的圈数为n 0/a2.每个电流圈的磁矩显然是a2i 0，所以模型中单位体积的磁矩等于（n 0/a2）×n 2i 0=n0i0，这必须等于磁化强度P。因此，n 0，i 0应当满足下列的式子：P=n0i0.

    利用这模型可以很简单地证明，在任意介质中一条闭合路径所包围的分子电流可以写为P沿路径的线积分∑Pdscosα，α为P和路径间的夹，这一结果是证明“磁场强度H沿闭合路径的线积分等于4π倍路径所包围的传导电流”的结论也适用于有介质存在情况的主要环节。

    分子物理学中的几个问题

    黄昆

    （北京大学）

    在本文中，仅就个人讲授普通物理（物理专业）分子物理学部分的经验，提出对于几个问题的意见供参考，并希望得到批评和指。

    一、什么是分子物理学

    这是讲授这一部分的教师首先需要解决的问，课程一开始，教师就必须针对这问题向学生做适当的说，当然，更为重要的是，对于这问题的认识正是教师组织这一部分讲授内容的基础。

    在分子物理学中所讨论的具体问题已经清楚地列在教学大纲之中；主要的内容大致包括：理想气体定律、能量均分定律、分子速度分布定律、气体的迁移现象、实际气体、液体和固体的性质、热力学定律；以及体现或者借之以理解各主要规律的一些基本概念，例如温度、压强、热量、自由程、统计几率，等等。

    具体问题都摆在我们面前，但怎样正确地去概括这一部分的科学内容，仍旧不是很轻易就能答复的问题。

    第一次讲授分子物理学时，我就感到这个问题的困难，但是未能很好解，当时，在课堂上只是很简单地提出，分子物理学是从物质是由分子所构成的这一观点来研究物体的性质。

    这句话并没有反映出分子物理学的本质，因此也是完全不能让人满意的提法。

    首先，说研究的对象是“物体的性质”是很笼统和模糊的。

    “物体”用在这里，本来的意思是表示气体、液体、固体都包含在，这样的提法，可以说，没有触及问题的关，因为，很明显地，主要的问题乃是在于，在分子物理学中我们所研究的不是一个分子，或是几个分子，而是由很大量分子所组合成的东，问题从这个角度提出来，才能更直接地指出分子物理学的特，和物理学的其他部分，例如经典力学去对比一下，这一点就表现得很清，经典力学所讨论的也同样是宏观的物体，但是，很显然，我们没有必要特别去强调，作为经典力学对象的物体所包含的分子数目是很众多的（我们只需指出其规律不适用于像电子那样的微观物体）。

    其次，说我们所研究的乃是物体的一些“性质”，也是很模糊的，容易让人想到从前的所谓物性论（事实上，确实也有一些习于过去一套课程的教师喜欢把分子物理学和过去的物性论联系起来）。但是分子物理学并不是某些互不相关的方面的问题的集合，也更不是由此来和物理学的其他的部分，如力学、电学、光学、原子物理等相区，当然，分子物理学部分有它自己的特点，但主要的是，和其他部分相同，分子物理学所阐明的主要内容也是某些确定的客观规律，而不是一些特殊的、个别的“性质”。这一点由上面所列举的具体问题也看得很清，就是所谓“实际气体、液体、固体的性质”，实际上仍旧是环绕着一些规律性的讨论，例如，实际气体和理想气体所遵循的规律之间的差异，气体、液体、固体在一定条件之下相互转变的规律（相变）等等。

    因此，我们可以更为确切地说明，分子物理学所研究的对象乃是：

    包含大量分子的系统所遵循的客观规律。

    但是，仅仅用这样一句话来说明分子物理学还是很不够，要能够更为深入地、明确地概括分子物理学的内容，我们必须对下列问题有所说明：

    作为分子物理学研究的对象的客观规律的本质是怎样的？我们又是如何地去研究它们？

    关于前一问题，主要应当注意这样一个特点：

    每一个分子都是遵循着力学的运动规律；然而作为分子物理学的对象的是一些和力学的规律截然不同的规律。

    客观的规律我们一般都是通过一定的科学概念去认识，而这些概念本身就在一定程度上反映着规律的本，从这一角度来看，分子物理学中的一些主要概念，如温度、热量、分布几率（能量分布、速度分布……）、熵等等都是和力学中的概念没有丝毫共同之处，已经说过，个别分子遵循力学的规律，我们可以讨论一个分子的位置、速度等等力学的概念；只要设想一下，把温度、热量、几率、熵、分布几率这样的概念用于一个分子是怎样的不可思议，就足以十分具体地说明，在分子物理学和力学的概念之间存在着本质的区别。

