y＝1nxx(0
由于y′＝1－1nxx<0(e
同理可得，当0
y′＝1－1nxx2>0，故函数y＝1nxx在(0，e)内是增函数。所以，当0
此式等价于
2sin12(A+B)cos12(A-B)
>2sin12(A+B)cos〔90°-12(A+B)〕
或cos12(A-B)>cos〔90°-12(A+B)〕，
-2sin(-12B+45°)sin(12A-45°)>0.
2sin(12B-45°)sin(12A-45°)>0.
在锐角三角形中，0<12B<45°，0<12A<45°，
所以sin(12B-45°)sin(12A-45°)>0，因此不等式①成立。
①的两端同加sinC，便有
sinA+sinB+sinC>sin90°+sin(A+B-90°)+sinC.②
由于A+B-90°与C是互余的两个锐角，所以有
sin(A+B-90°)+sinC>1＝sin90°成立。代入②，得
sinA+sinB+sinC>sin90°+sin90°+sin0°，
原式得证。
〔例34〕设x、y、z为三个正数，其和为1，又三个数中的任何一个数不超过另一个数的两倍，则在乘积xyz可能取的数值之中的最大值和最小值各是多少？
分析：很明显，当三数相等时乘积取最大值(13)3＝127.而三数各取何值时，三数乘积取最小值，这就困难多了。当然，求最小值时还是让其中一个量固定不变，而让另外两个量变化，问题还是掌握流向，使这两个量的乘积取最小值。这里还是要采用“和差积恒等式”(A+B)2＝(A-B)2+4AB.
解：考察函数xyz，不妨设x≤y≤z.固定y，则x+z=1-y(常量)，由和差积恒等式知，｜x-z｜增大时，乘积xz变小，即xyz变小。题设z≤2x，这就使得｜x-z｜不可能太大，因此，只能取z=2x，这个最小条件适用于每一确定的y值，同样，对任何确定的x值，只能取z＝2y.故xyz取最小值时应满足x=y=14，z=12，得xyz的最小值＝14·14·12＝1〖〗32.
八、数学高考的能力要求与试题特点
数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，测试中学数学基础知识、基本技能、基本思想和方法，考查逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。
1.对数学知识的考查要求
对知识的要求由低到高分为三个层次，依次是了解、理解和掌握、灵活和综合运用，且高一级的层次要求包含低一级的层次要求。
三个层次的要求如下：
(1)了解
要求对所列知识内容有初步的、感性的认识，知道有关内容，并能在有关问题中直接应用。
(2)理解和掌握
要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题。
(3)灵活和综合运用
要求系统地掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题。
上述对知识内容的三个层次要求与高考试题中讲的“易、中、难”相对应，三个层次反映在解决数学问题时落实在三个“用”字上，即应用、利用和运用。
2.数学科能力考查的要求
知识和能力是无法截然分开的，数学知识和方法是提高数学能力的前提，数学能力是在学习数学知识和解决问题的过程中不断提高的，只有对数学知识和方法达到灵活综合运用的高度，才能形成数学能力。
(1)逻辑思维能力的考查要求
逻辑思维能力主要是指使用形式逻辑的思维方式，正确合理地进行判断、推理的思考能力。包括观察、比较、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎、类比等。
逻辑思维能力是数学能力的核心，是人们进行思维活动的基础，是一个人基本素质的主要标志。
高考对逻辑思维能力的考查主要提出三个方面的要求：①会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象和概括；②会用演绎、归纳和类比进行判断和推理；③能准确、清晰、有条理地进行表述。
数学的逻辑思维过程是运用数学的思想和方法，目的明确地对外来的和内在的信息进行提取与转化、加工与传输的思维活动过程。将这个过程与数学试卷的解答过程结合起来，也就是：能正确领会题意，明确解题的目标和方向；会采用适当的步骤，合乎逻辑地进行推理和演算，实现解题目标，并加以正确地表述。
“会采用适当的步骤、合乎逻辑地进行推理和演算”主要指以下几个方面：
