神炮手用“圆”射击

    大家都知道，火炮射击是离不开炮架的，但这里讲的故事就是不用炮架的神炮手是如何通过心算和目测进行射击的。那是１９４４年７月７日，豫北八路军打开了著名的辉县张村据点，这是过去国民党正规军用全副新式装备、重武器屡次没有打开的一个据点，三个两丈多高的小碉堡，围着五丈高，三丈见方，墙厚五尺，上砖下石的大碉堡。六年来，敌人一直相信这是无法攻破的堡垒，然而，胡连长却用了一门没有炮架的迫击炮，打破了敌人的美梦。当时胡奇才连长的炮在攻打大碉堡周围的小碉堡时震坏了平射装置，连炮架也震散了，眼看它不能用了，然而胡连长却把没有炮架的炮筒搁到墙缺口，两边用杠子压住，就轰开了。第一炮从碉堡顶上飞了过去。老胡轻轻说声糟糕，又从炮筒下抽去两个坯，炮更加低了，低得只有二十度。第二炮轰出去，把人的耳朵都震聋了，碉堡上层的砖墙哗啦地倒下去了，里面叫着，“不行啦，不行啦！”紧接着第三炮出去，又是一角墙垮下去。只听碉堡里的楼梯响，伪军都下到第二层了。说来也巧，第四颗炮弹轰出去，钻进顶层，没有炸，倒过来从楼口一直掉下去，刚刚在第二层炸了个大开花。整个碉堡顿时混乱了。“同志们，碉堡打垮了，冲上去！”胡连长兴奋地高呼着。六年来从来没有打开过的碉堡被没有炮架的火炮给摧毁了，望着腾空而起的碉堡，胡奇才双手抚摸着还没用完的最后一发炮弹微笑了。

    在这个故事中，大家注意，胡连长在射击时，主要是通过抽去砖坯来调整射击角度的。而现在射击就方便多了，有激光测距机，可测角度和距离，也可通过测距仪来准备射击诸元。请看图。图中ＡＢ是以ＯＡ＝Ｄ作半径的圆上的一段弧；ａｂ是以０ａ＝ｒ作半径的圆上的一段弧。从两个相似的扇形ＡＯＢ和ａＯｂ，可以写出下列比例式：ＡＢ／Ｄ＝ａｂ／ｒ，或ＡＢ＝ａｂ／ｒ×Ｄ。式中ａｂ／ｒ表示视角ＡＯＢ的大小；知道了这个比例值，就可以在Ｄ值已知的情形下算出ＡＢ值，或在ＡＢ值已知的情形下算出Ｄ的值来。炮兵们为了使计算简化，他们不采用把圆周划分成３６０等分的分度法，而把圆周划分成６０００等分，这时每一等分大约相当于半径长度的千分之一。

    假定图中圆Ｏ的ａｂ弧是一个分划单位，那么，全圆周的长度２πｒ≈６ｒ，而弧长ａｂ≈６ｒ／６０００＝１／１０００ｒ。这个单位，炮兵术语上叫做一个“密位”。因此ＡＢ≈０００１ｒ／ｒ×ｄ≈０００１Ｄ，也就是说，为了要知道和测角仪中每一“密位”相当的ＡＢ间的距离，只要把距离Ｄ的小数点向左移动三位就成了。

    在用口语或电讯下达命令、传达观测结果的时候，这种度数一般要像电话号码的读法读出。１０５“密位”读作“一○五”，写成：“１－０５”；８“密位”读作“○○八”，写成：“０－０８”。

    现在，你可以很容易地来解答下面这个题目了。

    如从反坦克炮上望去，在０－０５密位角下望到了一辆敌方坦克。试求坦克的距离，假定坦克高２米。

    测角仪５密位相当于２米，测距仪１密位相当于２／５＝０４米。由于测角仪每一密位相当的弧长等于距离的千分之一，因此，敌方坦克的距离是弧长的１０００倍，就是：Ｄ＝０４×１０００＝４００米。

    假如指挥员或侦察员没有任何测角仪器，那么他可以利用他的手掌，手指或任何手中现在的东西。不过必须把测出的“值”折成“密位”，不能用普通的度数。

    下面是几种物体“密位”的近似数值：手掌———１－２０中指、食指或无名指———０－３０圆杆铅笔———０－１２火柴长度———０－７５火柴宽度———０－０３使犯人屡次上当的椭圆１９４３年４月，当美国军队在北非取得全面胜利后，美英法军队已从东西两面对突尼斯的德意法西斯军队形成包围之势，胜利在望了。经盟军初步商定，一旦突尼斯的军事行动结束后，下一步的进攻目标应是意大利的西西里岛。为此盟军指定由副总司令亚历山大负责指挥第１５集团军群夺占西西里岛。该集团军群下辖蒙哥马利指挥的英军第８集团军和巴顿指挥的美军第７集团军，共有１３个师和３个独立旅，总兵力达４７８万人。

    西西里岛位于意大利的西南，是地中海的最大岛屿。该岛东北隔墨西拿海峡与意大利本土相对，最狭处仅相距３公里，呈三角形。由于它地处地中海的中部，战略地位十分重要。在这个东西最长３００公里，南北最宽为２００公里的岛上竟设有机场１０个，濒海有水上机场４个。由于此岛的重要战略地位，德国和意大利对该岛实行了重兵防卫，在这个面积仅有２万多平方公里的岛屿上，部署了１３个主战师和１４００多架飞机，总兵力达３６万人。

    由于盟军战前实施了有效的欺骗手段，致使德军错误地将撒丁岛和伯罗奔尼撒作为主要的防御方向，而将西西里岛作为次要防御方向，负责南欧指挥重任的德国陆军元帅隆美尔还把他的大本营搬到希腊。当盟军集中主力于１９４３年７月９日夜打响西西里岛登陆战役时，对于德军来说是绝对意外的。盟军的登陆兵和空降兵在西西里岛南部的锡腊库斯至杰拉１８０公里的地段上实施了登陆和空降。

    当天，实施空降作战的美空降第８２师和英军空降突击队的部分官兵被德军俘获，德军将他们关押在一座岩洞监狱中，晚上他们偷偷聚集在岩洞的最里面，小声议论着各自部队的作战情况，讨论着越狱办法和逃跑的方向。但是，美英空降兵没有料到，他们周密的出逃计划竟被德军知晓。在第二天的突击审讯中，有好几个人的情况是德军早已掌握的，这是怎么回事呢？岛屿的夜晚是月清夜静的，但这些被俘的盟军官兵却各怀心思，他们相互之间不再信任，大家面面相觑，相对无言。突然戴尔上尉想出了一个鬼主意，他想试探一下究竟是谁出卖了他们。他清了清嗓子，环顾一下大家，说道：“其实我们此行已经完成任务，让德国佬在西西里坐守空城吧！”戴尔上尉说完做了一个鬼脸，有几个人诡笑起来，接着又是沉默。这晚直到就寝，大家再也没有说话。戴尔上尉暗自庆幸，但等明天一早德国佬来提审。

    第二天又是一个晴天，戴尔上尉一夜睡得很好，他早起使劲伸了个懒腰，微笑着向大家道早安，突然铁门咣的一声被撞开，德国佬来提人了。戴尔上尉不动声色，暗中观察德军的动向，没料到德军径直走向戴尔上尉，他们要提审戴尔上尉，大家被这个意外事件弄蒙了，怔怔地看着戴尔上尉走出牢房。

    中午，戴尔上尉返回牢房，战友们并未像往常那样迎上来，也没有人询问他被审问的情况，戴尔上尉尴尬地冲大家笑笑，躺下睡去。

    ８月１７日德军撤离西西里岛时，将关在岩洞里的盟军战俘全部杀害，戴尔上尉也没能幸免。虽然德军迅速调整了作战部署（一方面调集了岛上的兵力进行顽抗，以掩护该岛通往墨西拿海峡东岸的道路；一方面有组织后撤，使战线缩短），致使美英盟军合围德意军队的企图受挫，但他们最终取得了西西里岛登陆战役的胜利。

    后来，人们在清理战场时，为戴尔上尉平反昭雪。原来德军关押战俘的监狱，是古希腊西西里岛的统治者开凿的一个岩洞，专门作为监狱。这个岩洞不是随便开凿的，而是请了一位叫刁尼秀斯的官员专门设计的。岩洞监狱采用了椭圆形的结构，这种特殊的结构使得犯人在最里面小声议论的声音，通过反射可清楚地传到洞口看守人的耳朵里。后来人们就把这种设计叫做“刁尼秀斯之耳”。

