植物“工程师”创造出的几何美

    传说，鲁班造伞的时候，还是受荷叶的启示。植物在亿万年的进化历程中，经过大自然的精雕细刻，形成了千姿百态，又能适应环境的几何结构。细心的人可能观察到，那盛开的鲜花多是四瓣，如油菜花、紫罗兰；或者是五瓣为基数，如桃花、月季花；也有的花萼、花瓣合生成筒状，如牵牛花。这些花都辐射对称或两侧对称。

    不仅花具有这般几何美，植物叶片也同样如此，叶在茎上的排列方式，也采取了独特的空间对称，即叶序。绝大多数叶片背面，布满了对称的叶脉，能对叶片起补强作用。

    工程师们正是利用花和叶这种巧夺天工的对称美设计出许多新奇的建筑，如根据椰树巨大叶片的“之”字结构，遇飓风很少折断的原理，制造出了楼房顶棚；根据前草的叶子是螺旋生长的，每片叶子都能吸收充足的阳光，建造了现代螺旋式高楼，这样每个房间都能较好地采光。

    卡当公式之谜

    1935年2月22日，意大利的哥特式米兰大教堂内人头攒动，热闹非凡，人们翘首等待一场激动人心的数学比赛。比赛的挑战者是数学教授费洛的学生佛罗雷都斯。他认为三次方程求解是一个数学高峰，而当他得知出身贫寒、貌不惊人的小人物塔塔里亚会解三次方程时，心中十分震怒，于是向塔塔里亚发出挑战。比赛开始了，双方各出30道三次方程求解题。塔塔里亚从容不迫，运笔如飞，不到两个小时就解完了全部方程。而佛罗雷都却望着塔塔里亚的30道题，一筹莫展，最后以030败下阵来。

    从中亚数学家花拉子模提出一元三次方程公式解后，世界数学家在探求三次方程的公式解，经过700多年的艰苦探索，终于被塔塔里亚攻破了。但他不想把成果公布于世，对求教者也一概拒之门外。他在1539年把这一秘诀传给了卡当，并要他还保守这个秘密。卡当是16世纪著名数学家，也是一个具有传奇色彩的怪杰。他在获得秘诀六年后，自毁诺言，把它传给了他的东床快婿拉里，并于1545年发表在《大法》一书中。以上就是后来人们把三次方程求根公式称为卡当公式的缘由。

    稳操胜券之谜

    古语云：“运筹帷幄之中，决胜千里之外。”只有正确运筹，才能稳操胜券。下面的两个游戏是数学家威索夫在1967年发明的：先把火柴放成两堆，两堆中的根数是任意的。然后轮流从甲、乙两堆中拿走一些火柴，原则是或只从甲堆中拿走一些（包括全部）；或只从乙堆中拿走一些（包括全部）；或从甲乙两堆中拿走相同的数目。两人轮流拿，谁拿到最后一根，谁就获胜。举个例子：假设甲堆有17根火柴，乙堆有14根火柴，记为（17，14）。由A先拿，A在甲、乙中分别拿走1根成（16，13）；B在甲中拿走7根成（9，13）；以后A在乙中拿走6根成（9，7）；B在甲中拿走3根成（6，7）；A在甲中拿走2根成（4，7）；B在乙中拿走5根成（4，2）；A在甲中拿走3根，此时成（1，2）。这样不管B如何拿，都只能变成（1，1），（0，1），（0，2）或（1，0）这四种情形，A都可拿到最后一根火柴而获胜。所以我们称（1，2）为获胜位置。到达获胜位置就稳操胜券。

    我们可以通过倒推得到获胜位置分别为（0，0），（1，2），（3，5），（6，10），（9，15）…一旦你达到了其中一个位置，那么就一定能够胜券在握了。你掌握了获胜位置的诀窍了吗？

    形数之桥

    17世纪以前，几何与代数作为数学的两大分支一直沿着各自的轨道发展着。几何主要研究“形”，而代数主要研究“数”。数、形之间能架起联通的桥吗？为了解开形数桥之谜，不少数学家付出了辛勤的劳动。

    笛卡尔是法国的著名数学家。他曾在法国奥伦治公爵的军队当文职军官。自从他成功地解决了一个征答的数学难题后，就对数学发生了浓厚的兴趣。他总是在想：驰骋的骏马，陨落的流星，怎样用代数方法描述这一几何曲线呢？公元1619年，部队驻扎在多瑙河河旁的一个小镇上。一天夜晚，笛卡尔躺在床上苦苦思索这个问题，他看到一只小虫正缓慢而笨拙地爬着，越过天花板的一个个方格。小虫停下来，他的位置能否确定呢？从西往东数在第八方格，从南往北数在第十方格（8，10）这一组数不就可以确定小虫所在的位置了吗？他豁然开朗：把点和线放在一张方格纸（即坐标平面）上，用坐标这座桥便把几何语言翻译成代数语言。

    从此，他创立了一门崭新的学科：解析几何。

    渡河之谜

    在中国漫长历史长河中，朵朵数学浪花闪耀着智慧的光辉，渡河问题就是其中之一。

    很久以前，一船夫带着一只狼、一只羊和一捆白菜来到渡口。船夫在场时，狼和羊都很听话；船夫不在场时，狼就要吃羊，羊要吃白菜。渡口只有一只小船，小船也只能载得起船夫及三者之一。现在船夫要把三者带过河去，显然，船夫第一次只能带羊过去，否则或狼吃羊或羊吃白菜。但船夫放下羊后从对岸划回来后，第二次若运狼过去，再回来运白菜时，狼在对岸就会把羊吃掉；若运白菜过去，再回来运狼时，羊在对岸又会把白菜吃掉。船夫该怎么办？正当船夫左右为难时，来了一位老翁，于是船夫向老翁请教，老翁说，我在这看着，不许狼吃羊或羊吃白菜。可船夫说，狼或羊都不会听你的话，他们只听我一个人的指挥。老翁想了一会儿，告诉船夫一个办法。办法是这样的：船夫运羊到对岸后，回来将狼带过去，将狼放下后随船把羊带回来，然后放下羊把白菜带到对岸，此时对岸是狼和白菜，最后再回来运羊。这样三者都过了河。老翁就这样运用推理巧妙地解开了渡河之谜。

