1．初显身手

    1969年是丘成桐进入伯克莱的第一年，也是在这个时候，20岁的丘成桐走进了几何学发展的最新领域：几何分析。

    几何分析是随着几何学的不断发展和演变，在最近几十年间成为横扫几何各领域的研究取向的。从整体看，几何分析的目标是利用分析学（微积分的一种高等形式）的强大方法来理解几何现象，而且反过来也可以利用几何直觉来理解分析学。

    丘成桐在几何分析这一领域的初显身手是对普莱斯曼定理的研究和证明。那是在他来到伯克莱后1969年的圣诞节，爱读书的丘成桐决定在这个短短的假期中选读一本书。当年在美国畅销书排行榜的前四名分别是《波特诺的抱怨》、《教父》、《爱情机器》及《天外病菌》，但丘成桐并没有选择它们中的任何一本，而是选择了美国数学家米尔诺的著作《莫尔斯理论》，虽然这本书没有那么畅销。

    之所以选择《莫尔斯理论》，是因为其中有让丘成桐十分感兴趣的关于拓扑学和曲率的章节。拓扑学是一门将物体依最广义的形状加以分类的学问。它和几何学的不同在于，几何学就像拿着放大镜研究地球表面，而拓扑学则好比搭上太空船，从外太空观察整个地球。

    数学家米尔诺在《莫尔斯理论》中探讨了局部的曲率对几何和拓扑具有重大影响的观念，而研究曲率如何影响几何性质，是几何分析的核心课题，这也是丘成桐后来一直研究的主题。他决定认真阅读米尔诺的《莫尔斯理论》。

    很快到了寒假，丘成桐仍然在阅读《莫尔斯理论》。他没有像大多数的同学那样离开校园去度假，而是依然和平日一样将大部分时间都留给了图书馆。自从来到伯克莱后，丘成桐从未像很多初到美国的年轻人那样，第一件事先去四处游览。他选择的第一件事则是去数学图书馆，这个选择也让他养成了在图书馆漫步，看到的每本期刊都要拿来读一读的习惯。

    这一天，丘成桐来到参考室翻查资料时突然发现，有一篇文章是他正在阅读的《莫尔斯理论》的作者数学家米尔诺在1968年完成的一篇论文。在这篇论文中，米尔诺提到了普莱斯曼定理，这一下引发了丘成桐的兴趣。

    丘成桐立即决定，利用寒假的时间研究普莱斯曼的定理，试试看自己能不能证明一些和普莱斯曼定理有关的东西。

    普莱斯曼观察的是在某个给定曲面上，两个“不平庸”的闭圈A和B。闭圈就是以某一点为起点在曲面上绕行，最后又回到起点的曲线。“不平庸”在这里则是指这个圈如果一直保留在曲面上，就没有办法一路缩小到起点。

    普莱斯曼定理的证明是在一个曲率处为负的空间上（局部上像鞍面），闭圈B×A绝对无法借由弯曲、延伸或缩小等手段平滑地变形为闭圈A×B，反之亦然。唯一的例外是：如果A的某个倍数（一个环绕A整数次所构成的闭圈）可以平滑地变成B的某个倍数，那么，闭圈B×A才能平滑地变形为A×B，反之亦然。

    丘成桐则证明出：如果A、B这两个元素可以交换，即A×B＝B×A，则在这个空间中，必定存在一个更低维度的“子曲面”，或者更明确地说，是一个环面。

    很显然，丘成桐证明的定理，比普莱斯曼的定理更为普遍，更适用于所有曲率非正的空间（也就是每一点的曲率是负值或等于零）。而这则是来到伯克莱仅仅只有几个月的丘成桐利用寒假时间取得的研究成果。

    对一般人而言，普莱斯曼和丘成桐所证明的定理或许相当冷僻，但他们在钻研证明的过程中都运用了比较专业的技术。更重要的是，他们的两个论证都阐明了：一个曲面的整体拓扑性质不只可影响曲面的局部几何，也可以影响整体的几何性质。这也是空间的整体性质。

    而这也正是当代几何的重要主题之一，即去理解一个给定的空间拓扑条件，可以支持什么样的整体几何结构。

    丘成桐则对自己用一个寒假证明出的定理比较有信心，假期结束后，他把证明拿给了年轻的讲师劳森去看。劳森看过后很高兴地对他说：“你的证明非常棒，没有任何问题！”

    于是，这位伯克莱年轻的数学讲师与刚刚走进校园不久的丘成桐开始一起做研究，他们共同合作，终于用这个证明中的某些想法证明出了另一个主题类似的定理。

    丘成桐为自己又证明了一个将曲率和拓扑关联起来的定理感到很高兴，虽然他并不觉得自己做出的这些特别值得一提，但毕竟终于能够为数学的知识殿堂做出一点贡献了。

    刚刚走进几何分析领域就接连证明出两个将曲率和拓扑关联起来的定理，初显身手的丘成桐却觉得没有什么，他还要在数学王国努力钻研，向更艰难的高峰攀登。用他自己的话说就是：