    椭圆很好画。园艺工人修建椭圆形花坛时，先在地上钉两根木桩Ａ和Ｂ。找来一根长短合适的绳子，将绳子的两端分别系在两根木桩上。再找一根短棍把绳子拉成折线，顺着一个方向画，画出来的就是一个椭圆。

    从上面的画法可以知道：一个动点到两个定点距离之和保持一定长，那么动点画出来的图形就是椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点。“焦”一词来源于希腊文，原意是“炉子”和“火”。

    椭圆有一个重要性质：就是从一个焦点上发出来的声音、光或热，经椭圆反射，可以全部聚集到另一个焦点上。

    可以修一座椭圆弧形状的墙，从一个焦点处向椭圆形墙上任何地方踢球，被墙反弹回来的球总是朝着另一个焦点滚去。

    刁尼秀斯设计的岩洞监狱，其中一面墙修成椭圆形的，犯人议论的地点恰好在椭圆的一个焦点上，而看守人则在洞口的另一个焦点上。尽管戴尔上尉他们说话声音比较小，距离看守人也比较远，但是声音通过椭圆墙壁的反射，全部聚集到看守人员处，于是德军就清楚地听到了他们的议论。

    古希腊人还修建过椭圆形的音乐厅，把演奏台设置在其中的一个焦点处。他们认为这样设计，一个乐队演奏，两个焦点可以同时发出声音，相当于有两个乐队同时演奏，音响效果好。

    椭圆的这个重要性质，近年来被广泛应用在科学技术上。比如激光。有一些物质如红宝石、二氧化碳等，在外界强光的刺激下，可以发出一种能量非常集中、方向性非常好的单色光，这就是激光。

    激光在工业、通信、测量、医疗、军事等方面有着重要应用。用激光测量地球到月球的距离，在３８４４００千米距离中，误差只有几厘米，还不到一根指头的长度。先进的激光炮，可以摧毁敌人的导弹和飞机。

    各种激光材料需要在外界强光的刺激下，才能发出激光。目前，外界光源常选用高压氙气灯。如何把氙灯发出来的光，最大限度地集中到激光材料上去？科学家看中了椭圆。他们用反光性能非常好的材料，做成一个椭圆形柱面的聚光器，然后把棒状激光材料和氙灯，分别放在椭圆的两个焦点处，使氙灯发出来的光，经过椭圆形柱面的反射，能更好地集中在激光材料上，得到更好的激发。刁尼秀斯之耳在新的时代找到更多的用场。

    战俘的几何逃生路

    囚禁是一种比死亡更可怕的生存。１８１２年的法俄战争中，时年４４岁的法军上尉萨贝安被俄军俘虏囚禁，历经１００年后，以１４４岁高龄死去。这是世界战争史上少有的奇闻。一般情况下，被俘虏者都要想方设法逃跑。二战中盟军的一些士兵在潜入敌人占领的海岛时被俘，德军将他们关押在一个靠海边的一个石洞中。在又黑又潮的石洞中，这些被俘的盟军士兵想方设法摸清地形，准备逃走。他们知道，一旦盟军大部队攻打此岛，敌人就会将他们杀害。经过观察，他们发现这个洞后面有一个直通大海的门，用木板封住。原来这里是古时用来关押黑奴的地方，那些不驯服的黑奴就是通过这扇门被活活海葬的。他们拣来贝壳，将门凿了个小洞，透过小洞可以看清外边有一个通道，两侧一面堆放着武器，另一面是船只。不远处还有一个小岛，暂时未被敌人占领。被俘的盟军士兵要想从这个出口逃跑，必须夺得枪支和船只，跑到远处的那个小岛后，才能逃出虎口，脱离危险。在行动之前，他们考虑了各种途径，为的是能够在最短的时间内到达小岛。其中一个士兵通过数学方法获得的逃跑路线得到大家一致同意。他是这样设计逃跑路线的：

    方法一：设此岛为Ａ，未被敌人占领的小岛为Ｂ，先求得Ａ在左边对称点Ａ′，Ａ′点在右边的对称点Ａ″，连接ＢＡ″。实际路线是ＡＡ′Ａ″Ｂ，即先获船只，再夺枪支，然后径直到Ｂ岛。

    方法二：由Ａ向右边求对称点Ａ１，然后由Ａ１又在左边求对称点Ａ２，连接ＢＡ２，这样的实际路线是ＡＡ１Ａ２Ｂ，即先夺枪支再获船只，逃到Ｂ岛。

    当然这两种办法中还有比较：这就要看ＡＡ′Ａ″Ｂ与ＡＡ１Ａ２Ｂ总路程哪个更短。

    海战中的几何学

    海军将领哈尔西率领第三舰队从南太平洋北上，参加了攻占菲律宾的战斗，狠狠打击了日军。美军占领菲律宾后，日本人害怕美军占领日本本土诸岛，登陆日本，从大本营调动大量兵力，企图挽回败局。在实施所谓的“捷１号作战计划”过程中，日军舰队对麦克阿瑟率领的舰队进行了突然袭击，击沉美军４艘登陆舰。此举激怒了麦克阿瑟将军。１９４４年１０月２２日，正当日军栗田武雄和小泽治三郎带领的两支主攻舰队准备袭击美军时，遭到美军潜艇的攻击，只听轰的一声巨响，小泽舰队的“摩耶”号重巡洋舰中弹起火。小泽还没来得及下达准备战斗的命令，又是一声巨响，“爱岸”号重巡洋舰也中弹起火，日军已无路可逃。原来美军早就在此地布置了大批潜艇，将日舰团团包围。２４日，美军２５００多架舰载机向走投无路的小泽舰队发起了猛烈进攻，以最快速度接近日舰艇，日军毫无准备，航空母舰上的飞机还没来得及起飞就被美军的炸弹炸毁了。许多日舰中弹起火，叫骂的日本兵一个个被炸弹掀起的巨浪抛到海中。

    当时，在美军潜艇接近日舰艇的途中有许多暗礁地带，如果设美军潜艇的位置为Ａ，日军舰艇的位置为Ｂ，Ａ、Ｂ之间有很多暗礁，还有四个灯塔Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ。据确切情报，在ＣＤ为弦的１００°圆周角的范围内有暗礁，在ＥＦ为弦的６０°圆周角的范围内也有一片暗礁。根据航海知识，从Ａ到Ｂ不能直接航行。而美军潜艇却以最快的速度从Ａ到Ｂ，他们是怎样选择路径的呢？

    只要保持在航行过程中（比如Ｎ点）与ＣＤ的夹角小于１００°，与ＥＦ的夹角小于６０°即可。

    具体航线可以这样选择：以ＣＤ为弦作一个包含１００°圆周角的圆，同样，以ＥＦ为弦作一个包含６０°圆周角的圆。连接两个圆心，在两个圆周之间选一个点Ｍ。以Ａ、Ｍ、Ｂ三点作共圆，即是理想的航线。

    当任意选择ＡＭＢ航线中一点Ｎ，可以看到∠ＣＤＮ＜∠ＣＰＤ＝１００°＜∠ＥＮＦ＜∠ＥＱＦ＝６０°，满足题中的安全要求，因此不会触礁。

    读者朋友不妨动手做一做，验证一下结论的正确性。

    解金色长方形救国家

    当时，整个国家的情况非常糟糕，老苏丹王昏庸无能，大小官吏只知道搜刮老百姓的钱财，带兵的将领只会欺压人民，强盗到处横行，敌人又不断地侵扰边境，企图灭亡苏丹王国。民间广泛流传着这样一句话：“真主将要降灾难于这个国家了！”

    王子即位了，老百姓希望新国王能够改革政治，惩办贪官，选用人才，振兴国家。可是，却不见哈里发做了什么大事，年轻的国王整天带着侍从们外出打猎。三年一晃过去了，国家情况仍和老苏丹王在位的时候一样，老百姓失望了，而贪官污吏们高兴极了。

    有一天，长期不理朝政的国王忽然召集了所有的宫廷大臣，只见年轻的苏丹王面带忧愁地坐在椅子上，时而用手撑着前额，时而发出轻微的叹息声。宰相恭敬地走上前去行礼，小心翼翼地问国王召集大家来有什么吩咐。

    国王用冷酷的眼光扫视了大臣们说：“你们可知道，真主要降灾祸于我们了！”大臣们面面相觑，不敢出声。宰相走上前说：

    “英明的陛下，真主会保佑我们的，我们的祖先也会保佑我们的，什么灾难这都是刁民的疯话。”

