美妙的对称

    闹钟、飞机、电扇、屋架等的功能，属性完全不同，但它们的形状却有一个共同特性——对称。在闹钟、屋架、飞机等的外形图中，可以找到一条线，线两端的图形是完全一样的。也就是说，当这条线的一边绕这条线旋转180°后，与另一边完全重合。在数学上把具有这种性质的图形叫做轴对称图形。电扇的一个叶子不是轴对称图形，但电扇的一个叶如果绕电扇中心旋转180°后，会与另一个扇叶原来所在位置完全重合，这种图形数学上称为中心对称图形，所有轴对称和中心对称图形统称为对称图形。

    闹钟、飞机、电扇的对称形状不仅是美观，而且还有一定的科学道理：闹钟的对称保证了走时的均匀性，飞机的对称使飞机能在空中保持平衡。

    对称也是艺术家们创造艺术作品的重要准则。像中国古代的近体诗中的对仗，民间常用的对联等，都有一种内在的对称关系。对称在建筑艺术中的应用就更广泛。中国北京整个城市的布局是以故宫、天安门、人民英雄纪念碑、前门为中轴线边对称的。对称还是自然界的一种生物现象，不少植物、动物都有自己的对称形式。

    堆垛问题

    我们在码头、堆栈和仓库等堆物处，常可见到各种堆垛，形因物而各具规律，整齐而便于检点，计数时常有简便的方法。研究堆垛的计数和求积，在数学上叫做堆垛问题。

    水泥管或圆木等物体常堆放成三角或梯形垛，这种堆法不但牢固，且占地面积小，方便计算，其求和公式为S＝1/2×（底层个数＋顶层个数）×层数。

    棉纺厂准备车间生产的筒子，常堆成“正方锥垛”，底层是“正方形”，以上逐层每边减少1个，顶层是1个。总和计算公式为S＝1.2＋2.2＋3.2＋…＋（n－1）2＋n2（n为层数）。

    工厂生产的木箱，有的堆成“长方楔垛”。设其顶层为1个，长为M个，以下逐层宽、长各多1个，底层宽N个，则长为M＋（N-1）个，求和公式为S＝1/6N（N＋1）（2N＋3M－2）。

    精巧的蜂巢

    蜜蜂既是辛勤的采蜜者，又是效率很高的花粉传播者。可是，你是否知道，它还是生物界里出色的“建筑师”呢。

    蜜蜂用蜂蜡建造起来的蜂巢里是一座既轻巧又坚固，既美观又实用的宏伟建筑。达尔文还曾经对蜂巢的精巧构造大加赞扬。蜂巢看上去好像是由成千上万个六棱柱紧密排列组成的。从正面看过去，的确是这样，它们都是排列整齐的正六边形。但是就一个蜂房而言，并非完全是六棱柱，它的侧壁是六棱柱的侧面，但棱柱的底面是由三个三等菱形组成的倒角锥形。两排这样的蜂房，底部和底部相嵌接，就排成了紧密无间的蜂巢。

    蜂巢的这种结构很自然地吸引了人们的注意。在200多年以前，有人曾测量过蜂巢的尺寸，结果发现了一个奇妙的规律：不论蜂房的大小如何，它底部菱形的锐角都是70°32′。这难道是偶然的吗？蜂房是由工蜂分泌的蜂蜡筑成的，有人从中得到启示：蜂房底部的菱形取这样奇特的形状，是不是为了使蜂蜡最节约，而又使这样形状的蜂房最宽畅呢？果然不错，数学家计算表明：如果筑成这样形状的蜂房，要使蜂蜡用得最少，也就是要使表面积最小，那么，这个蜂房底部菱形的锐角必须是70°32′。原来小小的蜜蜂还是生物界“精打细算”的能手呢！

    蚊香盘法

    蚊香虽是一种除害灭蚊的药品，但就其形状来讲，分析一下对我们分析问题和解决问题的能力会有一些帮助。一袋蚊香，像一个圆面，但又不完全一样。分开来，便成完全一样的两盘，每一盘的形状好像海螺的外壳，它绕着“中心”一边旋转，一边又向外伸展，我们叫它螺线。蚊香为什么要盘成螺线形状呢？原来蚊香形状是根据二心渐伸螺线设计的。它除了十字线的中心O外，还有两个心为O1和O2，O1和O2相距7毫米。实际上，这条螺线是由很多以这两个心为圆心的半圆弧光滑地连接起来的。起点与邻近一心的距离O2A＝8毫米。每盘蚊香粗7毫米，两条边缘也都是二心渐伸螺线，只是起点不同，它们与中心线起点各相距3.5毫米。

    蚊香盘成这样形状有许多好处。首先，它的长度适中，905毫米，约可点燃7.5～8小时，这样既不至于半夜就烧完，又可避免不必要的浪费，且占地面积小，不易折断，便于包装、运输。其次由于做成了螺线形状，它一边旋转，一边渐伸出去，相邻两圈之间又有一定空隙，蚊香燃烧尽，不会延及另外一圈。再次，我们在制作时，只要设计尺寸恰当，就可使空隙之处正好又做一盘，一举“两得”，你说妙不妙？

