（一）商高
中国古代最早的数学、天文学著作《周髀算经》上记载了昔日周公与商高的一段问答。周公问商周：“古时伏羲作天文测量和订立历法，天没有台阶可以攀登上去，地又不能用尺来量度，请问数是从哪里得来的呢？”商高回答说：“数是根据圆和方的道理得来的。圆从方得来，方又从矩得来，矩是根据乘、除法计算出来的。而计算则是‘治天下’所需要的。”这是有名的“周公问数”。
周公还请教了商高用矩之道。商高用六句话简明扼要地概括了这种方法：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环距以为圆，合矩以为方。”这几句话在中国数学史上是十分重要的，表明了商高时代的测量技术以至整个数学的水平。
商高利用矩作为测量工具，运用相似三角形的原理“测天量地”，把测量学上升到理论，为后来的数学家推广复杂的“测望术”奠定了坚实的基础。勾股弦的关系和用矩之道是商高的主要成就。
关于商高的生平，历史上记载得很少。他是春秋时周朝人，周朝的大夫。商高的年代离我们太远了，我们甚至无法知道商高的生卒年份和身世，但他的科学创见却永远为后人纪念，他是世界上第一位被记载在史册上的数学家。
（二）赵爽
赵爽，名婴，字君卿。关于他的生平几无考证，只知道他的最大贡献是为《周髀算经》作过注。根据注中的内容，推测他是三国时期的吴国人，作注的年代大约是在222年之后。尽管缺乏有关赵爽的具体史料，但是从《周髀算经》注中仍可以了解到他的治学观点、数学成就和数学思想。
赵爽十分珍视古籍《周髀算经》，他用相当大的毅力对《周髀算经》作了注解。人们推测他是当时的一位隐士，只能在耕樵之余钻研数学。用他自己的话说是“负薪余日，聊观《周髀》”。从他为《周髀算经》所作的注来看，赵爽通晓当时中国已相当发达的数学知识，并取得了中国数学史上不容忽视的成就。
赵爽的数学成就，首推他的《勾股圆方图注》，全文不过五百多字，却精辟地阐述了勾股定理的证明、勾股弦的关系，并用几何方法证明了二次方程的解法。赵爽绘制了几幅《弦图》，结合弦图巧妙地证明了勾股定理，并得到关于勾股弦三者之间关系的命题共21条。《周髀算经》中关于量日高的问题，赵爽在注内最先给出日高公式和它的证明。在《周髀算经》注中，赵爽对分数运算概括出“齐同术”，为后来刘徽完整地总结齐同术作了重要的理论准备。
赵爽在数学上的成就，足以反映出他在数学思想方法上的深刻和活跃。在他之前的一些典籍包括《周髀算经》《九章算术》等，对一些主要数学原理的论述，通常只有结论而无论证。赵爽在为《周髀算经》作注时，对主要的数学原理都力图加以论证。在证明方法上，赵爽基本是通过平面图形的割补损益的等积变换方法：一是如果将图形分割成若干块，则各块面积之和等于原图形的面积；二是一个平面图形从一处移至另一处，面积不变。根据这个内容，常常可以求出两个图形之间的面积关系。赵爽对某些数学原理进行论证及在论证中对“出入相补原理”的开拓性工作，在中国古代数学史上具有重大影响。
（三）刘徽
刘徽，魏晋时人，生平不详。宋徽宗大观三年（1109年）礼部太常寺追封古代数学家爵位，刘徽被封为“淄乡男”，推测他大概是今山东淄博一带人。刘徽是我国古代数学理论的奠基者，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国宝贵的数学遗产。
