没有数字的题目

    雨果的长篇小说《悲惨世界》脱稿寄往出版社后，屈指数日，毫无消息。雨果心中忐忑不安，决定写信咨询。思忖片刻，他提笔给出版社写了这样一封信：“？——雨果。”出版社的编辑拆阅后，心领神会，当即给雨果写了回信：“！——编辑。”雨果接到信，点点头微笑了。不久，轰动世界文坛的《悲惨世界》便与读者见面了。智力训练专家巴纳德有心和雨果开个玩笑，要他在工作之余将“？”和“！”也给破译出来。

    这实际是一道除法题，每个数都用橡皮擦掉了，换上了问号和感叹号。你也可以看出，感叹号表示“0”，即最后一条线下没有余数。

    那么，原来的题是什么样的？记住：被除数最后一个小数后面移下的都是0。

    神机妙算的诸葛亮

    相传有一天，诸葛亮把将士们召集在一起，说：“你们中间不论谁，从1到1024中，任意选出一个整数，记在心里，我提10个问题，只要求回答‘是’或‘不是’。10个问题全答完以后，我就会算出你心里记的那个数。”诸葛亮刚说完，一个谋士站起来说，他已经选好了一个数。诸葛亮问道：“你这个数大于512？”谋士答道：“不是。”诸葛亮又接连向这位谋士提出9个问题，这位谋士都一一如实作了回答。诸葛亮听了，最后说：“你记的那个数是1。”谋士一听，非常惊奇。因为这个数，恰好是他选的那个数。

    具体的方法是：将1024一半一半地取，取到第十次时，就是“1”。诸葛亮真的是“神机妙算”啊！

    考女婿的难题

    匈牙利著名作家卡尔曼·米克沙特的长篇小说《奇婚记》中，记述了这么一个故事：米克洛什·霍尔尼特的大女儿罗扎丽雅才貌出众，很多人来求婚。霍尔尼特便宣布：有谁能回答他提出的3个问题，他便把罗扎丽雅嫁给谁。其中的一个问题是这样的：在波若尼城和勃拉萧佛城之间有一条公路。每天，从两座城里分别各开出两辆邮车。当时有一个人，要从波城（波若尼城简称）到勃城（勃拉萧佛城简称）去，便搭乘在一辆邮车上。路上，这辆邮车整整行驶了10天。假定在这条公路上行驶的所有邮车速度都是一样的。那么请问这个在邮车上的人，从出发时算起，抵达勃城之时，一路上迎面遇到了多少辆邮车？

    答案是：从所乘邮车出发的这一天算起，已经过去的10天里，已有20辆邮车先后从勃城开出；而所乘邮车在路上行驶的10天里，又将有20辆邮车从勃城开出。这样迎面就将遇到40辆邮车。而当所乘邮车抵达勃城时，还将遇到2辆刚从勃城出发的邮车。因此，所遇到的邮车总数是42辆。

    巧测灯泡容积

    科学家们是最珍惜时间的，在他们的眼里，时间就是知识，爱迪生也是如此。

    一天，爱迪生在实验室里工作，他递给助手一个没上灯口的空玻璃灯泡，并说：“你量量这个灯泡的容量。”说罢，又埋头工作了。过了好半天，他问助手：“容量是多少？”他没听见回答，转头看见助手正拿着软尺在测量灯泡的周长、斜度，并用测得的数字，伏在桌上计算呢。“时间，时间，多么宝贵的时间呀！怎么要用那么多时间呢？”爱迪生说罢，直走过来拿起那只灯泡，采用一种极为简单的方法，仅仅用一分钟时间，便得出了那只空灯泡的容量数据。你知道爱迪生采用的是什么方法吗？原来是：先在灯泡里斟满水，然后把水倒入量杯中，便得出了灯泡的容量。这种方法迅速，简单又方便。

    笨人耍的小聪明

    1929年，美国堪萨斯州成立了一个“笨人俱乐部”。这个俱乐部会规章上规定：只有称得上最没有用的人，才有当选主席的资格。它的口号是：“越学越无学，越知越无知。”俱乐部办了一所“笨人大学”，当然也是请最没有用的人当校长。

    有一天，校长声称他发现了形式逻辑的荒谬之处。比如有这样一句话：“娜拉是个女孩，娜拉不是女孩。”假如其中有一句话正确，那另一句话就一定不正确。可是校长又写了两句话，其形式是：XX是000；XX不是000。这两句话中，XX彼此相同，000也相同；并且，两句都是正确的。这是两句什么话呢？

    答案是：“该句是六字句”（意思是指字数共有6个）；“该句不是六字句”（字数不是6个）。笨人俱乐部的校长不明白两句中的“该句”一词是两个概念，故而得出错误结论。

    牛郎和织女相会

    牛郎星离地球16.5光年，也就是以光的速度运行到地球要16.5年。织女星离地球26.5光年。如果牛郎和织女同时由各自的星球以最快的速度赶到地球相会，那么牛郎要在地球上等多少年才见到织女？而见一面之后，织女又匆匆赶回，牛郎至少又要等多少年，才又能与织女相会？

    答：牛郎与织女以最快的速度赶路，充其量也就是以光速行进。因此，牛郎比织女先到地球10年，牛郎需要等10年才能见到织女。

    织女匆匆赶回，如果马上又出发的话，来回需53年。牛郎要等53年才能与织女第二次相见。如果牛郎也返回自己的星座，那么除了路上的时间不算在内，牛郎也要坐等20年才能与织女第二次相聚。不大不小的奖赏

    传说古代某国有位国王，他非常喜欢下国际象棋。当他学会了下国际象棋之后，便把发明象棋的人找了来，对发明人说：“你要什么奖赏，请说吧！”发明人只要求国王在棋盘的第一个格子里放一粒麦子，第二个格子放2粒，第三个格子放4粒，以后每个格子都比前一格子加一倍，直到把64个格子放满。

    试想，发明家受赏的这些麦子，大约够他吃多少年（按每斤麦子10000粒，发明家每天吃1斤计算）？答案定会使你大吃一惊！我们可以通过计算得出答案。第一格放1粒麦子，第二格放2粒，第三格放4粒，依按题中条件顺次下去从第4格到第64格将分别有麦子23、24、25、26、…、263粒。也就是说，第64个格子的麦子将有263粒，约900万亿斤，足够发明家吃2.5万亿年！真是不可思议的一个数字。

    猴子分桃子

    美籍华人物理学家李政道曾给中国科技大学少年班的同学出了一道有趣的数学题：

    有5只猴子分一堆桃子，怎么分也分不公平，便都去睡觉了，决定明天再分。半夜里，有一只猴子偷偷起来，扔掉了一个桃子，再分时，正好分成5等份，它把自己的一份收藏好，睡觉去了。第二只猴子起来，又偷偷扔掉一个桃子，又恰好分成5等份，它把自己的一份收藏好后，也睡觉去了。以后，第三、第四、第五只猴子也都是一样，即都扔掉一个桃子后，还能分成5等份。请问，5只猴子分的这堆桃子一共有多少个？

    我们分析一下，如果这堆桃子的个数可以被5只猴子平分5次，每次都可以分成5等份，那么这堆桃子的个数至少要有：

    5×5×5×5×5=3125（个）

    但是，现在的桃子总数是不能被5整除的，必须减去1才可以被5整除。这个数可以是：

    3125+1=3126（个）

    但又要求5次5等份之前都要减少1，一共减去5个，即3126-5=3121（个）。

    经验证，这个数字是合乎题意的。所以，这堆桃子至少有3121个。

    健忘的森林与依据“说谎”的原理

    传说古时候，有一片“健忘的森林”。人们走进去，就会忘记日期。小姑娘阿百丝误入这片森林，并忘记当天的日期。她徘徊了很久，很想知道这一天是星期几，但无论如怎样也回忆不起来。这时，迎面来了只老山羊，阿百丝就迎上前去打听。“山羊公公，你知道今天是星期几吗？”阿百丝问。“可怜的小姑娘。我也忘记了。不过，你还可以去问问狮子和独角兽。狮子在星期一、星期二、星期三这三天，是说谎的；独角兽在星期四、星期五、星期六这三天也是说谎的，其余的日子，他们俩倒都说真话。”永远说实话的老山羊说。于是，阿百丝就去找狮子与独角兽。当她问到今天是星期几时，狮子回答说：“昨天是我说谎的日子。”独角兽也说：“昨天是我说谎的日子。”阿百丝在这片“健忘的森林”里，尽管忘记了日期，但她仍和过去一样聪明。听罢狮子与独角兽的回答，她进行了仔细的逻辑推理，终于正确地判断出这一天是星期几。

