后来德克萨斯州大学奥斯汀分校的戈登指出：“一切直觉都告诉你史密斯猜想显然是对的，因为空间怎么可能绕着一条打结的线旋转呢？”这无疑是对史密斯猜想的确认。
至此，史密斯猜想的证明终于“尘埃落定”，而它则是借由丘成桐和密克斯的研究及瑟斯顿和巴斯的成果而完成的，戈登则负责把这些分散的研究成果整合成一个完善的证明。
史密斯猜想的证明，让年轻的丘成桐第一次注意到，他与密克斯对最小曲面的论证可以应用于拓扑学的问题，而且它也显示出，用几何学来解决拓扑和物理问题的想法是可行的。
因此可以说，史密斯猜想的证明，也是几何学家和拓扑学家合作解决问题的绝佳例子。试想一下，如若双方之间没有交流，势必要花上更漫长的时间才能得到证明。
这是取得博士学位走出伯克莱的丘成桐在数学研究上取得的又一成果，但他却并没有满足，他仍在钻研探索。很快，走进数学王国的丘成桐又迈出了坚实的脚步……
4．向卡拉比猜想进军
完成了与密克斯对最小曲面的研究成果后，丘成桐开始考虑在卡拉比猜想中提出的同类问题，虽然这个时候他并不知道，几何学家卡拉比早已提出了和他考虑的差不多的问题。
卡拉比是著名的意大利裔美国几何学家，他在1953年提出的卡拉比猜想。其内容即是将数学家陈省身曾做出的命题翻转了过来。
20世纪40年代中期，陈省身在提出了“陈氏类”的想法之后不久，证明出：黎奇曲率为零的凯勒流形，它的第一陈氏类必定也是零。卡拉比则把这个命题翻转过来，他提出：是否某些拓扑条件本身即足以决定几何性质，或者更准确地说，足以允许某种特定几何性质被决定。
这个猜想的基本想法是以某个单纯的拓扑空间为起点，建立起某种几何结构，以便稍后再以各种方式处理。它的问题形式则是要证明“复空间”的拓扑性质以及它的几何性质。
或者换一种方式也可以让我们进一步了解一下：卡拉比猜想所讨论的是具有一种特殊曲率（称为黎奇曲率）的空间，而一个空间的曲率和该空间的物质分布有关，如果我们说一个空间是“黎奇平坦”的，意思是它的黎奇曲率为零，亦即空间中没有物质。从这个角度来看，卡拉比所问的问题其实密切联系到爱因斯坦的广义相对论。即：假如我们的宇宙全无任何物质，它还会有引力吗？也就是说，如果卡拉比是对的，曲率就可以让空无一物的空间仍然有引力。
卡拉比表示，当他初次获得这个构想时，就认定“它纯粹是几何的，和物理毫无关系”。这一点，丘成桐是同意的，因为他知道，就算爱因斯坦不曾提出广义相对论，卡拉比猜想仍能以完全相同的方式表述，而且现有的证明也不必有一丝一毫的改变。
但当时爱因斯坦的理论已经广为流传，因此丘成桐认为，即使不是出自刻意，数学研究者在思考数学时，仍然难免会不自觉想到爱因斯坦的物理理论。实际上那个时候，爱因斯坦的方程式不仅已经把曲率和引力永远绑在了一起，而且已经牢牢地嵌入到数学里，甚至可以说，广义相对论已经成为整体意识的一部分。
这更让丘成桐坚信，无论卡拉比是否有意地思及物理学，其几何猜想与引力之间的联系都已是促使自己着手研究卡拉比猜想的主要动机。因为丘成桐已经体会认识到，证明卡拉比猜想可能是发现某些深刻奥秘的重大步骤。
提起当初开始研究卡拉比猜想，丘成桐院士说：
“后来的发展证明，卡拉比猜想对于几何分析以及对于我个人影响都较为深远。我认为自己能够巧遇，或者应该说是一头撞上卡拉比的想法，是我莫大的幸运。（更何况那年头还不时兴戴安全帽，哈哈）任何有足够才智和训练的数学家，都有可能对这个领域有所贡献，但要找到特别适合你的才智和思考风格的研究课题，就得靠运气了。虽然我在数学上有过几次幸运的遭遇，但是遇见卡拉比猜想无疑是一个亮点。
不论大家的工作岗位是什么，每个人都希望能找到真正的人生使命，即自己来到这世上的真正目的。对演员来说，那可能是饰演《欲望号街车》里的史丹利·科瓦斯基或是《哈姆雷特》中的主角。对于消防员，那可能是扑灭一场超级大火。如果是执法人员，那可能是逮捕头号人民公敌。而在数学里，则可能是找出那个你命中注定要研究的问题，又或许，跟宿命毫无关系，只是找到一个你够幸运能解决的重大题目。