刘徽在《九章算术注》中建立的数学理论是完整的。他全面证明了《九章算术》里的公式和定理，对一般算法中的一些主要的数学概念也给出了严格的定义，并根据定义的性质，说明了这些算法的道理。例如，他给比、方程组、正负数下了非常科学的定义，并运用这些定义有效地论证了算术中的分数加减法运算、代数中的方程组解法以及几何中利用相似三角形求解的问题。刘徽对《九章算术》中关于“今有术”（比例问题）和多位数开平方、开立方法则也作了精辟的阐述。刘徽的割圆术用极限的方法证明了圆面积的公式，把圆周率算到3.1416，这是当时世界上最精确的圆周率值。他用出入相补原理证明了勾股定理和许多面积、体积公式。他还用无穷分割的方法证明了方锥体的体积公式。在球体积的计算上，刘徽创造了“牟合方盖”这一立体模型。
刘徽在数学方面的主要成就是注《九章算术》，他把自己大部分的数学研究成果写进了他的“注”中，很多方面都达到了当时世界上最先进的水平。刘徽的功绩可以概括为两个方面，一是对中国古代数学体系进行了理论整理；二是推陈出新，进行了一些开创性的工作。
（四）祖冲之和他的儿子祖暅暅
祖冲之，字文远，范阳遒县（今河北定兴县）人，生活在南朝宋、齐之间，当过南徐州从事史、公府参军等职。祖冲之生长在科技世家，自幼爱好数学和天文，把毕生精力都献给了祖国的科学技术事业。他学习前人，重视实践，通过观测、计算，制定了著名的《大明历》，还写出了很有价值的数学专著《缀术》。《缀术》博大精深，在唐朝曾被国立学校列为必读教材，要学四年，是学习期限最长的算书，可惜后来失传了。
祖冲之是代表中国古代数学高度发展水平的杰出人物，“开差幂”是已知长方形的面积及长宽之差求其长与宽；“开差立”是已知长方体的体积及最短棱与其他两棱其他求其长、宽、高。
祖冲之的科学成就在我国科学技术发展史上永放光芒，他在世界科学史上也享有崇高声誉。人类第一次发现的月球背面的一个环形山谷，就是以“祖冲之”来命名的。
在祖冲之的教育、熏陶下，他儿子祖暅、孙子祖皓，家学相传，擅长历算。祖家是我国有名的科学世家。祖暅是一位博学多才的人，他对历法很有研究，曾两次建议修改历法，他指出其父所制定的《大明历》可以纠正《元嘉历法》的差错。后经梁朝太史令等实测天象，朝廷采纳了他的意见，启用《大明历》推算历书。
祖暅继承其父遗训，整理编辑了数学专著《缀术》六卷。最为突出的是他发现了等积原理：“幂势既同，则积不容异”。后人称为“祖暅定理”，即夹在两个平行平面间的几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。祖暅用等积原理推导出了球的体积公式。
（五） 王孝通
王孝通，唐初的历算家，籍贯身世、生卒年代不详。据《旧唐书》等记载，他在唐武德年间任历算博士，后来升任太史丞，参与修历。
王孝通在数学上的最大成就是著作《缉古算经》。《缉古算经》是《算经十书》中最晚出的一部。除了已失传的《缀术》外，它是最难懂的一种，按唐朝国子监算学馆的规定，这本书要学三年。
《缉古算经》共包括二十道题目，其中有关于天文历法的题、土木工程的土方计算的题、仓房和地窖大小的问题、勾股问题等，都具有相当的难度。《缉古算经》的大部分问题都要用高次方程来解决，在隋唐时期算是比较高深的数学理论。王孝通很擅长依据实际问题列高次方程，他在每一条有关高次方程的术文下，都用注来说明方程的各项系数的来历。在古代，没有现代的符号代数，要由实际问题列出开方式（即高次方程）是非常不易的事情。王孝通关于三次方程的解法有巨大的学术价值，《缉古算经》用开带从立方法解决实际应用问题，不仅是中国现存典籍中最早的这方面记叙，在世界数学史上也是关于三次方程数值解法及应用的最古老的珍贵著作。六百多年后，斐波那契才得出一个三次方程的数值解，至于一般三次方程的代数解法直到16世纪才出现在意大利人的著作中。