    神秘的遗嘱

    美国著名的科学家、避雷针的发明人本杰明·富兰克林为科学奋斗一生，于1790年去世。他死后仅留下约1000英镑的遗产，但令人惊奇的是，他留下了分配几百万英镑财产的遗嘱，遗嘱中写道：1000英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这1000英镑，那么这笔钱应托付给一些挑选出来的正直无私的人，由他们管理。他们得把这笔钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者。这笔款子过100年增加到132000英镑，把其中的100000英镑用来建造一座公共设施，剩下的32000英镑拿去继续生息100年。在第二个100年末，这笔钱增加到4061000英镑，其中1061000还是由波士顿居民支配，而其余的3000000英镑由马萨诸塞州管理。过此以后，我可不敢多作主张了。

    仅有1000英镑的富兰克林，竟立下了百万财富的遗嘱。下面让我们通过计算来揭开这个谜。富兰克林原有遗产1000英镑，按年利息5%借出，第一年末应有财产1000×（1＋5%），第二年末应有财产1000×（1＋5%）2，……用计算器不难算得100年财产数是131501英镑。第二个100年末，其财产应是31501×（1＋5%）100=4142421。

    其数额比富兰克林遗嘱中写的还多8万英镑，可见富兰克林的遗嘱是可信的。

    费解的陶器几何纹

    花纹陶器新石器时代，陶器上的纹饰逐渐由动物图案转化为抽象的几何印纹。这些几何纹多数是优美流畅的直线、曲线、水波纹、云雷纹、漩涡纹、圆圈纹等等。关于这些几何纹的含义，至今仍是中国文化史上的一个谜。

    一种说法认为，陶器上的几何纹体现了原始人由实用向审美观念的转化，早期的陶器几何纹和生产密切相关。但随着社会经济的发展，人们对陶器上纹饰的需要已经是美观为第一需要的。这足以说明几何图形所创造出的美的价值。

    另一种说法是，陶器上的几何纹虽然有的来源于生活，但更多的几何纹印和部族图腾的崇拜有关。绝大多数场合下，陶器几何纹都是作为图腾或其他崇拜的标志而存在的。不同的几何纹代表着同动物为图腾的不同部落民族。这也说明了几何纹的魅力之所在。

    除了以上两种说法，几何纹还能够反映当时人们丰富的食品和较为复杂的社会生活。所以，一种几何纹也可能同时代表着几种事物，包含着几种含义。

    巨型石圈之谜

    在欧洲西北地区的原野上，有一些奇形怪状的石圈，是用几十吨重的巨石垒砌而成的。从空中往下看，它们是大圈套小圈的一组组同心圆；从地面上看，是一层层十分坚固的石墙，每一道弧形的墙都有一些不规则的缺口。通过这些缺口，人们可以方便地进入石圈中心。

    这些巨型石圈究竟做什么用的，人们有很多种推测。后来，新兴的考古天文学对欧洲巨型石圈作出了较科学的解释，认为它们是3000多年前的天文观测站。因为一位英国的教授在仔细丈量了600多个巨型石圈和它们之间的相互距离后，得出结论说，石圈是根据一个很准确的工程图设计建造的，而这些设计又是依据了极为准确的天文知识和数学知识。并且证实，倘若人们站在一巨型石圈的中央，便可以根据太阳和月亮照在石圈上留下的标记，观测日月活动的规律。

    巨型石圈到底是不是天文观测站？有人反对这种观点，认为考古学家是把一些偶然巧合的事情夸大地归结为科学。所以巨型石圈之谜仍然而没有解开。但可以肯定的是，这些石圈确实是经过周密的数学计算。

    高速计算之谜

    高速计算世界上计算速度最快的，当然是电子计算机。然而，有一些人的计算速度，毫不逊色于电子计算机。而且他们并不是数学家。

    有一位荷兰人叫克莱因，他高速准确的计算能力使计算中心的数学家为之瞠目。

    1981年4月23日在法国巴黎，克莱因当着3000名观众举行了一场心算表演。一位观众请他心算38×22×27，他不假思索地写出22572。

    有人请他心算4529÷29，当他把数156.1724139331033414827…一直写到黑板边沿上，总共才用了20秒钟。有人问克莱因是如何计算的，他总是笑着说，要用文字表达很难。

    人脑的这种惊人的计算能力是怎样获得的，至今没有人能回答。它往往是天生的，不是经后天的训练才获得的。汤姆·富勒生于非洲，后被奴隶贩子贩到美国的弗吉尼亚当奴隶。虽然汤姆目不识丁，却有着现在计算机一样的能力。一位教师对此很是惊讶，特意出了很多测验题，每次的提问，汤姆都能立刻给予答复。其中有一个问题是把70年12天零12小时化作秒数，结果汤姆在90秒钟内就得出了答案。

    人脑自动计算机是如何运行的？人脑究竟有多大的计算能力？这真是难解的谜。

    鸽笼原理

    如果有人说“在13个人中必有2个人是在同一月份出生的”，人们肯定会半信半疑。

    实际上这个结论是对的，它是根据“鸽笼原理”得出的。

    有3只鸽子要飞进2个鸽笼中，有4种可能的进法。仔细想想，可以知道3只鸽子飞进2个鸽笼，必有一个鸽笼至少飞进2只鸽子。这就是鸽笼原理中最简单的例子。那鸽笼原理尽管很简单，却很重要，用它可以解决许多有趣的问题。例如我们把13个人看成13个鸽子，一年的12个月看成是12个笼子，利用这一原理很容易得知13个人中必有2个是同一个月生的。

    又如，在1988年出生的367个人中至少有2人生日相同。原因在于：1988年有366天，根据鸽笼原理就可以得到这一结论。再如，抽屉里有10双手套，从中取出11只，其中至少有2只是配对的，这也是由鸽笼原理得到的。

    数字密码锁为什么比较安全

    我们在出差时所用的包上挂一把数字密码锁，只要知道一个密码，就可以非常巧妙地打开。那么，这锁是否安全呢？

    如果数字锁是三位数，每一格都可以出现0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字，这样排出的三位数共有10·10·10=1000（个）。而其中只有一个密码号才能打开，因此打开此锁的概率为11000。

    不知道密码的人，想偷偷打开锁，就得一个不漏地一个一个去试，先000，001，002，…一直试到999。由于心理紧张，还会重复已试过的数。就是试到了密码号而不拉一下，又会“滑”过去。这样就会试1000多个数，才能打开。如果每试一个数要花去10秒钟，试1000个数至少要花费：