①演绎推理。主要指从定义和已知条件出发进行分析、推理、论证的能力，其重点是三段论推理。
高考对逻辑思维能力的考查主要体现在对演绎推理能力的考查。数学试题中考查演绎推理的比例较大，既用选择题、填空题的形式进行考查，又经常使用解答题型、以证明题的形式突出进行考查。
②归纳推理。它是一种由旧事物发现新事物的推理方法，是创造力的一种成分。虽然数学知识是一个演绎的体系，并且演绎推理是数学研究和学习的重要方法，但归纳的方法是获得数学结论的一个重要途径。运用不完全归纳法，通过观察、实验，从特殊中归纳出一般结论，形成猜想，然后再加以证明，这是数学研究的基本方法之一。
归纳推理可划分为完全归纳和不完全归纳两种，包括了所有可能情况的归纳称为完全归纳。数学归纳法是一种完全归纳法。高考对归纳推理的考查是从这两个方面进行的。
③直觉思维。它区别于逻辑思维的重要特征就是在没有经过严格的逻辑推理之前，迅速对事物作出判断，得出结论。而这种结论还需要严格的逻辑证明。
逻辑思维与直觉思维是两种基本的思维形式。逻辑思维在数学中始终占据着主导的地位，而直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具有创造性的成分，两者形成了辩证的互补关系，它们的辩证运动构成了完整的数学思维过程。直觉思维为演绎思维提供了动力并指示着方向，逻辑思维则为直觉思维作出检验和反馈，是直觉思维的深入。
在数学高考试题中，由于考生在考试过程中逻辑思维活动的过程可以在卷面上反映出来，而直觉思维则很难反映出来，因此，选择题、填空题的题型对考查考生的直觉思维有特别的作用。在试题的设计上，往往从多种方法、多个角度来考虑，给考生提供较多的思维空间，更好地发挥出不同层次水平的考生的思维水平。
④数学语言。语言是思维的载体，思维需要用语言或文字来表述，数学语言包括文字语言、符号语言和图形语言，要求考生能够根据实际情况进行各种语言间的转换。
对语言的考查主要包括两方面的要求：一是要求考生有一定的语言表述能力，能清楚、准确、流畅地表达自己的解题过程，并要求表达合乎条理、层次清楚、合乎逻辑，准确规范地使用名词、术语和数学符号，书写清楚；另一方面，要求考生读懂题目的叙述，把所给的文字和数学符号翻译成数学关系，进行数学化。
(2)运算能力的考查要求
运算能力是数学一项基本能力。由于数学学科本身的特点，数学中的许多问题的解决都需要计算，运算不仅是只求出结果，有时还可以辅助证明，运算能力是最基础又是应用最广泛的一种能力。
运算能力主要是指在运算定理和运算定律指导下，对数与式的组合或分解变形的能力，包括数的计算、代数式和某些超越式的恒等变形、集合的运算、解方程与不等式、三角恒等变形、数列极限的计算、几何图形中的计算等。
数学高考试题对运算能力的考查主要有以下三个方面的要求：
①会根据概念、公式、法则对数、式、方程进行正确的运算和变形；
②能分析条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径；
③能根据要求对数据进行估计，并能进行近似计算。
运算能力是思维能力与运算技能的结合，对考生运算能力的考查主要以含字母的式的运算为主，同时要兼顾算理和逻辑推理的考查。
数学高考对运算能力的考查要求可概括为“准确、熟练、快捷、合理”八个字。在解答高考试题的过程中，考生对这八个字的体现如何，反映出对概念、公式、法则的理解和运用，反映出考生的思维能力和运算技能。
(3)空间想象能力的考查要求
空间想象能力，是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的思维能力。
数学高考对空间想象能力的考查要求是：
①能根据条件画出正确的图形，根据图形想象出直观形象；
②能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；
③能对图形进行分解、组合与变形。
空间想象能力是重要的数学能力之一，也是一种基本的数学能力。在数学高考试题中，强调对空间图形的认识、理解和应用，既会用图形表现空间形体，又会由图形想象出直观的形象；既会观察、分析各种几何要素(点、线、面、体)的相互位置关系，又能对图形进行变换和综合。为了增强和发展空间想象能力，必须强化空间观念，培养直觉思维的习惯，把抽象思维和直觉思维紧密结合起来。
(4)分析问题和解决问题能力的考查要求