《缉古算经》中王孝通最得意的创作是建筑堤防的土方问题—“堤积”问题。他假设河岸不是平地，堤防的底面是一个斜面，而顶面是平的，那么堤的垂直横截面是上底相同而高不相等的梯形。王孝通将它分成两部分求体积：上部是一个平堤的体积，下部是一个具有梯形底及两斜侧面的楔形体（叫羡除）的体积，这样得到一个整个堤的体积计算公式。这个公式具有创造性的价值和贡献。
王孝通的《缉古算经》的开方术继承了《九章算术》及刘徽注的传统，在开带从立方方面又有创新，给中国古代的代数学砌成了一个新的阶梯，使后继者沿着它不断攀登，发展了中国古代的高次方程数值解法。
（六）贾宪
贾宪是我国北宋时期杰出的数学家，生平不详，仅知道生活于11世纪上半叶，任过左班殿值，著有《黄帝九章算法细草》，但此书早已失传。书中记有“开方作法本源图”，数学史家称之为“贾宪三角”，实际上是一个正整指数的二项式系数表。这个数表在西方称为“帕斯卡三角”，帕斯卡最先用数学归纳法证明了这个数学三角形的性质，并第一个正式指出这个数字三角是二项展开式的系数表。贾宪三角是11世纪中国数学的优秀成果之一，它是方程论的重要内容，后来又由此导出垛积和无穷级数的若干重要结果。
贾宪还创造了解高次方程的“增乘开方法”，处理的虽是最简单的高次方程，但却把正负开方术推广为一般高次方程解法的重要一步。后继者在此基础上不断研究探索，终于发展成为中国古代数学中独特的代数学理论。
贾宪创造的“增乘开方法”和“贾宪三角”都为我国古代数学赢得了极大的荣誉。
（七）沈括
沈括（1031—1095年），字存中，浙江钱塘（今杭州）人，生于宋仁宗天圣年间，是贾宪之后另一位作出重要数学贡献的宋代科学家。
沈括是一位博学家，他涉足的学术领域广，学识丰富，研究精深。沈括的兴趣是多方面的，政治、经济、文学、历史、地理、外交、军事以及各科学技术范畴都有所创见和论述，著作空前丰富。据《宋史·艺文志》录其著作有22种，155卷。他治学严谨，勤于探求理论与实践之间的正确关系，注重实地调查。他具有敏锐的观察能力，研究问题周密而精细，因此著述水平很高。像他这样多才多艺的全面人才，不但在数学史上极少，在整个世界史上也是罕见的。
《梦溪笔谈》是沈括晚年闲居润州梦溪园时完成的一部内容极其丰富的学术著作。现传本26卷，共有609条内容，其中一半以上的条目与科学技术有关。沈括在数学方面有独到的见解，其中“隙积术”、“会圆术”是两个著名的成果。此外沈括还运用组合数学概念归纳出棋局总数，记载了一些运筹学的简单例子。
沈括创导的“隙积术”是从立体体积问题推广为高阶等差级数求和。他所解决的垛积问题对后来数学的进展具有深刻的影响。所谓隙积，就是有空隙的堆垛体，例如酒窖里垛起来的酒坛，四个侧面是斜的，像底朝天翻过来的斗。沈括进行一番研究后，推导出了这种堆垛体的件数或体积的计算方法。“会圆术”是给出由弦、矢求弧的公式，沈括是中国数学史上由弦、矢给出弧长公式的第—人。
（八）李冶
李冶（1192—1279年），原名李治，字仁卿，号敬斋。金代真定栾城（今河北栾城县）人，是宋、元之交金代的一位著名数学家、文学家兼历史学家。他与秦九韶、杨辉、朱世杰并称为“宋元四大数学家”。
