在数学学习中，数学概念的学习毫无疑问是重中之重。数学并不难学，只需要掌握三个字“重、精、巧”，即对例题要重读，对概念要精读，对要点要巧读。
——丘成桐
一、数学基础知识的学习方法
在学习数学的过程中需要掌握好数学各环节的学习方法，然而，数学基础知识的学习是重中之重，概念、公式、定理学不好，一切都无从谈起。
1.准确掌握数学概念的方法
现行中学数学教材中，出现的定义、性质、法则、公式、定理大约有1000余个。它如同人体的206块骨头，搭起中学数学学科的知识骨架。围绕它展开引出、证明、应用、记忆，构成了多姿多趣、丰富多彩的中学数学。也许你从未详细统计过学习了多少概念，也许你未曾意识到自己竟掌握了如此之多的概念，但当你面对数学题目的时候，头脑中却迅速地反映出相关的概念，使问题迎刃而解，这就表明你已经正确理解、准确记忆、灵活运用了你所学的概念。
对这约1000多个概念的理解、记忆、应用程度，决定着你的数学成绩。要学好数学，必须抓住主线，在概念这条主线上用功。
中学数学教学中，概念的教学通常有以下四个环节，即引出、推导、辨析和记忆。中学生要学好数学概念，不仅要掌握上述四个环节，而且还要掌握其中的方法。
(1)掌握概念的引出
概念的引出往往是教师精心设计的，认真听好教师的引言教学，不仅可激发求知欲，使心理进入积极的准备状态，更重要的是，教师可能会在引言中对概念的产生或应用对象有所交待(或提出关键性的思考问题)，这些往往是理解、记忆概念的重要铺垫。这一环节疏漏了，你的认识结构中就会出现一个空白。
定义、定理、公式等既然是对客观世界中数量关系的准确抽象，那么抽象的过程也就是前人发现和证明的过程。教师常常采取和同学们一起重涉前人之路的引入方法，这种方法可以教我们如何抽象客观现象，培养观察和探究能力。在这个时候，对同学们来说不应该把自己置身于探索者行列之外，应该认认真真地从事发现活动，研究发现过程，自己得出结论。这一步是不能省略的。
(2)掌握公式的推导
研究定理、公式的推导是使同学们的认识从感性上升到理性的途径，也是进行证明或计算的思考模具。在研究公式的推导时要注意以下四个要点：
①剖析典型。数学公式定理的推导方法很多，又都是数学论证的基本方法。尤其要注意研究那些在思路、方法、技巧方面有典型意义的定理、公式的推导。如一元二次方程的求根公式、三角函数的和差化积公式等。从这些公式的推导中我们可以学到一种重要的数学思想方法。
②借鉴技巧。研究一个公式、定理的推导过程，不亚于做几道习题。例如证明“相似三角形面积的比等于相似比的平方”。这个定理的证明非常简单，但重要的是，要从证明的过程中发现自己感觉到什么，思考它带来的启示，借鉴它提示的方法与解题技巧，然后将这些技巧应用到解题中去，你就会变得聪明了。
③寻求多种证法。公式、定理的推导过程往往有几种不同的方法，课本上一般只介绍一种，给同学们留有独立思考的余地。例如三角形内角平分线性质定理，现行教材中的证明是由作已知的三条线段的第四比例项引出的，构造出四条线段成比例图形，把要论证的线段转化成与之相等的线段。引平行线的作用就在于转移比例。教材中，只过三角形的顶点C作角平分线AD的平行线，那么过C点作AB的平行线可否转移比例？过A、B、D点作其他线段的平行线可否转移比例？不妨试试看。把所有的情况都研究之后，只有过被平分的角的顶点作平行线不能转移比例。其他六种证法两两相同。再比较这些证明方法我们看到：其一，最简单直观的还属教材中的情况；其二，例题和练习题的证题方法和结论往往是论证新问题的依据。经过这六种证明方法的探讨，同学们就会对用平行线转移比例的作用及思考方法理解得更深刻，运用得更灵活，对教材中知识的前后联系也有了系统的认识。
④排疑解惑。对概念的研究还在于排疑解惑，自己去验证它的正确性。对概念中有疑虑的地方，不妨试试看它究竟是怎样。通过自己验证排疑解惑，记忆就准确了。
(3)对概念进行辨析
“概念学多了，反而有些糊涂”，这是一些同学的感受。有这种感受并不奇怪，因为数学概念有很多是容易混淆的。从认识论的观点看，中学生的思维水平，要真正理解一个概念，仅靠引入、推导还不够，还要通过辨别、分析来澄清混淆，明确内涵、外延，深化理解。
①对比辨析。一些类似的概念，只有在对比中才能找到联系与区别，明确它们的从属关系，关键是要抓区别，通过对比，既知道了各概念间的共同属性，又知道了它们各自的不同属性，运用时就再不会糊涂了。
②变式辨析。对概念进行变式分析和应用，能够进一步掌握概念的特征及广泛效能。定义、定理、公式一般都可用数学符号来表达其对象间的关系。一个关系式里包含的几个量，虽有固定的关系，但不一定有惟一固定的形式。对形式进行合理变式，可得到更多的结论。变式辨析的一般方法是：a.单向递进式联想；b.双向可逆性联想；c.恒等变形。但要注意：在多种变式中，一定要首先深刻认识原公式、定理的特征。另外有些定理往往难解其意，用起来也很被动，这就要把它大解剖，析理清楚，运用起来就得心应手了。
③条件辨析。有些公式是在一定条件下才成立的。条件变了，则可能导出错误的结论。因此，要正确运用公式，就要弄清条件的来龙去脉。当公式的条件较多时，要弄清提供这些条件的原因，避免条件间发生交叉错误。有的时候学习的公式都带条件，弄得人眼花缭乱，用公式时不知如何是好。如代数中根式的性质和幂的运算性质19个，都有适用条件，但只要认真分析，你会发现所有的条件其实可以分别归属于两类，只要记住了这两条，19个性质的条件就全记住了。
(4)概念的记忆
数学的概念必须牢牢记住，只有记住了，才谈得上计算、运用和论证，否则是不可能有解题能力的，因此，同学们应学会一些记忆的方法。
2.数学定理、公式的学习方法
(1)建立、发展和完善数学认知结构
数学学习，就是把数学知识结构(指教材)经过积极主动的思维活动，转化为头脑里的数学认知结构。因此，在定理学习中，数学认知结构的建立、发展和完善，处于核心地位。
①打好基础，建立优良的数学认知结构。学习一门数学的新课程，或学习某一课程中与前面知识没有多大联系的新课题时，开始都会碰到一系列新的概念、公理、思想方法，以及一些简单的、基础的定理、公式等，这些内容不可能被原有的认知结构所同化，只能从实例、模型或已有经验中抽象概括，形成新的概念、公理、方法等，从而建立起一个新的数学认知结构。例如，平面几何入门阶段的学习，就处于建立新的数学认知结构的过程中。这个新建立的数学认知结构，就是今后学习的基础，它的优劣直接影响以后学习的好坏，因此显得十分重要。数学家张广厚曾说过：“我在念一本新书时，开头我特别下功夫，由于开头都是基础的东西，基础的东西往往是容易接受却难理解，特别是高等数学是这样……中学学习也是一样，开头简单，自己认为懂了，实际没懂，不下功夫，过两三个月就吃力了。要入门，就要开头下功夫，我觉得开头的基础要搞扎实。”他这番话，道出了入门阶段学习的重要性，反映了开始时建立优良认知结构的必要。事实上，从学生学习平面几何起始阶段的情况，也可说明这一点。新建立的认知结构是后继学习的基础，它具有较高的抽象、概括水平，所以这些内容虽然简单，但学习的要求却很高，应引起特别注意。尤其是采用公理化方法编写的教材，这一点表现得更为明显。
