数学家克莱因

    英国数学家克莱因指出：代数上的进步是由于引进了较好的符号体系，这对它本身的发展和分析的发展比16世纪技术上的进步更为重要。事实上，采取了这一步，才能使代数成为一门科学。

    数学大量的运算和推理都是通过数学符号进行的。数学符号是一种特殊的数学语言，它能清楚地表达数学概念、运算过程和人的思维过程。在叙述上起着节约时间的作用，而且还能精确而深刻地表述着某种概念、方法与逻辑的关系。伟大的德国数学家莱布尼兹说过：“符号（指数学符号）的巧妙和符号的艺术，是人们绝妙的助手，因为它们使思考工作得到节约……在解释说明上有所方便，并且以惊人的形式节省了思维。”俄国数学家罗巴切夫斯基也说过，数学符号的语言更加完善、准确、明晰地提供了把一些概念传达给别人的方法。

    数学中使用的符号

    学习数学，是从学习数学符号开始的。在历史上，从0到9这十个阿拉伯数字符号被引入数学以后，曾引起了数学的一场革命。

    法国数学家韦达是第一个将符号引入数学的人。他的代数著作《分析术新论》是一部最早的符号代数著作。不过，现在的数学符号体系主要采取的是笛卡尔使用的符号。他提出用26个英文字母中的最后字母X、Y、Z表示已知数等等。借助于符号，数学就变得简洁明了，使用方便，而数学本身的发展也加快了。

    数学符号一般有以下几种：

    （1）数量符号：2/5，3，1.424242…，3＋2i，e，x，∞等等。

    （2）运算符号：加减乘除（＋，－），根号（），比号（∶）等。

    （3）关系符号：“＝”是相等符号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号。

    （4）结合符号：圆括号（），方括号〔〕等。

    （5）性质符号：正负号（+-），绝对值符号（｜｜）等。

    （6）省略符号：三角形（△），因为（∵），所以（∴），总和（∑）等。

    加法符号“+”

    加号是1489年德国数学家魏德迈首先在其所写的一本算术书中使用的。

    加号的来历经过一段曲折的发展道路。古代许多国家除了用文章式的书写加法外，还有的将数学衔接在一起书写来表示加法。例如，古希腊和印度人就不约而同地把两个数字写在一起表示加法，这种记法的痕迹直到今天还可以看到。15世纪，在欧洲已采用了拉丁字母的“p”（Plus的第一个字母，意思是相加）或“”。例如，4P3表示4+3，3P5就表示3+5。中世纪后期，欧洲的商业逐渐发达起来。一些商人常在装货的箱子上画一个“+”号，表示质量超过了。在1489年之后，经过法国数学家韦达的提倡和宣传，加号开始普及。

    关于加号的由来，还有下述说法：

    符号“+”是由拉丁文“et”演变而来的，原字就是“and”，是“增加”的意思。14世纪至16世纪欧洲文艺复兴时期，意大利数学家塔塔里亚用意大利文“Piu”（就是“Plus”，“相加”的意思）的第一个字母表示加，并写成“φ”。

    加号正式得到大家的公认，还是1630年。

    在中国，以“李善兰恒等式”闻名于世的数学家李善兰曾经用“上”表示加号（用“下”表示减号），由于我国当时社会上普遍使用算筹和珠算进行加、减、乘、除四则运算，因而没有提出和准行专门使用的数学运算符号，李善兰提出的加（减）号没有得到推广使用。

    减法符号“-”

    在古代，许多国家如古希腊和印度人表示两数相减，就把这两个数写得离开一些距离，这样表示相减当然是不明确的。另外，古希腊数学家基奥芬特曾使用符号“ψ”表示减号，符号“-”先由拉丁文“minus”缩写成m，后又略去字母m演变而来，原意是“减去”的意思。加号与减号开始用于商业，分别表示“盈余”和“不足”的意思。传说，卖酒人用线条“-”记酒桶里的酒卖了多少，在把新酒灌入大桶时，就将线条勾销，成为“+”，灌回多少酒，就勾销多少条，久而久之，符号“+”就被用来表示加号，符号“-”表示减号。

    中世纪后期，欧洲商业逐渐发达，一些商人常在装货箱子上画一个“-”号，表示质量略有不足。虽然如此，“-”号仍是德国数学家魏德曼1489年在他的著作中首先使用的，后来经过法国数学家们的大力提倡和宣传，“-”号开始普及，直到1630年“-”号才获得大家的公认。

    乘法符号“×”

    “×”号是英国数学家威廉·奥特雷德在1631年提出的，在他的著作中用“×”表示乘法。如果说“+”号是表示量增加的一种方法的话，那么“×”号则是表示量增加得更快的一种方法，因而把“+”号斜过来写。“×”号出现以后，曾遭到德国数学家莱布尼兹的坚决反对，理由是：“×”号与拉丁字母“X”相似，很容易混淆。莱布尼兹赞成用“·”表示相乘。1637年，法国数学家笛卡尔也采用“·”号表示相乘，“×”号与“·”号相持不下，一直到今天这两种运算符号都在继续使用着。莱布尼兹曾提出用“∩”表示相乘，这个符号现在主要运用在集合论中，表示集合的交集。如果A表示所有等腰三角形组成的集合，B表示所有直角三角形组成的集合，那么，它们的交集A∩B就是所有等腰直角三角形组成的集合。

