形的起源

    早在远古洪荒时代，我们的祖先在与大自然作斗争以保存与发展自身的同时，也直接通过无数次的观察，体验自然界的种种事物以获取知识。相对于数的概念的起源来说，古人对形的认识要更直接、具体些。因为自然界始终把它的种种模样展现在他们面前，让古人直接从中提取形式。因而可以说数属于创造，形属于摹写。

    自然界只是为人类提供了摹写的对象，人类要获得形的概念必须通过生产实践。只有当人类意识到形式可以脱离具体对象，并且明确地把形式本身分离出来的时候，才能称得上有了图形的概念。

    我们远古时代的祖先为了生存而狩猎，当他们多次被植物的刺扎伤皮肤之后，逐渐意识到带刺类的物体可以刺入皮肉，于是通过摹写制造了最早的矛——带尖的木棍出现了。他们在制造了一边厚一边薄的石斧、弯的弓、直的箭的过程中，不仅仅被动地领会了自然界的启示，而且逐步从自然界中分离出形的概念。

    古人类处在严酷的自然环境中，雷鸣电闪、地震、洪水、火山、猛兽的伤害等严重地威胁着他们的生存。他们不能不对直接影响他们生存的动物、植物产生崇拜、恐惧的想法。这样就产生了最早的图腾崇拜与宗教仪式。从产生于35000年到40000年前的旧石器时代的洞穴艺术中，我们看到反映古人社会关系、生殖礼仪、成年礼、狩猎前的仪式的壁画，这些图画是如此粗犷、宏伟，每个看过的人都会产生心灵的震动。

    因此，图形是人类对外界事物的反映和思想表达的一种形式，它产生于古人的生产方式以及与之相应的宗教意识中，它最初与最强的表现对象只能是最能引起人类注意并强烈想要表现的事物。现代考古学种种发现都证明了上述论断。

    几何图形

    图形最早出现在氏族的图腾崇拜和原始的宗教仪式中，它的表现形式是偶像及仿拟动物行为的舞蹈以及图画。幻术与图腾出现了，服务于这一行业的巫师也出现了。从旧石器时代的葬礼和壁画来看，图形的样式由原来的直接写真转变为简化了的偶像和符号。例如，我国河南安阳出土的旧石器时代时期的车轴、陶器等古代文物，装饰上有复杂的图形，是由五边形、七边形、八边形与九边形组成的精美图案。陶器上鱼的形象也是由简单线条象征性表达的。

    虽然所有那些富于宗教性的图形，更多的是具有习俗和幻术的价值，并在后来发展成神灵观念的体现，但就图形本身来说，它却反映了由直接摹写到抽象表现的转变。它比写真图具有更大的可变性与欣赏价值，表现了生命对理性规范的渴望，进而影响到美的判断与标准。比如，对于平衡、对称、和谐、均匀的偏爱，为图形的几何化创造了条件。

    图形几何化的主要动力是人类的生产实践。在旧石器时代晚期，生产力进一步发展，编织、轮的使用、砖房的建设，进一步促进几何图形的出现与认识。编织既是技术又是艺术，因此，除了一般的技术性规律需要掌握外，还有艺术上的美感需要探索，而这两者都必须先经实践再经思考才能实现，这就给几何学与算术打下了基础。因为织出的花样，其种种形式与所含经纬线的数目，本质上属于几何性质，因而必须引起对于形和数之间一些关系的深刻认识。

    图形几何化的动力不仅限于编织，轮子的使用和砖房的建造都直接加深和扩大了对几何图形的认识。轮子的发明具有巨大的物质效果和科学意义。但其中最显著的作用大约要算对圆的认识和自觉应用了。长期以来，人们对轮和圆保持着认识上的一致性，轮的巨大效用使人们产生对圆的偏爱和关注，加深对圆的认识和研究，明显的例子是圆周等分和轨迹的思想。直至今日，圆仍然是中学生学习的主要几何图形之一。

    建筑操作特别是砖房的建造对几何学基础的影响要早于土地丈量。砖的使用也出现于新石器时代，其独特的形状给人以强烈的印象。砖必然是长方体状的，不然就难于相互配合而砌成墙，而配合使用必然会提出直角与直线的观念。直线出现于制绳时织工拉紧的线，在建房中再次出现直线的形象，让人看到它的作用。

    房屋建筑促进了直线、平面和立体的度量，因为它展示了平面面积与立体体积随着边的长度而变化的关系，为用边的长度来计算面积和体积奠定思想基础。建筑操作的发展又产生了比例设计法，这对几何学的发展起一个促进作用。