    1000×1060≈167（分钟）≈2.8（小时）。

    所以要想偷偷打开锁，至少要花去近3小时。旅途中的人，不可能离开包2个多小时，所以还是比较安全的。

    重要的文件箱，都有六位数的密码锁。不知道密码锁的人想偷偷打开箱子花的时间会更多。

    六位数数字锁，每一格都可以出现0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字，这样排出的六位数共有：10·10·10·10·10·10=106=1000000（个）。而其中只有一个密码号才能打开锁。因此打开锁的概率为1106。

    同样，不知密码的人，想找开锁总得一个一个地去试，加上心理上的紧张，还会不自觉地重复试号。这样试号就会超过106个。每试一个号也按10秒计算，打开锁至少要花费：

    106×103600≈2778（小时）。

    即使每天不睡，也得花费将近4个月时间才能打开。所以密码锁一般还是比较安全。

    怎样计算用淘汰制进行的比赛场数

    如果你所在的学校要举办一次象棋比赛，报名的是50个，用淘汰制进行，要安排几场比赛呢？一共赛几轮呢？如果你是比赛的主办者，你会安排吗？

    因为最后参加决赛的应该是2人，这2人应该从23=8人中产生的。这样，如果报名的人数恰巧是2的整数次幂，即2、4（22）、8（23）、16（24）、32（25）、…，那么，只要按照报名人数每2人编成一组，进行比赛，逐步淘汰就可以了。假如先报名的人数不是2的整数次幂，在比赛中间就会有轮空的。如果先按照2个人一组安排比赛，轮空的在中后阶段比，而中后阶段一般实力较强，比赛较紧张，因此轮空与不轮空机会上就显得不平衡。为了使参赛者有均等的获胜机会，使比赛越来越激烈，我们总把轮空的放在第一轮。例如，上例的人在32（25）与64（26）之间，而50-32=18。那么，第一轮应该从50人中淘汰18人，即进行18场比赛。这样参加第一轮的18组36人，轮空的有14人。第一轮比赛后，淘汰18人，剩下32人，从第二轮起就没有轮空的了。第二轮要进行16场比赛，第三轮8场，第四轮4场，第五轮2场，第六轮就是决赛，产生冠军和亚军。这样总共进行六轮比赛，比赛的场数一共是18+16+8+4+2+1=49，恰恰比50少1。

    我们再来看看世界足球赛的例子。2006德国世界杯赛共有32支参赛球队，比赛采取的方式是先进行小组循环赛，然后进行淘汰赛。如果全部比赛都采用淘汰制进行，要安排几场比赛呢？32正好是25，因而总的场数是16+8+4+2+1=31，也是比32少1。

    不妨再从一般情况来研究。如果报名的人数为M人。而M比2n大，但比2n+1小，那么，就需要进行n+1轮比赛，其中第一轮所需要比赛的场数是M-2n，第一轮比赛淘汰M-2n后，剩下的人数为M-（M-2n）=2n。以后的n轮比赛中，比赛的场数为：

    2n-1+2n-2+2n-3+…+23+22+2+1

    =（2n-1+2n-2+2n-3+…+23+22+2+1）×（2-1）

    =2n-1

    所以，一共比赛的场数是（M-2n）+（2n-1）=M-1，即比参加的人数少1。

    其实，每一场比赛总是淘汰1人。在M人参加的比赛中，要产生1个冠军就是淘汰M-1人，所以就得比赛M-1场。你明白了吗？

    现在请你自己来安排一次乒乓球比赛，报名参加男子单打的有158人，报名参加女子单打的有96人，应该进行多少场比赛？怎样安排这些比赛呢？

    怎样计算用单循环制进行的比赛场数

    用淘汰制进行球类锦标赛，比赛场数比较少，所需用的时间较短，所以，报名人数较多的个人锦标赛往往采用这种方法。但有一个缺点，就是要获得冠军，中途不能有失。而且如果两强相遇过早，所产生的亚军和其他名次往往与实际水平不完全相符。因此，在报名单位较少的一些团体锦标赛中，往往不采用淘汰制而采用另一种比赛方法——循环制。

    用循环制进行的比赛场数应该怎样计算呢？下面我们来看一个例子。如果你所在的学校有15个班级，每个班级有1个球队参加比赛，若用单循环制进行，一共要比赛几场？如果用单循环制进行比赛，每一个队要和另一个队比赛一场，所以在15个球队中，每一个队伍要进行14场比赛，15个球队就有15×14场比赛。但每场比赛是两队互相交锋的，因此，这样计算就把一场比赛算做两次了，而实际的比赛场数是15×142=105（场）。

    我们再来看看世界杯足球赛的例子。2006世界杯足球赛有32支参赛球队，如果始终采用单循环制进行比赛，那么一共要进行的比赛场数是（32×31）÷2=496（次）。

    一般说来，单循环制的比赛，如果有n队报名，那么，比赛的场数总共是n×（n-1）2。

    但是这样安排场次太多，费时太长。因此，许多比赛采用的不完全是单循环制，而是分组双轮单循环制。下面我们来看，如果把15队分成3组，每组5队，采用分组双轮单循环制，一共要比赛几场？

    在这3组中用单循环制进行比赛，产生3个分组冠军，这3队再进行第二轮的单循环赛，产生冠亚军。这样，

    第一轮是5×42+5×42+5×42=30（场）；

    第二轮是3×22=3（场）；

    比赛的总场数是30+3=33（场）。

    再来看2006世界杯足球赛的例子，32支参赛队分成8个组，每组4个队。如果按照分组进行双轮单循环赛，那么，第一轮要比赛4×32×8=48（场），产生8个分组冠军；第二轮，这8个队再进行（8×7）÷2=28（场）比赛，决出冠亚军。

    现在请你用同样的方法来安排一次乒乓球赛，报名参加男子团体赛的有26个队，报名参加女子团体赛的有19个队。如果用单循环制进行比赛，要安排几场比赛？如果各分成3组，男子两组各9队，一组8队，女子两组各6队，一组7队，采用分组双轮单循环制，一共要比赛几场？事实上很多比赛会同时采用这两种比赛方式——淘汰制和单循环制。例如2006世界杯足球赛，先是32支球队分成8个组，采用分组单循环制，进行48场比赛，每组的冠亚军共16支球队，再采用淘汰制，进行8场比赛，决出前8强。再用淘汰制，进行4场比赛，决出前4名。还是用淘汰制，进行2场比赛，决出前2名。最后前2名争夺冠亚军，另外还安排一场决出第3、第4名的比赛。这样比赛场数总共是48+8+4+2+1+1=64（场）。