前述的三种数学能力可以说是数学领域的基本数学能力，而分析问题和解决问题的能力是一种综合的数学能力和一般心理能力的结合，反映出思维的更高层次。这里所说的要解决的问题，包括纯数学问题和实际应用问题。
数学高考对分析问题和解决问题能力的考查要求是：能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。
正确领会数学科《考试说明》中关于分析问题和解决问题的能力考查要求是十分重要的，要注意以下几点：
①这里所指的问题，不是泛指一般问题，而是指综合应用数学知识、思维和方法所能解决的问题，可以是纯数学问题，也可以是实际问题。
②问题给出的方式采用的是材料的陈述，而不是客观的展示。也就是说，考查时所提出的问题，已进行了初步的加工，并通过语言文字、符号或图形，展现在考生面前，要求考生读懂、看懂。因此，对阅读数学材料的能力有较高的要求。
③试题是以问题为中心，而不是以知识为中心。解答起来，从分析、思考到求解，往往要用到多项知识和技能，带有明显的综合性质，对处理问题的灵活性和机敏性有一定的要求。
④在熟练运用数学术语、符号、图表、图形表述解题过程和解答结果方面，也有相当的考查要求。
总之，在分析问题和解决问题的能力考查上，不仅仅是要求解答几个应用题，而是有着更深一层的意义，核心是：应用数学的意识和能力(不仅指数学学科能力，还有一般能力)。
3.近几年数学高考试题的特点
了解数学高考的试题特点与复习方法，是考生临场取得好成绩的必要前提和措施；下面我们就把近几年高考数学考试内容展望、试题的一些特点及一些科学的复习方法，介绍给大家。
1999年、2000年、2001年、2002年的高考试卷按照《数学科考试说明》的要求和教育部考试内容改革的精神，加大了考试内容改革的力度，重视考查知识的内在联系和知识的综合，注重了能力的考查，加强了阅读理解能力的考查，有效地测试考生进入高校继续学习的潜能。
1999年数学高考试题是体现教育部高考考试内容改革的突破口，通过考试看考生对考试内容改革的适应程度，进行了有益的尝试，1999年是以“发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能”为指导思想，继承和发扬了前几年试题改革的成果和经验，如：立足基础、突出能力考查；从学科整体知识结构和思想体系上考虑问题，加强试题的综合性和应用性；调整试卷结构，创设新颖情景和设问方式。试题的设计要体现考能力、考素质的要求，要有利于大学创新人才的选拔。
由于1999年数学高考试题加大了考试内容改革的力度，对于一些比较综合和新颖的试题，那些习惯于模仿现成方法和套用现成题型的考生显然不能适应，因此显得较难的题多些。有四道大题的难度低于0.30，占35%。考生群体的成绩有所下降，理科平均分为76.27分，难度0.51，文科平均分为71.17分，难度为0.47。广东文理合卷的难度为0.48。
应该说，1999年数学试卷进行考试内容改革的探索是成功的，尽管有些考生的分数有所下降，但从整体上是符合《考试说明》要求的，它将对中学教学转变教育观念、改革人才培养模式、推动教学改革、培养创造性人才有深远的影响。
近几年数学高考试题，继续体现高考考试内容改革的精神，增加应用性和能力性的题目，加强了对知识综合性和创新意识的考查，体现了改革的大方向。但在试题的难度上加以控制，使高考内容改革既积极，又稳妥，与考生的实际相适应。
数学试题的主要特点：
(1)强化主干知识
全面考查高中数学的基础知识，但不刻意追求知识的覆盖率，突出考查支撑学科知识体系的主干内容。即重点知识重点考查，如函数关系及性质，空间线、面关系，坐标方法的运用等内容的考查都保持较高的比例，并达到必要的深度。强调基础知识和基本理论的考查。应当防止教学和考试中存在着的倾向：即借口能力考核或理论联系实际而弱化、淡化基础知识、基本理论。
(2)深化能力立意
数学科考试的重点是考查运用知识分析问题的方法和解决问题的能力。命题中尽量避免刻板、繁难和偏怪的知识考查，避免死记硬背的内容和繁琐计算。
在知识网络的交汇点设计能力试题，要求考生对课程内容能够融会贯通，把重点放在系统地掌握课程内容的内在联系上。如2000年文、理科的第(22)题是以平面几何(梯形)为背景，以图形变化为依托，以运动轨迹(曲线)为情景，以代数运算为方法，以集合区间为目标，在各科知识的网络交汇点上设计此题，在知识的深度和广度上都达到了一定的水平。再如2001年理科第(22)题，在一个抽象函数的背景中，将函数的奇偶性、对称性、周期性以及数列、极限有机地结合在一起，强调知识之间的交叉、渗透和综合，全面考查学生的综合文化素质。