②循序渐进，搞好命题学习，促进认知结构的良好发展。数学是一门系统性很强的学科，前后内容紧密相联，一环紧扣一环。在学习时，若对某一环学得不扎实，认识模糊不清，就会直接影响认知结构的良好发展。如果不及时解决，那么继续学习下去就只能是机械学习，这时认知结构中出现的都是一些孤立的“点”，不仅容易遗忘，而且失去应用的价值，结果导致学习的失败。
在学习每一个定理、公式时，都要清楚地知道怎样一步步得出结论，运用了哪些概念、公理、定理或公式，使用的是什么方法等等。要知其然还要知其所以然，而不能只记住其条件和结论。命题学习过程是一个积极的思维活动过程，从感知定理的情境(信息输入)，接着进入思维(信息加工)，即与原有认知结构中适当的知识建立联系，相互作用，进行同化，然后把它纳入原有认知结构(储存)，并使原认知结构得到发展。在这个思维活动中，既要理解证明过程，更要从中学习到数学的思想方法和解题途径。这对发展认知结构，具有重要意义。例如，在圆周角定理的证明过程中所体现的分类、化归的方法等，就有积极的作用。因此，那种尽量缩短命题学习的时间来加快学习进程的做法，是不可取的。
③精炼所学知识，不断完善数学认知结构。数学认知结构也有一个形成、发展到完善的过程，它处于不断变化之中。并且，认知结构的大小也是相对的，大可以指整个中学阶段数学认知结构，小可以指某章某节的认知结构，也可以指某部分内容的认知结构。因此，每到一个阶段，就要进行提炼，改善原有认知结构，提高抽象、概括水平，以便有助于今后的学习和应用。通常，阶段复习、学期复习就应起这个作用。数学家华罗庚谈到学习有一个“由薄到厚”和“由厚到薄”的过程。他说：“要真正学会学懂还必须经过‘由厚到薄’的过程，即把那些学到的东西，经过咀嚼、消化，融会贯通，提炼出关键性的问题来……这看起来你得到的东西似乎比以前少了，但实质上经过消化，变成精炼的东西了。”华罗庚在这里特别强调了“由厚到薄”的重要性，反映了改进、完善数学认知结构的重要性。例如，初中学完代数方程后，可以对方程的解法进行整理、提炼，得出基本思想——“转化”、“降次”、“消元”，达到了高度概括、简缩；再由知识“点”、“线”组成知识的“网络”，揭示内在的联系(如图4-1所示)，从而完善了这一部分的认知结构。如果学习者在学习过程中经常进行这方面的工作，则不仅对数学知识会有更深入的认识，而且还有助于能力的提高与发展。
(2)几种有效的公式、定理记忆法
①对比记忆法。
就是把相互对立或近似的知识放在一起对比记忆。常见的有相似对比、正反对比等。
如：两个三角形全等和相似的判定条件，就可以这样对比记忆：
A.两三角形全等B.两三角形相似
a.两边对应相等，夹角相等；
b.两角对应相等，夹边相等；
c.三边对应相等。a.两边对应成比例，夹角相等；
b.两对应角相等；
c.三边对应成比例。
小结：角，相等——相等；边，相等——成比例。
这样对比记忆能突出两者的异同点，给人以鲜明深刻的印象，对加强记忆十分有利。
②分类法。是根据研究的需要，按照一定的原则对研究对象的一个划分，通过分类、有助于我们对数学概念的掌握和记忆。
初中数学教材中分类思想的应用比比皆是：有理数的分类、直线位置关系的分类等等。
正确完整的分类应该满足下列原则：①按同一标准分类；②没有遗漏；③没有重复。
如把有理数分为正有理数
负有理数
这就遗漏了既不是正有理数，又不是负有理数的有理数“0”。
分类，能帮助我们把纷繁的材料或研究对象条理化、系统化，形成简化的、有效率的思维方式。需要注意的是应把握好在什么情况才需要分类及如何分类，盲目的分类及分类不当反而会把简单的问题复杂化，把复杂的问题弄得更加复杂。
③形象直观法。即
是通过图形的直观形象，帮助记忆定理、公式的方法。如果掌握了公式的推导方法，并结合图形强化记忆，有利于在运用中巩固记忆。
下面我们介绍借助图形记忆有关公式：
A.平方差公式
图4-2
(a+b)(a-b)=a2-b2
如图4-2，则有
图4-3(a+b)(a-b)
=(a2-ab)+(ab-b2)
=a2-b2
B.两数和的平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
如图4-3，则有
(a+b)2
=a2+b2+ab+ab
=a2+2ab+b2
C.两数差的平方公式(a-b)2
=a2-2ab+b2
如图4-4，则有
(a-b)2
=a2-b(a-b)-b(a-b)-b2
=a2-ab+b2-ab+b2-b2
=a2-2ab+b2
D.三项式的平方公式(a+b+c)2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
如图4-5，则有
(a+b+c)2
=a2+b2+c2+ab+ab+ac+ac+bc+bc
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
二、提高数学运算能力的方法
运算能力可谓是学习数学的重头戏，掌握各种计算的技巧，不但能提高运算速度，而且对提高数学运算能力也很有帮助。
1.有理数计算的技巧
做有理数计算时，除了牢固掌握运算法则，正确使用运算定律外，还应有一个更高的要求，就是避繁就简，这就需要我们根据算式的结构特征，寻求简捷的方法。根据这一原则我们提出下面的常用计算技巧。
(1)先把互为相反数的两个数相加
例①：计算(-1.5)2-(-313)-(+214)
解：原式=2.25+313-214
＝(2.25-214)+313
＝313
(2)先把相加后得整数的数凑在一起相加
例②：计算449+(-5.2)+(+559)-(+10.8)
解：原式＝(449+559)+(-5.2-10.8)
＝10-16
＝-6
(3)先把同号的数相加，即先把正数和负数分别相加
例③：计算(-3)-(+18)+(-24)-(-36)+(+12)
解：原式＝(-3-18-24)+(36+12)
＝-45+48
＝3
上面提出的三个技巧的实质是先把容易相加的数先加，或相加后得数整齐的数先加。
(4)反用运算律
例④：计算47.5×(-0.1997)-0.475×(-9.97)
解：原式＝4.75×(-1.997)-4.75×(-0.997)
＝4.75×(-1.997+0.997)
＝4.75×(-1)
＝-4.75
例⑤：计算(-4317)×2215-8317×141315-4×(-141315)
解：原式＝(-4317)×2215+141315×(-8317+4)
＝(-4317)×2215+141315×(-4317)
＝-4317×(2215+141315)
＝-4317×17
＝-71
(5)合理选择运算顺序
例⑥：计算421819-831617-401617.
