一些奇妙的数学关系

    大家都知道（8+1）2＝81。如果你留心这些数字的构成关系，自然会再想一想，还有没有类似的情况。比如：（5+1+2）3＝512；（4+9+1+3）3＝4913；（5+8+3+2）3＝5832；（1+7+5+7+6）3＝17576；（1+9+6+8+3）3＝19683；（2+4+0+1）4＝2401；（2+3+4+2+5+6）4＝234256；（6+1+4+6+5+6）4＝614656。此外，某些整数的乘积有一些奇妙性质。如86×8＝688，其乘积恰好是把86中的6和8分别放在乘数的前面和后面，只不过是把86的先后顺序颠倒一下。83×41096＝3410968，很容易看出是把3和8分别处在41096的前面和后面。类似83这样的数，除去86外，还有71。这些数位带有神奇特点。

    哪些数字能被3、9、11整除

    一个整数，判断它能否被3和9整除，一个简单的办法是：把它的各位数字相加，其和是3或9的倍数，那么这个数便可以被3或9整除。如4782各位数字之和是4+7+8+2＝21，21能被3整除，但不能被9整除。如762813各位数字之和是7+6+2+8+1+3＝27，可以被9整除，这表明它是9的倍数。

    而判断一个整数能否被11整除，就相对难一些了。如果一个整数，它的奇位数字之和与偶位数字之和的差是11的倍数，便能被11整除，否则便不能被11整除。如198、2573、364925，由（1+8）-9＝0；（5+3）-（2+7）＝-1；（6+9+5）-（3+4+2）＝11，这说明198和364925能被11整除；而2573则不能被11整除。如若不信，你不妨试一试，看是否如此。

    0.618——具有无限美感的数字

    0.618这个数值，数学史上称为黄金分割数或黄金比。下面是与0.618有关的一些事物，可见其美感色彩之一斑。

    建筑物的门、窗通常均设计为长方形，其短边占长边的比值均为0.618，给人以一种稳定、和谐的感觉；著名的埃菲尔铁塔第二层平台的下面与上面的比，雄伟的多伦多电视塔阁覆楼的上部与下部长度的比也均为0.618；埃及基沙的第一座金字塔，高146米，底部边长230米，比值也与0.618相近，从而给人以雄伟壮丽、气势磅礴之感；意大利人菲坡斯发现，一般人肚脐以上与肚脐以下的长度比约为0.618，此外，头脑至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度比，以及膝盖至脚底的长与膝盖的长的比也是0.618。并不是所有的人都完全符合这个比值，但凡符合者都能给人以体态轻盈匀称之感。还有人发现，二胡的千斤放在琴弦长度的0.618处音色优美；冬季室温在23℃左右，居住者感觉舒适，其与人体体温的比值也恰恰接近0.618。真是神奇的0.618。

    在没有“0”之前

    符号“0”起源于古印度，早在公元前2000年，印度一些古文献便有使用“0”的记载。在古印度，“0”读作“苏涅亚”，表示“空的位置”的意思。可见，古印度人把一个数中缺位的数学称为“苏涅亚”。之后“0”这个数从印度传入阿拉伯，阿拉伯人把它翻译成“契弗尔”，仍然表示“空位”的意思。后来，又从阿拉伯传入欧洲。直到现在，英文的“cipher”仍为“0”的含义。

    我国古代没有“0”这个数码。当遇到要表示“0”的意思时，也遵照很多国家和民族的通用办法，采用“不写”或“空位”的办法来解决。如把118098记作“十一万八千□九十八”，把104976记作“十□万四千九百七十六”。可见，当时是用“□”表示空位的。后来，为了书写方便，便将“□”形顺笔改作“0”形，进而成为表示“0”的数码。根据史料记载，到南宋时期，当时的一些数学家已开始使用“0”来表示数字的空位了。

    零就是无吗

    数学上的“零”是对任何定量的否定，表示没有。但从辩论观点来看，它又具有丰富的内容：

    1.在十进制记数中，把它放在一个自然数的右边，就使该数成10倍、100倍、1000倍的增大；在一个近似数（小数）的最右边放上0，表示这个近似数的精确度。如0.650表示精确到千分位，而0.65则表示精确到百分位。

    2.零是正数与负数之间的界限，既不是正数，又不是负数，是惟一真正的中性数。

    3.在代数运算中，一个方程的实质，只有当方程所有项都移到一边，而另一边为零时，才能清楚地显现出来。

    4.在解析几何中，零是一个特定的坐标原点，它决定着其他点的选取和性质。

    5.在现实生活中，零还有开始的意思，比如我们常说的“一切从零开始”，又比如过年时，除夕的晚上12点钟又称为零点，这便是一年开始的意思。我们常听的天气预报，总是说零下几度、零上几度，零在这里表示一定的临界。总之，零的用处有许多。随着知识的越来越多，你还会发现零的许多其他妙用呢！