    湖中鱼数量的概率测定

    为了方便而且快速地知道某个湖中有多少鱼，渔民们常用一种称为“标记后再捕”的方法。先从湖里随意捕捉一些鱼上来，比如说捕到1000尾，在每条鱼身上做记号后又放回湖中。隔一段时间后，又从湖中随意捕一些鱼上来。比如说第二次捕到200尾，看其中的标记的鱼有多少尾，如果10尾有标记，那么渔民就会估出湖中鱼大约有20000尾。

    渔民们是这样想的：200尾鱼中有10尾是有记号的，如果湖中鱼是均匀分布的，那么每尾有记号的鱼被捕到的可能性的大小是10/200＝1/20。假设湖中有鱼n尾，其中1000尾是有标记的，那么每尾有记号的鱼被捕到的可能性大小还应是1000/n。所以有1000/n＝1/20，即n＝1000×20＝20000（尾）。

    数学家们通常把上述度量事件出现的可能性大小的量叫做“概率”。概率论就是研究这种随机事件出现的可能性的数学分支，它在现代科学技术中应用很广泛。“湖中有多少鱼”的问题就是概率论中的一个比较著名而且是最简单的问题。又如工厂里检验产品的废品率也是运用了同样的概率论原理。

    赌徒输赢的概率

    概率论的产生，还有一段名声不好的故事。17世纪的一天，保罗与著名的赌徒梅尔赌钱。他们事先每人拿出6枚金币，然后玩骰子，约定谁先胜了三局谁就得到12枚金币。比赛开始后，保罗胜了一局，梅尔胜了两局，这时一件意外的事中断了他们的赌博。于是他们商量这12枚应怎样合理地分配。保罗认为，根据胜的局数，他自己应得总数的1/3，即4枚金币，梅尔应得总数的2/3，即8枚金。

    但精通赌博的梅尔认为他赢的可能性大，所以他应该得到全部赌金。于是，他们请求数学家帕斯卡评判。帕斯卡又求教于数学家费马。他们一致的裁决是：保罗应分3枚金币，梅尔应分9枚金币。

    其中费马是这样考虑的：如果再玩两局，会出现四种可能的结果：梅尔胜，保罗胜；保罗胜，梅尔胜；梅尔胜，梅尔胜；保罗胜，保罗胜。其中前三种结果都使梅尔取胜，只有第四种结果才使保罗取胜。所以，梅尔取胜的概率为3/4，保罗取胜的概率为1/4。因此，梅尔应得9枚硬币，而保罗应得3枚硬币。

    帕斯卡和费马还研究了有关这类随机事件的更一般的规律，由此开始了概率论的早期的研究工作。

    盈不足问题

    《九章算术》中第七章的第一题是：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数物价各几何？其意是：有若干人共同买东西，如果每人出8块钱，则余3块，如果每人出7块钱，则少4块，问人数及所买东西的价格各是多少？

    《九章算术》是在中国数学著作中影响最大的一部。全书分九章共246个应用问题，是以问题集形式出现的数学名著。它成书于公元1世纪，内容丰富多彩，在许多方面都居于世界领先地位。

    “盈不足问题”的解决方法被称为盈不足术，设人出a1盈b1，人出a2不足b2，则

    u（物价）=a2b1+a1b2a1-a2（1）

    v（人数）=b1+b2a1-a2（2）

    w（每人出钱数）=uv=a2b1+a1b2b1+b2（3）

    按照这组公式，开始所述问题可得解：

    物价=7×3+8×48-7=53（块钱）

    人数=3+48-7=7（人）

    有一个盈数和一个不足数是简单的标准的盈不足问题，使用公式（1）、（2）、（3）问题便迎刃而解。如果把这组公式作适当的变通，则可以解出“两盈”、“两不足”、“一盈一适足”、“一不足一适足”等问题。下面是这四类问题的例子。

    “今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数金价各几何？”

    “今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数羊价各几何？”

    “今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数豕价各几何？”

    “今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，适足。问人数犬价各几何？”

    对于“两盈”或“两不足”问题，有：

    u=a2b1-a1b2a1-a2

    v=b1-b2a1-a2

    w=a2b1-a1b2b1-b2

    对于“一盈一适足”或“一不足一适足”问题，有：

    u=a2b1a1-a2

    v=b1a1-a2

    w=a2

    其中a1、a2是前后两次付款数，b1、b2是相应的或盈，或不足，或适足数。

    据上述公式，可分别计算出上述四题的答案，按顺序为：33人，金价9800；21人，羊价150；10人，豕价900；2人，犬价100。

    在《九章算术》的盈不足章中，前8个题目是明显的盈不足问题。而后面的12个题，在形式上不属于盈不足问题，但是作者仍然用盈不足术来解，十分巧妙。

    例如：“今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日长七寸，瓠生其下，蔓日长一尺。问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？”

    其意是：有一堵高9尺的墙，墙顶上长一棵瓜，瓜蔓日长7寸往下爬；墙脚种瓠。瓠蔓日长1尺往上爬，问几天后瓜和瓠相逢，相逢时瓜和瓠各长多少？

    我们假设生长了5日，瓜瓠共长了（0.7+1）×5=8.5尺，距9尺还差5寸（1尺=10寸），再设生长了6日，瓜瓠共长了（0.7+1）×6=10.2尺，比9尺又多出了1.2尺。即“假令五日，不足五寸，令之六日，有余一尺二寸。”可见，此时问题表现就是盈不足问题。

    瓜瓠相逢日数=6×0.5+5×1.21.2+0.5

    =5517（天）

    瓜长长度=0.7×5517=31217（尺）

    瓠长长度=9-31217=5517（尺）

    这种计算方法在形式上是先采取两次假设，得出相应数值，以此为条件便构成盈不足问题，进而用盈不足术解之。

    盈不足术后来被传到西方，受到数学家们的高度重视，得到了辉煌的发展，在世界数学史上占有相当高的地位，特别是通过两次假设再使用盈不足术的解题方法（假设法）备受人们推崇。