解：原式＝831617-421819-401617
＝43-421819
＝119
反用运算律、合理选择运算顺序的立足点是要细心观察，积极思考，克服定势思维的干扰，这样才能做到避繁就简，巧妙计算。
2.整数平方的速算
为了便于发现规律，我们列出一部分平方数：
112＝121212＝441312＝961412＝1681
122＝144222＝484322＝1024422＝1764
132＝169232＝529332＝1089432＝1849
142＝196242＝576342＝1156442＝1936
152＝225252＝625352＝1225452＝2025
162＝256262＝676362＝1296462＝2116
172＝289272＝729372＝1369472＝2209
182＝324282＝784382＝1444482＝2304
192＝361292＝841392＝1521492＝2401
(1)在每一列中，通过把幂的底数和个位数是5的底数相
比较，来发现幂的规律
设a是1、2、3、4，则15+a与15-a都和5相差1、2、3、4.
∴(15+a)2-(15-a)2
＝225+30a+a2-(225-30a+a2)＝60a
由此可知，当底数与15相差1、2、3、4时，它们的幂相应地相差60、120、180、240。即162与142相差60，172与132相差120，182与122相差180，192与112相差240.
同样(25+a)2-(25-a)2＝100a，即262与242相差100，272与232相差200，282与222相差300，292与212相差400.也就是底数与25相差1、2、3、4时，它们的幂相应地相差100、200、300、400.
(35+a)2-35-a)2＝140a，即362与342相差140，372与332相差280，382与322相差420，392与312相差560.也就是底数与35相差1、2、3、4时，它们的幂相应地相差140、280、420、560.
由(15+a)2-(15-a)2＝60a
(25+a)2-(25-a)2＝100a
(35+a)2-(35-a)2＝140a
还可以发现
(45+a)2-(45-a)2＝180a
(55+a)2-(55-a)2＝220a
……
利用这个规律记忆二十几的平方，则非常方便。
(2)个位数相同的两位数的平方的关系
10m+a与10+a(m，a是1—9的自然数)是个位数相同的两个两位数，我们来研究它们的平方的关系：
∵(10m+a)2-(10+a)2
＝100m2+20ma+a2-100-20a-a2
＝100m2+20ma-100-20a
＝100(m2-1)+20a(m-1)
＝10(m-1)(10m+10+2a)
＝10(m-1)［(10m+a)+(10+a)］
∴(10m+a)2＝(10+a)2+10(m-1)［(10m+a)+(10+a)］。
可见，只要知道了十几的平方，就可以求与它的个位数相同的，任意一个两位数的平方。例如：
已知112＝121
则412＝121+10(4-1)［41+11］
＝121+30×52＝1681
已知142＝196
则342＝196+10(3-1)［34+14］
＝196+20×48＝1156
(3)相邻的两个自然数的平方的关系
设a，b是相邻的两个自然数，且b=a+1，则
b2=(a+1)2=a2+2a+1
=a2+a+(a+1)
=a2+(a+b)
如果已知a2，则b2=a2+(a+b)
如果已知b2，则a2=b2-(a-b)
例如：612=602+(60+61)=3600+121=3721
492=502-(49+50)=2500-99=2401
762=752+(75+76)=5625+151=5776
3.分式运算中通分的技巧
在做分式加减法运算时，离不开通分。如果在通分时，有些分子所乘因式较多，就会使运算变得较为复杂。怎样才能做到巧妙通分、简化运算呢？下面提供几种方法：
例1：化简11-a+11+a+21+a2+41+a4
分析：如果采用一次完成通分，则运算非常复杂.从分母的结构关系(1-a)(1+a)=1-a2，(1-a2)(1+a2)=1-a4，(1-a4)(1+a4)=1-a8可以发现，应采用逐次通分的方法简化运算。
解：原式＝1+a+1-a1-a2+21+a2+41+a4
＝21-a2+21+a2+41+a4
＝2(1+a2+1-a2)1-a4+41+a4
＝41-a4+41+a4
＝81-a8
例2：化简12x-4-12x-5-12x-7+12x-8
分析：由于分母都是x的一次二项式，而且一次项系数相同，常数项逐次相差1.因此在选择通分的方法时，还应考虑使分子尽量简单，所以可以采用分组通分的方法简化运算。
解：原式＝(12x-4-12x-5)-(12x-7-12x-8)
＝2x-5-2x+4(2x-4)(2x-5)-2x-8-2x+7(2x-7)(2x-8)
＝-1(2x-4)(2x-5)--1(2x-7)(2x-8)
＝(2x-4)(2x-5)-(2x-7)(2x-8)(2x-4)(2x-5)(2x-7)(2x-8)
＝12x-36(2x-4)(2x-5)(2x-7)(2x-8)
＝3x-9(x-2)(2x-5)(2x-7)(x-4)
4.根式的巧妙运算
古代战争中，为了避免伤亡，保存有生力量，指挥官在指挥攻城拔寨时，往往采用智取，而不用强攻。
在解答数学题时，也应像指挥攻城拔寨一样，只可智取不可强攻。如计算
23+45-27(3+5)(3+7)
时，如果“强攻”，采用把分母有理化的方法进行计算，则运算量浩大，运算过程繁杂，费时费力，实在是得不偿失。如果“智取”，则应胸怀韬略，仔细观察其特点，选择好突破口，集中兵力一举攻克。由于题中所含根式只有3、5、7三种，而分母是3+5与3+7的积的形式，所以可以利用这个特点，把分子化成3+5与3+7的和差形式，从而巧妙地化解了难点，计算过程如下：
23+45-27(3+5)(3+7)
＝43+45-23-27(3+5)(3+7)
＝4(3+5)-2(3+7)〖〗(3+5)(3+7)
＝43+7-23
+5
＝4(7-3)4-2(5
-3)2
＝7-3-5+3
＝7-5
请你按照上述方法，计算下列各式：
①6+43+32(6+3)(3+2)
(答案：6-2)
②1+23+53+3+5+15+3+5+277+35+35+37
(答案：1)
5.巧用倒数解题
有些分式型问题，直接求解非常困难，若将分式的分子、分母上下颠倒，往往能化繁为简，化难为易。
例1：如果x+1x＝3，那么x2x4+x2+1＝
解：∵x4+x2+1x2＝x2+1+1x2
＝(x+1x)2-1＝8
∴原式＝18
例2：化简6+23+32+36+43+32
解：∵6+43+326+23+32+3
＝(6+3)+3(3+2)(3+2)(3+6)
＝13+2+36+3
＝6-2，
∴原式＝16-2＝6+24
三、培养观察与想像能力的有效方法
数学概念的形成，命题的发现，解题方法的探求，都离不开观察与想像，可见，观察与想像与想像对数学学习很重要。
1.多观察、多画图、多想像