    请你仔细思考一下，这一天究竟是星期几？答案是：这天是星期四。

    经济的航行

    普佐罗总统刚刚获得了一支舰队来保卫他的岛国。这支新舰队由两艘霍萨级炮舰组成，美中不足的一点是，这两艘炮舰的燃料消耗大一点，它们装的燃料只够锅炉烧一天（只能航行120千米）。普佐罗正在计划一次盛大的环岛航行，来炫耀他最好的军舰。但是海军大臣提醒他，该岛周长可不止120千米。因此，这次航行对普佐罗来说，是个荣誉问题；而对海军大臣来说，却是一件头疼的事。

    不过一位数学教授计算了一下，认为如果用一艘舰在海上为另一艘舰运输燃料的话，环岛航行还是可以完成的。虽然是港内为一艘炮舰装运燃料要用8小时，但这并不需要另一艘舰在海上停舰等它的姊妹舰上来。只有当在海上从一艘舰往另一艘舰上转运燃料时，普佐罗的庄严航行才会被耽误一会儿。如果这个小岛再大一点儿，整个航行将会成为泡影。如何安排这一次的炮舰航行？这个小岛的周长究竟是多少呢？你不妨计算一下：周长是200千米。两艘船同时出发，走了40千米后，护航舰将它剩下的燃料装好的一半装给旗舰，然后返回港口。重新装好燃料后，从相反的方向去接快要耗尽燃料的旗舰，这时它离港口还不到40千米。护航舰将自己剩下的燃料的一半再装到旗舰上去，这时两艘舰一起返回港口，抵达时燃料刚好用完。

    黄、红、蓝颜色板的启示

    苏格兰数学家莱福德看他儿子玩颜色板。他儿子从玩具盒中，把红的、蓝的、黄的颜色板各抽出两块来，相互调来调去，排成一行。莱福德看到6块板的顺序是：黄红蓝红黄蓝，正好符合下面条件：①两块板之间，另有一块颜色板；②两块蓝板之间，另有2块颜色板；③两块黄板之间，另有3块颜色板。莱福德用“1”表示红，用“2”表示蓝，用“3”表示黄。将问题换了个样子，把1、1、2、2、3、3这几个数字排成一行。要求一对“1”之间，另有1个数字；一对“2”之间，另有2个数字；一对“3”之间，另有3个数字。这样排列的结果应该是312132。莱福德又提出，如果有一对1234，怎么排列，才能使两个“1”之间，另有1个数字；两个“2”之间，另有2个数字；两个“3”之间，另有3个数字；两个“4”之间，另有4个数字？这个问题有两个答案：一是41312432；二是23421314。

    阿德诺是如何发财的

    16世纪，德国还是由许多小公国的国王统治时，发生了这么一件事：有两个相邻的公国，彼此关系很好，不仅互通贸易，而且货币也互相通用。就是说A国的100元等于B国的100元，可是，有一次因故翻了脸，两国国王相互指责，险些动了兵。后来，A国国王下了一道命令：B国100元只能兑换A国90元。B国国王也立即宣布A国的100元也只能兑换B国的90元。聪明的阿德诺得知这个消息后，分别对两个国王说：“这个决定太愚蠢了，我只要稍稍跑跑腿，就可以趁机赚大钱。”两国国王不相信，各给了他100元，看他是否能赚到钱。阿德诺拿着双方国王给的合计200元钱，不用几天，就发了财。他把赚来的财物，分别推到两个国王面前，两个国王很受启发，于是取消上述命令，并和好如初。你知道阿德诺“发财”的巧妙手段吗？

    答案是：阿德诺用A国的钞票100元在A国购物10元。在找钱时，他声称自己将要到B国去，要求找B国的钞票，因为A国的90元等于B国的100元，所以就找他一张100元的B国钞票，现在他共有200元。于是他用200元到B国购买20元货物，再要求找回A国的钞票，然后又回到A国购物……如此，往返下去，阿德诺自然发财了。

    6个直角与12个直角的差别

    瓦特获得了蒸汽机的发明专利后，从一个大学实验员跃为波士顿瓦特公司的老板，还成为英国皇家学会的会员。在一次皇家音乐会上，有个贵族故意嘲笑地对他说：“乐队指挥手里拿的东西在物理学家眼里仅仅是根棒子而已。”瓦特回答道：“是的，那的确是根棒子，我却知道用这样的3根棒子，可以组成5个直角，我还可以组成12个直角，可是你最多能组出6个直角。”这个贵族不服气地用3根指挥棒摆来摆去，但始终无法摆出12个直角。试问你能摆出几个（指挥棒的粗细因素可以不计）？

    我们的思维应从平面转向立体。一个经过思维训练的人，一看到三维空间的形态，就能使自己的思路开阔起来（三根指挥棒是两两垂直的）。

    毕加索的正方体

    毕加索将一块边长为3寸（1寸≈3.3厘米）的正方体木头漆成黑色，再切成若干1寸的小正方体。在角上的8个小方块有3个面是黑色的，最中央的小方块则是一点黑色也不会有，其余的18个小方块中，有12个两面是黑色的，6个一面是黑色的。请注意，两面黑色的方块，是一面黑色方块的2倍；三面黑色的方块，是一点黑色也没有的方块的8倍。现在有一块正方体木头，可情况恰好相反，把它漆成黑色并切成1寸的小方块以后，一面黑色的小方块，是两面黑色的小方块的2倍，一点黑色也没有的方块是三面黑色的方块的8倍。那么，这个方块的边长是多少呢？

    答案是：这个方块是6寸的，这样大的一块木头切开后成为216块小木块。其中96块有一面黑色，48块有2面黑色，8块有三面黑色，64块全白色。

    爱迪生的“骑马思维”

    爱迪生爱迪生在工作之余，总是给助手讲一些既有教育意义又很有趣的故事，鼓励他们积极思考，努力工作。下面的故事是一则关于“骑马思维”的故事。

    古代有一个国王，他有两个儿子。因为他年岁已高，所以，必须考虑好移交王位的事情。一天，他想考考两个儿子谁最聪明以便让他继承王位。他对他们说：“我给你们一人一匹马，黄色的给老大；青色的给老二。你们分别骑上自己的马，到泉边去饮水，谁的马走得慢，谁就是优胜者。”老大想，这好办，就慢骑呗！老二却不然，听了父亲话后便急匆匆地奔向马棚，不一会儿便到了目的地，返回家，并向父亲报到。老国王当时十分高兴，便立即决定将来由老二继承王位。原来，老二骑的是大哥的黄马。爱迪生要求他的助手不仅要有广博的知识，而且要具备这种“骑马思维”的方法和能力。

    苏格拉底的花园

    苏格拉底有一个学生问苏格拉底：“请告诉我，为什么我从未见您蹙眉皱额过，难道您的心情总是那么好吗？”苏格拉底答道：“因为没有什么东西，能使我失去了它而感到遗憾。”

    的确，苏格拉底被判死刑后，他仍能保持乐天的禀性，这是难能可贵的。可是，当有人向他征求如何处理他惟一的遗产——一块梯形的花园时，他却皱了眉。在这块花园里，有4棵月桂树，他想把它分成大小都相等的4块，分别送给他的得意门生，要求在每块地上还能保留一棵月桂树，以免发生什么分歧。