    十进制与人的10个手指头

    人的手指头有时候是最好的计算个数的工具。当你数完8、9、10就该数11了，11就是10加上1，这叫做十进位制的记数方法。但你可曾知道，十进位制的来历是因为人长有10个手指头。

    古时候，人类还没有发明文字，也没有算盘，计算物品的数目都是靠人的10个手指头。但是，用手指头记数的时候，最多能记到10。大于10的数就需要做个记号，用绳子打上结，打几个结表示几个，大结表示大的，小结表示小的；或者在石头、木头上画道，画几道表示几个。然后再扳着手指头从头数起，数到10时，再做个记号。然后还是扳着手指头从头数起……这样也就逐渐形成了记数的十进位制。

    所以，人的手指的数目在人类数学文化的发展起了相当重要的作用。

    电话号码中的学问

    电话号码是一种代码，它是由数字组成的。每一部电话机都要有一个代号，不能和别的电话一样，这样打电话才不会打错。不同的国家和地区，电话号码的位数也不尽相同，这其中还有一些学问在里边。

    如果用一位数字做代号，从0到9只能有10个不同的号码，再多就会重复。要是用两位数字做代号，把两位数颠来倒去地排，比如12、21、13、31……这样只可以安装100部电话。要是用三位数字，就可以排出1000个代号，那就能安装1000部电话。要是用六位数字就可以排出100万个代号。在大的城市或地区，需要安装很多很多电话，现在连六位数都不够用，已经有七位、八位数字的电话号码。而且，在很多单位里，一个电话号码的总机下面又带有很多分机。

    其实，随着数字位数的升高，可以排出的电码增加是利用了数学中的排列组合原理。

    为什么篮球队里没有1、2、3号队员

    熟悉篮球运动的人都知道，在篮球队里，是没有1、2、3号这三个号码的队员的。这是为什么呢？

    原来，篮球队里没有1、2、3号队员的原因主要是与比赛中裁判员的手势有关。在球类比赛中，罚球的情况比较多，篮球比赛也不例外。在篮球赛中，一次最多要罚三次球。当需要罚一次球时，裁判员要举起右手并伸出一个手指；罚两次球时伸出两个手指；罚三次球时出三个手指。但是，当一方球队的队员在比赛中犯规时，裁判员也要伸手指来表示犯规队员的号码。所以，为了避免引起误会，篮球队员的号码便从4号开始了。

    在我们人类的一切活动中，包括体育运动，用手指示数是一种最简单明了的方法。但有时这种表示方法所表达的含义是很有限的。所以，当容易产生误会时，只好更换表达方式或是舍去不用，就像篮球队里舍去1、2、3这三个号码一样。

    篮球比赛

    数的家族

    1、2、3、…；1/2、4/5、11/3、…；-3、-8、-11、…；2、π、e、…这些各种各样的数，都有自己的“身份”，它们共同组成数的家族。

    第一组成员是正整数。小时候扳手指头学会的1、2、3、…就是正整数。这也是我们祖先最早认识的数。

    第二组成员是分数。5个人分3个苹果，古人最初是这样做的：把一个苹果分成相同的五份，每人取一份，即1/5；对另两个苹果做同样的分配，最后每个人得到3个1/5，即3/5。分数的记载最先出现在4000多年前的古埃及纸草书中。

    零的出现比较晚。在公元前200年，希腊人已有零号的记载。

    负数在中国的西汉时期已经萌芽，并最先作为数学的研究对象出现在公元1世纪的《九章算术》中。

    正整数、零和负整数就构成了全体整数。正分数和负分数构成了全体分数。整数和分数又统称为有理数。每个有理数都可以表示成两个整数的比。不能表示成两个整数的比的数称为无理数。无理数要比有理数多得多。有理数和无理数又统称为实数。这就是整个数的家族。

    奇特的自然数

    0、1、2、3、…这些人人熟悉而又简单的自然数，有着许多奇妙有趣的性质。

    1930年，意大利的杜西教授作了如下的观察：在一个圆周上放上任意两个数，例如8、43、17、29，让两个相邻的数相减，并且总是大的减小的，如此下去，在有限步之内，必然会出现四个相等的数。

    三位数也有奇妙的性质。任取一个三位数，将各位数字倒着排出来成为一个新的数，加到原数上，反复这样做，对于大多数自然数，很快就会得到一个从左到右读与从右到左读完全一样的数。比如从195开始：195+591＝786786+687＝14731473+3741＝52145214+4125＝9339。

    只用四步就得到了上述结果。这种结果称为回文数或对称数。但是，也有通过这个办法似乎永远也变不成回文数的数。其中最小的数是196，它是被试验到5万步，达到21000位时，仍然没有得到回文数。在前10万个自然数中，有5996个数像196这样似乎永远不能产生回文数，但至今没有人能证实或否定这一猜测。在研究数的各种性质中，有许多既有趣又困难的问题，科学家们正努力加以解决。