    国王说：“不，这不是胡说，前天晚上，我做了一个十分奇怪的梦。我梦见去世了的祖父，慈祥的老人神情严峻地告诉我，真主要降灾难于我们的国家了。这句话，老人清楚地连说了三遍。”宰相想插话，哈里发用手势止住了他，又说：“我原来只以为是一个噩梦，可昨天晚上我又梦见了祖父，他把这句话又连说了三遍。我害怕了，问他有什么办法能祈求真主宽容我们，免遭灾祸？老人说只有一个办法：用金子做成一种长方形，这种长方形的长与宽都是３尺的整数倍，而它的周长数恰等于它的面积数，把所有大小不同的这样的长方形供祭真主，才能消免灾祸。”宰相和大臣们听了嘘了一口气，他们想，原来贪玩的国王要钱，那只要从老百姓那儿再搜刮一些给他就行了。宰相上前说：

    “尊敬的陛下，请放心，我们一定把这样的矩形奉给真主。”哈里发于是命令宰相在三天之内把事做好，否则按国法严办。

    三天之后，宰相报告国王说，这样的金长方形已经做好了，供在神坛上。哈里发同宰相到了神殿，只见一块长９尺宽３尺的薄金片放在神坛上，金光灿烂。国王和大臣们跪拜在地，祈祷真主保佑。

    过了三天，哈里发又把宰相和大臣们召进了宫。国王劈头就问宰相：“你那个金长方形就是我祖父所说的吗？”宰相说：“尊敬的陛下，完全是照您的吩咐去做的。”国王又问：“长多少？宽多少？面积多少？”宰相答：“长９尺，宽３尺，他们都是３尺的整数倍。”国王又问：“周长多少？”宰相答：“周长２４，面积２７。”国王问：“它们相等吗？”“……”宰相被问得张口结舌。国王发怒地说：“我要求的是周长数与面积数相等，可你的矩形周长数比面积数少。连算术也不会做，你还能治理国家吗？神要你把所有这样的祭品都供奉给他，而你却只献了一个，你竟敢欺骗真主，来人，把他抓起来，送到监狱里去。”国王又命令侍卫查抄宰相的家，这时，大臣们一个个吓得连气也不敢出。哈里发对大臣们说：“真主正在降灾难于我们。前天，敌人又侵占我们的一个村落，抢走了羊群，把老百姓掳去当奴隶，我们要拯救我们的国家呀！”国王命令财政大臣在三天之内完成祭神的事。财政大臣急忙跪下，说：“陛下，我不会……不会算……”哈里发说：“什么？你不会算，还理什么国家的财政？”财政大臣无言可答，只得答应照办。

    回到家里，财政大臣想，宰相的事出在他那个长方形的周长比面积小，而且只做了一个。他算来算去，算出了一个，长４尺，宽４尺，周长是１６，面积也恰好是１６。他又狠了狠心，做了十个这样的金长方形。

    三天之后，当着哈里发和大臣的面，财政大臣洋洋得意地让人把十个金长方形献进宫。哈里发眯着眼问：“它们的长、宽是多少？”财政大臣说：“４尺。”哈里发大喝一声：“４是３的整数倍吗？”财政大臣一听，吓得全身瘫了下来。卫兵们把财政大臣押进了监狱。哈里发怒视着大臣们说：“真主在降灾难于我们，到处是饥荒与疾病，可你们却不拯救祖国，我命令你们三天内献出供奉真主的祭品，否则统统治你们的罪。”大臣们一个个都吓呆了。回到家，有的想溜，有的想造反，但他们的家都已被国王的卫士们看住了。

    三天后，大臣们被士兵押进了王宫，他们拿出了无数的平时搜刮出来的财宝，求国王宽恕，因为国王所要求的长方形他们都做不出来。哈里发看着这一切，大声叹息地说：“真主啊！难道你真的要我们都灭亡吗？谁来拯救我们的国家和人民？”这时只听得一声沉着有力的声音：“陛下，真主所要求的礼品在这儿。”说这话的人就是花拉子密。花拉子密双手捧着一个盘子，盘子里放着一个金箔做的长方形，走到国王跟前，说：“这是真主所要的祭品。”哈里发仔细地看着这个长方形，它长６尺，宽３尺，都是３的正整数倍，周长数与面积都是１８，恰好相等。哈里发微微点了点头，又问：“真主要所有不同大小的这样的长方形，你怎么只献了一个？”花拉子密向哈里发行了一个礼，说：“尊敬的陛下，真主与人民给了我智慧和力量，托你的洪福，我反复地算了，真主所要的礼品就只是这么一个。”花拉子密叫人拿来了一张很大的羊皮纸，用炭笔在上面写了一个又一个的算式，他的眼光里充满着智慧，声音里洋溢着自信与力量，不一会儿就把问题讲解得清清楚楚。

    哈里发兴奋地站了起来，喊道：“对！对！真主所要的礼品就是这一个，我们的国家有救了。”他下令三天后举行隆重的祭礼，借此来振奋人心。接着，年轻有为的国王处置了一批贪官污吏，罢黜了无能的将领，选用良才，整顿军队，苏丹王国又逐渐兴旺起来了。

    为什么传说中的苏丹王的矩形就是花拉子密所算出的一个呢？我们用在学校里学过的数学知识加以分析，是不难解决的。

    我们假设这样的长方形的长是ａ，宽是ｂ。那么，２ａ＋２ｂ＝ａｂ（周长数等于面积数）。

    可得，ａｂ－２ａ＝２ｂ（和减去其中一个加数２，等于另一个加数）。

    数），

    由乘法分配律得：

    ａ（ｂ－２）＝２ｂ。

    那么，ａ＝２ｂ／（ｂ－２）（其中一个因数等于积除以另一个因２ｂ２ｂ－４＋４２ｂ－４４２（ｂ－２）

    ４

    －２）

    ｂ－２－

    ｂ－２－

    ｂ－２＋２－

    ｂ－２＋ｂ－２＝２＋４／（ｂ

    即ａ＝２＋４／（ｂ－２）。

    因此这种长方形的长ａ等于２加上４被宽减２所除的商，由于ａ与ｂ都只能是自然数，因此宽ｂ只能是３、４与６。这样，我们就得到三组数：长３宽６，长４宽４，长６宽３。再由边长都要是３的整数倍，就得到答案是６尺长，３尺宽（３尺长６尺宽的情况与６尺长３尺宽是同一种长方形），这样问题就解决了。

    飞机表演中的数学图形

    １９５１年７月，美军趁朝鲜北方特大洪水之际，对我志愿军发动夏季攻势，在我后方发动大规模的“空中封锁战役”———“绞杀战”。所谓“绞杀战”是美军仿照１９４４年３月盟国空军在意大利境内以德军使用的铁路线为主要攻击目标而发动的一次空中战役。那次战役，最初被称为空军协同攻势，后来被称为“绞杀战”。由于朝鲜半岛的地形、交通线的构成以及美军空中封锁的计划都同在意大利进行过的“绞杀战”极为相似，所以美军也称其为“绞杀战”，意在将朝鲜半岛变为昔日的亚平宁半岛。

    当时我志愿军没有空中力量，使得我军的后方损失很大，勤务保障也异常艰难。白天，美军凭借其有丰富经验的参加过二战的老牌飞行员和先进的飞机，对我补给车辆实施“一个不漏网”的政策，这样，我志愿军的补给只能在晚间进行。可当时正值寒冬，路面滑不说且道路狭窄，弹坑累累，因此，我运输车辆撞车、翻车、挨炸等情况不断发生。虽然我军针对此进行了强大的“反绞杀战”攻势，但损失仍然很惨重。

    面对这种情况，我国及我军领导人迅速做出英明决策，加快我国空军建设。不久，朝鲜战场便传出了我空军英雄击败美空军王牌飞行中队的捷报。

    有一次，英雄王海率领着１０余架飞机，在清川江上空，和４４架“佩刀式”敌机遇上了。敌人布置了一个“鱼饵战术”，想要英雄们进他们的圈套。所谓“鱼饵战术”，就是以小批敌机在低空迷惑，引诱我机，当做鱼饵，大批敌机在高空当做“钓鱼”盘旋、隐蔽。当我机受“鱼饵”的引诱飞向前去时，高空敌机就来钓鱼了。英雄王海，早识破这套诡计，他一面派小部队去吃“鱼饵”，自己却带着另一部分，在高空打“钓鱼的。”结果“鱼饵”被吃掉了，“钓鱼的”没钓着鱼，被打得像满天飞的黑老鸹似的钻上翻下。英雄们从万米高空，把敌机打到百米低空；低得连树梢、屋脊都看清楚了，又从低空打到高空。敌人往云里钻，他们就穿云打；敌人贴着海水逃，他们就贴着海面飞着打，打得敌人四机变双机，双机成单机，一架架石头似的往地下摔，朝海里掉……这个挨打的敌人，正是美国侵朝空军中驰名的五十一大队，敌人的“王牌”。可是，“王牌”却被打得喊“共军太多”，“快来增援”。敌人的地面指挥员只得命令他的另一支“王牌”———四大队快去增援。可是，四大队却在另一个空域，正喊五十一大队救命哩！原来，也被我军另一机群，打得更狼狈。于是，两个“王牌”在天空，你喊我增援，我喊你救命，谁也救不了谁。当敌人的指挥员下令地面再起飞时，地面光剩些“油挑子”和草包飞行员了，根本不敢上去照面。