突出对数学的“核心能力”——数学思维能力的考查。高考数学试题中所涉及的能力主要包括：体现数学特点的三大能力——逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力。数学的核心能力是思维能力，它不仅包括逻辑思维能力，还包括探索能力、直觉思维能力、合情推理能力、策略创造能力。
(3)培养应用意识
应用题的主要特点是：密切结合课本，考查数学的重点知识；靠近生活，密切联系国家政治、经济和人民生活的实际。应用题的编拟，更加重视语言的简捷、准确；背景的亲切、近人；模型的具体、简明；方法的熟悉、简便，以发挥应用题的考查功能。
(4)考查探究精神
创设新的试题情景，转换题目的设问角度，防止试卷、试题的“模式化”，使考生能在新的情景中实现知识迁移，创造性地解决问题，真正考查出考生的探究精神和学习潜力。如2000年文科第(20)题，理科第(19)题是“姊妹题”，第(Ⅱ)问，讨论函数f(x)=x2+1-ax(a>0)的单调性。理科未给出a的确切范围，文、理科都未给出是单调递增还是递减，不但要寻求条件，还要寻求结论，这一概念(不是单调函数)及证明方法，未见于教学大纲及课本之中，这种证明方法，源于教材，又高于教材，是开放性、探究性的体现。
(5)适当降低难度
近年来，高校连续扩大招生规模，报考生源也急剧增加，造成考生整体水平下降，为保证高考试题的难度水平在0.55左右，高考试题的难度也应相应降低。
“降低难度”是降低试题的平均难度或统计难度。高层次的试题不能降低难度，并且应当更有效地发挥甄别功能。因此“降低难度”以后的试题应是试题起点降低，终点难度保持原来的水平，试题难度的跨度加大，区分的层次加细。
(6)试题切入容易深入难
试题在设计上不给考生理解题意设置障碍，不搞文字游戏，多数考生都能解答部分试题和较难试题的前半部分，但完全解答试题有一定的难度，得满分不易。
试题切入容易、深入难有两层含义，一是整卷的难度尽量做到由易到难，降低起点题的难度，使多数考生都能在基础题上得到基本的分数。其次是对单题而言，采取分步设问的方式，降低题目入口的难度，前一、二问多数考生都能理解，并动手做题。
(7)按照数学科《考试说明》的要求，调整试卷的结构，减少了
选择题的分值，增加了解答题的分值
选择题：1998年是15道题，共65分；1999年调整为14道题，共60分；2000年调整为12道题，每题5分，共60分。
非选择题：填空题保持4道题，共16分；解答题虽然都是6道题，但1998年为69分，而1999年、2000年均为74分。
这样的调整更有利于能力的考查，加大了解答题的综合性和书面表述的考查要求。
在选择题、填空题的设计上，不局限于直接法去解决，有些题目可用筛选法、特殊值法、数形结合法、估算法等灵活的解法，有效地考查考生灵活运用有关知识、方法去分析和解决问题的能力。
(8)对基础知识的考查上，在全面考查的同时突出重点，并
注重学科知识的内在联系和知识的综合性
高中数学内容共有13章，每章都有题目，但有关函数(含三角函数)、不等式、数列、空间图形中直线与平面的位置关系、直线、圆锥曲线和解析几何的基本思想等内容是支撑中学数学学科知识体系的主要内容，在数学试卷中有较高的比例，并达到了必要的深度和难度，从而构成数学试卷的主体。
高考试卷经常将函数与方程、不等式、数列、解析几何有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系。
(9)更加深入地考查数学思想方法
数学思想和方法蕴涵于数学知识的发生、发展和应用的过程中。这两年来对数学思想方法的考查更加深入，主要体现在以下两个方面：
一方面通过选择题、填空题中的基础题，如1999年的第(4)、(10)、(11)、(16)、(17)题，2000年的第(4)、(5)、(7)、(11)、(14)等题，考查考生对数学思想和方法理解和掌握的程度，不仅涉及到配方法、换元法、待定系数法、数形结合法，还涉及到数学的思维方法，如比较法、穿举法、一般和特殊、整体和部分等，体现出思维的多样性、灵活性和深刻性。
另一方面，在解答题的解答过程中，考查考生应用数学思想和方法的意识性和掌握的深度。
4.数学高考复习的具体方法
(1)反刍“三基”，形成知识网络并强化记忆