    13世纪的阿拉伯数学家们对“假设法”作了力学解释，并称之为“秤盘法”。这在1222年伊本·阿尔·班纳的著作《塔尔基斯》中有记载“秤盘法”是一种几何方法，其内容为：“取一定形式的秤，并在支架上放上已知量。在一秤盘上放一任选量，然后根据要求增加，所得结果与已知量比较，如果任选量选对了，则秤盘上的量即等于已知量；如果没选对，则记下这一盘的误差。然后，在另一秤盘中放入另一任选量，重复以上步骤。做完这些之后，将每盘误差乘以另一盘之量，如果两盘误差都是正数或都是负数，则从较大误差中减去较小误差，同时，从较大的乘积减去较小的乘积，之后，将乘积之差除以误差之差。如果两盘之误差一正一负，则将乘积之和除以误差之和。”

    假设法（或称秤盘法）可以算是一种一次内插法，在高等数学中求某些方程的近似实根时，要借助这种方法。著名科学史专家李约瑟说得好：“盈和不足的概念在哲学上是十分重要的，它推动了所有的古代数学，也推动了希腊的生物学。”

    牟合方盖

    牟合方盖是中国魏晋时期数学家刘徽在研究球的体积与球的直径之间的关系时，提出的问题。“牟合方盖”中的“牟”表示相等，“盖”表示伞。“牟合方盖”为中轴线在中点垂直相交的两个相同的圆柱体的公共部分，由于它的形状如同把两个相等方口圆顶的伞对合在一起，故取名为“牟合方盖”。

    刘徽在注释《九章算术》时，研究球的体积公式，欲探明《九章算术》中的球体积公式：

    V球=916D3（其中D为球的直径）中的9、16两个数的来源。经过比较，他发现上述公式是错误的。也就是说，球的体积不等于外切正方体体积（D3）的9／16。

    他提出一个间接解决此问题的方法，从而引出了“牟合方盖”问题。

    他的方法是：取每边为1寸（约3.3厘米）的正方体棋子8枚，拼成一个边长为2寸的正方体，在正方体横向、纵向各画内切圆柱体（直径和柱高都是2寸）。于是，两个圆柱面所包含的立体共同部分，是上下两个合起来的相等方盖，刘徽称它为“牟合方盖”。

    刘徽经过研究，巧妙地确定：内切球体积是牟合方盖体积的四分之π，即

    V球=π4·V牟合方盖。

    这样一来，只需求出牟合方盖的体积，就可以导出球的体积了。但他没有找到计算牟合方盖体积的公式，刘徽坦率地说：“欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。”寄希望于后世的聪明人。

    刘徽之后200多年，南北朝时期的数学家祖暅（数学家祖冲之的儿子）解决了这一问题。祖暅是一个博学多才的人，他继承了祖冲之在数学和天文历法方面的工作，并进一步发扬光大了他父亲的成就。祖暅创立了巧妙的“开立圆术”，从而解决了牟合方盖的求积问题以及球体体积计算公式。

    为了便于理解，我们用现代的术语，又将原来的图形略加修改，说明如下：

    祖暅取刘徽的八个棋子之一来研究。牟合方盖体积的1／8，底面是边长为r的正方形，高DO也等于r；DRC、DPA都是半径为r的1／4圆周，我们把这个1／8牟合方盖的体积用V1表示。整个棋子，即它是边长为r的正方体。同一任意高度h处分别作与底面平行的平面，它与V1的截面是PQRS；与图114中正方体的截面为正方形P′TS′M。

    由于平行于底的任意平面与立体图形的截面都是正方形。因此，截面PQRS是正方形，记它的边长为a，设OS=h，因为OP=r，所以截面积a2=r2-h2。

    设这个边长为r的正方体体积为V2。连接0′A′、O′D′、O′C′，得到锥体O′A′B′C′D′，将这一锥体的体积记为V3。V2-V3是立方体减去锥体剩下的立体。

    截面P′TS′M是正方形，因此，正方形P′TS′M的面积为r2；这个高度为h的平行于底的平面与V3的截面是正方形Q′TR′N，由于Q′T=O′T=h，因此，正方形Q′TR′N的面积为h2。

    正方形P′TS′M的面积可以分为两部分，即正方形Q′TR′N和曲尺形P′Q′NR′S′M，因此，曲尺形P′Q′NR′S′M的面积等于正方形P′TS′M的面积减去正方形Q′TR′N的面积，也就是r2-h2）。

    1／8牟合方盖的体积为V1，立体图形的体积为V2-V3。在同一任意高度处，两立体图形的截面积都是r2-h2，而且它们是等高的，因此两体积相同，即V1=V2-V3。

    祖暅对这一过程的描述是：“幂势既同，则积不容异。”这一描述后来被称为“祖暅原理”。这里“幂”指截面积，“势”指立体的高。意思是：两同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等。更详细地说是：界于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积常相等，则这两个立体的体积相等。

    由此可知：

    V1=V2-V3=r3-13r3=23r3

    这里，V1是1／8牟合方盖的体积；V2是立方体的体积；V3是锥体O′A′B′C′D′的体积。

    于是牟合方盖整体的体积是：

    V牟合方盖=8×23r3=163r3

    根据刘徽关于球体积是牟合方盖体积的π4，最后便得到球体积为：

    V球=π4·163r3=43πr3

    或V球=16πD3（D表示球的直径）

    祖暅在推导“牟合方盖”体积的过程中，提出的“幂势既同，则积不容异”这一原理的基本思想相当于积分学中的积分式：

    设f（x）=g（x）（a≤x≤b），则

    ∫baf（x）dx=∫bag（x）dx

    在西方与祖暅原理相似的原理被称为“卡瓦列里原理”。卡瓦列里是意大利数学家，他在1635年出版了他的数学名著《连续不可分几何》，“卡瓦列里原理”正是在这本著作中提出的。可见祖暅原理比卡氏原理早1000多年。

    祖暅利用“牟合方盖”体积的计算，在刘徽研究的基础上，导出了球的体积计算公式。这种方法虽然比上面提到的用微积分方法推导体积公式复杂，但在1500年前就解决了球体积公式，不能不认为这是数学史上的一个巨大成就。