    如今，我军的空中力量非常壮大，再也没有人敢歧视中国人民解放军的空军了。就拿在珠海举行的航空展来说，中国飞行员的飞行技术令世界各国惊叹，空中飞行表演的造型尤为精彩。这里数学可立了不少功。比如说吧，有１７架飞机要进行表演，在飞行中想要使飞机群组成一个飞机形状，而且从不同方向看过去，形成７条直线，每条直线的方向都由５架飞机组成。你知道是怎样排列的吗？

    台儿庄大捷联欢会上的彩绳长度计算

    这是１９３８年的春天，日本大规模侵华战争已持续了６年半，占东北建“满洲国”，夺长城据华北，攻上海下南京，虽遭中国军队和广大人民的有力反击，但终究是节节胜利。现在又欲打通华北与华中地区交通，继而兵进武汉，全歼国民党军有生力量。徐州地处四省通衢，历来是古代兵家必争之地，自然成为日军攻击的重点。于是，中日双方的徐州会战便在古战场上全面铺开，而台儿庄战役则是其中最为激烈、最为壮丽的一战。

    台儿庄地处山东峄县东南，为津浦路上由临城（今薛城）经枣庄、峰县而南衔陇海铁路大动脉的一条支线上的小寨镇。它背靠北去的大运河，又是一个水陆码头。由于其地理位置恰在徐州之东北，又为交通要冲，实为徐州东北之门户，所以，日军为夺取鲁南，进攻徐州，便把台儿庄视为必得之地，定为会攻的目标。

    早春２月，刚刚吐绿的嫩牙还没有来得及尽情地吮吸春光播撒的乳汁，便被无情的炮火吞噬。敌人开始了对台儿庄的进攻，冲在最前面的就是素有“钢铁师团”之称的日军第５和第１０师团。这两个师团均属日军中的甲级师团，在侵华战争中可谓罪恶累累。第１０师团由中将矶谷廉介指挥，沿津浦路南进，经过滕县、临城、枣庄、韩庄和峄县等地，前锋直达台儿庄，威胁徐州。第５师团由中将板垣征四郎率领，沿胶济路东进，连下潍县、青岛等重镇，由潍县经沂水和青岛经诸城、营县，直通台儿庄东北之临沂，与第１０师团分路合击徐、台。面对进攻的敌人，我守军庞炳勋、张自忠、冯玉祥部等虽予以奋力反击，但由于我军装备十分落后，不仅没有重武器，而且连手中的步枪都五花八门，相当陈旧，使敌人在坦克、大炮等重武器的掩护下，得以占据了台儿庄北之北洛车站等据点。此后，敌人便逼近庄下，发起攻击。在进攻受阻的情况下，日军又派来增援部队，这时敌人的攻城部队已增至两个步兵大队、一个机关枪大队、两个轻、中型装甲车中队、两个野炮兵中队、两个野战重炮兵大队和一个工兵小队，另加１５厘米榴弹炮两门，兵力达３０００余人，还有飞机的掩护。天上的炸弹、地上的各种炮弹顷刻间便把我防御阵地夷为平地，然后便是横冲直撞的坦克和装甲战车，以及紧随其后的疯狂步兵。轰轰的爆炸声、嗒嗒的机枪射击声与撕肝裂肺、声嘶力竭的喊杀声融汇在一起，把周围的一切笼罩在无限恐惧之中。然而，中国官兵在敌人凶狠的炮火面前，以超常的勇气和果敢，巍然屹立于阵地之上。日军尽管占据了周边的几个村庄，对寨城发动了一次又一次猛攻，但由于我守庄将士奋力抵抗，敌军始终未能越城池半步。

    接着敌人又是增兵台儿庄，使攻城部队达５０００余人，同时增补重炮、坦克和弹药，飞机进行不间断地轮番轰炸，攻势愈加猛烈。在抗击敌人的一次又一次进攻中，我军虽先后给敌以重大杀伤，使其付出沉重代价，但终因敌强我弱，使日军最终在城畔立稳脚跟。敌人趁机扩大战果，由西而东扩充，我军依民宅、街巷等逐次抗击，与敌人展开了残酷的肉搏战和拉锯战。当敌炮猛轰时，战士们便隐蔽在掩体或战壕中，炮击一停，他们便一跃而起，向冲上来的敌军坦克、步兵还击。子弹打光，刺刀弯了，便抽出背上的大刀。敌人为我将士的无畏精神所震慑，动摇了，退却了，于是我军又连续作战，乘胜进击，对其据守点发起猛攻。一个排一个排、整连整连地冲入敌营，顿时便被无情的炮火吞没。连长牺牲了，排长上；排长牺牲了，战士上；战士们牺牲了，炊事兵们就自动地拿起死难同胞们手中还紧握的刀枪，狂呼着冲进了浓烟烈火之中。战斗就这样进行着，敌军还在增兵，而我守军的伤亡也在日益增多。打红了眼的敌人开始昼夜不停地狂轰滥炸，整座城寨几成火海，敌军的攻势也越来越强，我守军阵地日益缩小。在这种情况下，为了迅速合围台儿庄之敌，我第五战区指挥部李宗仁将军急令外围收缩，聚歼攻城敌军，同时亦令守城部队不惜牺牲一切死守城寨，伺机反击。按着指挥部的命令，我官兵组织反攻，使日军每占一座房屋、一条街巷，都要付出几十乃至几百余人的沉重代价。激战终夜，日军不断增援，其直接投入到台儿庄战场的兵力总数已超过一个师团，我守城部队更加处于劣势，城池一度有四分之三沦入敌手。好在外围战场我军攻势频频，已基本上将敌包围，使其处于内外受击的地位，才终于使整个战局趋于稳定。

    根据战场形势的变化，国民党最高军事当局作出果断决定，限第五战区于４月１０日前务必歼灭台儿庄正面之敌。于是我前线部队全面反攻，经三日连续作战，直下外围敌军阵地，使台儿庄内顽敌顿成孤军。但敌人困兽犹斗，以其优良的装备和飞机、大炮的掩护，仍向我守军发动异常凶猛的进攻。经过十几个日日夜夜的不间断作战，城内的战局达到空前危急。在这种情况下，我守军七拼八凑组织一支几百人的敢死突击队，分数组冲入敌阵，手执大刀，各自为战，顿时敌军阵脚大乱，纷纷溃退。敌军见败局已定，在总指挥部还没有下达撤退令之前，便及时决定脱离台儿庄战场，向峄县狂奔。我军乘胜追击，直把日军打得落花流水，丢盔卸甲，最后龟缩在峄县、枣庄等据点里，依有利地形和优势装备固守待援。至此，震惊中外的台儿庄之战遂告结束。

    弹丸小城台儿庄从未遭此浩劫，也从未有过如此荣耀。日本侵略者以１２万人的代价领教了中国人民不屈的民魂。台儿庄向世人宣告：侵略者必败！这场举世闻名的战斗虽然胜利了，但很少有人知道其中还有个秘密，就是当年的台儿庄大捷曾得益于周恩来的建议。

    那是１９３８年３月下旬，北路日军与中国军队在山东省台儿庄外围展开激烈的战斗。这时，守卫津浦线地区的是以李宗仁为司令长官的国民党第五战区的军队。白崇禧以副参谋总长的身份去徐州协助李宗仁指挥作战，白在离开武汉前，特邀请周恩来副主席和叶剑英参谋长到其寓所，请教对敌作战的指导方针。周恩来分析了当时的战况说道：日寇现在是调集精锐部队分进合击，这就需要我们避其锋芒，机动灵活地消灭它。我建议，在津浦县南段，由张云逸的新四军第四支队协同李品仙、廖磊两个集团军，实施以运动战为主、游击战为辅的联合行动，牢牢地钳制住敌人，使它不敢贸然北上支援南下日军。而在徐州以北，又必须采取阵地战与运动战相结合的方针，守点打援。这样，便可以达到各个击破、出奇制胜的目的。白崇禧听后大为赞赏，连忙说：