“三基”——基础知识、基本技能、基本思想方法是数学能力的基础，是在考试中取得好成绩的保证，“三基”的灵活和综合运用即是能力。反刍“三基”，形成知识网络并强化记忆是指，一方面，要强化对“三基”的系统记忆，没有记忆，一切都无从谈起，数学学习同样需要记忆；另一方面，更重要的是要将原来学习中散落在各处的相关的“三基”连成“线”、织成“网”，即倾向于知识的浓缩，是“由厚到薄”。如立体几何中证明两条直线平行的方法，前后共学习了五种，必须将其集中在一起记忆，只有这样在遇到证明两条直线平行的问题时，才能快速有效地在头脑中提取、选择适合本题的证明方法；否则，将无所适从。连“线”、织“网”切忌简单罗列，应当是在深刻理解的基础上，将前后相关的知识纵横联系起来，融会贯通。
(2)上课认真听讲，课后科学复习
上课一定要认真听讲，抓住重点和关键，简要地记好听课笔记(记那些原来不会或有疑惑的问题)。课后先复习，消化讲课内容，然后再做作业。每天做数学作业之前，均应先回顾当天数学课上老师所讲授的内容，这不仅仅能复习巩固当天数学课的学习成果，而且复习质量高，效果好，记忆深刻，还可以发现听课中的盲点，知道哪些印象深，记住了，哪些印象不深或没记住，以便及时复习巩固。对每一道作业题，做后都要进行认真的回顾、反思和总结。克服不复习讲课内容，只忙于做作业和做后不思的不良习惯。
(3)用好错解题记录本，做好每次练习的“满分卷”
数学复习切忌盲目多做题，关键是找准自己在学习中的薄弱环节，查缺补漏。一是自己的错解题记录本中，将原来做错的题目重做一遍，看是否真正纠正了过来。因为人人有思维定势，原来的错误，若纠正的不彻底，再遇到类似的问题，往往会犯同样的错误。所以，出现错误之后，及时纠正，并找出产生错误的根源，真正弄清、弄会，使类似的错误不再发生，是学习取得进步的保证；二是每次测试之后，一定要将错解题改正过来，重新做一份自己满意的“满分卷”。每改正一个错解题，就是一次进步和提高，这应是每次测试之后需要做的最重要的工作；改正过来之后，应当多问几个为什么？解这个题的障碍在哪里？是想不到还是根本不知道？解这个题用到了哪些知识？用到了什么思想方法？有何技巧？解这个题的关键是什么？有什么经验教训？对待做对了的问题，你应当进一步反思一下，解法是否是最好、最简单？还有没有其他更好更简单的解法？
(4)提高解题的速度及准确性
数学考试是要求考生在规定的时间内，完成一定量的数学试题的解答。所以，考试竞争从某种意义上讲，就是时间的竞争。因此，努力提高解题的速度及准确性，是每个同学在数学复习中必须加以重视的问题。为此，应学习和掌握各种题型的解法，尤其是选择题和填空题的解法，防止“小题大做”。选择题、填空题虽然做对了，但若用时过长，也是“潜在丢分”。解题不仅要“熟练、准确”，而且要“简捷、迅速”是每个同学应当追求的目标。只快不准，是劳而无功；只准不快，是“隐含失分”。
为了实现“熟练、准确、简捷、迅速”的目标，解题时应具备以下两个意识：
①要有画图意识。解题时应尽可能画一个草图帮助思考，这个草图不一定非常准确，只要符合题设条件，能体现出问题的基本特征即可。数学家斯蒂恩说过，“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”“一个问题如果画出了能体现问题特征的图形，这个问题就等于解决了一半”。图形信息在启发思维方面有无可替代的直观、形象作用。
②要有表述合理、规范的意识。找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不要拖泥带水，口罗唆重复，更不要画蛇添足，用阅卷老师的话来说，就是写出“得分点”，一般说来，一个原理写一步就可以了，至于不是题目考查的过渡性知识，特别是初中知识，可以直接写出结论，考试答卷允许合理省略非关键步骤。
(5)用好、练好近几年来的高考试题
高考试题是《考试说明》的具体体现，是命题专家集体智慧的结晶，从某种意义上说，高考试题是最好的试题，高考试题的解答是最规范的解答。为此，同学们应认真研究和解答近年来的高考数学试题，体会命题专家是如何将教材中的例题、习题改造成试题的，是如何考查各知识点的，是如何考查数学思想方法的，是如何考查数学能力的，是如何考查探索性和应用性问题的，是如何考查数学语言的阅读、理解和互译能力的，是如何设计新情境考查学生的，从中得到有益的启示，以增强数学复习的目的性、针对性和实效性。
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