    陶器的制作，尤其是陶器花纹的绘制有利于对空间关系的认识。空间关系，实质就是相互位置和大小的关系。前者由物体的彼此接触或毗连，由“……之间”、“在里面”等词语来表示；后者则用“大于”、“小于”等词语来表示。例如，公元前4000年至公元前3500年，埃及陶器上和波斯尼亚新石器时代陶器上的彩纹，都明显地表现出行线、折线、三角形、长方形、菱形和圆，而且三角形又可细分为任意三角形、等腰三角和等边三角形。

    自然界几乎没有真正的几何图形，然而人类通过编织、制轮、建屋等实践造出的形状多少有点正规，这些不断出现而且世代相传的制品提供了相互比较的机会，让人们最终找出共同之处，形成抽象意义下的几何图形。

    实验几何

    公元前4000年前后，人类由野蛮进入文明，由弱小分散的氏族部落组织结合成庞大而有序的社会——古代埃及。尼罗河定期泛滥，大量的冲积淤泥经常覆盖地界。这种自然、地理现象对埃及古文明产生深远的影响，也促进了古代埃及几何——测地术的诞生。尼罗河一年一度的泛滥既肥沃了埃及的土地，也给土地所有者带来麻烦。他们的地界每年都被冲毁，必须用几何手段重新丈量。因此，国土的地理条件和社会条件迫使埃及人发明土地测量技术。几何学也就作为一种以观察的结果为定律的经验科学应运而生了。

    在世界上各民族的发展史上，几何学的产生大多出现在测量之中，我国古代称测量人员为“畴人”，后来引申为一切数学家和天文学家。正是通过测量长度、确定距离、估计面积和体积，人们发现了一些最简单的一般规律和一些几何关系。

    由英国人兰德于1858年在埃及购买的，后收藏于英国博物馆的古埃及的“兰德”草卷是目前尚存的最古老的数学文献，其中载有85个数学问题，26个是关于几何学的。从中可以看出，当时埃及已经会求许多平面图形的面积和立体图形的体积了，知道了等腰三角形的面积等于底边乘高的一半，并且用直观方法验证了这个结论。其中还有关于土地面积和谷仓容积的问题，计算的准确性令人吃惊。“草卷”的第三部分讲述如何去确定正方形、矩形、三角形、梯形以及能分割成这些形状的土地的面积。也就是说，埃及人把正方形、矩形、三角形和梯形作为基本图形，用于对其他各种图形面积的比较和计算。埃及人关于圆面积的计算也比其他民族的计算结果更精确。他们把圆面积确定为以直径的8／9为边长的正方形的面积，即S∶（89D）2，这相当于π=3.1605，精度相当之高。

    在体积计算方面，埃及人得出上、下底部是正方形的棱台体积公式V=h3（a2+ab+b2），这完全是个精确公式！除了出色地解答难题外，埃及人还能找到近似的解法。与古埃及同时代的巴比伦也在几何学上有不少发现，这里就不多介绍了。

    古代埃及的几何学只是一些经验公式，几乎没有正式的记号，没有有意识的抽象思维，没有得出一般的方法论，没有证明甚至没有直观推理的想法，以证明他们所做的运算步骤或所用公式是正确的。总之，在古埃及、巴比伦两个文明古国，数学并没有成为一门独立的学科，几何学是从古希腊人那儿形成的一门学科。

    《几何原本》

    古希腊大数学家欧几里得是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里得最有价值的一部著作。在《几何原本》里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识。欧几里得把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。

    2000多年来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。

    全书共分13卷。书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。在每一卷内容当中，欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式，即先提出公理、公设和定义，然后再由简到繁地证明它们。这使得全书的论述更加紧凑和明快。而在整部书的内容安排上，也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。它由浅到深，从简至繁，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容。其中有关穷竭法的讨论，成为近代微积分思想的来源。仅仅从这些卷帙的内容安排上，我们就不难发现，这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及，一直到公元前4世纪——欧几里得生活时期前后总共400多年的数学发展历史。这其中，颇有代表性的便是在第1卷到第4卷中，欧几里得对直边形和圆的论述。正是在这几卷中，他总结和发挥了前人的思维成果，巧妙地论证了毕达哥拉斯定理，也称“勾股定理”，即在一直角三角形中，斜边上的正方形的面积等于两条直角边上的两个正方形的面积之和。