    你说怎样分才好呢？要把梯形加以分割，应设法找到梯形的相似形，是一种很巧妙的分法。

    马克·吐温笔名的来历

    萨缪尔·兰亨·克里曼斯在密西西比河当水手时，经常随船运送货物经过一座大桥。一货船载着一台高大的机器，要过大桥时，他听二副高喊：“马克吐温。”原来上游连日暴雨，河水上涨，深有两寻（寻是英美长度旧称，1寻为1.829米），“马克吐温”即水深两寻之意。船长听到喊声，立即抛锚停船，因为机器高出桥孔2寸，无法通过。正当船长一筹莫展时，萨缪尔想出了一个办法，既没有卸下机器，也没有等水落，就使船顺利通过了大桥，萨缪尔后来当上领航员，同时又开始了写作。由于他长期生活在密西西比河，就索性把马克·吐温当作了自己的笔名。

    马克·吐温在一篇小说中还写了这样一个情节：一辆载重汽车，要通过某隧道。该隧道高3米，但汽车加上车上货物总高度偏偏是3.01米。车上货物十分沉重，又无法搬动。正当司机垂头丧气时，来了一个机灵人，给他出了一个好点子，使这辆载重汽车顺利通过了隧道。

    这里有两个问题：马克·吐温用什么方法使船通过了大桥？小说中的机灵人又给司机出了一个什么好点子？

    答案是：马克·吐温让大家往船上搬一些石子之类的重物，使船吃水深一点；而机灵人让司机把胎中的气放瘪了一点，即可通过隧道。

    不添篱笆扩羊圈

    大数学家欧拉小时候在巴塞尔神学校的课堂就读。有一天，小欧拉谦恭地向神职老师发问：“既然上帝无所不能，他能告诉我天上有多少颗星星吗？”

    老师回答道：“这是无关紧要的，我们作为上帝的孩子，记住这一点就足够了：星星都是上帝亲手一颗颗地镶嵌在天幕上的。”

    小欧拉百思不得其解：“既然星辰是由上帝一手安排的，他总该告诉我们一个数目吧？”

    神学老师再也回答不了小欧拉的问题，他无可奈何地摇摇头叹声说道：“可怜的孩子，迷途的羔羊。”

    就这样，小欧拉被神学校开除了。

    老欧拉十分伤心地接回了儿子，想着：总得积攒学费送他上别的学校啊！老欧拉决定扩展羊圈，多养些羊，他招呼儿子，拆改旧羊圈。

    可是没有多余的篱笆，怎么办呢？老欧拉没有了主意。

    这时，站在一旁的小欧拉不慌不忙地说：“爸爸，篱笆有了。你看，旧羊圈长70码（1码≈0.9米），宽30码，面积为2100平方码，改成50码见方的新羊圈，不用添篱笆，羊圈就扩大了400平方码。”

    “太妙了，你是怎么想到的？”

    “我是从您书橱的《几何学》上看来的。如果把羊圈围成圆形，面积将最大，有3100多平方码呢！”

    老欧拉明白了，原来儿子在自学数学，放羊时还见他在草地上画来画去。小欧拉自学数学的热情打动了老欧拉，他决心推动儿子进入古老而神秘的数学王国。

    欧拉扩大羊圈不添篱笆的事实说明：在一定周长下，正方形的面积比长宽不等的矩形面积大，而圆又比正方形的面积大。正方形四四方方，简单匀称，是完善的几何图形之一。圆这个最简单的曲线最令人惊叹，它是惟一的具有无穷多条对称轴的轴对称图形，又是中心对称图形。正是这些对称图形的面积也最大。

    百鸡问题

    一般来说，其未知数多于方程个数的方程为不定方程。中国的《孙子算经》、《九章算术》等书中均有不定方程问题。《张邱建算经》中的百鸡问题是一个著名的求正整数解的一次不定方程问题。

    张邱建生活在中国的南北朝时期。他幼年时就善于思考，聪颖敏捷，喜欢解答数学问题，被大家称为“神童”。当时的宰相非常惜才，便想了一道“百鸡之谜”来考察神童的水平。他把张邱建的父亲叫了去，说：“这里有100文钱，给我买100只鸡来，这100只鸡中应有公鸡、母鸡和小鸡。钱不能剩余也不能超出，鸡的数目不能多不能少。”当时，一只公鸡5文钱，一只母鸡3文钱，三只小鸡1文钱。怎样才能用百文钱买百只鸡呢？张邱建的父亲对算术很外行，他把此事告诉儿子。小邱建想了想，就在地上算起来。过了一会儿，他告诉父亲说：“买4只公鸡、18只母鸡和78只小鸡就行了。”小邱建以他的巧妙计算而受到了宰相的召见，并对他给予了奖励。张邱建从此更加勤奋地学习，终于成为一位著名的数学家，并编纂成《张邱建算经》，这是中国汉唐年间10部重要的数学著作之一。

    凫雁问题

    一只野鸭子从南海飞到北海要用7天，一只大雁从北海飞到南海要用9天。试问：若它们同时从两地起飞，几天后相遇？

    这个有趣的问题出自中国古代数学名著《九章算术》，书中称野鸭子为凫，所以称这道题为凫雁问题。解法是：把两个天数相加作为除数，相乘作为被除数，除得的结果就是所求的天数。公元263年，大数学家刘徽在《九章算术注》中对这个解法作了解释：野鸭子7天能飞完一个全程，而大雁9天能飞完一个全程，取7和9的最小公倍数63，那么63天中，野鸭子可以飞9次，大雁可以飞7次。也就是说，野鸭子和大雁在63天里一共可以飞完16次，或者说，它们合作飞行16次共需63天。那么，它们合作飞行一次就需要63/16（天）。这个算法非常巧妙，我们的祖先是用比例的方法解决这个问题的。他们充分认识了比、分数、除数的相互联系，认识了比是数量之间的关系，分数是一种数，除法是一种运算，这是非常了不起的。

    鸡兔同笼

    一个笼子里有一些鸡和兔，现在只知道里面一共有35只头，94只脚，试问：鸡和兔各有多少只？

    在中国，鸡兔同笼问题作为一类既有趣又重要的问题的代表，经常出现在各种数学书里，千百年来一直吸引着爱好数学的人去钻研。最早记录这个问题的，大约是在公元4-5世纪的《孙子算经》。

    鸡兔同笼问题的解法是：设头数是a，脚数是b，则b/2-a是兔数；a-（b/2-a）是鸡数。这个巧妙的解法是怎样来的呢？鸡有两只脚，兔有四只脚，把脚数除以2，共有47对脚。由于鸡是一对脚，兔有两对脚，所以47中减去35，得12，也就是说，如果笼子里的动物都只有1对脚，就会多出12只脚来，这12只脚恰好是有2对脚的动物的，即有12只四脚动物，这当然就是兔子了。再用35个头减去12只兔子的头，剩下的就是鸡的头数。

    如果用二元一次方程组来求解，就是，设鸡、兔数分别为X和Y：X+Y＝35，2X+4Y＝94。解这个方程组，既方便又简练。

    奇怪的遗嘱

    古印度，一位圣人临终前，把他的儿子们都叫到床前，立下了一份遗嘱：他共有17头牛，老大应得总数的1/2，老二应得1/3，老三只能得1/9。老人过世后，兄弟们商量如何分牛。但反复计算，也没有找出符合老人规定的分法，因为17的1/2是17/2；17的1/3是17/3；17的1/9是17/9。这三个数都不是整数，如果按这种分法，要活活杀掉两头牛，这在当时不允许。因为印度人非常崇拜牛，牛是不允许被宰杀的，而且也是不必要的。因此兄弟们请教了许多有学问的人，结果都表示爱莫能助。一天，一个老农牵着1头牛从这家门前经过，听说了这件事。他想了一会儿，便说道：“这容易，我把这头牛借给你们，你们按遗嘱的要求去分，分完后把这头牛给我就行了。”兄弟三人按照老农的说法一分，老大分得9头，老二分得6头，老三分得2头。分完之后，正好剩下了老农这头牛，自然就还给了他。

