虽然在这之前除波戈列洛夫之外，还不曾有人解过这个问题，但是关于如何处理非线性偏微分方程，却已有一套明确的既定程序。即被称为“连续法”的一种采取一连串估计的方法。
连续法的基本想法是通过一次次愈来愈准确的估计来逐渐逼近解答。这种方法的诀窍在于能制定出一套对于手上问题特别有效的策略。当论证经过足够多次的迭代之后，这个过程可以收敛到一个良好的解。但即便是这样顺利的话，最后仍然不会得到可以作为解而写下来的明确算式，而只是证明出该方程的解的确存在。
而对于卡拉比猜想及与它同性质的问题来说，证明某一偏微分方程有解，就等于几何里的存在性证明。也就说明，当给定某一“拓扑”条件，则合乎该条件的特定几何形体确实存在。
因此连续法这个名称的由来，是因为它从已知如何解的方程的解开始，然后将这个解连续不断地变形，直到得出你想求解的方程的解才结束。这个用于卡拉比猜想证明的程序，通常分为两部分，即牛顿勘根法和估计技巧。丘成桐和郑绍远使用的则是应用范围更广的估计技巧。
为理解“估计技巧”，我们可以先假设有人朝太平洋发射了一枚飞弹，落在比基尼环礁半径100英里（1英里=1.609344千米）的范围内，这样我们大致知道了飞弹的落点，但如果还想知道更多，例如它飞行的速度、加速度和加速度的变化率，那就得用微积分来对描述飞弹轨迹的方程求一、二、三阶导数。
在偏微分方程中，光是求这些导数就已经是很难了，但难度还远不如此。为了确保他们所得出的解答不会爆冲到无穷大以致失效，造成求解的过程徒劳无功，也就是确保他们的解答是“稳定”的，两个年轻的数学家从零阶导数，也就是我们假设的飞弹的位置开始，看看能否设定某个上下界，这就是做估计。这样至少可以提示出解存在的可能性。
他们接着再对每个更高阶的导数都做估计，以确认所有估计都不会太大或太小。虽然这种估计过程及证明估计本身可以被控制的过程通常都是整个解题过程中最困难的一环，但是丘成桐知道，只要他们能够用这种方式从零阶一路到三阶导数都建立控制，就对整个方程都有了良好的控制，那么，他们也就很有机会解出方程式。
卡拉比猜想的方程是二阶椭圆形方程，要解这样的方程，丘成桐和郑绍远必须先求出它的零阶、一阶、二阶和三阶估计。一旦完成这些估计，并证明它们收敛到想要的解答，也就证明完了整个猜想。
这也让丘成桐认识到“估计”的重要性，因此后来他回忆说：
“所以，说到底一切都在于估计。我首次体认到估计对于解决这类问题的重要性的经验，其实是有点讽刺的。记得当我刚进研究所时，我在伯克莱数学系的大厅遇到两位意大利博士后研究员，他们正欢喜雀跃边叫边跳。我问他们发生了什么事，他们说刚得到一个估计，当我问他们估计是什么时，他们当下的反应就像是说：你是没资格走进数学系馆的无知者。有了这次经验，我下定决心要学会先验估计这门学问。比我早数十年，卡拉比也经历过类似的遭遇。他的教训来自他的朋友兼合作者尼伦柏格。尼伦柏格对他说：‘跟着我念一遍：没有先验估计，就解不了偏微分方程。’在20世纪50年代初，当卡拉比写信给威尔谈论他的猜想时，威尔觉得当时的‘技术’还没成熟到可以求出解答，劈头问他的就是：‘你要怎么得到估计？’二十年后，当我涉身其中时，问题本身并没有改变，它仍是出奇的难，但是工具已经进步到有可能可以求出解答的地步。关键在于要设想出进击的路线，或至少构建出立足点……”
虽然已经走过了最困难的“先验估计”，下一步只要完成这些估计，并证明它们收敛到想要的解答，也就证明完了整个猜想。但丘成桐知道，在他和郑绍远向复蒙日-安培方程进攻之前，仍有更多的前导研究得做。因为要求出从零阶到三阶这4个估计绝非易事，事情总是说来容易做来难，否则也就不叫研究了。
两个人先从属于“边界值”问题的狄利克雷问题开始，因为要想解卡拉比猜想的椭圆形微分方程时，第一步就是处理边界值问题。而要解狄利克雷问题，他们也必须求出边界的零阶、一阶、二阶和三阶估计。