    概率与π

    1777年的一天，法国自然哲学家布丰先生请来了满堂的宾朋要给大家做个有趣的实验来解解闷。只见七十高龄的布丰先生兴致勃勃地拿出一张白纸，纸上面画满了一条条距离相等的并行线。然后他抓出一大把小针，对大家说：“请诸位把这针一根一根地往纸上随便扔吧，妙事自然会出现。”客人们不知道他葫芦里卖的什么药，好奇地把小针一根根地往纸上乱扔。布丰在旁边不停地记着数。小针扔完了，收起来又扔。最后，布丰宣布结果：大家共投针2212，得数为3.142。他笑了笑说：“这就是圆周率的近似值。”原来，这就是数学史上有名的“投针试验”。赌徒输赢的概率是古典概率的数学模型，这里讲的是几何概率的典型例子。一般来说，设并行线的距离为a，针长为l（l小于a），投掷次数为N，与直线相交次数为n，则圆周率π＝2lN/an。上面的实验中，布丰用的小针长恰为并行线间的距离的一半，所以公式可以简写为N/n。

    后来不少人根据布丰创造的方法计值，其中，以1901年意大利人拉查里尼投针3408次，相交1808次，求得的6位准确小数3.1415929为最佳结果。

    概率与性别

    一般人或许认为，生男生女的可能性是相等的，各占50%。事实并非如此。法国著名数学家拉普拉斯在1814年出版的《概率的哲学探讨》一书中调查研究了生男生女的概率问题。他根据伦敦、彼得堡、柏林和全法国的统计资料，得出几乎完全一致的男婴出生数与女婴出生数的比值：在10年间总是摆动在51.2∶48.8左右。这就是说，男婴出生数一般比女婴出生数略高。国内外大量的人口统计资料也表明男婴女婴出生比率是51.2∶48.8左右。

    为什么男婴出生率要比女婴出生率会高一点呢？这是生理学上很有趣味的一个研究课题。生理学家认为，可能是男性含X染色体的精子（决定生女）与含Y染色体的精子（决定生男）有某种差别的缘故。从概率观点来看，因为含X染色体的精子与含Y染色体的精子进入卵子的机会不完全相等，所以造成男婴女婴出生率的不相等。而最先发现这个现象的不是生理学家，却是研究概率的数学家。

    天元术——未知数的由来

    “天元术”最早出现在金、元时期数学家李冶所著的《测圆海镜》一书中，它是建立代数方程的一般方法，相当于“设某某为X”，并以此建立方程。

    当时人们把未知数叫“元”。对多个未知数，则分别为“天元”、“地元”、“人元”、“物元”，相当于我们今天所设的未知数X、Y、Z、U。李冶还用“天、上、高、……”表示X、X2、X3、……；用“地、下、低、……”表示1/X＝X－1、1/X2＝X－2、1/X3＝X－3、……。

    “天元开方式”或称为“天元式”，就是一元高次方程。李冶在他所著的《测圆海镜》和《益古演段》中对“天元术”进行了系统的论述。他还突破了前人对一元方程系数和常数项的正、负号的限制。

    用“天元术”来列方程的方法，后人分析并非完全由李治一人发明的，一般认为此法已于12世纪中叶在中国出现，而由李冶整理成书。欧洲的数学家们到十六七世纪才做到这一点。

    新奇美妙话“拓扑”

    哥尼斯堡有一条河，叫勒格尔河。这条河上，共建有七座桥。河有两条支流，一条叫新河，一条叫旧河，它们在城中心汇合。在合流的地方，中间有一个小岛，它是哥尼斯堡的商业中心。

    哥尼斯堡的居民经常到河边散步，或去岛上买东西。有人提出了一个问题：一个人能否一次走遍所有的七座桥，每座只通过一次，最后仍回到出发点？

    如果对七座桥沿任何可能的路线都走一下的话，共有5040种走法。这5040种走法中是否存在着一条既都走遍又不重复的路线呢？这个问题谁也回答不了。这就是著名的“七桥问题”。

    这个问题引起了著名数学家欧拉的兴趣。他对哥尼斯堡的七桥问题，用数学方法进行了研究。1736年欧拉把研究结果送交彼得堡科学院。这份研究报告的开头是这样说的：

    “几何学中，除了早在古代就已经仔细研究过的关于量和量的测量方法那一部分之外，莱布尼兹首先提到了几何学的另一个分支，他称之为‘位置几何学’。几何学的这一部分仅仅是研究图形各个部分相互位置的规则，而不考虑其尺寸大小。”

    从欧拉这段话可以看出，他考虑七桥问题的方法是，只考虑图形各个部分相互位置有什么规律，而各个部分的尺寸不去考虑。

    欧拉研究的结论是：不存在这样一条路线！他是怎样解决这个问题的呢？按照位置几何学的方法，首先他把被河流隔开的小岛和三块陆地看成为A、B、C、D四个点；把每座桥都看成为一条线，这样一来，七桥问题就抽象为由四个点和七条线组成的几何图形了，这样的几何图形数学上叫做网络。于是，“一个人能否无重复地一次走遍七座桥，最后回到起点”就变成为“从四个点中某一个点出发，能否一笔把这个网络画出来”。欧拉把问题又进一步深化，他发现一个网络能不能一笔画出来，关键在于这些点的性质。

    如果从一点引出来的线是奇数条，就把这个点叫奇点；如果从一点引出来的线是偶数条，就把这个点叫做偶点。

    欧拉发现，只有一个奇点的网络是不存在的，无论哪一个网络，奇点的总数必定为偶数。对于A、B、C、D四个点来说，每一个点都应该有一条来路，离开该点还要有一条去路。由于不许重复走，所以来路和去路是不同的两条线。如果起点和终点不是同一个点的话，那么，起点是有去路没有回路，终点是有来路而没有去路。因此，除起点和终点是奇点外，其他中间点都应该是偶点。

    另外，如果起点和终点是同一个点，这时，网络中所有的点要都是偶点才行。

    欧拉分析了以上情况，得出如下规律：

    一个网络如果能一笔画出来，那么该网络奇点的个数或者是2或者是0，除此以外都画不出来。

    由于七桥问题中的A、B、C、D四个点都是奇点，按欧拉的理论是无法一笔画出来的，也就是说一个人无法没有重复地走遍七座桥。

    欧拉对哥尼斯堡七桥的研究，开创了数学上一个新分支——拓扑学的先声。

    说拓扑学“新奇”，主要是指拓扑学本身而言。它的确是“新”，数学家们提出拓扑学这个词才不过100多年，1848年，德国人里斯才写出第一本关于拓扑学的书。拓扑学也的确是“奇”，下面你就亲自来体会一下拓扑学之“奇”吧。