    牛顿的牛吃青草问题

    这是牛顿编写的一道既复杂又有趣的数学名题。有3块草地，面积分别为10/3顷、10顷和24顷。草地上的草长得一样厚且一样快。如果第一块草地可供12头牛吃4个星期，第二块草地可供21头牛吃9个星期，那么第三块草地恰好可以供多少头牛吃18个星期？牛顿经过潜心研究，发现了好几种不同的解法，但他认为如下这种比例解法更加有趣。

    假定草地上的草被牛吃过以后不再生长，根据题中第一块地的条件推算，10顷草地可供8头牛吃18个星期或16头牛吃9个星期。但实际上青草被吃后还要生长，所以题中说：“10顷草地可供21头牛吃9个星期。”所以同样是10顷草地，同样是9星期，却可以多喂21－16＝5头牛。这也意味着9个星期后5周里，10顷草地又长出的草可供5头牛吃9个星期，或是2.5头牛吃8个星期。那么18周的后14周里，10顷草地上新长的草供多少牛吃18周呢？由5∶14＝2.5，便可算出是7头。如前所述，假设草不长时，10顷草地可供8头牛吃18周；而18周的后14周又生长出的青草可供7头牛吃18周。两者相加实际上是10顷草地可供15头牛吃18周。那24顷草地可供多少牛吃18个星期便容易算出了，十分明显，答案是36。

    数学家们的墓志铭

    大数学家阿基米德的墓碑上，镌刻着一个有趣的几何图形：一个圆球镶嵌在一个圆柱内。相传，这是阿基米得生前最为欣赏的一个定理。数学家鲁道夫的墓碑上刻着圆周率的35位数值，这个数值被叫做“鲁道夫数”，这是他毕生心血的结晶。

    最奇特的墓志铭要数古希腊数学家丢番图了。他的墓志铭是一道谜语般的数学题：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活上十二分之一，颊上长出了细细胡须；又过了生命的七分之一才结婚；再过五年他感到很幸福，得了个儿子；可是这孩子光辉灿烂的生命只有他父亲的一半；儿子死后，老人在悲痛中活了4年，结束了尘世的生涯。”幸亏有了这段奇特的墓志铭，后人才得以了解这位古希腊最后一位大数学家曾享年84岁，那么自然可以算出他何时结婚，何时得儿，何时儿子死亡。其年龄的算法是：设年龄为x，那么有x/6＋x/12＋x/7＋5＋x/2＋4＝x，解得x＝84（岁）。

    玄机奥妙

    这是一道选自我国明代珠算家程大位的《算法统宗》中的数学题。题的内容是：“甲赶羊群逐草茂，乙拽肥羊随其后，戏间甲及一百否，甲说所云无差，若得这般一群凑，再添半群、小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？”译成白话是：牧民甲赶着羊群向草茂盛的地方转移，牧民乙拉着一只肥羊在他后边走，乙边走边跟甲开玩笑：“你的羊够不够一百只？”甲说：“你说得没错，怎样凑上一百只呢？如果再有这么一群，然后再添上这群的一半，再添上一半的一半，最后再加上你那一只，这样就够一百只了。”牧民甲实际有多少只羊呢？我们可以设甲的羊群的只数为“1”，根据已知条件得出：1＋1＋1/2＋1/4＝11/4（倍）。11/4倍加上乙的那一只等于100只，由此可以得出（100－1）/（1＋1＋1/2＋1/4）＝99÷11/4＝36（只）。

    藏盗问题

    19世纪初，日本的柳亭中彦写了一本《柳亭记》，书中出现了许多被人们称为藏盗的数学题目，反映了日本对于古代方阵问题的研究有了进一步发展。其中有一题是：在中国和日本边界的中间，备有日本检查船只的关卡，那里有16人，哨所四角各有3个人，四边各有7个人，称7人哨所。有一次，8个海盗苦苦哀求把他们隐藏起来，哨所的队长想了一番，把哨所人员配置改换一下，居然把这些海盗隐藏起来，每边望去仍是7个人，于是人们将这类问题叫藏盗问题。那么，聪明的队长是怎么把海盗藏起来的呢？

    原来，角上的一个人顶两个人，因为这个人在角上，从两个方向去数都需数他。因此在各边人数不变的前提下，无论是增加人或减少人，都要在角上想办法。这道题，16人每边7人，现在增加了8人，每边仍保持原人数，那么只要把四个角上各减少2个，挪到边中去就行了。

    稀世珍宝

    在东京珠宝收藏博览会上展出一棵18K金的圣诞树，在3层塔松形的圣诞树上共镶嵌有1034颗宝石。

    这颗圣诞树上的宝石是这样摆放的：如果从顶上往下看，3层圆周上镶嵌的宝石数成等差级数递增；而3层圆锥面的宝石数却按等比级数递增；且第一层的圆周上与圆锥面上的宝石数相等；除此之外，塔松顶上有1颗宝石是独立镶上的。请问，圣诞树的宝石具体是怎样镶嵌的？

    假设3层圆周上的宝石数分别为A、B、C，则：

    B=A+m，C=A+2m（m为等差系数）

    因为第一层圆锥面上的宝石数等于圆周上的宝石数，所以可假设3层圆锥面上的宝石数为A、D、E，那么：

    D=nA，E=n2A（n为等比系数）

    由于树顶上那颗宝石是独立的，所以：

    A+A+m+A+2m+A+nA+n2A=1033

    解此方程，只有一种可能：

    A（n2+n+4）=1000

    3m=33

    根据m、n、A均为整数，得：

    m=11

    n=2

    A=100

    因此，宝石的镶嵌是这样的：

    塔松顶上有1颗宝石；

    第一层圆周上100颗宝石，圆锥面上100颗宝石；

    第二层圆周上111颗宝石，圆锥面上200颗宝石；

    第三层圆周上122颗宝石，圆锥面上400颗宝石。

    卖鸡问题

    （1）有一家养鸡专业户，一天，父亲让他的三个儿子到市场去卖鸡，父亲说：“这里有大鸡6只，小鸡84只，共90只，老大拿50只，老二30只，老三10只，鸡的价格你们三人商量，但是价格要一致，并且每人卖的钱必须一样多，都是50元。”那么三人各拿大、小鸡多少只，大、小鸡每只各多少元？

    先从总数看，90只鸡共卖150元，可设小鸡每只x元，大鸡每只y元。

    所以84x+6y=150元

    上式除以3，得28x+2y=50，恰好是老二拿鸡数和应该卖的钱数，还剩下小鸡56只，大鸡4只。

    如果老大拿的都是小鸡，那么每只小鸡1元，50只小鸡卖50元；老三拿6只小鸡卖6元，4只大鸡44元，每只大鸡11元；老二拿28只小鸡28元，2只大鸡22元，共50元，符合父亲的要求。

    如果老大拿49只小鸡，1只大鸡，这样1只小鸡应卖57元（或说7只小鸡卖5元）。1只大鸡要卖15元。老大：49×57+15=50；老二：28×57+2×15=50；老三：7×57+3×15=50。这种分法和卖法也符合父亲的要求。

    上面两种分鸡方案和卖法都可以，除此之外，再没有符合父亲要求的分鸡方案与卖法了。

    （2）有一次，父亲叫过来两个儿子，对他们说：“这里有大一点的鸡30只，每两只卖20元；有小一点的鸡30只，3只卖20元。老大拿30只大鸡，老二拿30只小点的鸡。”兄弟二人到市场上按照定的价很快卖完了，老大卖了300元，老二卖了200元，共计500元给了父亲。

