围棋变化知多少

    围棋由181个黑子和180个白子组成。棋盘是由纵横19路的361个交叉点组成。围棋盘上的每个交叉点都有可能出现黑子、白子或空不放子的可能，即一个交叉点有黑、白、空三种变化可能。两个交叉点就有3的2次方变化的可能。361个交叉点就有3的361次方变化的可能。

    围棋变化的概数是173位数的正整数，用现代数学的写法是10的172次方。这是一个大得惊人的数字。如果用世界上最先进的电子计算机计算，我们假定计算机每秒钟计算1亿次，那么1个月可计算259000亿次；1年估计可计算10的17次方；1万年可计算10的21次方；1亿年可计算10的25次方。要完成10的172次方的变化，需要的时间可想而知。

    关于太阳的数字

    太阳的半径将近70万千米，即使是跑得最快的光（每秒30万千米），从它中心到表面，也得花2秒钟，体积有130万个地球那么大。太阳的质量为2.0×1018吨，是地球的33万倍，占整个太阳系的99.8%。太阳对地球的引力达3.5×1020吨重，这样大的引力，可以一下子把2万根直径5米粗钢缆拉断。太阳每秒钟释放出来的能量达3.826×1023千瓦或者5×1023马力。据计算，太阳每年辐射到地球上的能量只有它全部的22亿分之一。如果人类能把投射到地球的太阳能的千分之一、万分之一利用起来，世界上就不会发出能源危机了。

    太阳内部温度大约1500万度，表面温度达6000度。

    太阳在宇宙中诞生已快50亿年，这仅走过了她有生旅程的5%，她还要工作950亿年才能退休。

    遥望星空知多少

    远在几千年前，古希腊人便开始数星星的工作了，当时著名的天文学家希帕恰斯发现天上的星星有明有暗，于是他便按星星的明暗程度分为不同的等级，共划分六等。后来人们发现，一等星以上的亮星共有20颗，二等有46颗，三等有146颗，四等有418颗，五等有1476颗，六等有4840颗。肉眼所能看见的全天空里的星星不过6000多颗，由于我们生活在地球上，晚上只能看到半个天球，一半天球的星星在地平线以下，所以我们一个晚上所能看到的星星不超过3000多颗。后来，天文望远镜的发明，人们通过这双“千里眼”，可以看到比六等星更暗的星星。根据观测和计算，银河系系里大约有2000亿颗星星。而银河系这样巨大的星系有4亿个。这仅仅是我们能观测得到的。而每个这样的星系中恒星的数目均为1000亿颗！

    地球的一些数据

    地球的体积正缓慢膨胀，直径的增长率约为每年0.5毫米。地球上每天来自大气圈外的陨石碎片约6吨，陨石燃烧的灰尘约0.8吨。地球上每年约发生地震上百万次，其中破坏力强的10次左右。地球生物圈大气层的厚度约为2500米，其中含氮78%，氧21%，氢1%，还有水蒸气、二氧化碳和其他气体。地球与太阳的距离是14950万千米，地球与月亮的平均距离是3844万千米，赤道半径6378千米，极半径6357千米，平均半径6371千米，赤道周长40075千米，地球公转一周365日5时48分46秒。地球的体积11000亿立方千米，地球的表面积51050万平方千米，地球的陆地面积14950万平方千米。地球的海洋面积36100万平方千米。

    人体的有趣数据

    人脑中血管纵横交错，总长度可达12万米以上；大脑能容纳大量信息，几乎相当于10亿册书的信息容量；在一秒钟之内，我们的大脑将有超过10万种不同的化学反应在进行，这些化学反应，令我们产生思想、情绪及动作。人体中水的重量约占65%，其余为蛋白质、矿物质等固体；人体24小时内释放的热量可以燃沸15千克冷水；人体共有266块骨头，约占人体体重的1/10~1/5；每人一生中平均脱落的皮肤，其总重量可超过227千克。