    小数的历史

    有了小数之后，记数就更方便了。如圆周率近似值3.1416，若用分数表示，就得写成3927/1250，很麻烦。有位著名的美国数学史家说：“近代计算的奇迹般的动力来自三项发明：印度记数、十进分数（小数）和对数。”

    在西方，一般认为小数是比利时数学家斯蒂文发明的。但最早使用现代意义的小数点的是德国数学家克拉维斯。

    实际上，早在斯蒂文发明小数点之前很久，中国、印度和中亚就已经使用十进分数了。

    公元3世纪，我国魏晋时期刘徽的《九章算术》中，有三处运用了十进分数的思想：十一万八千二百九十六二十五（118296.25），八十九三（89.3），一百一十九十二（119.12）。这种写法和西方直到19世纪仍在流行的小数记法，几乎完全相同。到了宋元时期，更有下列论法：中亚的阿尔卡西是世界上除中国人之外第一个应用十进分数的。他的用法体现在他1427年的《算术之钥》一书中。

    不论是东方还是在西方，对小数的认识都经过了几百年甚至上千年的演变。

    负数的产生

    今天人们都能用正负数来表示相反方向的两种量。例如以海平面为0点，世界上最高的珠穆朗玛峰的高度为+8844.43米，最深的马里亚纳海沟深为－10911米。在日常生活中，则用“＋”表示收入，“－”表示支出。在历史上，负数的引入经历了漫长而曲折的历程。

    古代人在实践活动中遇到了一些问题，如相互间借用东西，对借入和借出双方来说，同一样东西具有不同的意义。分配物品时，有时暂时不够，就要欠一定的数量。再如从一个地方，两个人同时向两个方向行走，离开出发点的距离即使相同，但两者又有不同的意义。久而久之，古代人意识仅用数量表示一事物是不全面的，似乎还应加上表示方向的符号。为了表示具有相反方向的量和解决被减数大于减数等问题，逐渐产生了负数。

    中国是世界上最早认识和应用负数的国家。早在2000年前的《九章算术》中，就有了以卖出粮食的数目为正（可收钱），买入粮食的数目为负（要付钱），以入仓为正，出仓为负的思想。这些思想，西方要迟于中国八九百年才出现。

    虚数不虚

    “虚数”这个名词，听起来好像“虚”，实际上却非常“实”。

    虚数是在解方程时产生的。求解方程时，常常需要将数开平方。如果被开方数不是负数，可以算出要求的根；如果是负数怎么办呢？譬如，方程x2＋1＝0，x2＝－1，x＝±-1。那么-1有没有意义呢？1637年，法国数学家笛卡尔开始用“实数”、“虚数”两个名词。1777年，瑞士数学家欧拉开始用符号i＝-1表示虚数的单位。而后人将实数和虚数结合起来，写成a＋bi形式（a、b为实数），称为复数。

    由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎也没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对虚数产生过种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”本意是指它是虚假的；莱布尼兹在公元18世纪初则认为：虚数是美妙而奇异的神灵，它几乎是既存在又不存在的两栖动物。挪威一个测量学家维塞尔提出把复数a＋bi用平面上的点（a、b）来表示。后来，高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地。现在，复数一般用来表示向量（有方向的数量），这在水利学、地图学、航空学中的应用是十分广泛的。虚数越来越显示出其丰富的内容，真是“虚数不虚”。

    无限大与无限小的概念

    无论是实数还是复数，都有确定的量值。换句话说就是我们通常碰到的事物是有限的，总可以用这些数来计量的。

    人类在长期认识过程中，又逐渐产生两个新的概念。最早的时候，人们将整个宇宙理解为地球，航海学测量地球半径为6370千米，对人来说，那是一个非常大的数。16世纪，哥白尼的“日心说”又将宇宙扩大到以太阳为中心的太阳系，太阳系的半径为60亿千米，约是地球半径的94万倍。地球与之相比只是沧海一粟。随着科学技术的发展，人们借助射电望远镜，又将宇宙范围扩展到银河系、星系团、超星系团以至总星系。这些星系的半径都是数百万光年（光年即光走一年的路程，大约94600亿千米）以上，这个数字简直是无法把握的。这样就出现了无限大的概念，数学上记为∞。它的含义是比任何实数都大的数，这个数当然是虚拟的，不是一个确定的数。

    在微观世界，人类的认识也从分子到原子，从原子到原子核。原子核直径约为10-13厘米，原子核还可以分解为质子、中子，它们的直径更小。这一分解过程得以无穷尽地进行下去，这样就带来了无限小的概念。