1974年初，同样在做狄利克雷问题的卡拉比和尼伦柏格得到了二阶估计，他们的成果，丘成桐和郑绍远也做到了。这让他们同时面临的问题就是得到三阶估计，因为相对来说，得到零阶估计较为容易，一阶估计则可以从零阶和二阶导出，而剩下来的三阶估计就是解开整个狄利克雷问题的关键了。
过了些日子，卡拉比和尼伦柏格发表了复蒙日-安培方程边界值问题的解答，但是后来发现，两位数学家的证明里有错误，因为他们没有做出三阶边界估计。
而在这之后不久，丘成桐和郑绍远即求出了他们自己的三阶边界估计的解答。陈省身先生知道后，便约了尼伦柏格吃饭，同时也邀了他的两个学生丘成桐和郑绍远一起参加，以便在席间说明他们的证明。
在当时，尼伦柏格已是数学界巨擘，而此时的丘成桐和郑绍远只是初出茅庐的新科博士，因此在见面之前，他们做了十分认真的准备。一直到见面的前一晚，两个人仍然在对他们的证明做仔细的检查，结果他们很不幸运地找到了几个错误。为了维持证明的正确性，他们又熬了一个通宵来修正错误。
第二天，他们在餐桌前向尼伦柏格说明他们的证明，尼伦柏格听过后比较满意，认为一切看来都不错，当时的丘成桐和郑绍远也觉得一切都没有问题。因而那一天的晚餐对于当时所有在场的数学家们来说，无疑是一次愉快的享受。
但是当离开餐桌后的丘成桐和郑绍远再一次把他们的证明检查一遍时，非常不幸运的两个年轻人又找到了新的错误。于是他们又埋头进入了不懈的钻研中。
一直到了1974年底，距离那次与尼伦柏格的晚餐已有6个月左右，丘成桐和郑绍远才最后解决了边界值问题，他们的不懈努力和艰苦付出终于得到了回报。这就是：
丘成桐和郑绍远所研究的方程与尼伦柏格和洛夫纳所研究的类似，不过维度更高。而且他们所用的方法跳过了三阶边界值的估计，并论证了没必要的原因。
7．攀登到高峰
边界值的问题解决了，丘成桐决定，准备好全力向卡拉比猜想本身进击。为了一心做卡拉比猜想的研究，丘成桐甚至把发表边界值问题的论文搁置下来。一直到5年后的1979年，他和郑绍远才发表了狄利克雷边界值问题的论文。
接下来的大部分工作时间，丘成桐都把自己交给了把实蒙日-安培方程的估计推广或转译到复方程上。但他的工作也更加艰巨，此前一直与他一起钻研的郑绍远，因为研究兴趣在其他方向，从此以后的研究路上，就只有丘成桐一个人单打独斗了。
同样是在1974年，卡拉比与尼伦柏格及普林斯顿大学的孔恩（JosephJ.Kohn）的继续研究使他们在三阶估计上有所进展，丘成桐把他们的研究结果推广到弯曲的空间上。
紧接着，丘成桐开始了对卡拉比猜想二阶估计的思考。从1975年夏天开始，丘成桐以不可阻挡的攻势走进卡拉比猜想二阶估计。他首先完成了卡拉比猜想二阶估计的初步工作，接着他又论证了二阶估计是如何依赖于零阶估计，以及如何可以从零阶导出二阶估计。
一年后，法国数学家奥邦（ThierryAubin）对此研究的成绩是独立求出二阶问题的估计，但他却是在丘成桐完成上述内容的二阶估计工作整整过去了一年之后，相比之下，无论是时间上，还是研究成果，显然丘成桐更占有绝对的优势。
接下来的工作，似乎更加如意和完美，尤其是最后的一段研究时间，年轻的数学家丘成桐更与未婚妻友云收获了幸福美好的婚姻。对此，丘成桐院士是这样回忆的：
“在完成二阶估计的工作后，我知道整个猜想的证明现在完全维系在一个问题上：零阶估计。一旦解决零阶估计，我不但能得到二阶，同时也能得到一阶，就像是免费赠品一样。因为当有了零阶和二阶估计后，我们就能确切知道如何求出一阶估计。这是所谓的幸运时刻，各阶估计之间会有怎样的关系全凭天意，而这次，老天爷是很大方的。不只一阶估计，甚至连三阶估计也依赖于零阶和二阶估计，所以归结起来，成败就看零阶估计。只要求出零阶估计，其他各阶都会自动就位；没有零阶估计，一切都是空谈。