    人体内的细胞，平均寿命为4个月，这期间它在人体内所走过的行程约为1600千米。一个健康正常人的眼睛，可以看到和分辨出700万种深浅层次不同的颜色。人体内的神经网，如果将它们全部拉成直线并连接起来，长度可达72.4千米。

    我们的10根手指根本没有肌肉。每天大约有14立方米的空气通过我们的气管；这些气体可充300多个大型气球。人眼很敏锐，在没有月亮的黑夜，站在高处，可看到80千米以外燃烧的火柴光。人微笑时，牵动17条脸部肌肉，而皱眉则要牵肌肉43条。

    种子寿命的有关数字

    各种种子的寿命都是不一样的。沙漠里的棱棱树种子，只要有一点水，在2~3小时之内就能发芽，但只能活1~8个小时。可可、甘蔗的种子，离开母体后最多能活十几周。白杨和柳树的种子，最多也只能活七八个星期。热带和亚热带植物的种子，一般属于“短命”的。

    种子里的长寿者，要算我国在辽宁新金泡子屯的泥炭层里挖出的古代莲子，科学测定，这些在地下睡了835~995年的莲子还有生命力。1967年，加拿大报道在北美育肯河中心地区的旅鼠洞中，发现了20多粒北极羽扁豆的种子。

    这些种子深埋在冻土层里，经碳十四同位素测定，它们的寿命至少有10000年。在播种试验时，其中有6粒种子发芽，并长成了植株。它们是迄今为止世界上寿命最长的种子。

    生物的一些有趣数字

    世界上有各种生命125万种，其中2/3是动物，其余为植物和微生物。

    细胞一般很小，如果将其首尾相连，约100万个才有1毫米长，而原子如果排出1毫米则需400万个。

    一只蜜蜂每天最多只能酿出0.15克的蜜，而这需要吮吸5000朵花蕊中的花粉。酿造1千克蜜约需3300多万朵花蕊。蜜蜂酿蜜自然是为自己贮备食物，一蜂箱的蜜蜂每年消耗的蜜就达250千克。

    世界上最大的动物不是鲸，而是水母，最大的水母有半个足球场大，不过只有5%是组织材料，其余都是水。

    世界上最重的动物蓝鲸体长可达35米，足以吞下一只大牛，但在水中的速度每小时只能前进24千米，其尾部摆动产生的推力达到350千瓦以上。一片15多米宽的叶子（如果有的话）产生的淀粉足以供一个人的一年的需求，而且要有5米宽的叶子，一个人就可保证得到足够的氧气。人的头发寿命只有几年，在我们的头上只有85%的头发是活的，其余是停止生长的，或者说是死的。

    一些益鸟捕食害虫的有关数字

    许多鸟类都是我们的好朋友。它们每天都在辛勤地“工作”着，为我们生活的环境造福除“害”。下面就是它们的战绩：

    一只大山雀半个月育雏期间可食2000个害虫；一窝燕雏一天要吃540多只蝗虫；一只燕子整个夏天要捕食50万~100万只苍蝇、蚊子或蚜虫；一只小巧的戴菊鸟一天也要吃掉1000个蚂蚁卵；一只猫头鹰一个夏季可吃掉1000只田鼠或其他鼠，而一只田鼠一个夏天至少要糟蹋1千克作物或粮食，所以，一只猫头鹰一个夏天便可保护1000千克粮食。

    这些不起眼的小动物能为人类和自然界做出那么大的贡献，真是功不可没！所以，我们更应该保护这些益鸟，而不应该去伤害它们。

    有关昆虫的数字

    蜻蜓的远距离飞行。每年夏天，成群结队的蜻蜓从英国飞越多佛尔海峡，到法国去“旅行”一番，行程有上百千米，还有一种暗绿色的，身体只有3~4厘米的海蜻蜓，每年八月从赤道附近飞到日本。这个距离至少有3000千米，多的有4000千米，这是已知的昆虫飞行距离最远的纪录。