在数学学习过程中，主要是在几何学习中要加强空间想像能力的培养。培养空间想像能力可
图4-7
通过以下几方面来实现。
(1)多观察
观察几何图形有利于形成空间观念。
例：在下图中，数出三角形的个数。通过这种类型的训练，可以促进空间想像力的发展。
观察能力不强的同学，审题时看不清题意，解题找不到突破口，学习概念时不能掌握实质，因而影响学习成绩的提高。可见，观察对数学学习是十分重要的。
例如，解方程｜x+1｜+x-2＝2，此题按常规解法来解，方程十分冗长，若注意观察题目结构，可知x-20即x2于是｜x+1｜3，这样左边≥3>2，故原方程无解，我们直接通过观察便可得到解题的结果。
(2)多画图
通过画图实践，能够对空间图形间的关系、线线关系、线面关系、面面关系有一个感性认识。画图往往是根据文字表述来画，这个过程实际上是再造想像过程。比如，画出沿三角形一条中线把由该中线所分得的三角形的两部分所在的平面画成互相垂直的空间图形。学生就要在头脑中再造想像这一空间图形的映象，并且能通过平面上的图形表示出来。
(3)多想像
多想像不仅要通过具体图形来想像，而且要通过文字表述来想像。这种想像是再现图形表象的过程，是对表象的再加工过程，是培养空间想像能力的很好途径。
上述的几方面体现了学生培养空间想像力过程中的认知活动。一方面，通过观察图形、模型，形成表象，它是学习者对形体认知的内化过程；另一方面，通过画图，是学习者表象的外化过程。多想像，实际上是对表象的加工过程。这一系列过程都是为再造想像积蓄条件，为培养数学空间想像力进行着必要的训练。
2.提高研究图形能力
学习几何虽然要接受大量的定义、公理、定理和论证方法，但这些内容都是从图形中抽象出来的。图形是对客观事物的抽象表现，心理学家把它称为视觉的符号，它是一种抽象而又直观、严谨而又简单的语言。因此，要学好几何，必须在研究图形上下功夫。
(1)画图
研究图形，首先须过好画图这一关。每接触到新图形，都要把它画准确，并在画图时进行几何术语的训练。学会看图说话，读句画图，进行文字、图形、符号的互相表达练习，直到准确熟练为止。
①画平面几何图形时，应注意以下四点：a.按已知条件画图，不能随意添减条件。b.不用特殊图形代替一般图形。c.线条粗细合理、整洁。图画得精确，会给证明带来启示；反之，有可能把思路引错。d.画图时用直尺和圆规，这要形成习惯。在没有过硬基本功时，不要徒手画图。
②画立体几何图形时，我们的想像不能局限于平面。有的同学总是停留在平面内考虑问题，建立不起空间观念，这种障碍应当排除。应突破平面，在空间联想。通常要求把握好以下三点：a.观察模型，建立联想；b.掌握定律，多思勤画；c.画好基本图形，打好功底。常见的基本图形有：空间四边形、异面直线、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、多面体、旋转体等。
(2)观察想像
学几何的真功夫就在观察与想像中。同学们接触图形，要善于观察、想像，有了这个能力，解题、论证能力也就水到渠成了。
①观察基本图形。复杂图形是由基本图形组合而成的，掌握了基本图形的特征和性质，无论它们在哪里出现，都能一看就认识，并知道它在题目中所起的作用。
②分解复杂图形。对基本图形观察得敏锐准确，就可以把复杂的图形分解看待，视为简单独立存在的一个个图形，或进一步分解成点、线段、角等元素。这是揭示题目逻辑关系的好办法，为推理论证提供了线索。
③观察图形间的联系。图形间往往是有联系的，要善于观测由图形演变所带来的条件和结论的变化，从变中看到不变，从不变中看到变化，以训练自己的空间想像和逻辑思维能力。
(3)恰当地处理图形
对几何图形研究的能力，更表现为根据解题需要恰当地处理图形。中学阶段对图形的处理是指添加适当的辅助线。添一条或两条辅助线，可使图形中分散的元素联系起来，为论证提供了必要的条件。
引辅线都从哪些方面考虑呢？这是同学们常感到困难的事情。
①引用常见的辅助线。教材中出现的辅助线，为解决同类问题提供了基本思考方法，它们具有普遍应用性和规律性。同学们要使自己具备独立引出辅助线的能力，首先要在教材中出现的辅助线上下功夫，弄清它们的处理方法，你就能获得解决类似问题的能力。
②抓住特征引辅助线。在有的图形引用常见的辅助线解决不了问题的时候，就应通过观察抓住图形的特征引用辅助线。常遇到的特征关系及解决方法有如下几种：a.定中点法。“给中点、证线段，常常要引平行线”，这是一条宝贵经验。b.对称法：图形的对称性在解题中作用很大，因此要找出图形的对称轴，发挥它的作用。
③重视典型的辅助线。有的题目确实使同学们百思不解。教师帮助做出后，同学们感到简直是太精巧了，这样引出的辅助线对我们分析问题、解决问题的能力大有提高。数学中引辅助线不仅仅是为了解几个题目，而是从事想像与再造的高级心智活动。它对开发学生智力，培养同学们创造性思维能力，有着不可估量的作用。
四、发散思维与分析综合的解题思路
发散思维在数学中的应用便是一题多解、即通过对命题的分析—综合—再分析—再综合，探求思路，寻找答案。
1.培养发散性思维在数学学习中的重要性
发散思维，是创造性思维的特点之一，它能够使人们沿着各种不同的方向去思考，其结果不是惟一的，而是多种多样的，具有新颖性、多端性、伸缩怀和精细性。数学中的一题多解，外语中的一句多译，都属思维发散性的范畴。学习中如果注意使自己的思维发散，就会思路灵活、开阔，而不致囿于一孔之见。
我们曾以“砖头有何用途”为题测验过一些同学的思维发散性，下面选两种答案供大家评议。
其一：砖头可以用来盖房子、铺路、建花墙、盖猪舍、砌鸡窝、修煤池、盖车棚、立煤炉。
其二：砖头可做建材，可用做武器、尺子、染料、教具、火炉、重物、雕刻原料、气功打击物、吸水物、装饰品、彩笔、垫托物。作为教具，在数学方面可计算三个面积、一个体积；在物理学习方面可算出密度、比热容和三个面的压强；在美术学习方面可利用它讲光线、透视学；在化学教学中可讲烧砖过程中的化学反应；在语文教学中可讲砖头那种甘当基石、无私奉献的“个性”；在政治经济学中可利用它讲国际贸易中低、高档商品之间的关系。
从以上两种差异颇大的答案中不难发现，后者具有较好的发散性。它能冲破“建材”的框框，想到许许多多方面。而在一个方面，又能进一步发散，能精细地逐一列举用途，充分体现了思维的新颖性、伸缩性、多端性和精细性。
我们不妨本着使思维尽量发散的精神，看看下面一道普通数学题会有多少种解法。
例：一台拖拉机2小时耕地25亩，这样计算的话，耕125亩地要几小时？
解法①：算术法
①每小时耕地：125÷(25÷2)
②耕每亩地需多少小时：2÷25×125
③求125亩是25亩的几倍时列式为：125÷25×2
④先求25亩是125亩的几分之几时列式为：2÷(25÷125)
⑤先求每小时耕地多少亩，再求每小时耕地的亩数是125的几分之几，可列式为：1÷(25÷2÷125)
解法②：列方程式
设耕125亩地需要x小时，则
①每小时耕地亩数相等，可列式：25÷2＝125÷x
②根据每耕1亩地所需时间相等，可列式：x÷125＝2÷25
③因每小时耕地亩数相等，所以耕地亩数的倍数与耕地时间的倍数相等，可列式：125÷25＝x÷2