    无限大、无限小的含义已经涉及数的变化趋势了，这里从确定量到变量过渡中产生的数，是微积分的基础。

    有理数与无理数的探索

    平易近人的有理数

    以正有理数来说，0表示什么也没有或出发点，自然数列1、2、3、…，表示从1开始一个一个地多起来；或者说从0开始，每个整数有唯一的一个“后继”，这些都是我们日常数物件（例如清点教室里有几张桌子）时的自然概念。而分数，例如表示把一块饼平均切成9小块，取其中4小块的部分之多少等等。可见有理数是可以看得到，容易理解的数量，所以当初数学上命其名为“有理”数。

    如果把有理数用十进制（二进制等也是这样）表示，用有限个数字即可表达，例如3030，1.5，0.1989等等。它们能方便地用可视的有限数字精确地表示出来。

    有理数集合中的数可以编号，谁是1号有理数，谁是2号有理数等，可以人为地加以指定。下面给出一种编号方案，我们把以q为分母的既约分数pq（p＞0，q＞0）排成无穷的方阵，每横行分母一致，分子从小到大排列，方阵中囊括了一切正有理数，再按箭头所示的次序来编号，1编成1号，2为2号，p112=12是3号等，于是每个正有理数迟早都会获得惟一的一个指定的号码。再把0编成0号，把这些号码皆乘以2，把得到的新号码2k（皆偶数）减1所得的奇数码赋予与带有2k码的那个有理数相反的数，例如12的号码是2×3=6，6-1=5则是-12的号码，如此，全体有理数皆编了序号0，1，2，…。与全体无理数相比（下面要细讲无理数不可编号），有理数全体的这种可以有序化或曰“可数性”是有理数名副其实的一个“有理”的表现。

    神出鬼没的无理数

    无理数也有无穷多个，例如

    0.112123…123…k…k个相异数（1）

    是一个无理数a1，它无限又不循环。若把（1）中的数字1全擦掉则得a2，a2也是无理数，把a2中的数字2全擦掉，则得无理数a3，如此可以得出无穷个无理数，这部分无理数a1，a2，…，an与全体有理数可以一一对应，a1与0号有理数是一对，a2与1号有理数是一对，…，αk-1与k号有理数是一对，可见无理数的一部分已经和全体有理数一样多。

    无理数集合中的元素不可编号。这只需证明（0，1］中的实数不可编号。用反证法，若可以把（0，1］中的实数编号成t1，t2，…，tn，…，其中

    t1=0.t11t12t13…

    t2=0.t21t22t23…

    …

    tn=0.tn1tn2tn3…

    其中tij∈{0，1，2，…，9}，i、j是自然数，且每个ti中的右端有无限个数字不是零。例如0.5则写成0.499…9…。观察对角线上的数字列t11，t22，…，tnn，取

    ai=2，tii=1

    1，tii≠1

    则十进小数

    a=0.a1a2…an…∈（0，1］

    且a∈{t1，t2，…，tn}，此与（0，1］中的全集实为是{t1，t2，…，tn}矛盾，可见（0，1］内的全体实数不可编号。

    若（0，1］中全体无理数可以编号为β1，β2，…，βn，又知（0，1］中的全体有理数可以编号为γ1，γ2，…，γn，考虑数列

    γ1，β1，γ2，β2，…，γk，βk（2）

    则（0，1］中的全体实数可按（2）的次序编码，与上述证明出的事实相违，至此知（0，1］中的全体无理数进而实数集中的全体无理数不可编号。

    无理数们的这种不可数性是它们的一种“无理”表现。从无理数不可数（编号）可知无理数比有理数多得多，通俗地说，有理数可以一个一个地数，而无理数则多得不可胜数。

    有理数是米，无理数是汤

    如果把实数轴（集）比喻成一锅黏稠的粥，则可数的有理数们是一粒粒离散的米粒，它们在数轴上处处稠密，事实上，若γ0是一个实数，设γ0是有理数，则γ0的任意近旁，γ0±1n（n≥1，n∈N）是两个有理数；若γ0是无理数，则

    γ0=γ0+0.β1β2…βn（3）

    其中0.β1β2…βn是无理小数，γ0是有理数，于是

    γ0′=γ0+0.β1β2…βn（4）

    是γ0近旁的一个有理数，|γ0-γ0′|＜110n。可见数轴上任一点的任意近旁都有有理数存在，即有理数处处稠密。类似地可知无理数在数轴上处处稠密。有理数们处处稠密地离散地浸泡在无理数的“汤”里。

    具有神秘色彩的“9”

    爱因斯坦出生于1879年3月14日，把这些数字连在一起，就成了1879314。重新排列这些数字，任意构成一个不同的数，例如3714819，在这两个数中，用大的减去小的（3714819－1879314＝1835505）得到一个差数。把差数的各个数字加起来，如果是两位数，就再把它的两个数字加起来，最后的结果是9（即1＋8＋3＋5＋5＋0＋5＝27，2＋7＝9）。实际上，把任何人的生日写出来，做同样的计算，最后得到的都是9。