    “周公言之有理！”后来，在协助李宗仁作战的过程中，白崇禧基本上采取了周恩来提出的方针。

    台儿庄告捷后，举国欢腾，人们纷纷要为抗战的勇士庆功。一天，老百姓和军队准备召开联欢会，在布置会场时，遇到了难题。原来联欢会的会场是一个精致的、边长为５米的正六边形客厅。假如从会场中间任意一点，向正六边形每条边垂直地拉一根彩绳，那么六根彩绳的总长度是多少呢？

    分别连接ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ、ＰＤ、ＰＥ、ＰＦ则正六边形面积Ｓ＝△ＰＡＢ＋△ＰＢＣ＋…＋△ＰＦＡ＝１／２·５·（ｈ１＋ｈ２＋……＋ｈ６）其中ｈ为Ｐ到各边距离（即彩绳长度）。

    ∴（ｈ１＋ｈ２＋…＋ｈ６）＝２／５Ｓ

    而Ｓ＝２５／４３ｘ６＝７５／２·槡３

    ∴ｈ１＋ｈ２＋…＋ｈ６＝２／５·７５／２·槡３＝１５槡３（米）因此，六条彩绳的总长度为１５槡３米，可见会场中间一点是任意取的，它并不影响总体的最后结果。

    足球场上的几何学问

    公元１０１７年，丹麦人占领了英格兰，他们在英格兰烧杀掠夺，无恶不作。丹麦人的暴行激起了英格兰人民的仇恨，他们等待、寻找复仇的机会。这一天终于到来了，公元１０４２年，丹麦人被赶出了英格兰。在打扫战场时，几个英国的清道夫发现了一个侵略者的骷髅，出于复仇心理，这几个英国人便你一脚、我一脚地踢起来，几下子便将骷髅踢碎了。后来，人们将牛的膀胱吹足气当球踢，久而久之就演变成现代的体育运动———足球。

    足球与战争的特殊关系还表现在，战争中的好多谋略可以为足球所用，这一点爱好足球的朋友可以从任何一场足球赛中看到。但鲜为人知的是数学中的许多原理也可以为足球所用。不信你来看看下面这个问题：在一场足球赛中，甲、乙双方对垒，甲方３号队员持球在Ａ位置，甲方５号队员在边沿线上等着传球过来。如果乙方的球门为ＢＣ，问３号队员应传球在哪个范围，使５号队员射门最近？

    这个问题可以通过作辅助线而轻易解决。设５号队员所在的边沿线为ＦＧ，以ＦＧ为对称轴，取Ａ′为Ａ点的对称点。连接Ａ′，Ｂ和Ａ′，Ｃ，与边沿线ＦＧ分别交于Ｄ和Ｅ，那么，ＤＥ这段范围就是甲方３号队员应向５号队员传球的位置。

    三角运算妙解“炮弹奔月”

    也许在绝望之中的隆美尔不会去认真想这个问题，但如果有一门威力足够强大的炮，当它发射出一发炮弹后，这枚炮弹会不会永远不跌回到地球上，而是继续飞向太空呢？让我们来认真想一想这种可能性。为什么一颗水平射出的炮弹最终要回到地球呢？因为当炮弹射出膛之后，它就失去了不断给它加速度的火药推力，而依靠动量继续作减速运动。尽管是减速运动，它的运动速度依然十分之大。在促使炮弹作减速运动的因素中，地球吸力是最主要的因素。因此，炮弹并没有能够作直线运动，而是作了一个抛物线，最终落回到地球上。但我们注意到地球是一个球面，当炮弹达到一定的初速度时，它所运行的抛物线的弯度小于或等于地球表面的弯度，那么这枚炮弹就永远不会跌回到地面上来！就像太阳系中的九大行星绕着太阳作圆形的轨道运动一样。

    在以上的讨论中我们可以得出结论，当炮弹的抛物线弯度等于地球表面弯度时，炮弹会像行星一样以椭圆形的轨道绕着太阳转，而当抛物线的弯度小于地球表面时，它就会脱离地球的吸力场奔向天空，而所有这一切的最关键因素取决于炮弹的初速度。如图，我们看到一幅画有地球横截面的图。在山峰Ａ点上，我们安放一门大炮。如果没有地球的吸引力，在极短时间内，我们可以推测出它将落在Ｂ点。但在实际情况中，我们却发现炮弹落在了比Ｂ点低５米的Ｃ点。为什么呢？因为在地球吸引力的作用下，炮弹的抛物线的弯度要大于地球的球表面弯度。但我们也可以设想在一个适当的速度下，这颗炮弹沿着地球的同心圆飞行。

    现在我们只剩下求出ＡＢ线段的长短，也就是说，求出炮弹在１秒钟里沿水平方向所走的距离；这样我们就可以知道，炮弹应该用每秒多少的速度发射出去才可以使它不跌回到地面上来。

    这个计算并不麻烦，可以从三角形ＡＯＢ求出：在这个三角形里，ＯＡ是地球半径（大约等于６３７００００米）；ＯＣ＝０Ａ，ＢＣ＝５米；因此ＯＢ＝６３７０００５米。根据勾股弦定理，得ＡＢ２＝（６３７０００５）２－（６３７００００）２把上式解出来，得ＡＢ大约等于８０００米。

    这样，假如没有阻止物体运动的空气，那么从大炮里用每秒８０００米的速度射出的炮弹就永远不会落回到地面上来，而是绕着地球转圈子，就像一颗卫星一样。

    那么，假如我们能够使炮弹从大炮里用比每秒８千米更大的速度射出去，它会射到什么地方去呢？天体力学证明，当速度是每秒８千米以上，９千米，甚至１０千米的时候，炮弹从炮膛射出以后要绕地球走出椭圆的路线，初速度越大椭圆越伸长。当炮弹速度在每秒１１千米或者１１千米以上的时候，炮弹所走出的路线已经不再是椭圆，而是不封闭的“抛物线”或“双曲线”，永远离开地球了。

    现在，在发射了人造地球卫星和宇宙火箭以后，我们可以说宇宙旅行利用的将是火箭，而不是炮弹。但是，火箭的最后一级工作完了后，支配火箭运动的原理跟炮弹是一样的。

    树叶上的几何学

    在白杨树的树阴下，一株白杨树的根上生出了一株小树。你试着摘下这株小树的一片叶子，就可以看见它要比它生身父母的那株大白杨树叶大，尤其是比那些在强烈阳光下生长的叶子更大得多。这是因为在阴影中的树叶必须用增大自己的接触阳光的面积来补偿阳光的不足。那么，如果我问你，你能够算出小树的树叶面积比母树叶子要大出多少倍来吗？

    怎样着手去解答这个问题呢？

    你最先想到的也许是求出每片树叶的面积，然后计算它们的比例。但是要测量树叶的面积，可不太容易。常见的做法是把一张透明的方格纸铺在树叶上面，看看树叶上共有多少个小方格，再乘以每个小方格的面积，进而求出树叶的面积来。

    还有比较简单的方法吗？有。根据这样一个原则：两片树叶，虽然大小不同，却常常具有相同的或几乎相同的形状；也就是说，它们的图形在几何学上是相似的。于是，这两个图形的面积比，等于它们直线尺寸平方的比。因此，只要知道了一片叶子是另一片长或宽的多少倍，就可以由它们的平方算出两者的面积比了。

    假定小树的叶子长１５厘米，而大树上的叶子长只有４厘米，那么直线尺寸比为１５。那么小树叶子的面积相当于大树叶子面积４的１５２２５４２＝１６倍，即１４倍。

    在森林中可以找到许多形状相似大小不同的树叶，这样得到一批关于相似的有趣事实。两张叶子在长度或宽度上虽然只有不大的差别，但在面积上却相差得这么惊人！例如，有两张形状相似的叶子，一张比另一张只长出２０％，而它们的面积上的比竟是：１。２２≈１４，就是说两片叶子在面积上相差达４０％之多。如果这两片叶子在宽度上相差４０％，那么大的一张在面积上相当于小的１４２≈２，就是大约两倍。