    第二天，父亲又给老大30只大点的鸡，给老二30只小点的鸡，价格不变。兄弟二人到市场卖鸡去了，老二说：“哥哥，我有点事，今天你一个人卖鸡算了。”老大说：“一个人卖两种价格的鸡不方便，还是二人一起卖，卖完之后再去办事吧！”老二说：“这样卖鸡行不行，5只鸡卖40元。”老大一想，大鸡20元卖2只，小鸡20元卖3只，合起来正好是5只鸡卖40元，于是老大就同意了。老二办事走了，老大很快把鸡卖完了，结果只卖480元，少卖了20元。回家给钱看时，父亲见少了20元钱，大发脾气，认为他们乱花钱，等老大把卖鸡的情况告诉父亲，他也迷惑了，怎么会少卖20元钱呢？

    事实上，5只一起卖，卖10次已将小点的鸡卖完了，剩下的10只鸡均为大鸡应卖100元，还按5只40元，因此少卖了20元。

    三姐妹卖鸡蛋

    一个卖鸡蛋的老妇，吩咐三个女儿到市场上去卖90个鸡蛋。她给聪明伶俐的大女儿10个鸡蛋，二女儿30个鸡蛋，三女儿50个鸡蛋，并说道：“你们先商量好价钱，然后就照定好的价钱卖。不能贱卖，而且三个人的卖价还必须相同。但是，我希望你们三个人卖鸡蛋所得的钱一样多。一句话，鸡蛋价钱要一样，卖得的钱也要一样多。除此之外，卖掉所有90个鸡蛋所得的钱不少于90戈比。”问：姑娘们如何完成交给她们的任务？

    三姐妹一边朝市场走一边商量，二妹和小妹都请求大姐出主意，大姐想了想说道：

    “妹妹们，咱们的鸡蛋这次不要像以前那样10个10个地卖，而要7个7个地卖，每个蛋是一份，每一份定一个价钱，就像妈妈吩咐的，一个戈比也不能少要，三个人都要遵守，每份卖3戈比，你们说怎么样？”

    二妹说：“那可太便宜了。”

    “不过，我们按7个鸡蛋一份卖完剩下的鸡蛋价钱可以提高。”大姐解释说：“我已经注意到，今天市场上卖鸡蛋的除了我们三人，再没有别人，不存在和我们争主顾的问题，当供不应求时，价钱自然就涨上去了。这样，咱们就是要在剩下的那些蛋上把钱赚回来。”

    三妹问：“剩下的鸡蛋卖什么价呢？”

    大姐果断地说：“每个鸡蛋要9戈比，就是这个价，急需的买主肯定会买的。”

    二妹吃惊地说：“太贵了吧。”

    “贵又怎么样，”大姐接着说，“咱们按7个一份卖的鸡蛋不是便宜了吗，有贱就得有贵。”

    大家都同意了。

    姐妹三人在市场上各自找好位置坐下来卖鸡蛋，由于价钱便宜，买主纷纷聚来，一会儿工夫，按7个一份卖的鸡蛋全卖完了。小妹卖了49个鸡蛋，得到21戈比，还剩下1个鸡蛋；二妹卖出28个鸡蛋，得到12戈比，还剩下2个鸡蛋；大姐只卖了一份7个鸡蛋，得到3戈比，还剩下3个鸡蛋，她剩的最多。

    这时，市场上来了一位厨师，她是奉主人之命来买鸡蛋的，她的任务是买10个鸡蛋，因为主人的儿子回家来了，他又特别喜欢吃鸡蛋。厨师在市场上转了转，只看见三个卖鸡蛋的摊子，总共只有6个鸡蛋，必须把这些鸡蛋全买走，即便如此还差着数呢。

    女厨师先跑到大姐的摊子前问：“这3个鸡蛋卖多少钱？”

    “每个鸡蛋9戈比。”

    女厨师十分惊讶，“你怎么了？发疯啦？要这么多钱！”

    大姐平静地说：“随你怎么说，少一个钱也不卖，就剩这几个了。”

    女厨师又跑到二妹的摊前问：“什么价钱？”

    “9戈比一个，就这个价。”

    女厨师最后去问小妹：“你的鸡蛋要多少钱？”

    小妹回答：“9戈比一个。”

    毫无办法，女厨师只好用高价买下了这仅有的6个鸡蛋，她分别付给大姐27戈比，二妹18戈比，小妹9戈比，这样，三姐妹前后两次各自卖鸡蛋所得的钱数都一样，每人30戈比。

    三姐妹回到家里，每人交了30戈比给妈妈，并向妈妈详细讲述了卖鸡蛋的经过。母亲非常满意，她的女儿不折不扣地完成了她交付的任务，特别为大女儿的聪明机智感到高兴。

    这个问题的解答十分巧妙，其想法突破了常规，将鸡蛋分为按份卖和按个卖两种形式，制定了两种价格。按个卖居然比按份卖价格高得多，以致一个鸡蛋的价格等于3份鸡蛋的价格。只有这样做才能使10个鸡蛋与50个鸡蛋卖上一样的价钱。

    如何卖鸡蛋达到预期目的，这确实是个数学问题。必须要先后用两种价钱卖鸡蛋，关键是怎样分份，怎样定价。

    如果每份2个鸡蛋或5个鸡蛋，就不存在有零散鸡蛋，份数多少不同，三人卖得的钱也不等。

    如果每份3个鸡蛋，仅看30=3×10，50=3×16+2=（3×10）+（3×6+2），便可知二妹卖得的钱还不及小妹的一部分卖得的钱，所以这种分法也不行。同理，由于10=4×2+2，30=4×7+2=（4×2+2）+4×5，以及30=6×5，50=6×8+2=（6×5）+（6×3+2），也可知4个鸡蛋一份或6个鸡蛋一份的分法均不行。

    如果每份7个鸡蛋，10=7×1+3，30=7×4+2，50=7×7+1。去掉其公共部分（1份零1个），三人分别剩的是2，7×3+1，7×6。

    现在要让卖2个鸡蛋与3份零1个，或6份鸡蛋的价钱一样，即3份鸡蛋的价钱相当于1个鸡蛋的价钱，或说是1份鸡蛋是13个鸡蛋的价钱。这样的话，打算10个鸡蛋卖30戈比，那么每个鸡蛋卖价就是：

    30÷（3+13）=9（戈比）

    于是每份7个鸡蛋要卖3戈比。90个鸡蛋总共卖90戈比，符合原题要求。

    正是据上述道理，大姐才提出卖鸡蛋的正确方案。

    一百个和尚分一百个馒头

    此题是明代珠算家程大位在其所著《算法综宗》中所设，题目是用诗歌表达的：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几个？”我们可以用假设法。假如全是大和尚，应该分300个馒头，现只有100个馒头，缺200个，少200个的原因是因为有一群小和尚。小和尚3人分1个，一个小和尚吃1/3，比大和尚每人少吃8/3个，那么200个馒头中包含有多少个8/3呢？200∶8/3＝75，这75就是小和尚数。那么大和尚数就可想而知了。

    换个角度思考此问题：如果这100个和尚全是小和尚，每3人吃一个，则一个吃1/3，100个和尚吃1/3×100＝100/3个。余下100－100/3＝200/3个馒头，每个大和尚吃3个，即每个大和尚比每个小和尚多吃3－1/3＝8/3个，用一个大和尚换一个小和尚时，就要多吃8/3，200/3∶8/3＝25（人）。这样，大和尚25人，小和尚75人。

    检验：3×25＝75（大和尚吃的馒头数）；1/3×75＝25（小和尚吃的馒头数）；75＋25＝100。

    克拉维斯算题

    意大利数学家克拉维斯于1583年在《实用算术概论》中设了这样一道题：“父亲对儿子说：‘做对一道题给8分，没做对每道题不但不给分还要扣去5分。’做完26道题后，儿子得了0分，求儿子做对了几道题？”

    这道题我们可以用两种不同的方法来解。第一种方法是列方程来解。设儿子做对了X道题，按题意列方程如下：8X－5（26－X）＝0；13X＝130；所以X＝10。那么做错的题就是26－10＝16（题）。

    另一种方法是假设法。如果26道题全做对了，应该得8×26＝208分，这样，每错一题就不是扣5分，而是13分，儿子得0分，做错的题数应是（208－0）÷13＝16（题），这样就求出做对的题数了。用算术式来表达即为：