    谈谈管道口径

    管道，我们在生活中经常见到，如自来水管、煤气管、污水管……如果你去过化工厂的话，厂里各种管道纵横交错的现场，一定给你留下深刻的印象。这些管道的粗细虽然不全一样，但它们口径的形状却都是圆的，这是为什么呢？这就涉及一个问题：周长一定的管道截面，成何种形状时，才能使管道截面的面积最大，流量也最大？这也是数学上有名的等周问题：周长一定的平面图形中，以哪种形状的面积为最大？这个问题的回答是：当制造管道的材料一定时，那么当口径做成圆形时流量最大。

    根据这一等周定理，不仅是管道，还有其他许多东西都是做成圆的。例如，食品罐头，各类瓶子、杯子、烟囱等等。另外，你可曾见过这种现象：雨过天晴，汽车身上偶尔淌下的油滴，浮在柏油路的水面上，竟会反射出五光十色的美丽色彩来。你再仔细观察一下，还会发现这一圈圈的油滴，不论大小如何，却都是圆的！原来，这是油的表面张力遵循等周原理的结果。

    彩虹般的拱桥

    桥有各式各样的形状，有一类桥，它们的形状犹如缤纷的彩虹，飞架在江河之上，十分美丽，人们称它为拱桥。许多桥为什么要造成拱形的呢？这不单是拱桥形状好看，更重要的是拱桥有许多优点。如果在一根平直的横梁上面加压重量，就可以看到，梁的中部最容易弯曲甚至折断；而且从它的断面可以看出，梁的底部是被拉力拉断的，梁的上部是被压力压坏的，这样拉力和压力总和加起来，就是通常所指的“弯力”。如果我们把梁柱改为拱形，外加压力作用下产生的“弯力”就能沿着拱圈传送到支座，并经过支座传送到地下。这样，“弯力”对拱桥本身的影响就可以大大减小。如果拱的曲线形状设计得恰当，“弯力”影响可以减少到最低程度，甚至为零。

    拱桥

    正是由于上面所说的原理，所以许多桥都造成拱形的。如世界闻名的安济桥和赵州桥在我国都有着悠久的历史，在漫长的岁月里，它们饱经风霜、车辆重压、洪水冲击、地震摇撼的考验，至今仍矫健屹立。

    伞形太阳灶的奥秘

    太阳灶利用太阳辐射出来的热量，可以烧水、煮饭、炒菜。也许你会感到奇怪，太阳光怎么能烧得熟食物呢？奥秘在于太阳灶有一个聚光的装置，它能将太阳光反射集中到一个地方，使这个地方的温度达到好几百度。这样，只要在这个地方放上一个锅，就可以烧水、煮饭、炒菜了。

    可是，道理说起来简单，而要使太阳反射点达到足够高的温度却不那么容易。这还得要借助于伞形太阳灶的几何形状——旋转抛物面，这是由抛物线绕着它的轴旋转一周而成的。为什么旋转抛物面有这么大本领呢？原来，它是利用了光在曲面上反射具有的选择最短路线的性质，让入射到抛物面上的平行太阳光会聚到焦点上去，使焦点处的温度大大提高了。这就是伞形太阳灶能烧水、煮饭、炒菜的数学和物理原理。

    扁形运液筒

    你可曾注意到，汽车背脊上的大桶，多数呈椭圆形状，即它的两个底面都是椭圆（数学上称椭圆柱体）。为什么汽车上的大桶要做成椭圆形状呢？

    原因主要是在于容积相同的条件下，椭圆形桶与长方体形的桶相比较，用料上要节约一些。除了节省材料的原因之外，还有一个强度问题。椭圆桶的外受力比较均匀，牢固而且不易撞坏，而长方体的棱角多，焊接多棱处受力特别大，容易破裂。所以汽车运输液体的桶一般不做成长方体的形状。

    再与圆柱桶相比较。仍在容积相同的条件下，圆柱桶比椭圆省料。如果单从节省材料的角度看，应该把桶底做成圆形的，但由于圆柱桶要比椭圆桶高和狭，它的重心比较高，不稳定，两边还要用支架，汽车的宽度也不能充分利用。

    综上所述，椭圆桶较省料，又牢固，重心低，比较稳。这就是汽车背脊上的大桶做成椭圆形的道理。

    七巧板可以拼成各种有趣的图案

    七巧板

    小朋友们对七巧板可能是再熟悉不过了。七巧板是我们祖先发明的一种玩具。它是由5块三角形、1块正方形、1块平行四边形的板组成。据说在1000多年前唐朝的时候，有人用一套可以分开、拼合的桌子在宴请客人的时候摆成各种有趣的图案，来增加宴会的气氛。后来，经过了许多人的精心琢磨，这种桌子慢慢演变成了今天的七巧板。

    这七巧板的独特之处就在一个“巧”字。它们可以互相调换摆成人体，动物等各种图案。比如用正方形板表示人头；用三角形板表示动物的嘴；用平行四边形表示人的身体。有了这些基本图形，再加上三角形拼起来能出现多种不同的形状，七巧板就拼出了各种有趣的图案。