……我在进研究所的第一年就紧抓住这个题目，不过有时候，反倒像是问题缠上了我。在此之前，以及从此之后，都不曾有其他题目这么强烈引起我的兴趣，我感觉到它可以开启一门新的数学分支，虽然卡拉比猜想隐约与庞加莱的经典猜想相关，但我觉得它的意义还要更加深远，因为如果卡拉比的预感是对的，他将会得出一大类我们当时仍一无所知的几何空间，甚至还可能对于时空的新认识。对我而言，这个猜想几乎是无法逃脱的，在我早期的曲率研究工作中，不管哪一条路最后都指向卡拉比猜想。”
5．试图反证卡拉比猜想
对一般人而言，卡拉比猜想显然是透过颇为复杂的数学语言表述提出的。而对于不断探索钻研的数学家来说，他们却看到，这个猜想不仅指出封闭而具重力的真空的存在性，而且还给出系统地大量构造这类空间的途径。因此如果它是真的，可以说它是“好到难以置信”。但很多数学家却更因它“好到难以置信”而不相信，他们不禁会问：听起来这样美妙的问题难道是对的吗？也有人说，世间哪有这样便宜的东西可捡？
可是，虽然怀疑卡拉比猜想的理由很多，却没有人能够反证它。但即便如此，在卡拉比猜想提出了20多年后，除了卡拉比本人之外，仍然没有几个数学家相信他的猜想是真的。
一心要研究卡拉比猜想的丘成桐也对其持怀疑态度，他对此回忆说：
“其实，许多人反倒觉得它好到不可能是真的，我就是其中之一。但我不愿把怀疑藏在心里，只在场外指指点点而已。
恰恰相反，我下定决心要证明卡拉比猜想是错的。”
因此可以说，丘成桐证明卡拉比猜想是从反证的途径开始的。在他开始寻找卡拉比猜想反例的过程中，既有因认为满意感到的高兴，也有因失败而感到的沮丧，但他却从没有停止钻研。这个钻研的过程，丘成桐坚持了3年。对此，他后来是这样回忆的：
“数学证明有点像登山，第一步当然是需要找到值得攀登的山岳。试想象走到一片犹待探索的遥远蛮荒之地，单单要找到这样的所在就需要一点智慧，更不用说探知当地是否真有值得追寻之物。等到筹集好必需的工具和装备，并且娴熟应有的技巧之后，登山者开始向上攀登了，但却可能因种种意外的困难而受阻……
卡拉比在数十年前就发现了他的山岳，但在20世纪70年代初，要让我和其他许多人相信它真的是一座高山而不是小土丘，还得花一点说服功夫。他提出的命题很引人遐思，我觉得有太多的地方值得怀疑……
我与其他人试图证明卡拉比猜想所描述的空间并不存在，差不多用了3年。我试着利用闲暇时间来寻找卡拉比猜想的反例。其中不乏令人兴奋的时刻：我会找到某个似乎能否定猜想的进攻路线，但稍后不免发现我那看似完美无瑕的推理总是有着缺陷，这样的情形屡屡发生……”
1973年，凭借坚持不懈地努力钻研，丘成桐终于找到了反证卡拉比猜想的灵感。他认为自己采取归谬证法的策略应该是无懈可击的，因此，当时心里更有一种“这次真的要大有作为”的感觉。
正好也是在这一年，由奥瑟曼和陈省身两位知名数学家组织举办了斯坦福国际几何研讨会。作为陈省身先生的得意门生，丘成桐不仅出席了这次研讨会，而且在会上做了几场正式演讲。也是在这次会议期间，丘成桐不经意地对一些同行提到：自己或许已经找到了可以彻底否认卡拉比猜想的方法。
此话一出，立刻在同行之间不胫而走。大家一致要求丘成桐一定要就这个问题做一个报告。禁不住同行们的热情鼓动，虽然已经排定了几场正式演讲，丘成桐还是答应大家，在一天的晚饭后，为同行们非正式地谈一下自己的想法。
到了那天晚上，30多位几何学家聚集在斯坦福数学大楼的三层，他们当中有丘成桐的老师陈省身先生和一些知名的学者，当然也包括几何学家卡拉比。
当丘成桐把如何构造反例说了一遍后，整个会场气氛十分热烈，同行们非常满意，大家都认为他的推理很扎实。在场的卡拉比不仅没有提出异议，还为丘成桐的构造反例给出了一个解释。同行们还评价说，丘成桐的这项研究成果是对这次国际几何研讨会的一大贡献。