④因为每小时耕地亩数相等，所以耕地亩数的份数与耕地时间的份数相等，可列式：2÷x＝25÷125
⑤根据耕地125亩所需时间除以耕每亩地所需时间等于要耕地125亩所需时间，可列式：x÷(2÷25)＝125
⑥根据耕地125亩所需时间除以125亩是25亩的几倍数，应该等于2小时，可列式：x÷(125÷25)＝2
⑦根据每小时耕地完成的份数应该等于每小时耕地的亩数与125亩的份数相等，可列式：1÷x＝25÷2÷125
⑧根据每小时耕地的亩数是125亩的几分之几与耕125亩地所需时间的积应等于单位“1”，可列式：(25÷2÷125)×x＝1
大量研究证明，一个人的创造能力如何，与发散性思维品质有着十分密切的关系，因此每个中学生都应大力发展思维发散的能力。但是，由于传统教育的影响，我们的教学往往更多的是注意培养学生的“聚合思维”——即培养同学们通过逻辑思维找出惟一正确答案的能力。我们出的问答题、选择题、填空题，许多考题都注重培养聚合思维，这是传统教育不足的一个方面。作为有志于创造的中学生，在发展聚合思维的同时，更应当主动地培养发散思维，两种思维菜同发展，才有利于创造思维的升华。只要有了这种意识，在学习和生活中培养发散性思维的机会是很多的。
2.用分析综合法探求解题思路
解答综合题首先要认真审题，明确数学语言的含义，分清题设与结论，挖掘隐含条件的意义与题设条件之间的联系，但最关键的是沟通已知条件与未知结论之间的内在联系，获得正确的解题途径，这时分析综合法是行之有效的思维方法。
分析法是指从问题的结论出发，探求结论成立所需要的条件的思维方法，可以用“执果索因”来概括，综合法是指从问题的题设出发，通过一系列已经确定的命题，逐步推演，导出结论的思维方法，常用“由因导果”来概括，把这两种方法融合起来，遵循“分析—综合—再分析—再综合”的思路，不断地从结论想需知，由已知想可知，不断地发展条件，转化结论，探求思路，经过若干次反复就能找到解题的关键，这是解综合题探求解题思路的最基本的方法。
例1
已知：m、n均为整数，并且方程(1)：x2-mx-n+3=0有两个不相等的实数根；方程(2)：x2+(m-6)x-n+7=0有两个相等的实数根；方程(3)：x2-(m-4)x-n+5=0无实数根，求m、n的值。
分析：
分析综合法不一定都是无从结论出发分析，再从条件出发综合，有时先从条件出发，扩展条件，再转化结论，探索需知，本题由题设易从根的情况得到系数m、n的关系，但这个关系是一个二元二次“混合组”，即有一个等量关系，两个不等关系，为求m、n的值，仍需对这个关系组进行消元或降次，即由已知想可知的方法上需要一种变形的技巧，如果不掌握整体代入化简的技巧，即使知道需知，也无法由可知得到。
解：∵方程(1)有两个不相等的实根，
∴△1＝(-m)2-4(3-n)>0
∵方程(2)有两个相等实根
∴△2＝(m-6)2-4(7-n)＝0
∵方程(3)无实数根
∴△3＝［-(m-4)］2-4(5-n)<0
即
m2+4n-12>0，
m2-12m+4n+8=0
m2-8m+4n-4<0？①
②
③
把①、②、③变形为：
m2+4n>12
m2-12m+4n+8＝0，
m2+4n<8m+4①′
②′
③′
把②′代入①′，③′得：
12m-8>12④
12m-8<8m+4⑤
解这个关于m的一元一次不等式组，得
53
∵m为整数
∴m=2
把m=2代入②得n=3
∴m=2，n=3
分析：由条件可知AB、O1C为⊙O1和⊙O2的直径，联想直径上的圆周角是直角，则连结BD，∠ADB是直角，又由条件EH⊥AE，可知BD∥EH，还可以想到若连结DH，则DH是⊙O2的直径，即DH过O2，于是图中易得△DBO2≌△HGO2，从而O2G＝O2B，再与O1O2＝32AO1联系起来，可推出AO1＝O1B＝2BO2＝BG＝GC，AC＝3AO1，AC＝4AO1
再从结论分析，由sin∠AGE＝AEAG，AG可以用AO1表示，若AE也用AO1表示，则可求sin∠AGE＝63，因为AE是⊙O2，的割线，则联想割线定理求AE.由于已分析出△DBO2≌△HGO2，则用DB代换GH，求GHGE＝DBEG＝ABAG＝23
五、常用的几种数学解题方法
1.解题方法(一)：分类法
有些数学题，在解题过程中，常常需要根据适当的标准，把所要讨论的对象分成若干类，然后逐类进行求解，最终得出正确结论。这样的解题方法，通常称为分类法。
用分类法解题，要注意做好两方面的工作：一是不断增强分类意识，善于识别需要分类讨论的对象；二是能根据对象的具体特征，找出适当的分类标准，按照不重复、不遗漏的原则完成具体的分类。
例1解不等式(m+1)x
分析：依一元一次不等式的解法，可以从x的系数入手，分成m+1>0、m+1=0、m+1<0三种情形进行求解。
解：分三种情形讨论：
(1)当m+1>0，即m>-1时，有解
x
(2)当m+1=0，即m=-1时，原不等式为0·x<-1，这是一个矛盾不等式，即此时原不等式无解。
(3)当m+1<0，即m<-1时，有解
x>m-1
综上讨论，当m>-1时，不等式的解为x
例2已知关于x的方程为
(k-2)x2-2(k-1)x+k+1=0，①
其中k≤3.求证：方程①总有实数根。
分析：方程①的二次项含有参数k，当k-2=0时为一次方程，当k-2≠0时为二次方程。因此，需分类进行证明。
证明：分两种情形来考察：
(1)当k-2=0，即k=2时，方程①为一元一次方程-2x+3=0，有实数根x=32
(2)当k-2≠0，即k≠2时，方程①为一元二次方程，它的判别式为
Δ=［-2(k-1)］2-4(k-2)(k+1)
=4(3-k)②
依题设，k≤3，即3-k≥0，于是由②式可知，Δ≥0.因此，这时方程有两个实数根。
综合①和②，原方程总有实数根。
2.解题方法(二)：换元法
在解题过程中，把某一式子看做一个新的变量，进行变量代换，得到结构简单的新问题；在新问题解出后，再根据所作的代换返回到原题，求得原问题的解。这种解题方法，通常称为换元法，又称变量代换法。
换元法是初中数学的一种重要方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式或不等式组的求解，函数的解析式、定义域或值域的推求等问题中，都有着广泛的应用。
利用换元法解题，具有极大的灵活性，关键在于根据问题的结构特征，选取能以简驭繁、化难为易的等量代换。就换元的具体形式而论，初中代数中常用的有整式代换、分式代换、根式代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技能技巧。
例1分解因式：(x2－x－3)(x2－x－5)－3
分析：本题如果把原式展开，化为x的四次多项式再分解因式，则数量关系比较复杂，不大容易成功。注意到x2－x在原式中出现两次，可作部分代换，令x2－x＝y，先把原式转化为y的二次三项式，再进行分解因式，如解法1.由于x2－x－3与x2－x－5只相差一个常数，也可以把其中的一个(如x2－x－3)设为y，然后进行分解因式，如解法2.为了减少计算量，还可取x2－x－3与x2－x－5的算术平均x2－x－4为标准量，先作标准量代换，再分解因式，如解法3.