    跳蚤的最高跳跃高度。1904年，美国人进行了一次试验。他们让跳蚤自由跳跃，发现一只跳蚤跳得最远，为33厘米，跳得最高的跳了19.69厘米。这个高度相当于它身体高度的130倍，如果一个身高1.70米的人，能像跳蚤那样跳跃的话，可以跳跃221米高，70层的楼房，他也可以一跃而上，毫不费力。

    蜜蜂酿蜜其难，一只蜜蜂要酿造1千克蜜，必须在100万朵花上采集“原料”，并要在花丛与蜂房之间来回飞行15万次。假如采蜜的花丛到蜂房的平均距离为1.5千米，那么，蜜蜂采集1千克蜜就得飞上45万千米，差不多等于绕地球赤道飞行11圈。可见其难。

    与水有关的数字

    数字一般是枯燥的，但有时没有它却又很难说明问题的直观性。下面一组与水有关的数字：一个人在一年之中，仅仅维持其营养，就平均需要30吨左右的饮料和水；而为了满足其他一些生活需要，一个人至少需要150吨水。可见，一个人一年总共需180吨水！

    炼一吨钢要200吨水，生产1吨纸要200～500吨水，发1000度电要用350吨水，生产1吨化学纤维需水1200～1800吨，1吨谷物需水4500吨，1吨甘蔗需水1800吨，1吨肉类食品共需水31500吨。一个100万人口的工业城市，每天至少用水130万吨，其中生活用水50万吨，工业农业生产用水80万吨。每人每天饮用水1.22升，呼吸入水0.13升，皮肤入水0.09升，食物中水0.72升。

    每人每年平均（世界）用水30立方米，其中工业用水20立方米，每人每年最低用水量2立方米。

    世界环境每分钟的变化

    全世界在每分钟之内都会有很大的变化，这些变化同我们人类的生存也是息息相关的：全世界每分钟森林消失21公顷，每年消失1100万公顷；全世界每分钟毁坏耕地40公顷，每年毁坏2100万公顷；全世界每分钟沙漠化土地11.4公顷，每年沙漠化600万公顷；全世界每分钟700吨泥沙流入大海，每年总计有250亿吨泥沙流入大海；全世界每分钟8500吨污水排出江河湖海，全年4500亿吨污水流入海；全世界每分钟有28人由于水污染环境而死亡，每年死于污染环境有1500万人。

    这些数字会不会让你感到惊讶。如果我们再不采取行动保护我们赖以生存的“家园”，总有一天人类会毁灭于自己所创造的恶果。

    有关树的数字

    澳洲的杏红桉树是世界上最高的树。杏红桉树一般都高过100米，其中有一株，高达156米，树干直插云霄，有50层楼那么高。

    生长在墨西哥南瓦哈卡山谷的一棵巨型红杉是世界上最粗的树，至今已有2000多年的历史，其树干周长42米，体积705立方米，根深500米，每天喝水5万升，26个印第安农民手拉手才能将大树围起来。

    加拉国的榕树是世界上树冠最大的树，它可以覆盖3万多平方米的土地，有一个半足球场那么大，当地人还在一棵老的孟加拉国榕树下开办了一个人来人往、熙熙攘攘的市场。美国加利福尼亚的巨杉是树木中的“巨人”。其中最高的一棵有142米高，直径有12米，树干周围为37米，需要20多个成年人才能抱住它。它几乎上下一样粗，它已经活了3500年以上了。生长在美洲厄瓜多尔热带森林里的巴尔萨树，是世界上最轻的木材。这种木材干燥后比重只有0.1，而世界上最重的木材产生于南非，比重为1.49，每立方米重达1490千克。