    无需说明也可以看到，通过这些概念所表示的气体定律、能量均分定律……这一些分子物理学的规律，和力学的运动规律是完全无从比拟的。

    上面所讲的这一个特点，说得更为透彻一些，实际上便是指明了这样一个基本事实：

    当遵循力学规律的分子，大量地集结在一起时，就出现了一些新的客观规律；这些规律体现在这大量分子的整体之上，是和力学的规律无从比拟的，本质上不同的。

    在这里正是具体地体现了关于物质运动发展由量变到质变的辩证法原理：由大量分子集结而成的系统表现出和力学运动完全不同的新的运动形态（底下就简称之为分子的宏观运动）。而分子物理学所研究的，正是这分子的宏观运动形态和它所遵循的客观规律。

    最后，我们讨论一下关于分子物理学的研究方法的问题。

    在分子物理学中，我们用到热力学的方，热力学的方法是以热力学定律作为基础，而热力学的定律则是我们直接由实验事实的总结所获得的、关于分子宏观运动所遵循的普遍规，热力学的方法可以说是独立于分子的微观运动（力学运动）而研究分子宏观运动的方法。

    当然，分子物理学并不局限于热力学的方，相反地，分子物理学更通过分子微观地运动和宏观运动之间的联系的研究，来更为深刻地认识分子的宏观运动。

    分子的微观运动和宏观运动之间既然存在本质的差别，上面所说的联系又是怎样地体现的呢？我们又如何去研究这种联系呢？

    实际上，这便是全部统计物理学的问，平常我们比较笼统地提到统计的规律和统计的方法也就是反映这种联系的本质，在普通物理学的范围中，我们不可能针对上述的问题给以充分的和具体的说，因此，下面只就这一问题提出一点意见：

    关于分子物理学中的统计方法，有这样一种说法，它的基本意思是说：分子物理学所研究的系统所包含的分子数目是这样众多，虽然我们精确地知道分子所遵循的力学规律，但实际上严格地去解这力学问题是办不到的（由于分子作用知道得不够精确，具体的起始条件或其他外界条件不能完全精确地规定，数学问题过于复杂等等），因此必须采用统计的方法。

    当然，实际上不可能精确地解决这样的力学问题是不可否认的事实；然而，认为这便是运用统计方法的根据，则是很错误的。

    这种说法的错误有着以下的两个方面：

    统计方法的本身，实际上便反映着分子的微观运动和宏观运动间的联系的具体形，如果从微观的角度来看，那么分子的宏观运动形态本身就是具有统计性质的，例如表征气体宏观状态的压强、温度等都是具有统计性质的，而宏观运动规律也都是统计性质的规律，气体定律、能量均分定律……没有例外地都是如，这就是说，统计方法首先是由客观存在的宏观运动形态和它遵循的规律所决定，问题决不在于我们会不会解决复杂的数学问题，或者我们能不能确定分子作用和其他的条，很明显地，在这种说法的背后隐藏着唯心主义的哲学观点。

    在另一方面，这种说法实际上包含这样一个前提，如果我们能够精确地解决上面所说的复杂力学问题，那么我们便以最彻底的方式解决了宏观运动的问，这个前提的含义是说，宏观运动并不是和力学运动有着质上的不同的新的运动形态，而相反的只是极端繁杂的力学运动而，这是取消宏观运动，否定量变到质变的形而上学的机械，它的错误也是很明显，譬如，在等温压缩理想气体的过程之中，假想我们认真能够针对每一具体的压缩过程计算出在过程中每个分子如何运，这丝毫不说明我们认识到玻意耳-马略特定律；事实上，从这样一个观点，两个完全相同的等温压缩会被看做是两个极端不一样的复杂的力学运动。

    二、麦克斯韦速度分布律

    怎样提出麦克斯韦分布律才能使学生正确理解分布律的意义，是一个值得注意的问题，因为这是学生第一次接触到统计分布的概念。

    关于这个问题，我们在这里只是很简单地提出几点意见。

    首先我们需要指出分子热运动的基本特点：在平衡的气体之中，就每一个分子来看，热运动是无规则的，速度可大可小，方向也是任意的；但是，从分子的整体来看，热运动却遵循着确定的规，这规律性就表现在，分子虽然具有各式各样的速度，但是具有一定速度的分子数目是确定，（在初次指出统计规律的表现形式时，不妨这样说得简单一些！）