    把一个大数的各位数字相加得到一个和；再把这个和的各位数字相加又得到一个和；这样继续下去，直到最后的数字之和是一位数字为止。最后这个数称为最初那个数的“数字根”。这个数字根等于原数除以9的余数，这个过程常称为“弃九法”。求一个数的数字根，最快的方法是加原数的数字时把9舍去。例如求385916的数字根，其中有9，且3＋6，8＋1都是9，就可以舍去，最后剩下就是原数的数字根。

    由此我们可以解释生日算法的奥妙。假定一个数n由很多数字组成，把n的各个数字打乱重排得到n′，显然n和n′有相同的数字根，即n－n′一定是9的倍数，它的数字根是0或9，所以，只要n≠n′，n－n′累积求数字和所得的结果就一定是9。

    友好的亲和数

    亲和数又叫友好数，它指的是这样的两个自然数，其中每个数的真因子和等于另一个数。据说曾有人问毕达哥拉斯（公元前6世纪的古希腊数学家）：“朋友是什么？”他回答：“就是第二个我，正如220与284。”为什么他把朋友比喻成两个数字呢？原来220的真因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55和110，加起来得284；而284的真因子的1、2、4、71、124，加起来恰好是220。284和220就是友好数，它们是人类最早发现的又是所有友好数中最小的一对。

    第二对亲和数（17296，18416）是在2000多年后的1636年才发现的。之后，人类不断发现新的亲和数。1747年，欧拉已知道30对。1750年又增加到50对。到现在科学家已经发现了900对以上这样的亲和数。令人惊讶的是，第二对最小的友好数（1184，1210）直到19世纪后期才被一个16岁的意大利男孩发现。

    人们还研究了亲和数链：这是一个连串自然数，其中每一个数的真因子之和都等于下一个数，最后一个数的真因子之和等于第一个数。如12496，14288，15472，14536，14264。有一个这样的链竟然包含了28个数。

    有趣的素数

    素数是只能被1和它本身整除的自然数，如2、3、5、7、11等等，也称为质数。如果一个自然数不仅能被1和它本身整除，还能被别的自然数整除，就叫合数。1既不是素数，也不是合数。每个合数都可以表示成一些素数的乘积，因此素数可以说是构成整个自然数大厦的砖瓦。

    许多素数具有迷人的形式和性质。例如：

    逆素数：顺着读与逆着读都是素数的数。如1949与9491，3011与1103，1453与3541等。无重逆素数，是数字都不重复的逆素数。如13与31，17与71，37与73，79与97，107与701等。

    循环下降素数与循环上升素数：按1~9这9个数码反序或正序相连而成的素数（9和1相接），如43，1987，76543，23，23456789，1234567891。现在找到最大一个是28位的数：1234567891234567891234567891。

    由一些特殊的数码组成的数，如31，331，3331，33331，333331以及3333331，33333331都是素数。

    素数研究是数论中最古老、也是最基本的部分，其中集中了看上去极简单，却几十年甚至几百年都难以解决的大量问题。

    为什么1不是素数

    全体自然数可以分成三类：一类是素数（也叫做质数），如2、3、5、7、11、13、17、…；另一类是合数，如4、6、8、9、10、…；“1”既不是素数，也不是合数，而是单独算一类。素数只能被1和它本身整除，而合数还能被其他的数整除。例如合数6，除了能被1和6整除以外，还能被2和3整除，所以，把素数和合数分成两类的理由很充足。“1”也只能被1和它本身整除，为什么不是素数呢？如果把“1”也算作素数，那么，自然数只要分成素数和合数两类，岂不更好吗？

    要回答这个问题，得先从为什么要讲素数谈起。比如说，3003能够被哪些数整除？也就是说，3003的因子有哪一些？当然，我们可以把1到3003的各数一个一个地考虑一番，但是，这样做十分费事。我们知道，合数都可以由几个素数相乘得到，把一个合数用素因子相乘的形式表示出来，叫做分解素因子。显然每一个合数都能够分解素因子，而且只有一种结果。就拿3003来说，分解素因子的结果是：3003=3×7×11×13。现在我们再来看看，为什么不把1算作素数？

    如果“1”也算作素数，那么，把一个合数分解成素因子的时候，它的答案就不止一种了。也就是说，我们在分解式里，可以随便添上几个因子“1”。这样做，一方面对于求3003的因子毫无必要，另一方面分解素因子的结果不止一种，又增添了不必要的麻烦，因此，1不算作素数。

    对数的发现

    对数的第一个发明者是纳皮尔。他从大约40岁开始研究对数。当时（约1590年）欧洲代数学十分落后，连“指数”、“底数”这些概念还没有建立，可纳皮尔却首先发明了对数，这不能不说是数学史上的一个奇迹。