    圆台形的大烟囱

    当我们走进工厂、矿山，看到许多高高的大烟囱，这些烟囱都是圆柱形的，但不是上下一样粗的圆柱，往往上面细一点，下面粗一点，数学上把这样的形状称为圆台。

    我们都知道，好的大烟囱应该尽量地排放烟尘，从理论上讲，烟囱的口径要做成大大的才好，但实际上由于做烟囱的材料所限，烟囱的口径不可能做得很大很大，所以我们设法用有限的材料做出口径比较大的烟囱来。

    那么当材料有限时，做成哪一种形状的烟囱，它的排烟量大呢？也就是说，做成的烟囱的口径的面积要大。当面积一定时，圆的周长最小，三角形的最大，正方形的居中。把这个结论反过来看，当图形的周长一定时，圆的面积是不是最大呢？仔细想一想，是不是这样呢？

    这就是问题的答案。当材料量确定不变时，用这些材料做成同样高度的圆柱形、三角柱形、正方体形，由于圆的面积比三角形、正方形的面积都大，使得圆柱形大烟囱的排烟量最大。所以大烟囱都是圆柱形的。

    圆台形的上面细一点，下面粗一点，有三个好处：第一，这样的柱子很稳固，圆台形烟囱要比圆柱形的稳当，大烟囱那么高，烟囱的下部很吃力，常常要做得厚重些。第二，伸得高高的烟囱，它的上半段会受到很大的风力，做成圆台形后，上面细一些，可以使烟囱受到风力的影响有所减弱。第三，烟囱做成圆台形，方便了清除烟囱内侧壁上的积垢。

    前面讲的专指工厂里的大烟囱，如果家里要安个烟囱，就不用考虑这么多了。因为家用的烟囱排烟量小多了，做成圆形、方形的都没关系，而且方形的烟囱砌起来还方便呢！

    几何原本的力量

    希腊人来自爱奥尼亚与爱琴海之间的北方，以侵略者的身份登上了历史舞台。他们渴望向更古老的邻国学习并渴望超越埃及人和美索不达米亚人的智慧。希腊人及希腊社会由文化背景而不是由种族差异确定。以亚历山大大帝为过渡期，希腊的发展过程分为两个时期。对于数学来说，这两个时期可叫做雅典时期和亚历山大时期。

    第一次奥林匹克运动会于公元前７７６年举行。从那时起希腊文献已经开始夸耀荷马和赫西奥德的作品，但是直到公元前６世纪，我们对希腊的数学还是一无所知。希腊最早的数学家可能是米利都的泰勒斯（ＴｈａｌｅｓｏｆＭｉｌｅｔｕｓ，公元前６２４—前５４８）。人们认为是他首先给出了许多几何定理的证明，并因此孕育了杰出的欧几里得几何体系。但是我们对希腊数学及其他方面的认识，很容易受到诸多历史因素的干扰。我们没有这一时期的文字记载，因而不得不依赖于远隔１０００多年以后的学者们所写的关于一些往事的注释。

    公元前４世纪，雅典成为地中海文明世界的中心。这一时期的柏拉图学园，以及这之后亚里士多德学园的创建，都对雅典的发展起到了极大的促进作用。柏拉图在数学史上的作用，至今仍是一个有争议的焦点。柏拉图本人没有留下数学著作。但是他的思想对数学哲学有着深远的影响。在《共和国》一书中，他强调数学应该是未来君主的必修课程。在《提麦奥斯》一书中，我们看到一种改良的毕达哥拉斯主义的陈述，柏拉图体是由表示火、土、气、水等４种基本元素的立方体及象征着整个宇宙的１２面体组成。亚里士多德哲学对数学的影响并非都是正面的。他对逻辑演绎的强调有着正面的影响，但是他不赞同使用无穷大及无穷小，而他认为圆和直线是理想图形的思想，可能对数学的发展产生了负面的影响。

    柏拉图学园和亚里士多德学园都是数学教育和数学研究的重要中心。亚里士多德当时是亚历山大大帝的老师。亚历山大帝国在发展的巅峰时期，将其版图一直延伸到了印度的北部。亚历山大死后，亚历山大帝国被对手瓜分。在托勒密一世开明的统治下，被分割后的一个小国成为学习和研究的中心———这就是拥有音乐厅及珍贵图书馆的亚历山大新城。在古希腊文明的第二阶段，亚历山大远远超越了雅典，这一时期是希腊数学的黄金时代。

    希腊数学中最重要的文献，无疑是由欧几里得（Ｅｕｃｌｉｄ，约公元前３２５—前２６５）写的《几何原本》。与如此著名的杰作相比，我们对欧几里得的生活却知之甚少，甚至连他的出生地都不知道。我们通过普罗克洛斯（Ｐｒｏｃｌｕｓ，约公元前４１０—前３８５）的关于欧几里得《几何原本》第１卷的评注才知道：欧几里得在托勒密统治下的亚历山大新城教学。而且还记录了这样一件轶事：当托勒密王问他是否有学习几何的捷径可走时，欧几里得回答说：“几何学中没有专为国王铺设的大道。”《几何原本》的声誉远远超过了欧几里得写的许多其他的著作，例如欧几里得写的关于光学、力学、天文学和音乐等方面的著作。《几何原本》成为正规的几何教科书，使得以往的几何书籍甚至它们的手抄本都变得多余而没有保留下来。像所有的教科书一样，这里所使用的《几何原本》大多都不是原著。但我们仍然要感谢欧几里得：是他收集整理了这些资料和结果，并把这些结果用定理和证明的演绎系统的形式展示给我们。《几何原本》不是希腊数学的概述，而仅仅是几何学的基础部分。它不仅没有包含计算的技巧，而且也没有涉及如二次曲线这样的高深数学的内容。

    《几何原本》分为１３卷。它囊括了初等平面几何、数论，以及不可比量和立体几何。《几何原本》一开始就是由２３个公理组成的定义列表。例如“点没有大小”，又例如“线无宽度”。接着是５个公设和５个“一般概念”。其中著名的第五公设有着它自己的故事。《几何原本》的每卷的每一节都以该节要探讨的新课题开始。欧几里得认为，与公设相比，定义是不证自明的。而对今天的我们来说，定义和公设与公理都是同等的。如果有什么区别的话，公设更倾向于程序化，正如“连接任意两点做直线”，而定义则是“直线是由点组成的平坦的线”。总的来说，初等几何规定只能用直尺和圆规画图。这两个简单的工具———圆规和直尺产生了整个初等几何体系，因为圆和直线是最完美的图形。当时的希腊人还使用了其他的“机械化”的构造方法，但是《几何原本》没有涉及这些方法。

    该书的第１卷到第４卷讨论了平面图形，包括四边形、三角形、圆和多边形的几何作图片。有人认为这几卷书，尤其是第２卷暗示了一类代数几何学。在这里，几何作图法与代数运算具有同样的功能。无论上述观点正确与否，但从早期的这些定理来看，欧几里得所关注的完全是几何概念。术语“量”或“量度”

    （ｍａｇｎｉｔｕｄｅ）全都用于表示任何一个几何对象。如一条线段或一个图形，而书中的定理则是关于作图法和量之间的关系，但书中没有给出像长度这样的数值概念。例如一个正方形被看成为来源于一条线段的几何作图，欧几里得在任何地方都没有提到过一个正方形的面积是其两边长乘积的结论，这一结论在很久以后才被给出。因此，量是《几何原本》中最基本的概念，它是该书其余部分的基础。在这一背景下，欧几里得用图形转换的方法证明了毕达哥拉斯定理。如果我们被涉及的实际面积所吸引，将得到另外一种完全不同的证明，这一点是非常有趣的。

    第７卷到第９卷论述了数论。欧几里得认为“数”是指整数。从第７卷中的定义可以看到：处理整数实质上就是处理几何图形。欧几里得认为：“大数是小数的倍数，当前者可用后者度量时”，而两个整数的积是一个长方形的面积。在第７卷中还有一个有名的欧几里得算法：求两个整数的最大公约数。或者用欧几里得的话说是“测量两个量的最大公约”。在第９卷里，我们发现一个有关下述有名结论的证明：用现代的说法是，素数个数是无穷的。而欧几里得尽可能地避开使用无穷大这一术语，因而他是这样阐述上述定理的：“素数的个数，比任何指定的素数的值还要大。”《几何原理》第９卷只给出了当素数的个数为３时的这一定理的证明，并没有指明对任意给定个数的素数的证明。在这一卷中还给出了构造完全数的方法。完全数是这样的数：它是它的因子的和。例如第一个完全数是６（６的因子是１，２，３，而ｌ＋２＋３＝６）。第二个完全数是２８（２８的因子是１，２，４，７和１４，而１＋２＋４＋７＋１４＝２８）。