    但是，这样的微分形式，直接要求学生认真接受，是可能有困难，而且，从教师的角度来讲，解说这公式的意义也有一定的困难，我们需要指出Δv必须很小，这样我们立刻就面对着Δv并不能无限减小的问，如果在提出分布律的同时，我们就把所有这些都加以说明，则对于讲授是不利的；但是不这样做又难得给予公式一个足够确切的说明。

    如果我们首先由分布曲线来介绍分布律，就可以避免上述的困，我们只需画出分布曲线（），指出在任意两速度（如v 1和v 2）之间的分子数目即等于曲线之下介于两速度间的面积再乘上分子总数N。然后我们可以再给出图线的函数式——麦克斯韦速度分布函数。

    这样说明速度分布的规律，有些学生会产生一个很自然同时也是很有意义的疑问：这样算出的数值如果不是整数，那么是什么意义呢？即便恰好算出整数，难道分子数目认真能够一个不多，一个不少地等于这数目么？

    当然，我们可以说明，在一个具体情况中真实的分子数只是近似地和图线（或分布函数）所给的数值相等，有时多一些，有时少一些；图线所给的数值实际上表示许多具体情况下这分子数的平均值。

    但是我个人认为，我们不妨在讲述分布曲线以后就主动地提出上述问题，并且从这里提出涨落的现，因为统计的规律性和涨落的现象，严格地讲，是不可分割的，是永远同时出现，我们提到上述的疑问是一个有意义的疑问，正是因为它实际上指出了统计规律和涨落之间的这种不可分割的联，一方面我们有着完全确定的麦克斯韦分布定律，然而在另一方面，两个完全相同的气体，在同样的两个速度（如v 1和v 2）之间，一般地讲，分子数目是不会恰好相等，这当然就是说，在每一个具体情形，系统一方面体现着统计的规律性，然而同时也必然地伴随着涨落的现象。

    结合着统计规律性而对涨落有所说明就可以使学生对统计规律的理解更为具体，更为深刻。

    在讲课中，我们可以在提出上述的问题之后，就说明原来对分布规律的提法还需要做下列的补充：如果按分布规律推出在某两速度之间的数值为n，那么在具体情况中分子的数目并不一定和n相等，然而两者相关有一定限度，这差异的范围基本上是±n。然后，我们再用具体的数字举例，说明只要n是一个很大的数目，那么这差异只是一个极为微小的百分数。

    这样具体地讲述了涨落的现象也附带地解决了速度间隔Δv还不可以太小的问，只需要指出，在和以上相反的情形，即n是一个不大的数目（数量级=1）时，差异n的大小变得可以和n相比拟，那么统计规律的结论就失去了具体意，从这里就得出当然的结论：Δv并不可以无限地减小，它的实际限度便是，相应的n必须比1大很多倍数。

    最后还是应当介绍，关于这一点，我们只需要指出，如果速度间隔Δv=v2-v1很小，曲线下的面积近似地等于f（v）Δv。

    三、气体的迁移现象

    在前面的讨论中已经指出，分子物理学的一个中心内容在于探讨分子微观运动和宏观运动之间的联系，并借以获得对于宏观运动和它的规律性更为深刻的认，分析问题最常用的方式，乃是根据分子的微观运动，通过统计的方法，来阐明事先已经提出的宏观运动规，所以，在具体分析迁移现象之前，我们必须首先把各迁移现象的规律提出，虽然学生在力学中已经接触到黏滞性的规律，但是在这里值得依次地对于热传导、黏滞性和扩散的规律都给以很清楚的说，这样并列地把它们提出来可以显示出它们的相似性，同时也达到了强调它们共同的也是根本的特点的目的。

    但是仅仅提出来形式上相类似的公式（见福里斯-季莫列娃书）：

    还是不够，我们需要指出，这些现象的发生都是由于气体中有一定的不均匀性存在（温度、速度、分子数），公式右端的陡度正是对于这些不均匀性的定量描，而公式左端表示的乃是消除这种不均匀性的变化或者是倾，对于热传导和扩散，这是明显，对于黏滞规律，我们只需要简单地分析一下，作用在两层气体间的黏滞力f的效果，说明它是使较慢的一层加快，同时使较快的一层减，这就是说，f是趋向于消除各层之间速度差的作用。