    （8×26－0）÷（8+5）＝16（题）；26-16＝10（题）。

    阿尔昆算题

    英国数学家阿尔昆在《益智题》一书中曾出过这样一道题：有男子、女子、儿童共100人，分100把谷物，若每个男子得3把，每个女子得2把，儿童2人得1把，谷物恰好能分完。求男子、女子、儿童各有多少人？

    我们可以通过列三元一次方程组来解这题。设有男子X人，女子Y人，儿童Z人。根据题意列出方程得：X＋Y＋Z＝100（1），3X＋2Y＋1/2Z＝100（2）。（2）式乘以2后减去（1）式得：5X＋3Y＝100。移项后求得：Y＝5/3（20－X）。人数应该是正整数，筛选后，得出以下结果：X（男人）17，14，11，8，5，2；Y（女人）5，10，15，20，25，30；Z（儿童）78，76，74，72，70，68。

    欧几里得算题

    几何学之父，古希腊数学家欧几里得曾出过这样一道题：螺子和驴驮着谷物并排走在路上，螺子在途中对驴子说：“如果把你驮的谷物给我一袋，咱俩驮的袋数就相等。”请你算一下，它们各自驮了多少袋谷物？我们可以做一下假设。如果螺子给驴一袋，二者就相等，说明螺子驮的谷物是驴的2倍。刚才我们分析，螺子比驴多驮2袋，驴子再给它一袋，螺子比驴多（2＋1＋1）＝4（袋），比驴子多4袋时，同时也是驴子的2倍，可见，这4袋谷物是驴子剩下谷物的1倍。所以我们可以通过计算得到所求的结果：驴子驮的代数为（2＋1＋1）÷（2－1）＋1＝5（袋）；螺子驮的代数为5＋1＋1＝7（袋）。

    诸葛亮调兵

    诸葛亮是人人知道的一个传奇式的人物。相传，他在“借东风”之后，名声大振。但吴将中仍有不少人不服气，觉得“借东风”不过是瞎猫撞上死耗子，因此，很想找个机会当面探探深浅。

    机会终于来了。这一天，诸葛亮来到吴都建业，屁股还没坐稳，就有几位将军围了上来，说：“听说先生能掐会算，料事如神，很想当面请教。”“不敢当！”诸葛亮笑了笑说，“不过众家将军如有什么吩咐，尽管直言。”“那好，我们就请教了。现在本城四门都有守门军士，我们不说东、西、北三门，只说这对面的南门，那里的守门人数，相信先生一定能算得出来。先生您就不必推辞了。”诸葛亮一听，心里很不高兴，但他声色不露地说：“众家将军问得好，不过要回答这个问题，山人需要借助诸位先把四门将士调动一下。

    首先（调整）使每门人数一样多。其次（初步调动）先从南门分别向东、西、北门调去1人、2人、3人，再从东门调到西门1人，西门调到北门1人，北门调到南门2人。最后（关键调动）数一数南门现在有多少人，就从其他三门分别调入多少人。”

    这些将军一一照办后，诸葛亮面带笑容，说：“众家将军，现在山人就告诉你们东、西、北三门的人数。至于面前这座南门嘛，我想就不必再说了！这东门有……”“算得好准”。诸葛亮话音刚落，几位将军就同时伸出了大拇指。

    诸葛亮是怎么算出来的呢？道理如下：设每门都是m人，初步调动后：

    东门为m+1-1=m（人），

    西门为m+2+1-1=m+2（人），

    北门为m+3+1-2=m+2（人），

    南门为m-1-2-3+2=m-4（人），

    关键调动后：

    东门有m-（m-4）=4（人），

    西门有（m+2）-（m-4）=6（人），

    北门有（m+2）-（m-4）=6（人）。

    韩信点兵

    韩信是刘邦的领兵元帅，相传韩信只要把队伍的队形进行变换，就可以算出自己有多少军队。例如，三人一行余二人，五人一行余三人，七人一行余二人，此题看起来难以计算。我国古代有一种算法，宋朝周密叫它“鬼谷算”，又名“隔墙算”，杨辉叫它“剪管术”，比较通行的名称叫“韩信点兵”。在《孙子算经》中可以见到其算法，后来数学家秦九韶又推广之，发现了一种算法，叫“大衍求一术”，这在数学史上是著名的问题，后来还流传着一首歌诀：

    三人同行七十稀，

    五树梅花廿一枝，

    七子团圆正半月，

    除百零五例得知。

    设人数为N，则有N=70×2+21×3+15×2-2×105=23。70是5与7的倍数，除以3余1，为了使其余数为2，所以有70×2；同样21是3与7的倍数，为了能使它除以5余3，所以有21×3；同样15是3与5的倍数，15×2除以7余2；最后减去105的整数倍，因为105是3、5、7的最小公倍数，在70×2+21×3+15×2中完全符合题目的要求，除以3余2，除以5余3，除以7余2，因此N=70×2+21×3+15×2-2×105=23是它的最小值。改为N=105n+23（n是自然数），根据实际情况，就可以有相应的数与之对应，也就是说，韩信知道自己有多少军队。

    塔尖灯的盏数

    此题是明代珠算家所著《算法统宗》中的一道题：远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，问问塔尖几盏灯？译成白话文是：远远望去，一座高塔巍巍耸立，共有七层。塔内红灯闪烁，由上至下每一层灯都较上层增加一倍。金塔共有灯三百八十一盏，那么试问塔尖有几盏灯？我们可以先来分析一下，整个塔从上至下数，如果塔尖灯数为1份，第六层则为2份，顺次往下，第五层为4份，第四层为8份，第三层为16份，第二层为32份，第一层为64份，这样根据题意列出代数式：381÷（1＋2＋4＋8＋16＋32＋64）＝381÷127=3（盏）。

    我们也可以用方程法解这道题，先设塔尖灯的盏数为X，那么顺次下去。从六层到一层塔灯的盏数分别为2X、4X、8X、16X、32X、64X，根据题意列方程X＋2X＋4X＋8X＋16X＋64X＝381，解方程求得X＝3（盏）。

    摩诃毗罗算题

    摩诃毗罗（公元9世纪）是印度数学家，在其著作《计算方法纲要》一书中出过这样一题：有檬果若干，大王取1/6，王后取余下的1/5，3个王子分别取前一人余下的1/4、1/3、1/2，最后余下檬果3枚。求原来有檬果多少枚？这道题可以由逆算的方法来算：①三王子取前有多少枚？3÷（1－1/2）＝6（枚）；②二王子取前有多少枚？6÷（1－1/3）＝9（枚）；③大王子取前有多少枚？9÷（1－1/4）＝12（枚）；④王后取前有多少枚？12÷（1－1/5）＝15（枚）；⑤原来有多少枚檬果？15÷（1－1/6）＝18（枚）。所以，原来有檬果18枚（从18枚开始按比例算下去，可知每人取的都是3枚）。

    帽子的颜色问题

    （1）有三顶红帽子，两顶白帽子，现将其中三顶给排成一列纵队的三人每人戴上一顶，每人都只能看到自己前面的人的帽子，而看不到自己和自己后面人的帽子。从后往前问三人同样的问题：“你戴的帽子是什么颜色？”最后面的人回答说：“不知道。”接着中间的人也说：“不知道。”然而最后回答问题的站在最前面的人却做出了肯定的正确回答。问这个人戴的帽子是什么颜色？

    回答这个问题需要做正确的逻辑分析。

    在提问后，最后面的人回答“不知道”，从中可断定以下事实：

    前面两个人中至少有一个戴红色帽子。不然的话，如果前面两人均戴白帽子，而白帽子只有两顶，最后面的人就会知道自己戴红帽子，不会说不知道。这个事实中间的人也可得知，在此基础上他又回答“不知道”，那么一定是最前面的人戴着红帽子。不然的话，最前面的人若戴白帽子，因他与中间的人两人中至少有一个戴红帽子，那中间的人就一定戴红帽子了，中间的人也不会说不知道。于是，最前面的人戴红色帽子是正确结论。