    另外，“·”与“×”还可以描述两个矢量a，b的点积与叉积。若|a|=a，|b|=b，夹角（a，b）=θ，则a·b=abcosθ，a×b=（absinθ）c0，其中c0表示垂直于a，b两矢量的单位矢量，方向服从右手系。

    除法符号“÷”

    “÷”号也是奥特雷德在1631年提出的，他还曾经用“∶”表示“除”或者“比”。在他之后，莱布尼兹也提出用“/”表示除。

    中世纪时，阿拉伯数学很发达，出现了一位大数学家阿尔·花拉子模。他曾用除线“-”或“／”表示除，例如623，819，2／27，…人们认为，现在通用的分数记号即来源于此，至于“÷”号的由来，基于较长一段时间的“÷”号与“∶”号的混用，都认为各自的符号优越。后来出现了第三种意见，这就是1630年在英国人约翰·比尔的著作里，他把阿拉伯人的除号“-”与比的记号“∶”结合起来构成了“÷”号。

    在一些外国的出版物中，很少看到“÷”，一般都是用“∶”来代替，因为比的记号的用法与“÷”号基本上一样，大可不必再画出中间的一条线，所以除号“÷”现在用得越来越少了。

    等号“=”、大于号“＞”、小于号“＜”

    现在通用的符号“=”是1540年英国牛津大学数学教授锐考尔德开始使用的，锐考尔德在《智慧的磨刀石》中说：“两条等长的平行线作为等号，再相等不过了。”就是说，他认为最能表示相等的是平行且相等的两条线段。16世纪法国数学家维叶特也曾使用过“=”，但在他写的著作中，这个符号并不表示相等，而是表示两个量的差别。到了1591年，经法国数学家韦达在他的著作中大量地使用等号“=”以后，等号才逐渐为人们所接受和公认。但是等号“=”真正被大家普遍使用，却是17世纪以后的事情了，这是因为德国数学家莱布尼兹广泛地使用这个符号，而且他的影响又很大。在等号“=”通用之前，与等号含意相同的缩写符号“est”也流行过一段时间。

    大于号“＞”及小于号“＜”，是1631年英国著名的代数学家赫锐奥特（1560~1621）创用的。至于“≮”、“≯”、“≠”这三个符号的出现，那是近代的事了。

    小括号“（）”、中括号“［］”、大括号“{}”

    小括号“（）”或称圆括号是1544年出现的，中括号“［］”或称方括号、大括号“{}”或称花括号都是1593年由数学家韦达引入的，它们是为了适应多个量的运算而且有先后顺序的需要而产生的。在小括号产生以前人们曾用过括线“”，例如，10+8+19=10+27=37，而且在小括号产生以后，括线仍在应用着，它的痕迹到现在还遗留在根号的记法上。

    近年来，在记数法中，也应用了小括号，例如，为了把八进制与通常的十进制在写法上区别开来，通常把八进制数的外面加一个小括号，并在右下方写一个“8”字，如（1023）8，就表示八进制中的1023，如要用十进制数写出来，就是（1023）8=1×83+0×82+2×8+3×80=531。

    根号“”

    平方根号是法国数学家笛卡尔首先在他的著作中使用的，他把立方根号写成C，例如，8的立方根写成为C.8。在笛卡尔之前数学家卡当曾用及表示平方根，R是Radix（拉丁文“根”）的缩写变形。

    德国学者在1480年前后，曾用“·”表示平方根，如·3就是3的平方根，用“··”表示4次方根，用“···”表示立方根。16世纪初，小点带上了一条尾巴，这可能是写快时带上的。到了1525年，在路多尔夫的代数里8，v8表示8，48，笛卡尔的根号比路多尔夫的根号多了一个小钩并加上了括线，这对于被开方数是多项式时就方便得多，而且不至于发生混淆了。

    指数符号“an”

    用指数来表示数或式的乘幂，经过了复杂的演变过程。远在14世纪时，法国数学家奥利森开始采用了指数附在数字上的记法，1484年，法国数学家舒开在他的著作《三部曲》里用123，105和1208表示12x3，10x5和120x8。他又用120表示12x0，用7-1表示7x-1。

    意大利数学家邦别利在他的《代数》一书中把x、x2和x3写成①、②和③。例如，1+3x+6x2+x3就写成为：1P3①P6②P1③。1585年，荷兰数学家斯提文把这个式子写成10+31+62+13。斯提文还采用了分数指数12表示平方根，13表示立方根等等。