    由这里，我们就可以做出结论：从定性的意义讲，这些迁移现象的规律乃是从各个不同的方面揭示着气体趋向于各处均匀一致的特性。

    一般地讲，目前我们在学校里面讲授物理课，形式主义的缺点还是很普遍，有时所谓讲授，其内容不过是一些定义的说明和公式的逐步推演而，只要话说得清清楚楚，推演公式有条有理，这样的讲授甚至于会被认做是很成功，然而，实际上学生对于所讨论的物理问题并没有认真的理解，所学到的仅仅是依样画葫芦地推算公，因此，对于所讨论的物理问题给予一般性的说明，提出问题中的关键性的因素，并且在具体推导过程之中尽可能地暴露这些因素，都是我们在讲授中值得特别重视的。

    这是一个普遍性的问题，特别在这里提出来也有一点理，因为，迁移现象可以说是在分子物理学中大为有可推导的课题；正是在这样的问题上，最容易发生上述的形式主义毛病。

    因此，在具体推导各迁移现象的规律之前，我们可以首先指出，决定迁移现象的主要有两个因素：即分子的热运动，以及分子之间相互碰撞的作用。

    我们可以说明，气体之中之所以能够发生迁移现象，首先就是由于分子不停的热运，当气体的情况在各处不均匀一致时，一般地可以说，在每一地点的分子就荷带着该地的特，例如，气体的温度不均匀时，各处的分子就具有与所在地点的温度相应的平均动能；气体流速在各处不同时，那么各处分子速度矢量的平均数值等于所在地点的气体流，分子的热运动使分子在气体内不断地由一点转移到另外一点，结果便使各处的特点不断地相混合起，所以，原来不均匀的气体，由于各处的分子这样不断地相互“搅拌”，就会逐渐地趋向均匀一，但是，如前面已经指出，所谓迁移现象正就是这种气体由不均匀趋向于均匀的现象。

    其次我们再指出，分子热运动虽然是一个决定性的因素，但却并非唯一的主要因，迁移现象不简单地就是由不均匀到均匀的变化，而是遵循着完全确定的定量规律的现，为着理解各迁移现象的规律，我们便必须考虑到另外一个重要的因素，即分子之间经常发生的相互碰撞。

    在这里可以指出，定量地考虑迁移现象时（或者说当我们需要考虑迁移现象的强弱的问题时），分子碰撞是一个决定性的因，这一事实是很容易理解，分子的碰撞使分子走着曲曲折折的路，因此直接影响着分子“巡回”各处的效，分子碰撞愈频繁，运动所循的路线就愈为迂回，分子由一地转移到另一地所需的时间也就愈，这样各处分子之间的“搅拌”就进行得更为缓，这说明，分子之间碰撞的频繁程度直接地决定着迁移现象的强弱。

    结合着这个问题，还可以举出气体分子扩散的速度远远地小于热运动速度的事实（见福里斯-季莫列娃书），说明分子碰撞的实际影响。

    迁移现象规律的具体推导，我个人认为可以分成三个步骤：

    （1）求出在气体中通过一个单位面两方交换的分子对的数目（指单位时间）。

    （2）推导由于两方交换一对分子所引起的迁移量（如能量的迁移、动量的迁移）。这当然就是根据气体不均匀时（存在某种陡度），两方的分子“性质”不同的考虑（两分子荷带的动能、动量不同）。

    （3）综合（1）和（2），算出由于所有在单位时间通过单位面交换的分子所引起的总迁移量，这样便直接导出迁移现象的规律。

    这样做的目的是希望使学生能够更容易地掌握到推导过程的轮廓，更清楚地认识在宏观迁移现象之内所包含的物理过，在这样一个目的之下，针对两点，我们再做一些说明。

    一点可以说是很简单，（1），（2）两个步骤的划分应当能使学生更为直接地认识，迁移现象从分子观点来看并不是一个单方面的“流动”过，宏观的单方面流动（如热传导）实际上是微观的不均衡的交换的结果。

    另一点是关于步骤（2）。按照上列方式把它和（1）的计算分开，就使我们有可能更为细致地、集中地来考虑（2）所牵涉的物理过，实际上，（1）主要是反映了分子热运动的影响，而（2）的关键就在于分子的碰撞（见下面的讨论）。分子热运动在迁移现象中的作用，学生是容易理解的；然而分子碰撞的影响表现得更为间接，并不是学生很容易就能看到，但是在一般书中，恰恰就是看不到对于碰撞所起的作用有足够具体的说，因此，我们认为把（2）分出来，在推导之中直接指明碰撞所起的作用，是有意义的。

    为着更为具体地说明这问题，我们结合热传导的情形，给出推导过程（2）的要点。

    设想气

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