    他的这一证明，从此确定了勾股定理的正确性并延续了2000多年。《几何原本》是一部在科学史上千古流芳的巨著。它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论，而且通过欧几里得开创性的系统整理和完整阐述，使这些远古的数学思想发扬光大。它开创了古典数论的研究，在一系列公理、定义、公设的基础上，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。照欧氏几何学的体系，所有的定理都是从一些确定的、不需证明而礴然为真的基本命题即公理演绎出来的。

    这一方法后来成了用以建立任何知识体系的严格方式，人们不仅把它应用于数学中，也把它应用于科学，而且也应用于神学甚至哲学和伦理学中，对后世产生了深远的影响。尽管欧几里得的几何学在差不多2000年间，被奉为严格思维的几乎无懈可击的范例，但实际上它并非总是正确的。人们发现，一些欧几里得作为不证自明的公理，却难以自明，越来越遭到怀疑。比如“第五平行公理”，欧几里得在《几何原本》一书中断言：“通过已知外一已知点，能作且仅能作一条直线与已知直线平行。”这个结果在普通平面当中尚能够得到经验的印证，那么在无处不在的球面之中（地球就是个大曲面）这个平行公理却是不成立的。罗伯切夫斯基和黎曼由此创立了球面几何学，即欧几里得几何学。

    但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限制，欧几里得在《几何原本》中提出几何学的“根据”问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。又如，欧几里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念，但是在《几何原本》中从未提到过这个概念。

    蝴蝶定理

    1815年，西欧《男士日记》杂志上刊出一份难题征解，题目如下：

    过圆的弦AB的中点M引任意两条弦CD、EF，连接ED、CF分别交AB于P、Q两点，求证PM=QM。

    由于图形酷似一只蝴蝶，该命题取名为“蝴蝶定理”。一直过了4年无人作答。1819年7月，一位自学成才的中学数学教师霍纳给出第一个证明，但其证明方法繁琐难懂。从1819年开始，人们努力寻求简洁易懂的新证明，直到1973年，中学教师斯特温给出了第一个十分初等、十分通俗的简捷证法，之后，又不断有新的证法发表。

    下面介绍斯特温的证明。

    令MQ=x，MP=y，AM=BM=a，∠E=∠C=a，∠D=∠E=β，∠CMQ=∠DMP=γ，∠FMQ=∠EMP=δ。

    用△1、△2、△3、△4分别代表△EPM、△CQM、△DPM、△FQM的面积，则△1△2·△2△3·△3△4·△4△1=EP·MEsinaCM·CQsina·MC·MQsinγPM·DMsinγ·PD·DMsinβFM·QFsinβ·FM·QMsinδEM·PMsinδ=EP·PD·MQ2CQ·FQ·MP2=1

    由相交弦定理

    EP·DP=AP·BP=（a-y）（a+y）=a2-y2

    CQ·FQ=BQ·QA=（a-x）（a+x）=a2-x2

    由于EP·PD·MQ2=CQ·FQ·MP2，得

    （a2-y2）x2=（a2-x2）y2

    a2x2-x2y2=a2y2-x2y2，a2x2=a2y2

    由于a、x、y皆正数，故得x=y，即MQ=MP，证毕。

    斯特温的证明简捷漂亮之处在于：

    ①平面几何的综合证法（即“看图说话”的方法，用几何的定理公理来摆事实讲道理），不易下手，改用了代数的方法。

    ②欲证x=y，它们含有四个三角形，用面积公式△=12absinC把x与y引入等式之中。

    ③利用面积公式建立等式时，从一似乎“言无之物”的恒等式△1△2·△2△3·△3△4·△4△1=1入手，抄入面积公式时，同一个分数的分子分母中sin下的角取等角，以便把三解函数约掉，只剩线段比。

    ④用相交弦理把EP·PD与CQ·FQ化成x、y的表达式。

    斯特温的证明通俗到初中的孩子们都能在5分钟内看懂的程度，对于这样一个困惑数学家很久的难题，该证明真是漂亮无比。

    由于椭圆面是正圆柱面斜截面，圆柱的底是此椭圆面的投影，若此椭圆上有一弦A′B′，中点是M′，过M′引椭圆两弦C′D′，E′F′，连E′D′、C′F′，分别交A′B′于P′、Q′两点，则此带“′”的图形的投影如蝴蝶形，而且MP=MQ当且仅当M′P′=M′Q′，所以蝴蝶定理对椭圆也成立。

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