    三脚架竖立的秘密

    三脚架三脚架有许多用处：摄影爱好者用它来支撑照相机；露营野炊者用它来做烧水做饭的支架……三脚架简单实用，但使用时必须注意，三脚架的“头”应处在它的三只“脚”所构成的三角形之中，这样才稳定。若“头”偏出了三只“脚”所在的三角形区域外，那么三脚架就会翻倒。这是因为任何物体都有一个重心，如果物体的重心越出物体支撑点范围，物体就会不稳甚至翻倒。要使三脚架稳定，就应该使它的“头”落在它的支撑点的范围——三脚架的“脚”所构成的三角形之内。所以正确掌握重心位置是物体稳定的关键，表演杂技顶花瓶的演员正是利用了这一道理，才会有惊人的表演。演员把一根木棒顶在放有花瓶、茶杯等东西的玻璃板下，使得玻璃板上的重心落在木棒上，玻璃板上的花瓶、茶杯等就不会翻转。

    一般可以用几何作图求三角形的重心，在ABC的三条边AB、BC、AC上，分别找到它们的中点D、E、F，连接AE、BF、CD，那么这三条线必相交于一点O，O点就是这个三角形的重心。

    地球仪表面上的纸是如何贴上去的

    如果请人把一张纸贴在圆圆的皮球上，那么无论你怎样贴，也不会把它贴得很平整。可是，圆圆的地球仪表面上的世界地图却贴得平平整整，没有皱折和重叠的地方，你知道这是为什么吗？

    原来，要把一张准确的世界地图贴在圆圆的地球仪上，并不是一件简单的事。数学家和技术人员经过周密的计算，把世界地图分成12块相等的两端尖中间宽的纸条，然后再一张一张地拼着贴上去，制成地球仪的表面。这样，地球仪表面的地图就没有皱纹了。

    现在你能明白为什么地球仪不是完完整整的一张纸制成的但又很平整的原因了吧？做地球仪的原理其实跟做灯笼一样，假设你想用纸糊一个灯笼，那你一样得是经过计算做出若干大小相等且两端尖中间宽的纸条，然后贴上去，就制成了一个和地球仪一样表面平整的圆灯笼。

    铺砖的难题

    铺地面用的马赛克，不管镂刻什么图案，砖形都是正方的或是正六边形的。这简单的工艺暗含有几何问题。用几块正多边形的砖，将它们拼接在一起，要它们摊得平（不凹不凸）、凑得满（不露缝不裂口）。希望做到这一步，必须各砖凑在一起各角之和是360°。为此，我们把几个简单的正多边形的内角排列出来：

    正多边形数3、4、5、6、8、9、10、12的每个角度数分别为60°、90°、108°、120°、135°、140°、144°、150°。如果只许用一种形状的砖，便只有三角形、正方形、正六边形可取。6个三角形，4个正方形，3个正六边形都能在一点凑成360°。但是单用三角形拼成的图案不美观，实际上为了工艺方便普遍采用方砖和六角砖。

    单用边数为5、8、9、10、12的正多形都不能拼成平面，如果用几种正多边拼凑，根据各角之和等于360°，还是能拼出平面的。当然，这种平面的图案变化就会比较复杂。

    折纸中的数学问题

    给定一个正方形纸片，能否通过折这张纸作出指定的图形。折纸是一种游戏，这种游戏既简单又普及，这里面却有许多数学问题。

    三等分任意角

    用直尺和圆规不能作出任意角的三等分线，其原因是尺规作图有局限性，如果放弃这种限制，改用其他方法三等分任意角可以实现。比如折纸就可三等分任意角。下面是三等分任意锐角的折纸方法。

    在正方形纸片ABCD上折出给定的角∠PBC，对折正方形，使A、B重合，得折痕EF，再对折矩形BCFE，使B、E重合，得折痕GH。

    翻折角B，使B重合在GH上记为B′，且使E重合在BP上记为E′，点G折后的点是G′，折痕是XY。

    折出直线BG′、BB′，则折痕BB′、BG′为∠PBC的三等分线。

    事实上，B与B′是关于XY的对称点，而GB′与GH重合，B′G⊥BE，所以，BG′⊥B′E′。又因为B′G′=BG=GE=G′E′，所以∠E′BG′=∠B′BG′，即BG′是∠B′BE′的平分线。

    设BG′与B′G交于点T，因为B′T∥BY，所以BT∥B′Y。进而得BT=YB′，又YB′=YB，所以BT=BY。因B、B′是XY的对称点，所以BB′⊥XY，也就是TY⊥BB′。这样，BB′与等腰三角形△BYT的顶角B的高线重合，即BB′是∠TBY的平分线。

    折纸时，折起的部分与重合于它的那部分是对称图形，对称轴是折痕，使折纸中出现了许多相等的量。折纸相当于几何中构作对称图形，用对称的性质分析和处理问题是折纸的自身特点。

    在正方形内折出内接正三角形

    内接三角形是指其顶点在已知正方形边上的三角形。随意作一个内接三角形是十分容易的，但是作内接正三角形就不很容易。

    假设正方形的一个顶点A是要作的内接正三角形的一个顶点，那么另两个顶点一定是分别在正方形的BC边和CD边上，分别设这两点为P和Q，因为AP=AQ，而AB=AD，∠B=∠D，所以，∠BAP=∠DAQ=（90°-60°）÷2=15°。