研讨会结束后，陈省身先生对他的学生说：“你的这个反例或可视为整个大会最好的成果……”
丘成桐听了，既感到意外，又兴奋不已。
接下来的事情，则远没有国际几何研讨会时发展的那样顺利。就如丘成桐所说的那样：“可是，真理总是现实的。”两个月后，丘成桐收到了卡拉比的信。卡拉比在信中写道，因为对反例中的某些细节感到困惑，所以希望丘成桐能够把论证写下来，以便厘清反例中一些尚不清楚的细节。
看到卡拉比的信，丘成桐当时就知道自己犯了错。他立即开始以更严格的方式来反证卡拉比猜想，以证明卡拉比猜想是错的。卡拉比的来信让丘成桐意识到，只有提出更有力的证据，才能使他彻底否认卡拉比猜想的大胆断言得到认可。
或许这更让丘成桐感到一股压力，在接下来两个星期的时间里，为了重新构造反例，他几乎不休息也不睡觉，弄得“身心差不多要垮掉，把自己逼到几乎虚脱。”但却每当他以为终于把证明搞定时，总是瞬间就会有微妙的理由把它打掉，结果论证总会在最后一刻崩溃。而这一次又一次重演的情景，也让丘成桐的心情越加郁闷沮丧。
6．踏上证明卡拉比猜想的征途
煎熬般的两个星期过去了，丘成桐终于做出最后的判断：是自己的推理出了差错。走到这一步，唯一的解决办法就是改弦易辙，即改从反方向进攻。这就是说，要一改反证而认定卡拉比猜想必定是对的。而如果它是对的，那么随之而来的一切，包括有些人认为它“好到难以置信”的一切，也都必定是对的了。
为否证卡拉比猜想，丘成桐已进行了无数的努力和大量的付出，而现在不仅前功尽弃，还要走截然相反的道路去证明它成立，此时的他，心里真有一种说不出的感觉。
但走进数学王国的丘成桐是不会停住脚步的，他更清楚地看到，前面的道路将更加艰难。因为要证明卡拉比猜想，也就意味着要解偏微分方程。而对于数学家来说，这可不是普普通通的偏微分方程，而是某一种高度非线性的偏微分方程，这就是复系数蒙日-安培方程。
蒙日-安培方程的名称得自于法国数学家蒙日（Gaspard Monge）以及法国物理学家兼数学家安培（AndreMarie Ampere）。蒙日大约在法国大革命的时候开始研究这类方程，安培则在几十年后继续他的工作。
单从字面上看，“蒙日-安培方程”几个字对于数学研究领域之外的人而言，绝对够得上生僻、莫测。而在数学家的眼里，这类“蒙日-安培方程”则更有“出奇的难”之称。因此，我们可以想见，如此“出奇的难”的“蒙日-安培方程”，将会给丘成桐即将踏上的证明卡拉比猜想之路带来何等样的艰难不易。
但丘成桐是不惧怕艰难的，正可谓“明知山有虎，偏向虎山行”。他首先从蒙日-安培方程中的3种微分方程里分析出最容易理解、技巧最为完备的椭圆形方程。而幸运的是，卡拉比方程就属于非线性椭圆形方程。虽然卡拉比猜想根据的是一个稍有不同的几何架构，但排除了蒙日-安培方程多年前诞生的时间因素后，卡拉比猜想就被置于比较简单的椭圆形类别。这就让丘成桐认识到，可以用几何分析的工具来解决这个问题了。
虽然已经具备了几何分析的工具，但丘成桐知道，还仍然有许多准备工作要做。第一道难关，就是在此之前，还没有任何人解过复系数蒙日-安培方程。这让他觉得就像登山者不断挑战更高的山岳，而自己则是向更高维挑战。
为了先培养攻克高维蒙日-安培方程的实力，丘成桐和另一位数学家，也是他的好朋友，同样来自香港并且也同为陈省身先生的出色学生郑绍远，开始一起研究某些高维的题目。他们先从实数的情况着手，然后再对付更难的复方程。
两个年轻的数学家首先找上的是闵可夫斯基在19世纪与20世纪之交所提出的著名难题，对这道难题，纽约大学理工学院的鲁特维克（Erwin Lutwak）解释说：“如果能解出这个几何问题，附带还可以得到一项大礼：你同时也解决了一个可怕的偏微分方程。几何和偏微分方程之间的交互关系，是这个问题如此重要的原因之一。”
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