    “我还在寻找能真正留下我的印记的道路。”

    2．坚定研究方向

    天才加勤奋让走进伯克莱的丘成桐学习日益出色，他的数学天赋和优秀成绩更让有名的几何学家陈省身满意。出于对这个既具才华又勤奋的年轻人的喜爱和赞赏，陈省身先生亲自给他的朋友，也是当时的香港中文大学校长李卓敏教授写了一封信。在这封信中，大名鼎鼎的几何学家陈省身先生不仅将刚刚走进伯克莱不久，年仅20岁的丘成桐大大赞扬了一番，更直言不讳地给李卓敏校长写道，虽然中文大学对直接跳级进入伯克莱的丘成桐没有颁予学士学位，但以丘成桐的学习水平，更应该颁予他名誉博士……

    此时的丘成桐并没有想到自己竟会受到伯克莱著名几何学家的赞赏，更不知道陈省身先生会给李卓敏校长亲自写信的事，除了努力学习，他更对陈省身先生充满了崇敬。

    1970年的暑假，丘成桐来到伯克莱还不足一年，他终于向陈省身先生提出，请求他担任自己的指导老师。这位原本就十分赞赏丘成桐的几何学家立刻就答应了他的请求。

    从此，在陈省身先生的指导下，努力学习的丘成桐更加不断取得突出的成绩。这更让他的导师意识到，这个刻苦的天才青年必将在数学的海洋里大展身手，而且用不了多久，这个优秀的年轻人就会行走在数学王国的宝塔之上……

    果然，还没有过两个月，当丘成桐将他完成的论文交给他的导师时，陈省身先生很快就对他说：“我认为，你的这篇论文已足够成为博士论文。”这一下让丘成桐十分纳闷，因为一向自谦的丘成桐认为，就目前的水平，自己还不够一个博士的标准。但在先生的鼓励下，更考虑到自己的家境，他还是决定听从先生的建议，第二年即完成博士学业。

    也是在这个时候，一心钻研几何的丘成桐已经开始思索爱因斯坦的广义相对论和真空中的空间曲率。有一天，从东岸刚刚回来的陈省身先生兴奋地对丘成桐说：

    “我刚从普林斯顿的大数学家威尔那里听说，一个多世纪悬而未决的‘黎曼假说’或许很快就能解决了……”

    丘成桐听了，却远没有他的导师那样兴奋。

    黎曼是19世纪德国著名的大数学家，1854年，黎曼在他的就职演讲里，讲述了被称为黎曼几何的几何原理，并且猜度了宇宙本身的维度性和几何性质。当时年仅20多岁的黎曼，也正在发展一门数学理论，试图把电、磁、光和引力整合在一起，因而预见了一项科学家持续钻研至今的研究目标。

    所谓“假说”在数学上亦可称为“猜想”，当它提出来时，还没有一个完整的证明。因此“黎曼假说”虽然已经提出了一个多世纪，但是迄今仍然没有一个完整的证明。

    很显然，解决“黎曼假说”已成为数学界最显赫的问题之一，倘若谁能够解决它，不但可以确保工作一路无忧，还可以在数学史上留名。

    虽然如此，丘成桐却仍然对陈省身先生的提议不那么热衷，或许是一种感觉，他总是觉得“黎曼假说”就是无法激起自己的热情。而且他始终认为，如果一个人下决心要研究一个令众多英才铩羽而归、而且最少得钻研几年的重要问题，那么这个人首先要有热情才行，因为热忱不足无疑会影响成功的机会。

    而研究“黎曼假说”无疑意味着不仅需要多年，还会毫无成果。而此时的丘成桐已经对自己的研究和追求有了信心，他相信，尽管远不如解决“黎曼假说”那么显赫辉煌，但是不用太长的时间，自己一定会在几何的某些领域里做出一些成绩。

    这一切，皆源于丘成桐实在是非常喜欢图像的表示，喜欢能以某种方式观看的数学结构，这大概也就是他偏爱几何的原因吧。

    谈起当年没有接受导师陈省身解决“黎曼假说”的提议，丘成桐院士说：

    “这就好像钓鱼。如果对鱼的大小没那么挑剔，你通常总能带点东西回家。但如果你只想钓到没人捕获过的大鱼，像是神话传说中的巨物，那你几乎注定空手而归。25年过去了，黎曼假说依然是未解决的问题。就像我们常说的，数学里没有已经证明了90%这回事。