    第一次数学危机

    毕达哥拉斯故事发生在公元前5世纪，那一日爱琴海上恶浪滔天，在风雨中飘摇的木船上，一伙道貌岸然的年轻学者把他们的同学希帕索斯身捆石头抛入了大海，制造了数学史上的一桩特大冤案，指挥这场凶案的正是这些年轻学者的老师，古希腊赫赫有名的大学问家毕达哥拉斯（公元前580年-公元前501年）。毕老夫子是当时希腊政治、科学和宗教的统治集团“友谊联盟”的领袖，该集团由300多位有社会地位、有学问的人士组成。当时是奴隶制社会，“友谊联盟”内部岂有友谊可言，一切以毕达哥拉斯的是非为是非，其他人必须服从，顺之者生，逆之者亡。在数学上，他们形成了影响深远的毕达哥拉斯学派，证明了勾股定理、三角形内角和为180°等重要数学定理，首先提出黄金分割和正多边形与正多面体等精彩概念，对古代的数学发展做出了巨大贡献。他们的旗帜上写着“万物皆数”（也翻译成“数统治着宇宙”），他们说的“数”指的只是自然数或正分数。

    公元前470年，毕达哥拉斯的学生希帕索斯请教老师如下的问题：

    边长为1的正方形，对角线的长是多少？

    事实上，按老师证明的勾股定理，对角线的长l应满足12+12=l2，即l应该是这样的一个自然数或正分数，它的平方等于2。

    但是，12=1，22=4，32=9，…，所以l不是自然数。设l=pq，pq是既约正分数，则应有

    l2=p2q2=2，p2=2q2（1）

    由（1）知p是偶数，令p=2k，k是自然数，则

    4k2=2q2，2k2=q2（2）

    由（2）知q是偶数，从而p与q有公因数2，与pq是既约分数相违。

    正是上述这一问题和导致的矛盾激怒了权威毕达哥拉斯，更要命的是动摇了当时被尊为神圣真理的信念——数只有自然数和正有理数两种。希帕索斯提出对角线问题的挑战性和叛逆性，使得友谊联盟必置希帕索斯于死地，以捍卫他们关于数的既定信念。

    正方形的对角线不能没有长度，这是任何人都承认的事实，正是这条直观具体的对角线的客观存在与毕达哥拉斯时代的数学观念之间发生了上述不可调和的矛盾和冲突。杀死一个希帕索斯问题仍然未得到解决，当时人们的思想水平受历史背景和科学水平的局限，几乎人人信奉毕达哥拉斯学派的关于宇宙万物皆自然数或分数的教条，这好似当初人们都相信托勒密太阳绕地球转的地心学说一样，除了无知和对名人权威的盲目崇拜之外，也与大家不善于抽象思维和严格地逻辑推理，一切都与粗糙的直观感觉有关。

    数学史上称勾股定理在“万物皆数”（仅承认自然数和分数是数）的信仰统治下算不出正方形对角线的长这一数学困惑为第一次数学危机。

    后来数学家把毕达哥拉斯学派所称的数为有理数，这在一定程度上照顾了这位在数学史上做出大贡献的前辈的面子，也迎合了一般人的心理和直觉。上面已严格证明边长为1的正方形之对角线的长不是有理数。称不是有理数的实数为无理数，希帕索斯是发现无理数的第一人。从“友谊联盟”的观点看，无理数是逻辑推理生出的一只怪蛋！再后来许多数学家对无理数的概念和理论做了大量的工作，给出了无理数的准确定义和性质，这件事一直到19世纪才基本完工，代表人物有戴德金、罗素、康托尔和维尔斯特拉斯等人。

    由于无理数的引入，排除了第一次数学危机，或者我们应当庆幸第一次数学危机来得早，使无理数这个数学中的主角之一早日登上了数学的舞台。我们应当为希帕索斯喊冤叫屈，佩服其造反精神。相传精明的希帕索斯身高1.41米，体重恰为141磅（约64千克），他这些生理指标暗示他是2的化身，这些传说的真伪已无从考查，人们姑妄谈之，我们姑妄听之，但有一点丝毫不可姑妄，那就是科学精神绝非信仰，科学是批判的、疑问的、创造的、严谨的和求实的，科学工作中不容忍迷信和崇拜。