解法1：令x2－x＝y，则
原式＝(y－3)(y－5)－3
＝y2－8y＋12＝(y－2)(y－6)
＝(x2－x－2)(x2－x－6)
＝(x＋1)(x－2)(x＋2)(x－3)
解法2：令x2－x－3＝y，则x2－x－5＝y－2，有原式＝y(y－2)－3
＝y2－2y－3＝(y＋1)(y－3)
＝(x2－x－2)(x2－x－6)
＝(x＋1)(x－2)(x＋2)(x－3)
解法3：令x2－x－4＝y，则x2－x－3＝y＋1，x2－x－5＝y－1，有
原式＝(y＋1)(y－1)－3
＝y2－4＝(y＋2)(y－2)
＝(x2－x－2)(x2－x－6)
＝(x＋1)(x－2)(x＋2)(x－3)
此题表明，用换元法解题，所作的变量代换，常常有多种不同的方式，可以斟酌题设情形，灵活掌握。
例2已知x＞2，计算：
x＋2＋x2－4x＋2－x2－4＋x＋2－x2－4x＋2＋x2－4
分析：直接进行根式运算，计算量偏大。在x＞2的条件下，x2－4＝x＋2·x－2，如果设x＋2＝a，x－2＝b，则x＋2＝a2，x－2＝b2，由此便可简化根式运算。
解令x＋2＝a，x－2＝b，则
原式＝a2＋aba2－ab＋a2－aba2＋ab＝a＋ba－b＋a－ba＋b
＝(a＋b)2＋(a－b)2a2－b2＝2(a2＋b2)a2－b2
＝2(x＋2＋x－2)(x＋2)－(x－2)＝4x4＝x
从以上解题所知，换元法是一种很好的解题方法，它可以使运算简化，方便解题。
3.解题方法(三)：判别式法
实系数一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)①
的判别式Δ＝b2－4ac具有以下性质：
Δ＞0方程①有两个不相等的实数根。
Δ＝0方程①有两个相等的实数根。
Δ＜0方程①没有实数根。
对于一元二次函数
γ＝ax2＋bx＋c②
它的判别式Δ＝b2－4ac具有以下性质：
Δ＞0抛物线②与x轴有两个不同交点。
Δ＝0抛物线②与x轴相切于一点。
Δ＜0抛物线②与x轴无公共点。
利用判别式Δ＝b2－4ac的上述性质进行解题的方法，叫做判别式法。我们试看下面的例子。
例1对任何有理数m，方程
x2－4mx＋4x＋3m2－2m＋4k＝0
的根都为有理数，求k的值。
解：原方程整理为
x2＋4(1－m)x＋(3m2－2m＋4k)＝0
由条件可知
Δ1＝4(m2－6m－4k＋4)为有理数的平方数，则有
Δ2＝(－6)2－4×1×(－4k＋4)＝0
解之，得k＝－54
例2求方程组x＋y＝2
xy－z2＝1的实数解。
解原方程组即x＋y＝2
xy＝1＋z2
我们构造以实数x、y为根的一元二次方程
u2－2u＋1＋z2＝0①
则Δ＝(－2)2－4(1＋z2)≥0
即z2≤0，从而z＝0
此时方程①为u2－2u＋1＝0
∴u1＝u2＝1
于是原方程组的解是x＝y＝1，z＝0
4.解题方法(四)：待定系数法
有些数学题，解题的结果具有某种确定的结构，这时可以先选取适合题意的结构形式，然后根据已知条件，求出结构中尚待确定的未知系数，从而得到原题的解。这种解题方法，通常称为待定系数法。
确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。
比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的若干关系式(通常是多元方程组)，由此求得待定系数的值。
特殊值法，是指通过取字母的一些特定数值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定系数的值。
待定系数法的应用十分广泛，在初中数学中，主要用于处理多项式的恒等变形问题，如分解因式、解方程、确定函数的解析式等。
例1已知多项式x4－5x3＋11x2＋ax＋b能够被x2－2x＋1整除，求a，b的值。
分析：被除式的最高次项为x4，常数项为b；除式的最高次项为x2，常数项为1，所以商式必为二次多项式，且可设为x2＋mx＋b，于是
x4－5x3＋11x2＋ax＋b
＝(x2＋mx＋b)(x2－2x＋1)
由此，可用比较系数法或特殊值法确定a，b的值。
解法1：
设商式为x2＋mx＋b，则
x4－5x3＋11x2＋ax＋b
＝(x2＋mx＋b)(x2－2x＋1)①
将①式右边展开，得
x4－5x3＋11x2＋ax＋b
＝x4＋(m－2)x3＋(1＋b－2m)x2＋(m－2b)x＋b②
由于②式是恒等式，因此两边对应项的系数相等。比较②式两边对应项的系数，得
m－2＝－5
1＋b－2m＝11
m－2b＝a
解方程组，得
a＝－11，b＝4
解法2：
由题设条件，可设
x4－5x3＋11x2＋ax＋b
＝(x2＋mx＋b)(x2－2x＋1)①
由于①式是恒等式，它对所有使式子有意义的x值都成立。令x＝1、2、－1，得
7＋a＋b＝0，
20＋2a＋b＝4＋2m＋b，
17－a＋b＝4(1－m＋b)
解方程组，得
a＝－11，b＝4
例2分解因式6x2＋xy－2y2＋x＋10y－12
分析：由于6x2＋xy－2y2＝(2x－y)(3x＋2y)，所以原式的两个因式，必定具有2x－y＋a和3x＋2y＋b的形式，于是，可用待定系数法分解因式。
解：设
6x2＋xy－2y2＋x＋10y－12
＝(2x－y＋a)(3x＋2y＋b)①
①式右边展开，并比较两边对应项的系数，得
3a＋2b＝1
2a－b＝10
ab＝－12②
③
④
由②、③联立，解得a＝3，b＝－4，代入④式也成立。所以
原式＝(2x－y＋3)(3x＋2y－4)
顺便指出，例2也可以按试验法的基本思想，用双十字相乘法求解，有
6x2＋xy－2y2＋x＋10y－12
＝(2x－y＋3)(3x＋2y－4)2x
3x×-y
2y×3
-4
从上面两个例子可以看出，在用待定系数法解题时，要注意题目的特点，选取恰当的结构形式，待定的系数越少，计算就越简便。
5.解题方法(五)：同一法
同一法是一种间接证明方法，多用于几何题证明。
如果一个命题的题设和结论都是惟一存在的，而且所指的概念是同一概念，同时这个命题的逆命题的题设和结论也都是惟一存在的，而且所指的概念是同一概念，这样的命题和它的逆命题是等价的，原命题和它的逆命题等价的命题称为符合同一原理。
当一个命题不易直接证明，而它又符合同一原理时，我们就可以转而证明它的等价的逆命题，只要这个逆命题正确，原命题也就成立，这种证明方法叫做同一法。
运用同一法证明的步骤是：
(1)要证明某图形具有某种性质，可以先作出具有这种性质的图形；
(2)由所作图形的性质，经过推理，推得与命题的题设相合；
(3)据此图形性质的惟一性，知所作图形与已知图形相合；
(4)断定已知图形具有某种性质。
这里需要注意的是：
①命题的题设和结论都惟一存在，不是指命题的条件和结论只包含惟一的事项，即个数只有一个，而是指图形具有惟一的一种性质、特征。我们看一个命题是否符合同一原理，一定要看这个命题的题设和结论是否惟一存在，所指的概念是否为同一概念，而不要被题设和结论中事物的个数所迷惑。
②一个命题的题设和结论惟一存在，它的逆命题的题设和结论不一定惟一存在。在有多个逆命题时，只选择一个与原命题等价的逆命题来求证即可。
例1已知：△ABC，过AB边上任意一点D作直线DE交AC于E，使AD〖〗DB＝AEEC，求证：DE∥BC。
分析：题设中的ADDB＝AEEC，结论DE∥BC都是惟一存在的，符合同一原理，可用同一法。
证明：如图4-10，过D作直线DE′‖BC交AC于E′
则ADDB＝AE′E′C
但已知ADDB＝AEEC
∴AEEC＝AE′E′C
由合比性质
AE＋ECEC＝AE′＋E′CE′C
即ACEC＝ACE′C
∴EC＝E′C
E和E′都在AC上，且都在C点的同侧，而线段上截定长的端点是惟一的，因此E与E′必重合为一点。
∴DE∥BC
图4-11
例2求证：等腰三角形底边的垂直平分线必过顶点。
已知：△ABC中，AB＝AC，BD＝DCDE⊥BC
求证：DE过顶点A
分析：线段BC的垂直平分线惟一存在，△ABC的顶点A也惟一存在，符合同一原理，可用同一法。
证明：如图4-11连结AD
∵AB＝AC，BD＝DC，AD＝AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB＝∠ADC
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
∴AD⊥BC
又BD＝DC
∴AD是BC的垂直平分线.