1230年，年近40岁的李冶考取词赋科进士，出任金朝钧州知事。1232年，钧州被蒙古兵攻占，李冶只当了两年小官，就开始隐居生活。李冶是当时北方著名学者。元世祖忽必烈曾多次召见，下诏要他当官，但他多次辞官不受。他喜爱读书，求知兴趣广泛，一生著述很多。1248年，他完成了数学名著《测圆海镜》12卷。1259年，他把前人的数学研究成果收集起来，加上自己的见解，写成《益古演段》3卷。
李冶毕生致力于数学研究，对中国古代数学作出了重大贡献。他在《测圆海镜》和《益古演段》中明确地用“天元”来代表未知数x。李冶的天元术和现代列方程的方法极为类似。“立天元一”是设未知数为x，以常数项为“太极”，在旁记“太”字，x的系数旁记“元”字。这种用“元”代表未知数的说法，也一直流传至今，如现在对有几个未知数的方程，我们就把它叫做几元方程。李冶的天元术，比欧洲l6世纪类似的半符号代数足足早了三百余年。李冶除解决了列方程问题外，还对高次方程的解法进行了创新，方程各项系数和常数项可正可负均可以解。李冶在天元术中，还创造了当时世界上最先进的小数记法。
李冶还总结了勾股容圆问题（讨论直角三角形内切圆与三边关系称为“勾股容圆”问题）。他在《测圆海镜》中提出了692条几何定理，经过证明，其中有684条都是正确的，其中有170个是勾股容圆问题。李冶把原来赵爽的研究向前推进了—大步，对我国古代关于直角三角形与圆的知识进行了全面研究和总结。《益古演段》一共有64道题，大都是各种平面图形的面积关系，解题方法往往是通过天元术和等积交换。李冶研究的数学问题，大多数都可以归结为解高次方程。
李冶是我国古代卓越的代数学家和几何学家，他能用代数方法自如地解几何问题，又擅长把数学问题通过图形直观地进行讨论。几何和代数结合起来，解决问题变得更加容易。这在世界上也是最先进的，直到17世纪笛卡儿发明解析几何为止。
（九）杨辉
杨辉，字谦光，钱塘（今杭州）人，是我国南宋杰出的数学家和数学教育家，生平不详。著有《详解九章算法》《日用算法》《乘除通变本末》《田亩比类乘除捷法》《续古摘奇算法》等书。后三种七卷一般总称为《杨辉算法》，现存本比较完善。
杨辉在《详解九章算法》中最早转载了贾宪的“增乘开方法”和“开方作法本源”图。此书部分已失传，《永乐大典》中还保存了一部分。杨辉在《详解九章算法》中收录的“开方作法本源”图，是二项式展开的各项系数排列图，使后人知道我国发现这种排列规律，比欧洲的帕斯卡要早四百多年。因此在我国后人也称这图为“杨辉三角”，这是杨辉的一大贡献。在《详解九章算法》中，杨辉还论述了级数求和问题。他和北宋的沈括、元代的朱世杰，同为世界上最早研究高阶等差级数的人。
杨辉的《详解九章算法》全面解释了《九章算术》的原题目，对注家的注释也择其重点逐句分析。杨辉除了介绍解题方法之外，为后学者着想还特地附有“细草”（图解和算草）。杨辉还对《九章算术》原书的题目进行“比类”：一是与原题算法相同的例题；二是与原题算法可相比附的例题。
杨辉在他的《田亩比类乘除捷法》中，编入已经失传了的12世纪数学家刘益所著《议古根源》一书中的一些方程问题，其中有一题为四次方程，这是对高次方程的最早记载。我国宋、元数学家之所以能取得首创高次方程数值解法的卓越成就，杨辉也有不可磨灭的功劳。
杨辉的《续古摘奇算法》中有不少是趣味数学题，例如书中引人入胜的各式各样的“纵横图”，是世界上对幻方的最早的系统研究和记载。
杨辉在《续古摘奇算法》和《算法变通本末》中，不满足于利用已有的方法，强调了理论根据的重要，并对一些几何命题进行了理论证明，这对中国古代演绎几何学的独立发展，起了很大的推动作用。