    第二次数学危机

    牛顿与莱布尼茨初创微积分时，有些基本概念和细节没来得及加以严格地定义和论证，微积分本来就是讨论无穷过程和极限过程的科学，与人们有史以来习惯了的初等数学有本质区别。从现代高等数学的教学经验来看，即使高等数学已经经过两三百年的改造与完备化，大学一年级的同学接受微积分的思想和概念仍然十分困难，对其中很多概念，例如导数概念，仍然存有类似拒绝和排斥的心理，更何况牛顿与莱布尼茨是破天荒第一次向世人表述微积分！

    贝克莱是爱尔兰科克郡的地方主教（1734年）、哲学家。他针对牛顿微积分中的一些不严格之处，发表了一篇叫做《分析学家，或致一位不信神的数学家》的文章，“分析学家”的主要矛头对着牛顿，“不信神的数学家”则攻击哈雷和莱布尼茨。当然，贝克莱的非难也得到了不少人的支持，其中不乏有名的数学家，例如法国著名数学家罗尔和荷兰数学家纽文斯。罗尔就说过“微积分是巧妙的谬论的汇集”，但是罗尔本人在微积分上也做出了许多工作，例如作为微分学基本定理的罗尔定理。贝克莱对牛顿的许多批评还是切中要害的。

    下面引用牛顿的手稿《流数简论》中的话，看看当初牛顿在他的微积分中是如何使用“瞬”这个概念而引起贝克莱们的诘难的。

    牛顿写道：

    设有二物体A与B同时分别从a、b两点以速度p与q移动，所描画的线段为x与y，若A、B作非匀速运动，A从a点移动到c，速度为p的A在某一瞬描画出无限小线段cd=p×o，B在相同时刻从b点移动至g点，在同一瞬内将描画线段gh=q×o。

    现设x、y之间的关系方程为

    x3-abx+a3-dyy=0（1）

    我们可用x+po和y+qo分别代替x与y代入（1）得

    x3+3poxx+3ppoox+p3o3-dyy-2dqoy

    -dqqoo-abx-abpo+a3=0（2）

    得

    3poxx+3ppoox+p3o3-2dqoy-dqqoo-abpo=0（3）

    其中含o的项为无限小，略之即得

    3pxx-abp-2dqy=0（4）

    从现代微积分的观点来审视，（4）的结论是完全正确的，如果把p与q按牛顿当年的记号，分别写成x·与y·，则（4）变成

    3x2x·-abx·-2dyy·=0

    再引用当年莱布尼茨的记号x·=dxdt，y·=dydt，则得

    3x2dxdt-abdxdt-2dydydt=0，

    为了不混淆，把d写改写成c，则得

    3x2dx-abdx-2cydy=0

    （3x2-ab）dx-2cydy=0

    dydx=3x2-ab2cy（5）

    （5）是现代常微分方程论中的一个一阶可分离变量的方程。可见微分方程，即含未知函数y（x）与其导数（牛顿当时称为流数）的方程是牛顿创立微积分时同时产生的，微积分与微分方程是孪生姊妹，微分方程这一数学中心学科的首创权亦应归于牛顿名下。

    下面是贝克莱在《分析学家》一书中对牛顿的《流数简论》的批评：

    “这种方法究竟是否清楚，是否没有矛盾且可以加以证明，或者相反，只是一种含糊的、令人反感的和靠不住的方法？我将以最公正的方式来提出这样的质疑，以便让你们，让每一位正直的读者做出自己的判断。”

    贝克莱的这些质问的确事出有因，上面牛顿对瞬o没有数学定义，一会儿让它作除数，可见o不是零，一会儿把它忽略掉，又认为o为零，这里边似有需要澄清的矛盾。

    由于运用牛顿—莱布尼茨的微积分方法总能得出正确结论，所以牛-莱坚信微积分是科学，必须反击贝克莱的攻击，发动微积分保卫战。牛顿、莱布尼茨等人纷纷著文还击贝克莱，无奈由于不能建立严密牢靠的基础，对“瞬”、“流数”等关键词给不出令人不可置疑的定义，所以未能及时驳倒贝克莱，这就是震惊数学界的第二次数学危机。