但已知DE是BC的垂直平分线，而BC的垂直平分线只能有一条，因此DE与DA必重合
∴DE必过A点。
6.解题方法(六)：反证法
反证法是一种间接证明方法。当有的命题采用直接证明不易证出或者比较繁难时，可改为证明原命题的反命题不成立(命题“若A则B”的反命题是“若A则非B”)或证明与原命题等价(或称等效)的逆否命题。
反证法是先提出与结论相反的假设，把此假设作为新的已知条件，然后推出与公理、定义、定理、题设、假设或推导自身相矛盾，这就证明了与原结论相反的结论不能成立，从而肯定了原结论必然成立。
反证法又分归谬法和穷举法两种：
当命题结论的反面只有一种情况时，只需推翻这种情况就能证明结论正确，叫做归谬法。
当命题结论的反面不止一种情况时，则需一一推翻，才能证明结论的正确，叫做穷举法。
用反证法证题的步骤如下：
(1)反设——假定结论的反面成立；
(2)矛盾——推理推出矛盾结果；
(3)结论——判断结论的反面错误，断定结论正确。
宜用反证法的类型：
①起始性命题。基本定理或某一系统的初始阶段已知条件较少，结论的反面多于已知条件，此时宜用反证法。
②否定型命题，结论中有“不是”、“不能”、“没有”、“不可约”等词语，其反而往往更具体，宜用反证法。
③惟一性命题。命题的结论以“至少”、“至多”、“惟一”等形式出现，宜用反证法。
④必然性问题。结论中有“必然”、“一定”、“必”、“总”等特征，宜用反证法。
⑤用直接证明方式较繁琐或有困难时，宜用反证法。
⑥命题的结论涉及无理数，因其反面是有理数，可以表示为pq(p与q互质)，这时宜用反证法。
⑦命题的结论涉及的对象无限。
后两种情形在代数、三角等学科中用得多，几何中极少出现。
以下举例说明怎样用反证法证题。
例1：在平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
已知：直线a，b，c在同一平面内，a∥b，c∥b
求证：a∥c
证明：如图4-12，假设直线a，c不平行，即相交，设交点为P，则在同一平面内，由a∥b，c∥b得到过P点有两条直线a和c都与直线b平行，这与平行公理“经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾，这说明前面假设的直线a，c相交是错误的，即a，c不平行是错误的，因此，直线a∥c.
例2求证：一个三角形中至少有一个内角大于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个≥60°.
证明：如图4-13，假设∠A，∠B，∠C都不大于或等于60°，即都小于60°
即∠A＜60°
∠B＜60°
∠C＜60°
三式相加，得
∠A＋∠B＋∠C＜180°。
这与定理“三角形的三内角之和等于180°”相矛盾，所以，三角形的三个角都不大于或等于60°的假设是错误的，故一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°.
7.解题方法(七)：辅助元素法
通过添设某种辅助元素(辅助线、辅助图形、辅助变量、辅助多项式、辅助方程、辅助函数、辅助不等式等)，使数学题得以简化或易于求解的方法，通常称为辅助线元素法。
这里，从初中数学的实际出发，重点讨论平面几何中添设辅助的若干方法。
添设辅助线的基本思想，在于通过添设辅助线，或是把有关的几何元素相对地集中起来，便于运用图形的性质；或是造就一个新图形，把已知和未知联系起来，使思路畅通；或是发掘题目中的隐含条件，为进一步解答创造条件。
循着上述基本思想，添设辅助线的常见途径有：连结两已知点或特殊点；延长某已知线段；过已知点作某直线的平行线；过已知点引某直线的垂线；过已知点引圆的切线；添设满足结论要求的线段；等等。
例1四边形ABCD中，AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，设AC与BD相交于O，EF交BD于M，交AC于N.求证：
OM＝ON
分析：结论中的OM和ON是△OMN的两条边，与已知条件没有直接联系。考虑到题中涉及线段的中点，不妨添设△ABD和△ACD的中位线一试。
证明取AD的中点P，连结PE，PF(如图4-14示)，在△ABD和△ACD中，由中位线定理，得
PE∥12DB，PF∥12AC①
∴∠OMN＝∠PEF②
∠ONM＝∠PFE③
依题设，AC＝BD，所以由①式即得
PE＝PF
∴∠PEF＝∠PFE④
比较②，③，④式，有
∠OMN＝∠ONM
∴OM＝ON
例2AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线相交于D，和⊙O相交于E.如果AC平分∠DAB；
(1)求证：∠ADC＝90°；
(2)若AB＝2r，AD＝85r，求DE.