    在已知正方形的顶角内，只要折出30°角就能通过折角分线得到15°角，而在90°角内折出30°角实际上是把90°角三等分，依前面给出的方法，这是可以办到的，其实对90°这样的特殊角，还有更简单的折纸三等分方法。下面是正方形内接正三角形的折纸方法。

    ①对折正方形ABCD，使A、B重合，得折痕EF；

    ②固定点A，折起AB，使点B落在EF上，记这一点为G，得折痕AH（如图4）；

    ③折出直线AG，再分别折起AB和AD，使AB与AH重合，得折痕AP，使AD与AG重合，得折痕AQ，折出直线PQ。

    折痕△APQ是正三角形，而且是正方形ABCD的最大的内接正三角形。

    在以上作法中，∠GAB=60°，这是因为EF是AB的垂直平分线，AG=AB，于是BG是AG关于EF的对称线段，△ABG是正三角形，∠GAB=60°。

    折出黄金分割点

    在一条线段上有这样一点，它分已知线段为两部分，长的一部分是短的一部分与原线段的比例中项。这样的点叫做黄金分割点。即若设线段为AB，其长度是1，点C在AB上。AC=x，且1x=x1-x，x=5-12，则C点就是黄金分割点。

    求作黄金分割点的折纸法是很简单的。

    ①通过折纸，先将正方形ABCD的B与C重合，找到BC的中点E，折出直线AE；

    ②折起EB，使B点落在AE上点K处，EB与AE重合。EF是折痕，F在AB上；

    ③折起AB，使点B落在AE上点B′处，AB与AE重合，折痕是AH，重合于AE上点K的AB上的点记作K′。

    这样一来，K′是线段AB上的黄金分割点，不仅ABAK′=AK′BK′，而且还有BEBF=BFBE-BF。

    设∠BEF=θ，则∠AEB=2θ

    ∴tg2θ=2=2tgθ1-tg2θ

    令tgθ=x，得方程

    2=2x1-x2

    即x2+x-1=0

    得BFBE=5-12

    抄近道的几何学

    人们无论做什么事情，都喜欢寻找快捷方式，以最短的时间完成想做的事情，以达到事半功倍的效果。

    一般来说，走路也是一样，人们总是愿意走胡同，把这样叫做“抄近道”，因为抄近道要近一些。为什么抄近道就会近一些呢？这就是一个几何学原理。

    下面我们来做一个小实验帮助你理解这个问题。你找出三个纽扣，把两个纽扣在桌上放好，用一根把其中的两个穿起来。注意线不要拉直，把第三个纽扣放在桌面上，不要让三个纽扣在一条直线上，你还用那根线把三个纽扣连起来，你会发现线不够长，这说明两个点之间以直线的距离最短，这是几何学中一个古老而又著名的定理。其实，生活中到处都有几何学的影子，你注意到了吗？

    弧形滑梯与最速降线

    有两条滑梯：一条的滑道是斜线；另一条的滑道是弧线。如果有甲乙两个体重相等的小孩同时从滑梯顶部O点往下滑，甲沿着斜线下滑，乙沿着弧线滑道下滑，那么哪个小孩先滑到底部A点呢？

    一般人认为，甲滑过的路程是直线，路程最短，所以甲孩先到达A点。这样分析是错误的。因为谁能最先到达底部，不但与路程长短有关，还与滑行的速度有关。

    甲沿着斜线OA下滑，是做匀加速运动，速度从0开始，缓慢而均匀地增大；乙沿弧线下滑速度也是从0开始，但刚开始就是一段陡坡，速度迅速增大，使得乙的滑行速度比甲快，虽然比甲多走了一些路，但究竟谁先到终点就难说了。科学家研究后发现，只要将弧形滑梯设计成摆线形，就可以成为滑得最快的滑梯。

    这个寻找“最速降线”的问题，最初是由瑞士数学家约翰·贝努利提出的。后来经他和牛顿、莱布尼兹、雅各布、贝努利等人的努力，发现侧着倒放的摆线弧下滑，比任何曲线都快。这一问题的解决，为后来发展成一门非常有用的数学新分支——变分法奠定了基础。

    球形结构之谜

    当你乘着轮船，沿着黄浦江航行，眺望两岸时，就一定能见到许多盛有各种液体的贮油桶，它们高的有几十米，矮的也有近十米，大小虽不一样，但看上去都显得十分“匀称”，既不“胖”，也不“瘦”。像这样底面直径和高恰好相等的圆柱体叫做等边圆柱。

    贮液桶一般常做成等边圆柱。那么，它们为什么不做成“胖”的或者“瘦”的，而要做成胖瘦适中，看上去很匀称的等边圆柱呢？这不仅是为了外形的美观，更主要是为了节约造桶的材料。用数学语言来表达就是：在圆柱的容积V保持一定数值的情况下，圆柱体取什么样的形状，它的全面积达到最小。我们已经通过计算证明等边圆柱的全面积最小。

    但我们应该注意，上面的结论只对有盖的圆柱适用。如果无盖的圆柱，做成等边圆柱就不是取省料的了，而是应制成它的直径等于高的二倍的圆柱，它的形状看上去比较扁胖。

    螺形外貌之谜

    螺丝帽有好几种形状，最常见的是正六角形，有时也可看到正四边形、正八角形等。螺丝帽为什么不做成圆形呢？因为机器开动时总会发生松动。因此，螺帽装到机器上去时，必须用“扳手”紧紧地拧住它。否则，由于机器的振动，螺帽就有可能自己松动而脱落下来，机器就会损坏，甚至造成严重的事故。螺帽做成圆形，虽然可以节省材料，制造也比较方便，但圆的螺帽用扳手不好拧，因而螺帽一般不做成圆形。