    裁四张长纸条。用毛笔把第一张纸条的两面全部涂黑。如果不准毛笔经过纸条边缘，那么涂完一面以后，必须提起毛笔，至少使它离开纸条一次，才能涂到另一面。

    把第二张纸条扭转180度与D点相接，B点与C点相接，粘成一个纸圈。现在又用毛笔来涂这个纸圈，你会发现，毛笔不用离开纸面就可以把它全部涂黑。这是怎么回事？原来这个纸圈只有一个面，真是不可思议！数学家称这个纸圈为“牟比乌斯带”，因为它是德国数学家牟比乌斯在1858年首次做出来的。请你再做一个牟比乌斯带，用剪刀沿虚线把它从中间剪开。你一定以为会得到两个纸圈吧。其实，大大出乎你的预料，你会得一个比原来长一倍窄一半，而且又是普通的有两面的纸圈了。

    现在做最后一个最奇妙、也是最精彩的实验。把第四张纸条扭转360度，沿两条虚线把它剪开，剪出的不是三个分开的纸圈，而是三个一样大小，互相套在一起的纸圈！拓扑学就要研究这些纸圈，你说奇不奇？

    我国数学的“世界之最”

    我国不但是数学史最长的国家，而且在世界数学发展过程中占有重要的地位。我国在历史上的10项光辉成就，在世界数学史上享有崇高的荣誉，远远走在世界各国的前面。

    位值制的最早使用，我国是十进制和二进制的故乡。甲骨文和金文就用十进制的记载，二进制则起源于《周易》中的八卦。

    分数的最早使用，《九章算术》是世界上系统叙述分数的最早著作，比欧洲早约1400多年。

    小数的最早使用，刘瑾在1300年左右于《律吕成书》中记录了世界上最早的小数表示法。

    负数的最早使用，负数最早出现于我国《九章算术》和《方程》一章中。

    勾股定理，国外也称毕达哥拉斯定理，但商高提出勾股定理比毕达哥拉斯早100多年。

    圆周率的精确率，祖冲之使圆周率准确到小数点后7位，创立了当时世界最精确记录。

    二项式系数法则的最早发现，早在11世纪，贾宪就已发现二项式系数的规律，并作出了一张图，称开方作法本源图。

    最早的不定方程，真正最早提出不定方程的是我国的《九章算术》而不是丢番图。

    增乘开方法，增乘开方术最早见于贾宪的著作，后经杨辉、秦九韶等人不断完善。

    中国剩余定理，又称孙子定理，最早见于《孙子算经》一书中。

    漫谈尺规作图三大难题

    同学们一开始学习《平面几何学》，直尺和圆规就成了亲密伙伴，利用它们就可以作出各式各样的几何图形。

    如果仅仅运用直尺和圆规，根据某些已知条件，求作一个几何图形，这就叫做尺规作图问题，也叫做几何作图问题。

    几何作图问题，对发展学生的智力是有益的，在这一节里我们想通过古代尺规作图三大难题的故事，向读者介绍尺规作图的解决准则（或者称为判别法）。

    古代尺规作图三大难题的故事

    三等分角在上古时代，大约纪元前5世纪时，人们就提出，既然一个线段可以三等分，那么一个角能不能三等分呢？显然，所给的角要是90°，或者是180°，用尺规三等分是极为容易的。所谓三分角问题，就是说任意结定一个角，作图工具仅限于直尺和圆规，问能不能将这个角三等分。这是历史最为长久，流传最为广泛的一个几何作图问题。2000多年来，不断有人在这个题目上花费时间。如1936年8月18日《北京晨报》上曾经发表了一条消息说：郑州铁路站站长汪君，耗费了14年的精力，终于解决了三分角问题，并把作法寄住各国，颇引起国内外人士的注意。可是不久，就有许多人陆续地指出他的作法是错误的。1966年以前，中国科学院数学研究所每年都接到不少“解决三分角问题”的来稿，可是每稿都有错误，后来只好在《数学通报》上发表启事，让人们不要白白浪费时间去解这个不可解的几何作图题。三等分任意一个角是不可解的。这一事实早在100多年前，人们就清楚了。

    第二个作图难题是倍立方问题。就是要求作一个立方体，使其体积等于已知立方体体积的两倍。关于这个问题的提出，曾经有过这样一个有趣的传说：远在纪元前4世纪的古希腊，瘟疫流行，到处死人，无法解除。有人便请教当时唯心主义的哲学家柏拉图。他便许愿说：“将续利亚神庙的立方体祭坛扩大一倍来祈求神的宽赦，这样，把神的怒气平下去，瘟疫也就消灭了。”因此，人们就将祭坛的各棱延长一倍，重新建造了这个祭坛。结果瘟疫照常流行。当再次请教柏拉图时，柏拉图看了新建的祭坛后说：“所造的新祭坛比原来的祭坛扩大了八倍，而不是一倍，所以不能解除瘟疫的流行。”人们为了解除灾难，便千方百计地想办法，如何造出一个新的祭坛，使它的体积恰好是原来的祭坛的两倍，这样就轰动了当时希腊的数学界，所以倍立方向题又以“续利亚神问题”相传。

    传说未见得是真，但数学问题却是千真万确的，显然，从代数的观点来看，若设原立方体祭坛的棱长为a，新立方体祭坛的棱长为x，则倍立方问题即可表示为代数方程：

    x3＝2a3

    不妨设a＝1，则问题变为三次方程式x3＝2的求解问题。显然，此方程的惟一正实根为x=32。因此，取定一个线段，把它看作“单位长”（即规定其长度为1），那么，只要我们能用直尺和圆规，作出一条线段之长为32，那就能作出一个两倍于单位立方体来。然而，这也是不可能的。