    笛卡尔在1637年系统地采用了正整数指数。他把1+3x+6x2+x3写成1+3x+6xx+xxx，他和别人有时也采用x2这种记法，但不固定。一直到了1801年由高斯采用x2代替xx后，x2成了标准的写法。面对于较高的幂指数，笛卡尔用x4，x5，…来表示，但没有用xn。牛顿最早使用了正指数、负指数、整数指数和分数指数，而且指出了不论什么指数，都可以用an来表示，并给出了an的定义。

    对数符号“log”、“ln”

    对数符号“log”最早是由莱布尼兹在数学书中引进的。它的正源来自于拉丁文logaritus（对数）的前三个字母，进一步的缩写lg则表示以10为底的对数即常用对数。常用对数也叫布里格斯对数。如果以无理数e为底，c=2.718281828459045…=limn→∞（1+1n）/+n，则称为自然对数，自然对数用符号“ln”来表示，记号“ln”是由欧拉引进的，是拉丁文anturalis和拉丁文logitumus合成的。

    虚数单位i、π、e以及a+bi

    虚数单位“i”首先为瑞士数学家欧拉所创用，到德国数学家高斯提倡才普遍使用。高斯第一个引进术语“复数”并记作a+bi。“虚数”一词首先由笛卡尔提出。早在1800年就有人用（a，b）点来表示a+bi，他们可能是柯蒂斯、棣莫佛、欧拉以及范德蒙。把a+bi用向量表示的最早的是挪威人卡斯巴·魏塞尔，并且由他第一个给出复数的向量运算法则。“i”这个符号来源于法文imkginaire——“虚”的第一个字母，不是来源于英文imaginarynumber（或imaginaryquautity）。复数集C来源于英文complexnumber（复数）一词的第一个字母。

    圆周率“π”来源于希腊文πelφela——“圆周”的第一个字母。“π”这个记号是威廉·琼斯在1706年第一个采用的，后经欧拉提倡而通用。

    用“e”来表自然对数的底应归功于欧拉。他也是第一个证明了e是无理数的人。公式eiθ=cosθ+sinθ为欧拉首创，被称为“欧拉公式”。式子eiπ+1=0将i、π、e、1这四个最重要的常数连在一起，被认为是一个奇迹。

    函数符号

    “数学从运动的研究中引起出了一个基本概念，在那以后的两百年里，这个概念几乎在所有的工作中占中心位置，这就是函数——或变量间的关系——的概念。”

    伽利略用文字和比例的语言表达函数关系。17世纪中叶，詹姆斯·格列格利在《论圆和双曲线的求积》中，定义函数是这样一个量：它是从一些其他量经过一系列代数运算而得到，或者经过任何其他可以想象的运算得到的。

    约翰·伯努利、欧拉都认为函数是一个变量和一些常量经任何运算得到的解析式。整个18世纪占统治地位的函数是一个解析表达式。持这种观点的还有拉格朗日、达朗贝尔、高斯、傅里叶等。

    柯西在他1821年的书中首先给出变量的概念，又给出了一个量是另一个量（自变量）的函数的概念，这个概念近似于现在的函数概念。狄利克雷给出了（单值）的函数的定义，即如果对于给定区间上的每一个x的值有唯一的一个y值同它对应，那么y就是x的函数。这个定义实际上与现在中学教科书上的定义一样。

    在函数符号的引入上，1665年，牛顿用“流量”（fluent）一词表示变量间的关系。莱布尼兹用“函数”（function）一词表示随着曲线上点的变动而变动的量——这个量可以是切线、法线等。约翰·伯努利还用“X”或“ξ”表示一般的x的函数；1718年，他又改写为“φx”。现在的记号，f（x）是欧拉于1734年引进的。“f”来源于拉丁文functio，而不是英文function。

    求和符号“∑”、和号“S”、极限符号及微积分符号

    求和符号“∑”，正源来自于希腊文“σovaρω”（增加），用它的第一个字母的大写。数列中的和号，正源也是拉丁文samma——“和”的第一个字母。很多人认为它来源于英文Sum（和）似有误。现在的积分号“∫”是莱布尼兹创用的，记号“∫”是英文sum——“和”的第一个字母的拉长，微分号也是由他首创的。极限符号的正源，是拉丁文“limes”（极限），而法文limeite和英文limit均有“极限”的意思，但不是正源。极限符号的读法一般按英文limit的读法。

    其他符号

    由于英文的通用，数学中的许多代号和符号大都为英文的简写。如Max、Min（最大、最小）来源于英文MaximusValue（最大值），MinimusValue（最小值）；A·P和G·P分别表示等差数列和等比数列，它们来源于Arithmeticalprogression（算术数列、算术级数）Ceometriealprogression（几何级数、等比数列）；质数通常用P表示，来源于primenumber（质数、素数）；Im（z）和Re（z）表示z的虚部和实部，分别来源于Imaginarypart（角）、side（边），用于平面几何中（a，s，a）、（s，s，s）等；直线常用l表示，源于line；点用户表示源于point；RtΔ源于Right（angle）triangle等。

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