    那么，又为什么螺帽绝大多数是正四角形、正六角形、正八角形（边数是偶数），而不做成正三角形、正五角形、正七角形（边数是奇数）呢？原来，工人师傅拧螺帽时常用的工具活络扳手“张口”上的“嘴唇”是平行的。当螺帽的边数是偶数时，它的对边平行，可以用活络扳手“咬”住，而把它按紧；而当边数是奇数时，由于没有两边平行的，用活络扳手就无法拧紧。所以，一般不做奇数边正多边形的螺帽。

    现在我们再来分析一下为什么大多数螺帽都做成六角形，而只有极少数做成四角形或其他形状。原因就在于用同样半径的圆、六角螺帽和四角螺帽，前者留下的面积大，切掉少，能充分利用材料。

    跑道的弯与直

    你知道为什么田径场的跑道要设计成两头是半圆形的，而中间的两边却是直的呢？

    如果跑道全部是直的运动员赛跑时可以不必侧着身子急速地转弯，这当然很好。可是运动项目中有几千米甚至几万米的长跑，如果要在田径场上进行这种比赛，而跑道又全部是直的话，那么这个田径场将要有多大呀！所以跑道全部是直的是不可能的。

    那么，跑道设计成圆形，使长跑绕着圈子进行，行不行呢？圆形跑道的好处是可以大大减少占地面积。但这样一来，运动员在奔跑时要时刻改变奔跑的方向，始终处于侧着身体的状态，不能充分发挥赛跑水平，而且百米赛跑也只能在弯道上进行，这当然不行。再说，如果圆形跑道一圈是400米，那么它的直径约为127米。

    对于这样的尺寸，要在田径场内同时举行标枪、铁饼、手榴弹等项目的比赛，就显得不够大了，而且举行足球赛时宽度够了，长度却不够。造成长方形行呢？更不行，因为在转角处，运动员要在急跑的情况下突然改变运动方向，向左转90°，这好比快车急转弯，十分危险。运动员要想不摔倒，比较理想的田径场跑道应该是两头圆的中间直的。

    三角尺的造型

    三角尺，我们不仅常常看到，而且常常用到。它是画图的主要工具之一。利用它可以很方便地画出许多种几何图形。

    三角尺

    但是，你可曾想过，我们看到的三角尺为什么要做成两块都有直角而含有的锐角各不相同的形状呢？其中一块三角尺是一个等腰直角三角形，两个锐角都是45°。我们知道，45°角在画图中是最常见的。利用它，在制图中可以方便地画出表示金属材料的45°剖面线，又可以迅速地把另一个圆周四等分。

    另一块三角尺，有一个锐角是30°，还有一个锐角是60°，利用它可以很方便地把一个圆周三等分，或者是六等分。

    利用这两个三角尺，可以很方便地建立直角坐标系；也可以画出0°到360°之间的23个角来（你可以试一试）；还可以利用它上面的刻度来度量长度。其实，一副三角尺的用途还不止此，它还可以用来当角尺，检验某一物体的两条边是否垂直，也可用来寻找一个圆的圆心；还可以用来检验屋梁是否水平。当然，这也超出了画图的范围。

    圆在生活中的应用

    （1）有利于滚动。无论是汽车还是自行车，它的车身都是装在轴上，如果车的轮子是方形的话，车子走起来就会上下颠簸。圆形的车轮子，轮边到圆中心距离相同，这样走起来车身非常平稳，坐在车里也会感到很舒服。

    （2）弹跳有规律。你看过篮球赛就会知道，运动员需要拍着球往前走，拍球时运动员眼睛并不看着球，而是看着场上的运动员。运动员为什么不看球而能拍球自如呢？这是因为圆形弹跳是有一定规律的。除了圆球，其他形状的球弹跳起来会一会儿东，一会儿西，让你摸不着门儿。

    （3）容积较大。找来同样大小的两块铁皮做成一个圆碗和一个方碗。把圆碗里装满了水，然后把圆碗里的水慢慢倒进方碗里，你会发现方碗装不下这些水，有些水会流出来。这件事告诉我们，用同样大小的材料做成的圆形装东西最多。

    （4）只有一个直径。下水道盖一般是生铁铸成的。每个都有几十斤重，如果掉在水道里，可就不容易往上捞。怎样才能保证下水道盖不管怎样盖法永远掉不下去呢？把盖做成圆形的。有的铁桶饼干，铁桶盖是圆的。你可以动手试一试，不管你怎样盖法，盖子不会掉进桶里。