    第１０卷详细论述了各类不可比的长度。在这里，我们还发现，一般量之间的不可比的思想已精炼成长度间（及面积间）不可公度的概念。给定一条指定为可比的线段，那么，任意与它不可公度的线段称为无理的。该卷对各种不同类型的无理量（无理数）做了详细的论证：从简单的平方根到复合根，如（槡ａ＋槡ｂ）。一个关于用数值表示无理数的方法的论述引起了人们的注意。确实存在着一个基于欧几里得算法的无理数的数值表示方法。虽然它能够有效地表示单个的无理数，但用同样的表示法我们没有表达无理数的和或积的简单方法。人们好奇的是引理１，它是一个著名的定理：存在两个平方数，它们的和是另一个平方数。也就是毕达哥拉斯定理的数论表示形式。但在此没有提到在第一卷末尾所给出的这一结果的证明。也正是在这一卷中，欧几里得着重强调了数值———几何的处理过程，是解决更进一步问题的前奏，如求积问题。还注意到处理无理数都还可以用直尺和圆规作图的方法进行。这里没有关于立方根的讨论。无理数的详细分类，在《几何原本》的最后一节变得很有意义。在那里，无理数出现在与正立方体的关系中。

    《几何原本》的最后３卷讨论了立体几何图形的性质，并且把欧多克索斯的穷竭法作为通过反复逼近求面积和体积的严格方法。阿基米德声称，是欧多克索斯首先证明了圆锥体的体积是同底等高圆柱体体积的１／３。第１２卷的大部分想法基于欧多克索斯的工作。第１３卷的末尾，证明了只存在５种柏拉图立体，这些立体可以由三角形、正方形、五边形构造出来，每个立体都内接于球体。这里还详细说明了立体的棱到这一球心的距离。在这一卷中，我们还发现在第１０卷中描述过的无理量。

    从古到今《几何原本》都是最有影响的一本教科书。该书多次再版，在再版的过程中不断有新的评注加入。同时，它被翻译、编译成适合各种文化的版本。欧几里得的原始著作已经无从考察。公元９世纪以前的有关资料已所剩无几。但是，这一几何巨作一直流传至今，并使它之前的所有几何著作黯然失色。

    在此之后的一段时间里，亚历山大新城一直保持着学术中心的地位。几何巨匠佩尔加的阿波罗尼奥斯（Ａｐｏｌｌｏｎｉｕｓ，公元前２６２—前１９０）在此学习和教学。他最著名的著作是关于几何的开创性研究———《圆锥曲线》。圆锥截面是通过从各种角度切割一个圆锥体而得到的截面。这样的截面的截口有圆、椭圆、抛物线和双曲线。阿基米德以及其后的托勒密和丢番图（Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ，公元前２８７年）都在亚历山大新城学习过。从公元前４世纪开始亚历山大新城的学术自由逐渐衰退。泰昂的女儿希帕蒂娅（Ｈｙｐａｔｉａ，约３７０—４１５）是数学史中第一位女数学家。她曾一度是新柏拉图学派的领袖。随着基督教权势的增大，这一学派对被他们视为异教的科学及哲学越来越敌视。希帕蒂娅死于当地基督教徒之手，她的死标志着亚历山大学术中心衰落的开始，数学发展的中心从此转向东方的巴格达。

    几何学的新时代

    自从公元前３世纪欧几里得的《几何原本》一出现，就被公认为是最完美的数学体系。建筑在最基本的假设之上，《几何原本》构建了格外壮观的数学定理架构。欧氏几何是形式公理演绎体系，然而，几何学的这一尝试带来了一个小问题，而历代数学家们则总是盯着这一问题不放，试图做些文章，这就是第五公设。有争议的第五公设是：如果一条直线与已知两条直线相交且与这两条直线在同一侧所围成的角之和小于１８０°，则这已知的两条直线在这一侧相交。简单地说：如果两条直线不平行，这两条直线一定有一个交点。所有人都认为第五公设是正确的，但是人们不理解为什么要把它作为《几何原本》的公设。人们试图去证明它：认为它是一个由其他公理可以证明的定理，而不是公设。很多人都认为自己证明了第五公设，但是，仔细审查这些证明就可以发现，在证明中总是潜藏着新的假设，而这一新的假设不过是第五公设的变形。很难找到另一个更显而易见的公设来代替第五公设。

    很多数学家都在继续研究第五公设。最有名的是１１世纪的花剌子密和１３世纪的突斯人奈绥尔丁。两人的研究被翻译成拉丁文并影响了杰罗拉莫·萨凯里（ＧｉｒｏｌａｍｏＳａｃｃｈｅｒｉ，１６６７—１７３３）。在萨凯里去世那一年他出版了题为《免除所有污点的欧几里得几何》的著作。他试图通过与其他可能的公设相矛盾的反证手段来证明第五公设。他画出了现今被称为“萨凯里四边形”的由两组“平行线”组成的四边形，并提出了关于萨凯里四边形内角和的三个不同假设，它们分别是：四边形的内角和小于、等于、大于３６０°。如果他能证明第一个和第三个假设存在逻辑矛盾，那么他就证明了中间的那个假设是唯一能构成自相容几何学的假设，这也就是证明了与其等价的第五公设。具有讽刺意义的是，这将会证明欧几里得把它作为公设是正确的。萨凯里很轻松地证明了第三个假设将导致逻辑矛盾，但是第一个假设没有逻辑矛盾，实际上他使用第一个假设证明了许多定理。最早的非欧几何学已经在萨凯里的眼前了，但是萨凯里拒绝承认它。请记住，他所有这些工作的目的是为了推翻这一假设的正当性，而不是构造一门新几何学。基于他所掌握的那些不符合逻辑的神学条例，他放弃了这一新几何学。后来的数学家们却与他不同，不存在如此大的怀疑。

    对第五公设的过于迷恋，已不再只是有关逻辑合理性的问题，它具有更深刻的意义。我们需要重新考虑现实空间本身的性质。欧氏几何学不仅是和谐和坚固的数学体系，而且也是构造空间本身的方法。例如，欧氏几何学认为两点间最短连线从理论上或实际上都是直线。但是在已建立的古典球面几何学中，上述事实不再成立。在一个球面上，两点间最短连线是通过这两点的大圆上的弧线，而且球面上任意三角形内角和大于１８０°。那么这又有什么大惊小怪的呢？这与几何体系的内在性质与外在性质的不同有关。外在性质是从体系之外能够推知的性质，而内在性质是从体系内部可以推知的性质。例如，球面几何学的规则是通过从球面外部观测球面时得到的，就好比手里拿着一个球一样。但是我们怎样才能从纯几何学的角度来断定我们是否生活在一个球面上呢？我们能从纯几何学的角度断定我们是生活在平坦的地球上还是生活在圆球形的地球上吗？换一种方式来看，是否存在内在的性质，它在平面上和球面上是不同的呢？在考虑我们生活的三维空间的真正属性时，这些相对简单的观念是重要的。在这一空间内，我们只能以内在性质作为入门的捷径。

    约翰·海因里希·兰伯特（ＪｏｈａｎｎＨｅｉｎｒｉｃｈＬａｍｂｅｒｔ，１７２８—１７７７）是非欧几何学的先驱。在他的《平行线理论》（１７６６年）一书中，他用与萨凯里类似的方法证明了三个假设，它们分别等价于三角形内角的和小于、等于、大于１８０°的三种情况。他还揭示了球面几何学与其中第三种情况相类似。他推测第一种情况可能与以虚数为半径的球面几何学相对应，以虚数半径代替实数半径导致了后来被称为双曲几何学的公式和定理的产生。在双曲几何学里，人们熟悉的ｓｉｎｘ、ｃｏｓｘ被ｓｉｎｈｘ、ｃｏｓｈｘ所取代。因此，虽然这种想法从现实上看不合情理，但是在数学中却是接近真理的。兰伯特的推测不久之后被验证。