    关于对数的问题，纳皮尔是这样考虑的：设线段TS长度为a，T′S是一条射线。质点G从T开始作变速运动，其速度与它到S的距离成正比。质点L从T′开始做匀速运动，其速度与G的初速相同。当G运动到G点时，L运动到L点，设GS＝x，T′L＝y，纳皮尔称y为x的对数。纳皮尔从几何角度引入了对数的概念，但为了方便计算，应加以改进。可惜改进计划还没开始，纳皮尔就离开了人世。

    纳皮尔没有完成的宏伟事业，由56岁的布里格斯继承下来。他对纳皮尔的对数表作了很大的改进。第一，他把纳皮尔只限于三角函数的对数值改为一般数的值的对数，扩大了应用范围；第二，以10为底，方便计算。1624年，布里格斯出版了《对数算术》一书，载有1~20000以及90000~100000的14位常用对数表，这是世界上第一个常用对数表。在布里格斯去世后，荷兰数学家弗拉克补齐了从20000~90000部分的对数，弗拉克的对数是10位对数表，到1794年又出现7位对数表。

    有趣的数字——7

    在人们的日常生活中，频频遇到“7”，但没有人注意，“7”是个有趣的数字。

    柴米油盐酱醋茶囊括了人们的生活必需品，喜怒哀乐悲惊恐表达了人们七情。佛教中的“七级浮屠”，变化莫测的“七巧板”，音乐中的“七音阶”，人体中的“七窍”，地球上的“七大洲”，每周的“七天”，颜色中的“赤橙黄绿青蓝紫”，天文中的二十八宿的东西南北四方的“七宿”。

    我国古代文学作品的“七”更多。西汉权乘的《七发》诗，之后桓麟的《七说》、桓彬的《七设》、傅毅的《七激》、刘广的《七兴》、崔骃的《七依》、崔琦的《七蠲》、张衡的《七辩》、马融的《七广》、刘梁的《七举》、五粲的《七驿》、徐干的《七喻》、刘勰的《七略》。传说中的“七仙女”、“七夕相会”、“七擒孟获”等数不胜数。

    为什么都喜欢用“七”呢？美国心理学家米勒教授认为，每个人一次记忆的最大限度是七，超过这个限度，记忆效率开始下降。因此，米勒把“七”称为“不可思议的数字”。

    “2”的妙用

    （1）从前农村中遇到红白喜事，要用很多碗和盘子，而一家又没有那么多。大家集资买了很多碗和盘子，由一人保管，谁家有红白喜事可以借用，用后立即归还，很是方便，时间长了，保管的人感觉到，每次借还数数很麻烦，他想了一个方法，不用数即可付给你要借的盘子数，例如有1000个盘子，他分装在10个箱子中，并把箱子从1~10编上号，这10个箱子装的盘子数依次为1，2，4，8，16，32，64，128，256，498。这样不论你借多少，只要按号搬箱子即可。例如借50个盘子，2+16+32=50，搬2，5，6号箱子即可；要借80个盘子，64+16=80，搬5，7号箱子就行了。你可以试一试能否如愿以偿。

    （2）一只猫捉到一只老鼠并不立即吃掉，而要等到捉到一批老鼠时再吃。这只猫吃老鼠还有一个习惯，将老鼠排成一行，只吃单数的老鼠，剩下的再排成行吃单数的，剩下一只老鼠就不吃了，重新捉老鼠，等到捉了一批后，再开始吃，这样反复了许多次之后，这只猫突然发现总有一只小白老鼠每次都吃不上，最后剩下的老鼠总是这只小白老鼠。那么这只小白老鼠究竟站什么位置上，最后才不被吃掉呢？

    要想搞清楚这个问题，首先看一下猫吃老鼠的方法。这只猫总是吃一行中的单数，即每次除以2，小白老鼠只要站在除以2尽量多的位置上，即2n上，最后2÷2=1，剩下1就不会被猫吃掉。例如猫捉的老鼠少于8只，小白老鼠站在22上；等于8只，站在23上；超过8只少于16只，还站在23上；16只以上不到32只，站在24上；……这样小白老鼠永远不会被猫吃掉。

    （3）有一个牧童放了一群羊，在回家的路上，每过一个关卡，守关卡的人总要留下牧童一半的羊，牧童不答应，守关卡的人再给牧童一只羊就让牧童过关卡走了，这样，牧童连续过了10个关卡，都是留下一半再给一只羊，让牧童过关卡去。最后牧童还剩下两只羊，问牧童一共有多少只羊？