    分圆问题和数学家高斯

    什么叫分圆问题呢？这还是一个仅用直尺和圆规将已知圆周n等分的几何作图题。粗心的人可能会说：“这有什么好研究的，在中学平面几何中，把圆周三等分、四等分、五等分、六等分，我们都作过，那是极为简单的几何作图题。”是的，这些分圆问题的特例是很简单的尺规作图题，而且，不仅如此，人们很早就能利用尺规把已知圆周2n等分（其中n是大于等于2的正整数）、3·2n等分、5·2n等分（其中n是0或正整数），并且相应地作出圆内接正2n角形、正3·2n角形、正5·2n角形，从等于圆周1/6的弧中，去掉等于圆周1/10的弧，利用剩下的弧长就能作出正十五角形，即能作出内接正十五角形，于是，我们又能作出圆内接正三十角形、正六十角形及一般形式：正15·2n角形。然而，事情并非如此简单，细心的人马上就会想到：上述分圆问题，只不过是讨论了将圆周三、四、五、六、八、十、十二、十五……等分，仍然还是一些特例。我们不禁要问：“利用尺规能将已知圆周七、十一、十三、十七……等分吗？”特别是当任意给定一个正整数N，是否总能利用尺规，将已知圆周N等分，并且相应地作出圆内接正N边形呢？

    这个尺规作图难题，在2000多年的岁月中，不知有多少人，进行过多少次的尝试，都失败了。正当人类的智慧受到严重考验时，1796年正在德国哥廷根大学求学的、年仅19岁的高斯成功地找到了仅用尺规作正十七边形的方法，5年之后，他又证明了下面这样的定理：

    边数是22n＋1形状的费尔马素数的圆内接正多边形必能用尺规作图。

    可以把这个定理称为高斯判别法，即圆内接正多边形可以用尺规作图的，只要将N这个数分解质因数后仅仅只含有（1）彼此互异的形状为22n＋1的质因数；（2）2的正整数次幂。反之，如果N不是这样的正整数，就不能用尺规作出正N边形。

    这里特别应该说明的是，22n＋1是费尔马数，而费尔马数并非都是素数，例如n＝5时，N＝225+1＝4294967297＝641×6700417

    同时，当N＞5时，22n＋1所表示的数中，有素数，也有合数，因此，高斯的这个判别法又可以理解为：凡等分数N为22n＋1所表示的素数，尺规作图能解，其他的素数及其乘幂则皆不可解，根据高斯判别法，边数不超过100的正多边形中，只有24个可用尺规作图，其余74个均无解。如正3、4、5、6、8、10、12、15、16、17、20边形等都可以用尺规作出，而正7、9、11、13、t4、18、19边形等却不行，因为虽然它们都为素数，但不能表示为22n＋1的形状，所以，都不可解。

    由于理论推演比较复杂，涉及的数学知识也很多，这里仅仅介绍高斯的作图方法而不加证明，高斯的几何作图法：

    高斯的几何作图法

    （1）在单位圆O中，作互相垂直的直径A1B1、D1C1为坐标轴。

    （2）作OB＝-14。

    （3）以B为圆心，BD1为半径画弧交横轴于C和C′。

    （4）分别以C′、C为圆心，以C′D1、CD1为半径画弧交横轴于D′、D。

    （5）以A1D1为直径作圆交OD1于F。

    （6）以F为圆心，12OD′为半径画弧交横轴于K。

    （7）以K为圆心，KF为半径画半圆交横轴于H、H′。

    （8）过OH中点L作横轴的垂线交⊙O于A2A17，则A1A2即正十七边形之一个边的长。

    （9）以A1A从A开始连续截取单位圆周得A3、A4、A5…A16各分点，并用直尺顺次连接各分点即得正十七边形。

    于是，年轻的数学家高斯，用代数的方法解决了这个几何难题，不仅第一次作出了正十七边形，更为重要的贡献是：成功地给出了正N边形作图可能性的判别方法。

    1832年，德国另一位数学家力西罗，用了80张大纸，给出了正257边形的完善作法。后来差尔美斯耗费了十年心血，按着高斯的方法，作出了正65537边形。他的手稿占用了整整一只大手提箱。

    分圆问题是个几何作图的问题，而22n＋1是否表示一个素数，则是个数论方面的问题。这两者间怎么能发生联系呢？似乎是不可思议的，然而，我们越是这种感觉强烈，就越能说明当时高斯的发现是何等惊人，他不仅出色地解决了2000多年来遗留下来的一个几何作图难题，而且找出了“几何学”与“数论”这两个不同学科之间的微妙联系，这种善于在不同领域内寻找它们的共同规律的思考方法，是值得我们认真学习和大力提倡的。特别是在当今科学的发展进程中，这种倾向非常明显，它不受代数、几何、微积分、拓扑、函数论、微分方程等分科的限制，也不受数学、物理、化学、生物等学科的限制，而是综合运用各种理论和方法的积累去研究一些共同的规律性的问题。进而发展成边缘性的学科，如生物化学、数学物理、微分几何、结晶学……如果没有这种观察问题的能力和思考问题的方法是不行的。

    从分圆问题的解决，我们可以看到高斯是一位很有才华的数学家，在高等数学中有很多定理、公式和方法是以高斯的名字命名的，他不仅对数学有很大贡献，而且对天文学、测量学、物理学的发展，都有巨大的功绩。

    化圆为方

    古希腊数学家苛刻地限制几何作图工具，规定画几何图形时，只准许使用直尺和圆规，于是，从一些本来很简单的几何作图题中，产生了一批著名的数学难题。化圆为方问题就是其中之一。