杨辉治学态度严谨，经常对前人著作的讹误提出批评，并指明正确的修正意见。杨辉在编辑各种数学著作时，旁征博引，学识非常渊博，是一位历史上不可多得的学者。
（十）秦九韶
秦九韶（1202—1261年），字道古，普州安岳（今四川安岳）人，南宋末年著名的数学家。早年曾经随父亲访习于太史局，长大后自己又去湖北、安徽、江苏各地做地方官吏，见闻甚广，多才多艺，对天文、音律、数学、建筑无一不精通。在数学方面，他善于结合当地实际生产和生活需要，将枯燥无味的数学变得妙趣横生。
1247年左右，他写成了一部二十多万字的《数书九章》，这是一部划时代的巨著，内容丰富，论说新颖。全书采用问题集的形式，一共收入了81个问题，每个问题之后多附有演算步骤和解释这些步骤的算草图式。《数书九章》是中世纪中国数学发展的一个高峰，是一部极为珍贵的数学著作。
秦九韶有多方面的数学成就，其中最著名的是“大衍求一术”（一次同余式组解法）和高次方程的数值解法。秦九韶用“正负开方术”可以解任意次方程。“大衍求一术”和现代的求最大公约数的辗转相除法类似，西方对这类问题的类似研究要比秦九韶迟五百多年。《数书九章》中还改进了联立一次方程组的解法，《九章算术》中采用的是“直除法”，秦九韶将之改用“互乘法”。这和今天的“加减消元法”完全一致。在书中，秦九韶还提出了“三斜求积术”，即已知三边求三角形面积的公式。这与西方有名的“海伦公式”是等价的。
秦九韶对中国古代数学作出了杰出的贡献，并且具有世界声誉，美国当代科学史家萨顿就说过秦九韶是“他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。
（十一）朱世杰
朱世杰，字汉卿，号松庭，寓居在北京附近，籍贯、生平不详。他曾在各地周游二十多年，广收门徒，由此可以推测他是以讲学为生的专业数学家和数学教育家。朱世杰留下的著作有《算学启蒙》和《四元玉鉴》，这两部光彩夺目的著作都曾一度在国内失传。道光年间找到了《四元玉鉴》，《算学启蒙》则流传到了朝鲜，朝鲜把它定为教科书，后来又辗转回到中国。
《四元玉鉴》是一部划时代的杰作，书中叙述了朱世杰在世界上首创的“四元术”和“招差术”以及几何、代数上的若干问题。“四元术”建立了四元高次方程理论。朱世杰用天、地、人、物表示四个未知数，相当于现代的x、y、z、u，用“天元术”加以扩展列出方程。解高次方程组的关键是消去法，而“四元消去法”就是四元术的中心问题。朱世杰所用消元法，对任意高次方程组都是适用的，这在当时世界上处于遥遥领先的地位。朱世杰还创造了研究高阶等差级数的普遍方法—招差术（逐差法），在世界数学史上第一次正确地列出了三阶等差级数的求和公式。他这一方法和现代的“牛顿公式”是一致的，提出时间却比牛顿要早将近四百年。
《算学启蒙》一书由浅入深，循序渐进，是一部很好的数学启蒙书籍。这本书全面地介绍了中国宋元时期的数学，在l7世纪传入日本，对日本数学的发展产生了较大的影响。这本书在各种计算方法和步骤上都有不少灵活巧妙的独创内容。
宋元时期是我国古代数学发展的一个高峰期，名家辈出，而朱世杰又是宋元数学家中出类拔萃的一位。秦九韶、李冶精于天元术，沈括、郭守敬擅长差分法，而朱世杰兼有二者之长。他将天元术推广成四元术，对差分法也有进一步研究，他的《四元玉鉴》是中国古代最杰出的数学著作之一。宋、元数学演进至此，达到了登峰造极的地步。
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