    １９世纪初期，所有证明第五公设的尝试都以失败而告终。人们开始意识到非欧几何学确实存在。这里有两位不知名的数学家成为这一领域的新星。

    尼古拉斯·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（ＮｉｋｏｌａｓＩｖａｎｏｖｉｃｈＬｏｂａｃｈｅｖｓｋｙ，１７９３—１８５６）出生在俄罗斯一个小官吏的家庭。１１岁时他父亲去世，留下罗巴切夫斯基的母亲和３个孩子，生活拮据。后来他全家移居喀山，孩子们都受到了良好的教育，其中罗巴切夫斯基成绩最突出。１４岁时，他进入了刚刚成立的喀山大学学习。在那里，他接触到了许多来自德国的杰出教授。２１岁时，罗巴切夫斯基成为一名教师，２年后担任教授。作为一个有耐心、有条理又勤奋的人，他受到了同事们的尊重，回报却是让他接替了没有什么收益的管理工作。他担任了学校的图书馆馆长和学校混乱的博物馆馆长。在没有任何助手的情况下，他一个人完成了所有的工作，使得图书馆和博物馆变得井然有序。

    １８２５年，政府终于为大学指派了一位专门的督察，后来该督察利用他的政治影响当选为校长。从１８２７年起让罗巴切夫斯基成为学校的校长，他重组了学校的管理队伍，使得教学自由化，建造了学校的基本设施，其中包括天文台的创建。大学是他的一切。１８３０年的霍乱席卷喀山，罗巴切夫斯基命令所有的学生和职员及家属到校园寻找避难场所。由于他实施了严格的卫生条例，６６０人当中只有１６人死亡。尽管他为喀山大学不知疲倦地工作，政府却于１８４６年莫名其妙地解除了他校长和教授的职务。他的同事和朋友向当权者恳求，但还是无济于事。当时他的视力已经很差，可他仍坚持数学研究。他最后的著作是口述的，因为那时他已经完全失明。

    １８２６年，罗巴切夫斯基向学校提交了他的第一篇论文（使用了学术界通用的法语）。在论文中，罗巴切夫斯基概述了他的几何思想。这篇题为《关于几何原理》的文章直到３年后才发表在《喀山学报》上。这就是说，１８２９年是罗巴切夫斯基的非欧几何学诞生的年份。在上述文章中，他阐述了第五公设是不可证的，而且通过用另一个公设取代第五公设，建立了新的几何学。他非常欣赏萨凯里和兰伯特的非欧几何学的初期研究。同欧氏几何学一样，非欧几何学具有坚实的逻辑体系。对罗巴切夫斯基自己来说，他所推导的定理与现实普遍认同的概念相抵触，因此他把自己的发现称为“虚几何学”。但这并没有降低他的工作的重要性。１８３５—１８３８年，他用俄语写了《几何新基础》的论文。

    １８４０年，他用德文发表了《平行线理论的几何研究》一书。正是由于这本书，高斯向哥廷根科学院推荐了罗巴切夫斯基，罗巴切夫斯基于１８４２年被选为院士。然而高斯却拒绝用文字的形式赞扬他。因此，他的创新思想未能很快被数学界接受，这使罗巴切夫斯基感到非常失望。随之而来的被大学开除和失明更是雪上加霜。１８５５年他用法语和俄语同时出版了他最后的一本书《论几何学》。罗巴切夫斯基———“几何学领域的哥白尼”，死于１８５６年。贝尔特拉米（ＥｕｇｅｎｉｏＢｅｌｔｒａｍｉ，１８３５—１９００）给出了非欧几何学的物理解释，他证明了伪球面满足罗巴切夫斯基几何学，同样也满足兰伯特的早期重要的研究结果。

    罗巴切夫斯基的新公设可以解释如下：想象一条无限延长的直线，取直线外一点。欧氏几何学的第五公设表述为，过该点能够且只能作一条与已知直线平行的直线，罗巴切夫斯基认为，过该点可以作多条直线与已知直线平行。这里两条直线平行，意味着两条直线不相交。用数学术语来表示这一公设，会产生奇特但却自相容的几何学。事实上，根据“平行性观点”的不同，存在无穷多个这样的几何学。

    高斯没有对罗巴切夫斯基的工作给以充分的肯定，他的理由可能是想对他的朋友Ｆ鲍耶显示自己的公正。Ｆ鲍耶的儿子Ｊ鲍耶（ＪａｎｏｓＢｏｌｙａｉ，１８０２—１８６０）与罗巴切夫斯基同时创建了非欧几何学。Ｆ鲍耶是匈牙利乡村的数学教师，并致力于证明第五公设。当他的儿子继续他本人的工作时，他对儿子能否成功感到绝望，因此写信给儿子说：“我恳求你看在上帝的面上，放弃这一研究，不要逞一时之快。它会浪费你的时间，夺取你的健康、你内心的平静和你的幸福。”然而Ｊ鲍耶却反而被父亲的这封信所激励，继续他的研究。于１８２９年得到了实质上与罗巴切夫斯基一样的结论。

    Ｊ鲍耶创建了他称为“空间的绝对科学”的非欧几何学，并附在父亲老鲍耶的一本书中发表。这一成果于１８２９年得到。这正是罗巴切夫斯基发表论文的同一年。但是，这一成果直到１８３２年才出版。由于他的文章只是作为一本普通数学书的附录，很容易被世人忽视。好在Ｆ鲍耶是高斯的朋友，Ｆ鲍耶把这一附录寄给了高斯。高斯的回应是，对Ｊ鲍耶的工作给以肯定，但是回避公开支持他的研究。原因是赞扬Ｊ鲍耶就会被人认为是赞扬他自己，因为几年前他本人也有过同样的想法。这对Ｊ鲍耶是一个重大打击，也毁了他的一生。他害怕自己的研究被人抄袭，拒绝发表其他任何内容。

    高斯不愿意承认罗巴切夫斯基和Ｊ鲍耶二人的工作，这显得有些无理。是的，高斯对这些问题确实曾有过一些想法，但没有事实证明他曾经探索过非欧几何学的本质。如果这样的数学大家能伸出帮助之手，就能挽救Ｊ鲍耶的研究生涯和罗巴切夫斯基的身体健康。高斯本人是从不同的观点考虑这一问题的，当观察一个曲面上的直线时，他得到“一个曲面的曲率与它所用的度量相关”的结论，他证明了曲率与曲面所在空间无关。曲率是与曲面上三角形内角和相关的内在性质，由此可见，这与非欧几何学显然类似。

    由于持续了２０００多年的第五公设的神话被打破，欧氏几何学的大厦濒临坍塌。虽然欧氏几何学在逻辑上是首尾一致的体系，但它现在只是许多几何学中的一种，因此对它是否是宇宙空间本身的几何学也产生了疑问。由于我们无法从外部了解我们生活的宇宙空间，作为观察宇宙空间的真实几何学的方法，对宇宙空间的内在性质的研究变得越来越重要，几何学面临陷入杂乱无章的危险。这时，一位数学家俯瞰整个几何学，给出了几何学是什么以全新定义。

    伯恩哈德·黎曼（ＢｅｒｎｈａｒｄＲｉｅｍａｎｎ，１８２６—１８６６）是一位普通牧师的儿子，但他在柏林和哥廷根受到了良好的教育，１８５４年成为哥廷根大学的讲师。哥廷根大学要求本校的每位新讲师写一篇就职论文。黎曼的这篇论文是数学史上最引人注目的一篇就职论文。他的题为《关于几何基础的假设》的就职论文，用最通俗的语言阐述了把几何学构建为一门学科。这与欧几里得的尺规法完全不同。黎曼定义几何学为关于流形的一门学科。流形是带有坐标系以及定义了两点间最短距离度量公式的任意维的有界或无界空间（包括无穷维空间）。在三维欧氏几何空间，度量公式由ｄｓ２＝ｄｘ２＋ｄｙ２＋ｄｚ２给出。这一公式是毕达哥斯定理的微分等价物。这些流形是空间本身，不带外部参考系。这样，任何空间的曲率完全由该流形的内在性质确定。对于黎曼来说，几何本质上是由一个ｎ维有序数组的集合与该集合上特定的规则组成。他关于空间的观念推广到几乎不占地方，而变量间的任意关系，都可认为是“空间”。对不带度量的系统的研究，称为拓扑学的数学分支，它研究空间中区域如何彼此相连。

    黎曼发明了现在被所有数学家使用的数学工具。平时慎重的高斯第一次对别人的工作大加赞赏。在黎曼扩展的几何观点下，欧氏几何学就是曲率为零的几何学，罗巴切夫斯基的几何学是曲率为－１的几何学，而球面几何学是曲率为１的几何学。虽然黎曼可以看成是新时代的欧几里得，但是人们总是把他的名字与一种非常特殊的几何学联系起来，这一几何学把平面解释为球面的映象。后来黎曼开始研究理论物理。他的度量曲率空间的一般研究，为广义相对论铺平了道路。我们生活的空间不再是欧氏空间，但是我们现在已经有了探索宇宙的真正几何性质的数学工具。

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