    在这个帽子的颜色问题中，戴着帽子回答问题的三个人应是聪明人，都能正确地进行逻辑推理，并作出正确的判断。如果有一个智力有问题，或胡乱猜测随便回答，那么整个事情就无法正确解释了。

    此问题是一个传统的逻辑推理问题，人们经常利用这样的问题考察智力，既要看会不会推理，又要看整个推理过程是不是简明，还要看推理用的时间。在一个好的问题面前，可以充分显示人的思维能力。

    中国著名数学家华罗庚对上述帽子的颜色问题作了改造，提出下面的问题：

    （2）一位老师让三位聪明的学生看了一下事先准备好的五顶帽子：三顶白色的，两顶黑色的。然后让他们闭上眼睛，他替每个学生戴上一顶帽子，并把其余两顶藏起来，让学生睁开眼睛后各自说出自己戴的帽子的颜色。三人睁眼互相看了一下，踌躇了一会儿，觉得为难，继而异口同声地说自己头上戴的是白帽子。问他们是怎样推演出来的？

    先看戴帽情况，有两黑一白、两白一黑、三白共三种情况。

    若第一种情况，戴白帽子的学生一看便能说出自己戴的帽子颜色，而实际上三人睁眼互相看了一下，踌躇了一会儿，没一人马上说出，这表明这种情况是不符合现实。

    这样三人都明白其中至多只有一人戴黑帽子，如果有一人戴黑帽子，另外两人必会立刻说出自己戴着白色帽子，而不会踌躇且觉得为难。三人均为难说明谁也没有看见有人戴黑色帽子，那么三人戴的都是白色帽子。于是三位聪明学生便异口同声说出自己戴的帽子的颜色。

    这个问题初看似乎感到条件不足，然而细一琢磨，“踌躇了一会儿，觉得为难，继后异口同声地说”里面涵义丰富，奥妙无穷。建立在这条件上，便可展开如上推理，层层深入，环环紧扣。

    华罗庚推出这一改编的问题，让人深深体会到了数学大师的内在功力，其中表现出高超的思维技巧。

    如果把人数增多，还可提出类似的问题：

    （3）四个爱动脑筋的小朋友接受老师的智力测验，看谁能最快最准确地回答问题。老师让他们都闭上眼睛，给他们每人戴上一顶帽子，或者是白的，或者是蓝的。然后让他们睁开眼睛，告诉他们：“谁看到的白帽比蓝帽多就马上举手。然后各位说出自己戴的帽子颜色。”大伙互相看了一下（每个人都看不见自己戴的帽子，但能看清别人戴的帽子），谁也没举手，过了一会儿，也没有人说出自己戴的帽子颜色，其中一个叫小光的学生见大家都不说话，就猜出了自己头顶上的帽子颜色。问小光戴的是什么样的帽子。

    再来分情况考虑。

    如果恰有两个人戴白色帽子，另外两人都会看到两顶白帽，一顶蓝帽。他俩会同时举起手，而实际上无人举手，这表明在四个学生中最多只有一人戴白帽子。

    如果只有一个学生戴白帽子，另外三人都会看到一顶白帽，两顶蓝帽，谁也不会举手。戴白帽子的人看到的是三顶蓝帽，也不会举手。三个戴蓝帽的人会想到：“我已看到一顶白帽子，如果我戴的也是白帽，就会有两人举手，而事实上没有举手，说明我戴的是蓝帽。”

    可是，仍然没有人举手，这就说明一顶白帽也没有，四人戴的都是蓝帽子。

    托尔斯泰的割草问题

    俄国大文豪托尔斯泰不仅是文学巨匠，而且是个有名的“数学谜”。一有闲暇，他便动手编创数学题。其中“割草问题”便是其中最有趣的一道题。

    一些割草人在两块草地上割草，大草地的面积比小草地的面积大1倍。上午全体割草人都在大草地上割草，下午他们对半分开，一半人留在大草地上，到傍晚时把剩下的草割完；另一半人到小草地割草，到傍晚时还剩下一块没割完。剩的一小块草地第二天由一个人割完。假定每半天的劳动时间相等，每人工作效率亦相同。问共有多少割草人？

    下面是托尔斯泰的解法。因为大草地全体人割了一个上午，一半人割了一下午才将草地割完。所以如果把大草地的面积比作是1，那么一半人在半天里割草面积为1/3，另一半人在小草地上工作了一下午的割草面积也应为1/3。由此可推断出第一天割草面积为4/3。剩下的面积是多少呢？由大草地的面积比小草地大1倍，可知小草地面积为1/2。因为第一天下午已割的小草地面积为1/3，那么所剩面积应是1/6，而这1/6恰好是第二天一个人的工作量。所以，将第一天割草总面积除以第一天每人割草面积，就是参加割草的总人数，即4/3÷1/6＝8（人）。

    爱因斯坦的奇特记忆方式

    爱因斯坦年轻的时候，有一次，他的女朋友打来电话：“我的电话号码又更换了，真难记。请你记好。”“好，我记下来。”爱因斯坦回答。“24361。”“这有什么难记？两打与19的平方！好啦，我记住了！”爱因斯坦说完，又不无遗憾地告诉女友自己的电话号码也换了。不过，他并没有直接告诉女友具体号码是多少，而是说：“原来和新换的电话号码都是4位数；新号码正好是原来号码的4倍；而且原号码从后面倒着写正好是新号码。”请问，你可知道这个新码是多少吗？

    新号码是8712，正好是旧号码2178的4倍。此题仅有这一个答案，不信你可以仔细再算一下。

    意外的转换

    有一次，一个青年慕名去拜访几何学家欧几里得，向他请教数字如何在几何里转换的。欧几里得没有正面回答这个问题，而是和他玩了一次卡片游戏。假定有9张标志着数字的卡片，这些卡片分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9。这些卡片可以用几种不同的方法分成几组。例如我们要分成两组，其中一组的数字之和要是另一组的两倍，那么我们就可以把1、2、5、7（＝15）分为一组，把3、4、6、8、9（＝30）分为另一组。现在请将卡片分成两组（一组是4张，另一组是5张），使一组卡片上所看到的数字之和是另一组的3倍。如果一次你没成功，请你记住手上的是卡片。

    答案是：将6转过来就变成了9。然后将卡片分在1、2、4、5（＝12）一组；3、7、8、9、9（＝36）一组。如果6不倒转过来，问题无法解决。

    杰克·伦敦的旅行

    一天，杰克·伦敦乘套5条狗的雪橇，从斯卡格雅伊赶赴自己的营地，因为那里有个朋友眼看就要死了。

    在旅途中，第一个昼夜，有两条野性非常强的狗扯断了缰绳，和狼一起逃走了。无论杰克·伦敦怎么喊，这两条狗都不回来。于是，无奈之中，剩下的路程只好用3条狗来拉雪橇了。但是，前进的速度只是原来的3/5。杰克·伦敦真的是心急如焚，因为这样的话，他就很有可能再也不能见到这位好朋友了，这将是他的一个终生遗憾。最后，杰克·伦敦到达目的地的时间比预计的迟了两个昼夜，他的朋友早在一天以前就与世长辞了，临死前还呼唤着他的名字。其实，逃跑的两条狗如果能再拖雪橇走50千米，杰克·伦敦就能比预定时间只迟到一天。这样，他就完全能有机会再见朋友最后一面。聪明的读者，你能算出杰克·伦敦此次旅程的里程是多少千米吗？

    答案是：此次旅程有400/3千米。

    希尔伯特问题

    一次轰动世界的讲演

    数学大师希尔伯特20世纪的头一年，在巴黎召开的国际数学家会议上，一位德国年仅38岁的数学家、德国哥廷根大学数学教授希尔伯特，发表了一次轰动世界的演说，他指出：跨进20世纪的数学，将沿着他所发表的23个问题的方向发展。当时有的人惊叹这位青年数学家的胆略，赞扬他能站在数学发展的最前沿，大胆地进行预测，敏锐地作出科学判断，然而，也有人在一边冷眼旁观，感到这位年轻人是在说大话吹牛皮，怀疑20世纪数学的发展趋势能否被他提的23个问题所左右。