    设牧童有x只羊，依题意，有

    第一关还剩12x+1=x+22

    第二关还剩12·x+22+1=x+2+422

    …

    第十关还剩

    x+2+22+…+210210

    ∴x+2+22+…+210210=2

    解之，得x=2

    所以，这个牧童共有2只羊。

    西方人忌讳的数字——13

    外国人非常厌恶13这个数字。旅馆里没有13号房间，学生在考场上拒绝坐13号座位，海员们拒绝在13号这天起航出海，餐桌上不愿意13个人同时就餐。

    这到底是什么原因呢？据考证，主要有三种根源：

    （1）原始人只会以10个手指和2只脚来计数，最多是12，于是13成了不可知的可怕数字。

    （2）希腊神话中，“英灵之宴”传说原来有12个半人半神聚宴，后来破坏与灾难之神洛基不邀自来，成为13个人。结果在宴会中，令敬爱的包尔达神不幸被杀死，13从此成了不吉利的标志。

    （3）耶稣基督和他的12个门徒聚餐，其中第13个人便是犹大。吃完最后的晚餐后，耶稣被犹大出卖。13成了一个不祥的数字。

    “T”形数

    在我们科学技术如此发达的今天，大数已经不足为奇了。比如，假设美利坚合众国的预算大约是每年一万亿元。一旦我们在脑海中建立了一万亿是多大的数目，那么我们只要略加想象就能知道一万亿个一万亿是怎样一个数目。为了使我们在说这些数的时候不致结结巴巴，让我们设一万亿为T－1，一万亿个一万亿为T－2，用这个办法构成一些大数——T形数。

    这样一来，根本用不到T－2就早已把美国财政方面的应用全部包括进去了。再看看它在其他方面的应用。在物理学中，质子和中子统称为核子。T－1个核子所构成了质量是极小的，即使用最好的光学显微镜也远远看不到。而T－2个核子也只能构成1克重的物质。由于T－3是T－2的一万亿倍，故T－3个核子就能构成1.67万亿克的物质，或者略少于两百万吨。事实上，T形数的增加速度让我们吃惊。T－4个核子相当于地球上所有海洋的质量，T－5个核子相当于一千个太阳系的质量。如果继续增加上去，T－6个核子就相当于一万个银河系大小的质量，T－7个核子的质量要远远地、远远地超过整个宇宙的质量。

    罗马数字，忘掉它吧

    阿拉伯数字在中世纪全盛时期传入了欧洲，这使罗马数字几乎失去了一切可能的用途。阿拉伯数字不知要比它们胜过多少倍。为了表达用罗马数字来计算的方法，不知用去多少纸张。而从此之后只需1%的纸，就可完成同样的计算。

    的确，在西方的许多国家曾一度使用罗马数字表达换算的东西。在“布的度量”上，2英寸是1奈尔，12奈尔等于1个佛兰芝埃尔，1个英国埃尔等于29奈尔（45英寸），1个法国奈尔等于24奈尔（54英寸）；如果测量距离，712/100英寸等于1令克，25令克等于1杆，4杆等于1测链，10测链等于1佛浪，8佛浪等于1英里；计量啤酒时，最常用2品脱等于1奈脱，而4奈脱等于1加仑，8加仑等于1小桶，2小桶等于1琵琶桶，11/2琵琶桶等于1中桶，2琵琶桶等于1大桶。

    你能弄清楚以上那些换算关系吗？我们的数制既然已经很牢固地以十为基数，那么，当今世界上的单位比率也没必要搞得这样变化多端。忘掉旧的和无用的知识，无疑就跟学习新的有益的知识一样重要。所以，让我们忘掉这些罗马数字。

    我们历年的日

    我们最早的计时单位无疑是日，甚至最原始的人也不得不意识到它。

    原始的人类是用月相周期来计时的。一个月相周期为“太阳月”。太阳月大约等于29.5日。季节的循环称为“年”，12个太阳月组成一个“太阳年”，一个太阳年大约354.37日，这就是所谓的“太阳历”。

    但是，经天文学家的研究表明，太阳历与季节的循环不相匹配。巴比伦的天文学家在有史时期之初就已知道：太阳沿黄道带运转一圈大约要365日，因此，太阳年季节循环或“太阳年”要短大约11日。三个太阳年就落在季节循环后面整整一个月还多一点。

    我们现在的历法是从埃及继承过来的，采用了长度固定的365日为一年的“太阳历”。太阳历还保持了12个月的传统。365日的年恰为52个星期1日。这就是说，如果这一年的2月6日是星期日，则在次年是星期一，再过一年是星期二，以此类推。

    如果只有365日的年，则任一给定的日子都将按部就班地经历一星期的每一天。然而，当一年有366日时，那么，这一年的长就是52个星期零2日；如果这一年2月6日是星期二，则下一年是星期四，跳过了星期三。由于这个原因，366日的年称为闰年，2月29日称为闰日。

    在寻找质数公式的崎岖道路上

    普耶尔·费尔马是个法律学家，也是他的故乡——法国土鲁兹城的著名社会活动家。尽管他是在业余时间里研究数学，可是他的法学才能远远不如他的数学才能驰名。他在世时没出版过什么著作。他死后，他的儿子才将他的数学遗稿整理出版。