    据说，最先研究这个问题的人，是一个叫安拉克萨哥拉的古希腊学者。

    安拉克萨哥拉生活在公元前5世纪，对数学和哲学都有一定的贡献。有一次，他对别人说：“太阳并不是一尊神，而是一个像希腊那样大的火球。”结果被他的仇人抓住把柄，说他亵渎神灵，给抓进了牢房。

    为了打发寂寞无聊的铁窗生涯，安拉克萨哥拉专心致志地思考过这样一个数学问题：怎样作出一个正方形，才能使它的面积与某个已知圆的面积相等？这就是化圆为方问题。

    当然，安拉克萨哥拉没能解决这个问题。但他也不必为此感到羞愧，因为在他以后的2400多年里，许许多多比他更加优秀的数学家，也都未能解决这个问题。

    有人说，在西方数学史上，几乎每一个称得上是数学家的人，都曾被化圆为方问题所吸引过。几乎在每一年里，都有数学家欣喜若狂地宣称：我解决了化圆为方问题！可是不久，人们就发现，在他们的作图过程中，不是在这里就是在那里有着一点小小的，但却是无法改正的错误。

    化圆为方问题看上去这样容易，却使那么多的数学家都束手无策，真是不可思议！

    年复一年，有关化圆为方的论文雪片似地飞向各国的科学院，多得叫科学家们无法审读。1775年，法国巴黎科学院还专门召开了一次会议，讨论这些论文给科学院正常工作造成的“麻烦”，会议通过了一项决议，决定不再审读有关化圆为方问题的论文。

    然而，审读也罢，不审读也罢，化圆为方问题以其特有的魅力，依旧吸引着成千上万的人。它不仅吸引了众多的数学家，也让众多的数学爱好者为之神魂颠倒。15世纪时，连欧洲最著名的艺术大师达·芬奇，也曾拿起直尺与圆规，尝试解答这个问题。

    达·芬奇的作图方法很有趣。他首先动手做一个圆柱体，让这个圆柱体的高恰好等于底面圆半径γ的一半，底面那个圆的面积是πγ2。然后，达·芬奇将这个圆柱体在纸上滚动一周，在纸上得到一个矩形，这个矩形的长是2πγ，宽是γ／2，面积是πγ2，正好等于圆柱底面圆的面积。

    经过上面这一步，达·芬奇已经将圆“化”为一个矩形，接下来，只要再将这个矩形改画成一个与它面积相等的正方形，就可以达到“化圆为方”的目的。

    达·芬奇解决了化圆为方问题吗？没有，因为他除了使用直尺和圆规之外，还让一个圆柱体在纸上滚来滚去。在尺规作图法中，这显然是一个不能容许的“犯规”动作。

    化圆为方问题不可能由尺规作图法来完成。这个结论是德国数学家林德曼于1882年宣布的。

    林德曼是怎样得出这样一个结论的呢？说起来还与大家熟悉的圆周率π有关。

    假设已知圆的半径为γ，它的面积就是πγ2，如果要作的那个正方形边长是x，它的面积就是x2。要使这两个图形的面积相等，必须有

    x2=πγ2

    即x=πγ

    于是，能不能化圆为方，就归结为能不能用尺规作出一条像πγ那样长的线段来。

    数学家们已经证明：如果π是一个有理数，像πγ这样长的线段肯定能由尺规作图法画出来；如果π是一个“超越数”，那么，这样的线段就肯定不能由尺规作图法画出来。

    林德曼的伟大功绩，恰恰就在于他最先证明了π是一个超越数，从而最先确认了化圆为方问题是不能由尺规作图法解决的。

    有人说，如果把数学比作是一块瓜田，那么，一个数学难题，就像是瓜叶下偶尔显露出来的一节瓜藤，它的周围都被瓜叶遮盖了，不知道还有多长的藤，也不知道还有多少颗瓜。但是，抓住了这节瓜藤，就有可能拽出更长的藤，拽出一连串的数学成果来。

    数学难题的本身，往往并没有什么了不起。但是，要想解决它，就必须发明更普遍、更强有力的数学方法来，于是推动着人们去寻觅新的数学手段。例如，通过深入研究包括化圆为方三大几何作图难题，开创了对圆锥曲线的研究，发现了尺规作图的判别准则，后来又有代数和群论的方程论若干部分的发展，这些都对数学发展产生了巨大的影响。

    最短距离问题趣谈

    19世纪德国柏林大学数学教授斯泰纳，根据生产实线的需要，研究了一个虽然简单但实用价值很大的问题，即在三个村庄间，建立一座供水站。为节省水管，问怎样选择供水站的地点，到村庄的距离的总长为最短。

    换成数学语言就是：

    设A、B、C是平面内不在同一直线上的三点，求在△ABC中找一点P，使PA＋PB＋PC为最短。

    这个问题还可以推广为：

    在A、B、C三个村庄间建立一座供水站，已知修往A庄的单位造价是m元／米，修往B庄的单位造价是n元／米，修往C庄的单位造价是r元／米，问供水站建立在何处，才能使总造价最省。