    历史是最好的见证，至少20世纪上半叶，全世界的数学家们被这23个难题所吸引着，为了解决这些问题做了大量的研究工作，使许多数学新分支，特别是边缘学科相继诞生。可以毫不夸张地说，这23个难题成了整个数学界研究的中心课题，半个多世纪以来，能解决希尔伯特难题，已成为当代数学家的无上荣誉。美国数学家评选自1940年以来，美国数学十大成就中，有三项是希尔伯特难题中的第一、第五、第十问题的解决。

    1975年在美国的伊利诺斯大学，召开了一次国际数学会议。数学家们回顾四分之三世纪以来，对希尔伯特的23个难题的研究，约有一半以上已经解决了，其余一小半也都有了重大的进展，并且，这23个难题至今仍是数学家们非常注意的中心之一。

    一个数学家在一次讲演中提出的问题，能对数学的发展产生如此久远而深刻的影响，这在数学史上是独一无二的，在人类文明的发展史上也是极为罕见的。因此，希尔伯特被称为20世纪数学发展的代表人物。

    希尔伯特童年就跟着母亲学习数学，这对他成长为学识渊博的数学家影响极大。他毕业于东普鲁士的寇尼斯堡大学，早期研究代数不变式论、代数数论、几何基础，后来又研究变分法、积分方程、函数空间和数学物理方法等。1885年，23岁的希尔伯特就获得了博士学位。1895年，他在德国最著名的科学教育中心哥廷根大学任数学教授。1899年，他出版了《几何基础》一书，把欧几里得几何学整理为从公理出发的纯粹演绎系统，并把注意力转移到公理系统的逻辑结构。

    希尔伯特在那次演讲中提出的23个难题，后来统称为希尔伯特问题，希尔伯特问题涉及数学知识的范围非常之广，理论也特别深，并且大多数是关于高等数学中的题目，这里只向读者介绍几个浅显的。

    合理不合理，都是相对的

    为了介绍希尔伯特第一难题，首先打个比喻：假设在我们面前放有“无限多个”装有水果的篮子，要从每个篮子里取出一个水果，放在一个空篮子里。如果装有水果的篮子是有限个，这个问题是显而易见的，由于装有水果的篮子是无限多个，于是就产生了这样做是否允许的问题，在数学上，这个问题的抽象提法称为“选择公理”。

    希尔伯特第一难题叫做“连续统假设”，意思是相当于问从无限多个篮子里各选一个水果的选择公理，在数学上是否合理？1939年奥地利数学家哥德尔证明：用通常的集合论公理，不可能推出选择公理是对的。1963年美国数学家柯思又从另一方面证明：用通常的集合论公理，不可能推出选择公理是错的。这样，就产生了两种针锋相对的结论，并且在承认推出“选择公理”是对的基础上，建立起一套数学理论，在不承认推出“选择公理”是对的前提下，也相应地创立一套数学理论。同时，令人惊奇的是两套数学理论都对，都各自成体系，都能自圆其说，无懈可击。这犹如欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何三种几何学都对一样，只不过是相对于某一个范围内应用哪一种理论更为精细确切而已。有关这方面的研究，随着时间的推移，越来越深入。

    希尔伯特难题不一定全是对的

    科学的问题来不得半点虚假，预测的东西不一定全对。尽管一个人才华横溢，也有局限性，所提出的问题，不见得都是百分之百的正确。希尔伯特是目光锐利、智慧超群的数学家，已被举世公认，可是他提出的第二个难题，已经证明是错误的，不过否定这个难题，却是经过了极其艰难的过程。

    这个难题是关于数学基础方面的内容，在数学研究中，越是基本的理论，越难于证明，这是众所公认的。这类问题像人类思维史上的一座座高山峻岭，只有那些具备惊人的数学才能和在崎岖小路的攀登上不畏劳苦的人，才有希望到达险峻的顶峰。

    人们常常是把经过千百万次实践验证，又是最根本的若干命题作为公理，欧氏几何中的定义、公设或者公理都是人们经验的总结，是建立在直观基础上的一种抽象的具有“自明性”的命题。在数学中，以较复杂的概念、公理作为基础，来推出其他的定理或命题，这种整理和叙述数学知识的方法，叫做公理化方法，它是数学论证方法中最常用的一种。人们不禁要问：是不是任何科学都能用同一套公理、定义做基础呢？用一套公理能否推出数学里的所有定理呢？

    希尔伯持的第二难题就是算术公理的无矛盾性。他希望借此证明：所有的数学定理都能由一组公理推出来。这种想法很好，它会使人易于掌握，同时，越是抽象的理论，应用起来越是广泛。然而，这种想法是办不到的。严格的科学，特别是非常精确的数学，不能凭想象决定对错，没有严格的数学论证是不能下定论的。可是，这个难题的证明，难度之大是难以想象的。30多年，无论是肯定或者否定这个难题的文章都没有问世，甚至说毫无进展。直到1931年奥地利数学家哥德尔打破了希尔伯持的这一幻想，成功地证明了：任何一个公理化系统中，必定有一个命题不能由这组公理推出其正确与否。不少人看到了世界上第一个人否定了希尔伯特第二难题的证明，惊得目瞪口呆。因而，哥德尔的这一成就轰动了整个数学界，在数学的发展史上留下了重要的一页。

    由希尔伯特猜想引起的问题

    希尔伯特的23个难题中，有一些是关于数论方面的问题，如关于素数和方程的正整数解的问题，还包括实数中有关代数数和超越数的一个猜想。

    满足整系数代数方程的数叫做“代数数”，如方程x2－4x－3＝0的根x1·2=2±7就是两个代数数，反之，不满足整系数代数方程的数，称为超越数，如π、e等都是超越数。

    希尔伯特的第七个问题猜想：若α是非0非1的代数数，β是无理数和代数数，那么αβ一定是超越数。

    这个关于代数数和超越数的猜想，看起来远远要比哥德巴赫猜想容易解决，然而，也是30多年过去了，尽管世界上有相当多的人在研究这个猜想的解法，还是没有人能给出证明。

    1934年，28岁的苏联青年数学家盖尔冯特终于给出了严格的数学证明，证明了希尔伯特的这个猜想是正确的。

    希尔伯特第七问题虽然解决了，但是由此又引出了新的数学难题，即若α和β都是超越数，那么αβ是否一定是超越数呢？ee、eπ、πe、πM是否都是超越数呢？这个难题在希尔伯特第七猜想得证的基础上，似乎不难，然而，至今只有eπ是超越数被证明，其他几个是不是超越数，至今没有解决，要想证明这些数是超越数，必须证明它们是不是整系数代数方程的根，而突破这一步并非轻而易举，经过这么多年的漫长岁月，不知有多少大胆的探险者，为解决这个问题而苦思冥想，至今不见分晓。

    中华民族的骄傲

    希尔伯特问题发表以来，全世界的数学家们都在进行研究，中国的数学家们也不例外。

    希尔伯特第十六难题是关于微分方程极限环的性质。

    1955年苏联科学院院士彼得洛夫斯基发表文章指出：二次代数系统构成的微分方程组（简称为E2），共极限环至多只能有三个，并宣布解决了希尔伯特的这个难题。后来有人发表文章指出他证明中的错误，同时怀疑他提出的结论的正确性。1976年彼得洛夫斯基又发表文章，承认他的证明有错误，但认为结论还是正确的。

    1979年彼得洛夫斯基的结论，被一位中国的研究生推翻了。中国科技大学的数学研究生史松龄举出了关于E2至少出现四个极限环的例子，否定了彼得洛夫斯基关于E2至多只有三个极限环的论断，使得关于希尔伯特第十六难题的研究，经过25年后首次取得重大的进展。这是一个很了不起的研究成果，为中华民族赢得了荣誉。

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