    费尔马几乎与他同时代的所有著名数学家都有联系和交往。他和笛卡儿共同奠定了“解析几何学”的基础，和巴斯嘉奠定了“概率论”的基础。他最出色的成就，还是在“数论”方面的研究结果。他常常故意把一些难题交给熟人去做，即使是非常著名的数学家也往往不能完成他交给的任务。

    历代著名的数学家们为了寻找一个公式来表示所有的质数，不知花费了多少精力，走过了多少艰难曲折的道路，费尔马在这方面也不例外。他曾给出一个表达式：

    Fn=22n+1

    并且断言当n＝1＋2＋3+…时，Fn表示一切质数。经过验证：

    F0=220+1=3；F2=221+1=5；

    F2=222+1=17；F3=223+1=257；

    F4=224+1=65537；…

    当n＝0，1，2，3，4时，Fn确实都是质数。费尔马也算出了F5＝4294967297，但是，由于这个数很大，分解较难，他没加以分解，便认为F5也是质数，于是他就断言：“当n是任何正整数时，Fn总表示质数。”通常人们称Fn为费尔马数。正是由于这位大数学家一时的疏忽，而得到一个错误的结论。1732年，也是在这个崎岖道路上行走的数学家欧拉指出了费尔马的错误。欧拉得到：

    F5=225+1=4294967297

    =641×6700417

    而641是质数，从而费尔马的断言被否定了。

    在数学的许多方面建树功勋的欧拉，在寻求质数公式时，也曾设想用一个二次三项式：

    φ（n）=n2+n+41

    来表示质数，然而也失败了。不难验证，当n等于从1到39所有整数时，这个三项式的值都是质数，可是当n＝40时：

    φ（40）=402+40+41=1681=412

    显然，φ（40）就是合数了。和费尔马一样，欧拉也没能给出一个以正整数为自变量，而因数值都是质数的解析表达式。

    通过这两位著名数学家的教训，我们看到不完全归纳法常常是不可靠的。绝不能根据对一些特殊情形的判断，就过渡到一般情形的结论，并作为规律或法则，这样做太冒险了。必须经过周密的研究，大量的判断，并且给予严格的数学论证，然后，或者成为规律、法则；或者因为错误而被否定。所以，欧拉说的对：“简单归纳法会得出错误的结论。”还有一个说服力更强的例子：

    φ（n）=991·n2+1（n=1，2，3，…）

    我们分别将1，2，3，4，…等自然数代入上式，所得的数值都不是完全平方数，甚至你花上毕生的精力去一个一个地计算，也不会发现例外。但是，数学上却决不允许因此而得出φ（n）对一切自然数M都不是完全平方数。事实上当不为φ（n）完全平方数这一结论遭到破坏呢，谁能有那么大的耐性一个数一个数的从1，2，…一直让n取到29位的大数去验算φ（n）是不是完全平方数呢？

    质数问题纠缠了人们2000多年，至今不少数学家仍在这漫长而曲折的道路上，刻苦研究质数公式的问题。

    “数论”到底讲的是什么

    我们在前面章节里讲述了有关“数论”中的一些历史著名难题。那么，“数论”到底是一种什么样的科学呢？它的研究方法和研究的对象又是什么呢？在这里扼要地说明一下。

    “数论”就是研究数的科学，而且所说的数都是整数，在广泛的意义上说来，是研究利用整数按一定形式构成的数系的科学。

    “数论”的基本问题之一，是研究一个数被另一个数整除的问题，这就是所谓可除性理论。“数论”中的许多新概念、新理论、新方法，不仅在数论中有意义，而且在别队的数学分支以及其他科学领域中也有着重要的应用，如“自然数列是无穷的”这一概念对数学的全部发展，有着巨大的影响，它反映出物质世界在空间和时间上是无限的客观规律。

    “数论”从研究方法上考虑可分为四个部分，即初等数论、解析数论、代数数论和几何数论。

    初等数论不求助于其他数学分支而研究整数的性质，例如已知的欧拉恒等式：

    （a21+a22+a23+a24）（b21+b22+b23+b24）

    =（a1b1+a2b2+a3b3+a4b4）2+（a1b2-a2b1+a3b4-a4b3）2+

    （a1b3-a3b1+a4b2-a2b4）2+（a1b4-a4b1+a2b3-a3b2）2

    可以顺利地证明，对每一个整数Q＞0都可分解为四个整数平方的和，即

    Q＝x2＋y2＋z2＋u2

    其中x，y，z，u均为整数，当然这个问题要理解为找不定方程的整数解。

    所谓解析数论是用微积分的工具来解决“数论”问题。代数数论是研究代数的概念。所谓代数数论就是方程

    a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+

    an-1x+an=0

    的根，其中a0、a1、a2、…an是整数。

    几何数论研究的基本对象是“空间格网”，主要在于透过几何观点研究整数的分布情形。这个问题对几何学和结晶学有着重大的意义。

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