    我之所以谢绝陈省身先生的提议，部分原因即在此，但是我还有更重要的理由，即我已对广义相对论感到着迷，想要了解从引力、曲率和几何的互动中所产生的宇宙特征。我还不知道这个研究方向会把我带到哪里，但我有预感：驾驭几何的力量追求真理，将会是一趟万分精彩的历程。”

    3．与密克斯的最小曲面研究

    1971年，来到伯克莱两年的丘成桐以优异的成绩取得了博士学位。毕业后的丘成桐应邀来到美国普林斯顿大学数学研究所工作，紧接着他就与曾与他共同就读于伯克莱的同学、数学家密克斯开始了最小曲面研究。

    最小曲面就是以某一给定封闭闭圈为边界，所能形成的面积最小曲面。生活中我们都会和最小曲面有接触，比如每个人都不陌生的吹泡泡。当我们把吹泡泡玩具的塑胶环浸过肥皂泡液之后，它所形成的肥皂膜就会因为表面张力而变得非常平滑。这时，对于这个塑胶环来说，肥皂膜所覆盖的面积是最小的，也就是数学上所称的最小曲面。

    18世纪的时候，比利时物理学家普拉托开始通过一系列经典的实验对最小曲面进行研究。他把弯成各种形状的铁丝浸到肥皂液里进行观察，结果普拉托得出了“肥皂膜永远是最小曲面”的结论。

    普拉托接着又做出了更进一步的推测：对于任何给定的封闭曲线，永远都可产生一个以此为边界的最小曲面。有时候这种曲面只有一个，因此是唯一的。但有时面积最小化的曲面不止一个，而且不知道总共有多少个这样的最小曲面。

    普拉托的这个猜想因为很长时间没有得到证明而被称为“普拉托问题”，一直到1930年，才由杰西·道格拉斯和拉多各自独立证明。道格拉斯还因此于1936年得到了第一届的菲尔茨奖。

    虽然如此，数学家们对最小曲面的研究却从未停止。几十年后，几何学科普佳作《宇宙的诗篇》作者、斯坦福大学的奥瑟曼循着道格拉斯和拉多的成果又证明出：普拉托这类实验中的最小曲面，只可能出现一类特别简单的奇点，形状像是圆盘或平面相交时形成的直线。

    丘成桐与密克斯对最小曲面的研究则是在奥瑟曼做出证明后的20世纪70年代。他们研究的是一类称为“嵌入圆盘”的最小曲面，这种曲面不管怎样延伸，都不会弯折而和本身相交。

    结果他们证明出：如果一封闭曲线落在凸形体的边界上，则以此曲线为边界的最小曲面必定是嵌入的。也就是说，它不会有任何奥瑟曼在证明中所提到的那种折叠或交错的奇点，而是像丘成桐和密克斯证明的那样，在凸形体上一切都很美好而光滑。

    从道格拉斯和拉多到奥瑟曼，数学界对“普拉多问题”也就是最小曲面的研究已经辩论了几十年，终于通过丘成桐和密克斯的证明得到了解决。因此，他们的研究成果无疑又是数学领域几何学的又一突破。

    而丘成桐和密克斯的精彩并没有结束，因为他们为了证明这个版本的普拉多问题，引用了“邓恩引理”。所谓“引理”，就是为了证明另一个更广义的命题，而预先证明的辅助定理。

    德国数学家邓恩在1910年曾断言，在三维空间中，一个圆盘如果具有奇点，也就是它以折叠或交错的方式与自己相交，那么它可以被一个以相同圆周为边界，但没有奇点的圆盘来取代。这个命题如果成立就会有极大功用，因为这表示几何学家和拓扑学家可以把发生自交的曲面换成不自交的情形，这样就足以大幅简化他们的工作。

    后来到了1956年，邓恩引理被希腊数学家帕帕奇里亚科普洛斯证出。而丘成桐和密克斯则运用帕帕奇里亚科普洛斯的拓扑取向方法，来解决由普拉托所引发的几何问题。接着他们又反过来，运用几何方法来证明邓恩引理及相关的“圈定理”的更强版本，结果他们终于证明出：最小曲面圆盘既不会自交，也不会与那些对称作用下的任何圆盘相交，也可以这样说：这些对称作用下的镜像圆盘都是彼此“平行”的。唯一的例外是：一旦圆盘有相交，则必定是完全重合等同的。

    在当时，他们的这个证明结果是拓扑学家无法证明的。因此我们足可以想见，他们研究的这个问题的重要性。但是丘成桐和密克斯的精彩仍然在继续，他们最后竟然发现，这个问题的重要性还是超出了他们的预期，因为它联系上了拓扑学里一个著名问题：“史密斯猜想”。

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