最后这一段研究，我是在纽约大学的库朗数学学院做的，尼伦柏格帮我在那里找到访问学者的职位，而我的未婚妻友云当时则在普林斯顿。没多久，友云得到在洛杉矶的工作机会，为了和她待在同一地点，我也接受了加州大学洛杉矶分校的访问教职。1976年，我们开车横越美国，准备到加州之后结婚（后来也如愿结婚了）。那是一段难忘的旅程，路上风光旖旎，我们正在热恋之中，规划着如何共度人生。但我得承认，我可不只是有点分心，卡拉比猜想还在我的心里憋着，尤其是极难证出的零阶估计……”
从1975年夏天完成了卡拉比猜想二阶估计的初步工作后，丘成桐又付出了整整一年的时间，终于在他与友云的婚礼刚刚过后的1976年9月，求出了零阶估计。取得了零阶估计后，也就意味着所有问题都解决了，至此，证明卡拉比猜想的工作大功告成。
而此时的丘成桐却是异常的冷静，自从经历了几乎是惨痛的反证卡拉比猜想失败后，这是丘成桐又付出了3年时间的艰苦拼搏取得的成果，对于这次的成果，他是绝不会允许出现任何闪失的，就如他曾经回忆的那样：
“当然，人们常说，验证布丁口味好坏最好的办法就是吃下去，意思是指，即使某物外表看来不错，也得真的经过测试才知道好坏。关于卡拉比的证明，这次我不愿冒任何风险。1973年时，我已在斯坦福丢过一次脸，在众所瞩目的场合上宣称我知道如何证明卡拉比猜想是错的。我自以为能够否定卡拉比猜想的证明，结果却有瑕疵；如果我肯定卡拉比猜想的证明又有瑕疵，那我就真的名誉扫地了。我自忖，在未及而立之年的这个生涯阶段，我不能再承受一次错误——至少不是在这么重要且受人关注的事情上犯错。”
因此，在取得了突破性的零阶估计后，冷静的丘成桐开始对自己的研究成果一步一步认真检查核对：
“所以我检查再检查，用不同的方法，把证明从头到尾核对了四次。核对的工夫多到我发誓如果这次再出错，我就从此退出数学界。从任何角度看，我都找不出论证里有瑕疵，一切全都严丝合缝。当时还没有因特网可以让我把初稿上传，向众人征询意见。我只能采用老法子：把证明的书面稿件邮寄给卡拉比，然后到费城去和他及宾州大学的数学家卡兹当（JerryKazdan）等多位几何学家，面对面一起讨论。”
卡拉比终于看到了丘成桐的证明，他当即断定，这个证明很扎实，没有任何问题。但为了更慎重更稳妥，他和丘成桐还是决定一起去找尼伦柏格，以便3个人一起再逐一进行核对。而对于3个繁忙的数学家来说，能够找到他们都有空聚在一起的时间实在是不容易。最后他们终于约定，在1976年的圣诞节见面。
3个数学家在圣诞节的会面仍然没有发现丘成桐的证明有任何错误，虽然如此，他们仍决定，真的要最后确定一切，还需要更多的时间。对于他们当时的决定，卡拉比后来也曾回忆说：“证明大致看起来很完美。但它毕竟是很困难的证明，要彻底检查大约需要一个月的时间。”
又经过了一段彻底的检查后，丘成桐的证明终于得到了卡拉比和尼伦柏格两个人的共同认可。这无疑说明，丘成桐已真正完成了证明卡拉比猜想。谈及当时的情景，丘成桐院士回忆说：
“这段彻底检查的时间结束时，卡拉比和尼伦柏格两人都认可了。看来卡拉比猜想终于被我证明了，而且此后30余年，也没有发现任何足以改变这项论断的疑问。如今，这个证明已被许多人用各种重复检验过许多次，很难想象其中还能藏有任何重大的瑕疵。
所以，我究竟完成什么了呢？首先，我一直相信，我们可以借由结合非线性偏微分方程和几何来解决重大的数学问题，证明卡拉比猜想确认了此项信念。更明确地说，我证明了在第一陈氏类为零的紧致凯勒空间里可以找到黎奇平坦度规，即使我写不出这个度规的实际例子。我可以说的是，度规确实存在，但并不能明确说出它是什么。
虽然听起来不像是多么了不得的事，但我所证明‘在那儿’的度规，其后继续影响却很神奇。经由我的证明，确认了存在着许多奇妙、多维的形体（现在称为卡拉比-丘空间），满足没有物质情况下的爱因斯坦方程。我所求出的不只是爱因斯坦方程的‘一个解’，而是我们所知最大一类的方程解。
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