    当然，真理是在牛顿们手里，挑战者贝克莱与第一次数学危机的挑战者希帕索斯不一样，贝氏是出于保守和宗教的偏见行事的，而不是为数学真理而争而论，希帕索斯则是数学上敢于与保守的学说决裂，锐意进取，为创立新的思想体系死不悔改的革新派，是企图跳出传统框架的“异教徒”。

    经过柯西、欧拉、波尔察诺和外尔斯特拉斯等众多数学家的努力建设，修筑了微积分的坚实的基础，第二次数学危机才算彻底克服。

    微积分的思想博大精深，例如无穷小和微商等，不仅牛顿、莱布尼茨时代，就是今日，也还是个值得细究的问题，它们究竟是实在的东西，还是一种观念，仍然可以讨论；事实上，一种数学概念，可能只是一种解决问题的手段或思维方法，这未必是唯心主义，数学当中莫非不能发明新技术或推理计算的艺术吗？

    第三次数学危机

    1919年，科学家罗素提出如下的理发师悖论：

    村子里仅一名理发师，且村子里的男人都需要刮胡子，理发约定：“给且只给自己不给自己刮胡子的人刮胡子。”

    有好事者问理发师：“理发师先生，你自己的胡子谁来刮？”

    理发无言以对。因为如果理发师说“我自己的胡子自己刮”，那么根据他与大家的约定，理发师不能给自己刮胡子，即这时他不该给自己刮胡子；如果理发师说“我的胡子不自己刮”，那么根据他与大家的约定，理发师应给自己刮胡子。可见理发师怎么回答也不行！

    上述理发悖论可以稍微数学化地来表述，设集合

    B={自己刮胡子的人}

    若理发师B，即理发师是自己刮胡子的人，但由“约定”，他不该给理发师刮胡子，即理发师B，矛盾！若理发师B，即理发师不自己刮胡子，由“约定”，他应给自己刮胡子，即理发师B，矛盾！

    罗素进一步把上述理发师悖论变成下面的一个数学悖论，称为罗素悖论：

    “设B={集合A｜AA}，问BB还是BB？”

    显然B≠O；若BB，由B的定义，B是B中的一元素时，B应有性质BB，矛盾！于是这里发生了无论如何摆脱不了矛盾的荒唐局面！

    在罗素表述悖论时，字字句句都未违反康托尔朴素集合论的观点，为什么出现了自相矛盾的事呢？要害是允许写BB，即谈某些集合自己是自己的元素，亦即允许我们前面提出的“皮囊悖论”的存在；为了排除罗素悖论，保卫已建成的数学大厦，数学家策墨罗、弗兰克尔等抛出一套所谓公理集合公理系统，按他们的公理规定，禁谈BB，从而解除了第三次数学危机。

    第三次数学危机出现的前夕，数学界一派升平乐观气氛，1900年，庞加莱在第二次国际数学家大会上自信而兴奋地宣称：“我们可以说，现在的数学已达到了绝对的严格。”过不了几年，罗素悖论犹如晴天霹雳，使数学界一片哗然，希尔伯特惊呼：“在数学这个号称可靠性与真理性的模范里，每个人所学、所教、所用的概念及结构和推理方法，竟导出不合理结果；如果数学思考也失灵的话，那么我们到哪里去找可靠性和真理性呢？”

    第一次、第二次和第三次数学危机的出现和排除使数学家们对数学的认识更为清醒了，人们有了思想准备，也许还有第四次、第五次数学危机乃至第n次（n≥3）；但可以相信，人类有能力排除任何数学危机，而且，每次数学危机爆发之日，就是新的数学概念、新的数学理论孕育之时，随着危机的排除，数学则会得到划时代的进展与突破。

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