    也就是在△ABC中，求使

    mAP＋nBP＋rCP

    取极小值时P点的位置。

    或者把这个问题变化为：

    设三个村庄，每个村庄各有上学孩子为40人、50人、60人，要在三个村庄间建立一座学校，使所有孩子耗费在走路上的时间总数为最少，即设学校到三个村庄之距离分别为S1、S2、S3，求使

    40S1＋50S2＋60S3

    取极小值的学校的位置。

    尽管上述三个问题提法不同，但都是同一个数学问题，即

    在△ABC内找一点P，使

    mAP＋nBP＋rCP

    取极小值。其中m、n、r为已知常数（第一个问题是后面两个问题的特例，m＝n＝r＝1）。

    因为这个问题是斯泰纳首先提出的，所以叫做斯泰纳问题，通常也叫做最短距离问题。这个问题提出后不久，就被解决了，并且得到了广泛的应用。

    现给出两种非常有趣的解法。

    只要把包含这三个村庄的地图放在一张桌子（或者架起的纸板）上，再在相当于各个村庄的A、B、C三处在桌子上打三个洞，通过这些洞垂下三条绳子，每条绳子一端分别系上重40克、50克、60克的砝码，这三条绳子另一端结在一起，我们所要求的点P（或者学校、供水站）就应该在绳结所停留的地方。

    这个实验解法十分容易做到，但是，它的道理是什么呢？这倒是值得我们仔细研究的。由物理学可知，若三条绳子上都系40克重的砝码，则绳结一定要在△ABC三条中线交点处（三角形的重心）停留。即当m＝n＝r时，P点是在△ABC的重心处。若有两条绳子上不系砝码，只有一条（例如A点处）系上120克砝码，则绳结一定停留在A点处。若三条绳子上系着不同重量的砝码，就相当于质量不均匀分布的三角形物体，求该物体的重心位置。

    我们把这个三角形物体看成是受三个力（显然是平行力）P1、P2、P3的作用，可见求重心就转化为求三个平行力合力的问题。因为这个合力，即物体的重力，并且无论物体处在什么位置上，其重力总是通过一个确定的点，此点即重力的作用点，也就是物体的重心。

    由实验的解法容易找到这个点的位置，要用定量的办法确定这个点的位置又如何求呢？当引入A、B、C三点的坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），再根据平面内任一力系平衡的充分必要条件是：所有各力对平面内任意一点力矩的代数和等于零，立即可得下面重心的坐标公式：

    x＝∑3i=1pixi∑3i=1piy＝∑3i=1piyi∑3i=1piyi下面再给出这个问题的第二种解法。

    如果力系各力的作用线均在同一平面内，并且各力的作用线汇交于一点，这样的力系叫做平面汇交力系。

    设物体受到两个共点力P1和P2的作用，它们的合力可由平行四边形法则来确定（如图2）。两个相交力的合力，也可用这样的方法来确定。如图3所示，先作力P1，在P1的末端作力P2，然后连接P1的始端与P2的末端所得的矢量R，即为它们的合力。这种求合力的作图法，叫做力三角形法则。所得的三角形也叫做力三角形。若物体受多个共点力的作用，求这多个力的合力可以连续应用三角形法则，将各已知力首尾相接，连成折线（图4），最后连接折线的首末两点，便得合力。这种求合力的作图法叫做力多边形法则，所得的多边形也叫做力多边形。

    根据平面汇交力系平衡的充分必要条件，力系各力组成的力多边形自行闭合。把三角形看成一个物体受到三个大小和方向都不同的力的作用，使其平衡，则所得到的是一个闭合的力三角形，它的三条边就和这三个力的大小和方向相当。

    如图5作一个力三角形，使其各边长分别为40、50、60单位。设顶点A、B、C的三个外角分别为α、β、γ，所求的点P与三个顶点的连线，这些直线所夹的角，即∠CPB、∠APB、∠APC正好等于A、B、C的三个外角，即∠APC＝∠α、∠APB＝∠β、∠BPB＝∠γ。

    为什么P点即为所求之点？P点的位置又是用怎样的作图方法确定呢？通过下面给出的两个几作图方法以及读者非常熟悉的平面几何知识，不难给出它的证明。

    作法1：如图6在力三角形△ABC中，首先作P1P2的合力BB′=R1，再作P3P2的合力CC′=R2，最后作P1P3的合力AA′=R3，则三个合力相交于P点，P点即为所求。

    容易看到△ABC的三边AB？瘙
綊12A′B′，AC？瘙
綊12A′C′，BC？瘙
綊B′C′，而P点恰好是△ABC三条中线的交点。

    这个解法使人发生兴趣的是：从力学角度来理解，P点是三个合力的汇交点，要使这个力系平衡，三个合力的合力必等于零。要从几何作图来理解，它恰好是△ABC三条中线的交点，并且，不难证明：

    ∠APC＝α，∠APB＝β，∠BPC＝γ

    作法2：由于△ABC的三个外角α、β、γ是已知的，并且AC、AB、BC的长也一定，所以，以AC为弦，作一个含有α度的弓形弧；再以AB为弦，作一个含有β度的弓形弧，与前弧相交于P点，则P点即为所求。因为α、β、γ三个外角之和为360度，各含α度、β度两个弓形弧之交点P与A、C、B连线，∠APC＝α，∠APB＝β，由于周角也是360°，所以∠BPC也一定是γ度。

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