    第三个尺规作图难题就是圆化方问题，即要求作一个正方形，使其面积等于一个已知圆的面积。设正方形的边长为x，圆的半径为r，则圆化方问题即可表示为代数方程：

    x2＝πr2

    不妨设r＝1，则圆化方问题变为x2＝π的方程是否有正实根的问题，也就是依靠直尺和圆规作出一条线段，使它的长度等于π。由此可见，圆化方的问题和π值的计算问题是紧密联系在一起的。圆化方的问题虽然在古希腊数学史上出现得最早，但是，却没有有意识地去寻求π值的计算，在我国古代，对于π值的研究和计算，却有着光荣而悠久的历史。伟大的数学家祖冲之对π值的研究和计算有很大的贡献，远在公元460年，他就求出π的值是：

    3.1415926＜π＜3.1415927

    当时祖冲之为了便于人们使用，还确定出用两个比较精密的分数227作为约率；355113作为密率。这是祖冲之继我国古代另一位数学家刘徽的割圆术之后，对π值的计算工作的重要发展。它成为古代数学史上光辉的一页。当然，现在有了电子计算机，要算出π值的上千万位那是轻而易举的事，可是在公元5世纪，计算工具非常落后的情况下，祖冲之能算出这样准确的结果，需要付出何等艰巨的劳动啊！德国数学家奥托于公元1573年才获得这个近似数值，比祖冲之晚了1100多年。也就是说外国人直到公元16世纪，在π值的计算上，才超过祖冲之的研究成果。由此可以看出祖冲之这一光辉成就的世界意义，也可以看到我们伟大祖国古代的数学已经发展到相当高的水平。

    关于圆化方问题，早在公元前古埃及的数学家曾得到这样一个结论：“如果正方形的边长等于圆的直径的89时，则它们的面积相等。”当然，在今天看来这个结论是错误的，但在远古时代能得到这样的近似值，还是令人惊奇的。这就是圆化方问题最早的研究成果。据传说，埃及人是用经验的方法得到这个结果的，埃及人是在囤和边长等于圆的直径的正方形上铺上一层种子，再分别计算这两个图形上种子的粒数。知道正方形上种子的粒数开始时一定比圆上的多，然后逐步缩短正方形的边长，并且重复这样的试验，最后得出结论：只有当正方形边长等于圆的直径的89时，正方形上种子的粒数才等于圆上种子的粒数。即通过这样试验的方法得到当正方形的边长等于圆的直径的89时，该二图形的面积相等，当然，这只是个精确度很差的近似等式。

    从上述三个尺规作图难题的故事中，我们看到人们为了寻找这三个问题的答案，走过了多么艰难曲折的路程。用的时间是1000多年，花费的精力之大也是无法统计的。从而，我们想到：能不能给出一个解析判别法，根据已知条件判别一下，能解还是不能解，一看就知道，免得我们再遇到此类问题时走弯路，当然这是不成问题的。

    每一个平面几何作图题，都可以放到坐标平面上来考虑，这只要在平面上引进坐标系就可以了。

    平面几何作图题总是要求人们去作出一些线段，或者去定出一些点的位置，因为点的位置都可用坐标来确定，所以归根结底，作图题无非是要求人们去作出具有某种长度的线段，当然，每两个坐标点联结起来也就确定一条线段。因此又可以说，几何作图归根结底无非是要求定出某些坐标点。

    在平面几何作图题里，总可以把一条已知线段（或给定的某一线段）当做“单位长线段”，就是说，把已知线段作为长度是l的线段，于是利用尺规作图，很容易将该线段n等分，从而求得长为1n的线段，再相比线段m倍，又可得到长为mn的线段。总之，一切以有理数为长度的线段都可以作出来，往下我们把点的坐标或线段长度都简称为“几何量”。

    设r为任一正有理数，则以平方根r为长度的线段也可以作出来，事实上，利用1+r为直径作半圆，从线段连接点p引垂线交圆周于Q，则PQ=r。由此看来，一切以正有理数的平方根为长度的线段都可用尺规作出来。

    反复利用上述手续，可见以4r、8r、…为长度的线段也都可以作出来。一般说来，只要是有理数经过有限多次“加、减、乘（乘方）、除、开平方”五则运算得出的数量，都可以用尺规作出以这些数量为长度的线段来。因此，这些数量就可以叫做“可作图几何量”，例如下面的数量：

    （7+23+5）×35

    这就是一个“可作图几何量”，因为人们总可以用尺规作出以这个数量为长度的线段来。若a、b、c表示已知线段，K表示自然数，下面一些简单式子所表示的部是“可作图几何量”：

    （1）a＋b；（2）a－b（a＞b）；（3）Ka；（4）aK；（5）abc；（6）ab；

    （7）a2+b2；（8）a2-b2（a＞b）

    这些式子所表示的几何作图题，都是大家熟知的平面几何中的作图题。（1）、（2）是作两线段的和与差；（3）、（4）是作两线段的倍数和分量；（5）是作已知三线段的第四比例项；（6）是作两已知线段的比例个项；（7）是作直角三角形的斜边；（8）是作直角三角形的直角边。

    柏拉图限制作图工具的意义

    古代尺规作图三大难题所以难，就难在作图工具只能用直尺和圆规。如果作图工具不加限制，那么这三个问题都很容易解决。我们以最困难的圆化方问题为例，如图，设已知圆的半径为r，则它的面积为πr2。我们用泥土作一个正圆柱，使其下底与已知圆等积，高为r2，然后，让这个圆柱在平面上滚一周，在平面上就该出一个矩形。它的长为2πr，宽为r2，因为r2·2πr＝πr2，所以，这个矩形的面积与圆的面积是相等的，从而，问题就变为求作一个正方形与此矩形具有相等的面积。这显然是容易办到的。

    现在我们认为，这种限制没有必要了，作图时可以使用任何工具，只要作法正确就行，然而，如果古代希腊数学家柏拉图及其学派，不做这样限制，那么关于这三个难题的许许多多的讨论和研究也就不会发生，因而也许就不会导致数学里许许多多新的方法、新的领域的建立。可以这样说，希腊几何学家所发明的新定理和方法，差不多都是因为要解决这三个问题而引出来的。柏拉图及其学派作这种限制的历史意义，也就在于此了。

    从笛卡儿创建《解析几何学》开始，到尺规作图解析判别法的获得，我们还可以看到：一般数学方法的获得，远比解决一个具体问题重要得多，正是由于用代数方程来研究几何问题的新方法的出现，尺规作图解析判别法才能产生，这就说明，我们在研究数学问题时，不仅要一个问题一个问题地去探讨，更要注意学习和研究处理数学问题的新方法，这也是学好数学的一条重要途径。

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