分析：(1)联想切线的性质定理，可添设⊙O的半径OC，证AD∥OC.(2)联想切割线定理，要求DE，只需求CD；在Rt△ACD中，又只需求AC；观察AB、AD和AC在图中的位置，可连结BC，利用△ABC∽△ACD进行推求。
解(1)依题设，CD是⊙O的切线，连结OC(如图4-15)，则
OC⊥CD
∵OA＝OC∴∠OCA＝∠OAC
∵∠OAC＝∠CAD
∴∠OCA＝∠CAD
∴AD∥OC∴AD⊥CD
∴∠ADC＝90°
(2)连结BC，则∠ACB＝90°.在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠BAC＝∠CAD，所以△ABC∽△ACD，有ABAC＝ACAD
∴AC2＝AB·AD＝2r·85r＝165r2
在Rt△ACD中，由勾股定理，得
CD2＝AC2－AD2＝165r2－6425r2＝1625r2
从而，由切割线定理，得
CD2＝DE·AD
∴DE＝CD2AD＝1625r28〖〗5r＝25r
上面两个例子，通过连结两已知点或特殊点，把已知与未知联系起来，使原题得以解出。由此可以看出，同一个题目常常可以从不同的角度，添设不同的辅助线。为此，解题时应通过多方面的分析和比较，谋取简便的解题思路。
连结两已知点或特殊点，是添设辅助线的一种基本方法，应用十分广泛，常用的有以下途径：
(1)已知三角形两边的中点，常添设中位线，以便利用中位线定理产生新的等角，并使原三角形的第三边作减半平移。
(2)已知梯形两腰的中点，常添设中位线，以造成长为两底和一半的新线段或新的等角。
(3)已知直角三角形斜边的中点，常添设斜边上的中线，以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，把有关线段或角联系起来。
(4)遇有已知直径的图形，常把圆上某点同直径两端连结起来，以利用直径上的圆周角是直角的性质。
(5)对于两圆相交问题，常连结连心线或公共弦，以便利用连心线垂直平分公共弦及弦所对的弧的性质，并把圆周角、圆内接四边形的外角和内对角等联系起来。
(6)遇有切线问题，常把切点(或切线上某已知点)与圆心连结起来，以造成直角或利用切线长定理、切割线定理等。
对于以上各种情形，如果图形中只有一个已知点，则可按上述思想在图形中取定所需的点。
六、数学选择题的几种解法
选择题由题干和选择支两部分构成。一般情况下，题干是题目的条件，选择支是备选的结论，也就是备选答案。数学选择题一般都规定“在本题的四个备选答案中，只有一个是正确的”，这类选择题叫做四选一的单项选择题。
解答选择题和解答其他数学题目一样，要注意认真审题，弄懂题意，探求解题思路，给出题解，检验题解是否正确。由于选择题有自己的特点，根据它的特点，在解题方法上有它特殊的地方。
首先选择题给出几个备选答案，其中既有正确答案，又有错误答案，这就使题目既具有暗示性，又具有迷惑性，只需从四个答案中选择出正确的那个就可以了。
其次，作为单项选择题，所设的备选答案只有一个是正确的，因此可以这样考虑，如果能确定某个备选答案是正确的，那么其他的备选答案一定都是错的。从另外一个角度考虑，如果能确定某些备选答案是错的，直到只剩下一个备选答案(即使对它的正确性一无所知)，那么这个答案一定是正确的。
由这些特点出发，解选择题经常用以下几种方法：
1.解法(一)：直接法
直接法就是从题目所给的条件出发，通过分析、推理、计算，得出结论，从而确定哪个备选答案是正确的。直接法是解选择题的基本的方法，也是最常用的方法。
例1当m<0时，m2m的值为().
(A)-1(B)1
(C)-m(D)m
分析：由于m<0，所以m2＝-m，那么m2m＝-mm＝-1.故应选(A)。
例2如果1是关于x的方程x２＋2kx-3k2=0的根，那么k的值是().
(A)0(B)-1或13
(C)1或-13(D)1或-1
分析：由于1是方程x2+2kx-3k２＝0的根，所以1满足这个方程，把1代入，得1+2k-3k2＝0.解这个关于k的方程，得k=1或k=-13.故应选(C).
小结：由上面的例子可以看出，利用直接法解选择题和解一般的求解题有许多相近的地方，好像解完题后在备选答案中对答案。
这里有一点要提醒注意，利用直接法解选择题，解得的结果不在备选答案中，当然可以判断解题过程一定是错的。如果解得的结果在备选答案中，是正确还是错误，还应进行认真核对。因此，解选择题的解题过程也要特别注意正确性。
2.解法二：筛选法
由于单项选择题的备选答案只有一个是正确的，所以可以通过确定三个备选答案是错误的，从而确定剩下的一个备选答案是正确的方法来解题。这种解选择题的方法叫做筛选法。
例1：关于x的方程x2-ax-a2=a2的解是().
(A)-a，2a(B)-a，-2a
(C)a，2a(D)a，-2a
分析：将x＝a代入原方程，得左＝-a2≠右，故可排除(C)、(D)；在(A)和(B)中必只有一个是正确的，所以不必再代入-a，而可将-2a代入原方程，同理左＝5a2≠右，从而又排除了(B)，故应选(A).
说明：本题用直接法也不困难，x2-ax-2a2=0，即(x-2a)(x+a)=0，所以，x=2a，x=-a，故选(A).所以解答选择题并没有固定的方法，要因题而异，选择较优的方法。
例2：二次函数ｙ＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么结论()正确的.
(A)a＞0，bc＞0
(B)a＜0，bc＞0
(C)a＞0，bc＜0
(D)a＜0，bc＜0
分析：由于ｙ＝ax2+bx+c的图象开口向下，所以a＜0，可以排除备选答案(A)、(C)。由于ｙ＝ax2+bx+c的图象与ｙ轴交于正半轴，所以c＞0。而对称轴x＝-b2a＜0，b＜0。b、c异号，可排除备选答案(B)故应选(D).
3.解法(三)：验证法
单项选择题的备选答案只有一个是正确的，如果能将备选答案逐一代入题目中去验证，从而确定答案，这种解选择题的方法叫做验证法。
例1方程5x-1＝2-x-1的根是().
(A)4(B)3(C)2(D)1
分析：本题可以利用直接法来解，但运算量较大。由于题目中的备选答案给出了具体数值，可以将它们逐一代入，确定正确的答案。x＝4，x＝3，x＝2均不能使方程成立，而x＝1时方程成立。故应选(D).
例2已知ｙ=(m-1)xm2-m-1是反比例函数，则m的值为().
(A)1(B)0(C)-1(D)2
分析：本题可以根据反比例函数的概念，采用直接法来解。如果采用验证法，则更为简单。
把m＝1代入到函数的解析式中，得ｙ＝0·x-1，显然不符合反比例函数的定义。
把m＝0代入到函数解析式中，得ｙ＝-x-1，它符合反比例函数的定义，故应选择(B).
为了保险起见，可用m＝-1，m＝2再验证一下，均不是反比例函数。
4.解法(四)：特殊值法
特殊值法是依据命题在一般情况成立，那么在其特殊情况下也肯定成立的原理，在题目给出的条件的范围内，用特殊值代替字母，进行分析、运算、推理，去伪存真，选择正确的结论。
例1一元二次方程x2+px+q=0，当
p＞0，且q＜0
时，方程的().
(A)两根都是正数
(B)两根都是负数
(C)两根异号，且正根的绝对值大
(D)两根异号，且负根的绝对值大
分析：因为p＞0，q＜0，所以可设p＝1，q＝-2，于是可得x2+x-2＝0.解得两根为x1＝1，x2＝-2，显然应选(D).
例2一次函数ｙ＝kx+b的图象经过点(m，1)和(-1，m)，其中m＞1，则k、b应满足的条件是()。
(A)k＞0且b＞0
(B)k＜0且b＞0
(C)k＞0且b＜0
(D)k＜0且b＜0
分析：运用特殊值法，因为m＞1，所以可设m=2，于是可得P(2，1)，Q(-1，2)，如图4-17，一次函数的图象过第一、二、四象限，即k＜0且b＞0，故选择(B).
说明：本题还采用了数形结合的方法，由数到形，再由形到数，解法简捷。
七、用数学思想巧解综合题
数学思想是数学知识、数学技能、数学方法的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的灵魂，因此在解综合题的全过程中，从分析探求思路，到优化实施解答，最后反思验证，结论都要以数学思想来统帅，在初中经常运用的数学思想有：转化思想、方程思想，数形结合思想与分类讨论思想。
1.运用转化思想巧解综合题
转化思想是一种最基本的数学思想，解决数学的基本思路就是把复杂的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问题，把实际问题转化为数学问题，不同的数学问题之间相互转化，也体现了把不易探索、不易解决的问题转化为有章可循、容易解决问题的转化思想，我们在解题中应用的换元法、配方法等实质上是体现转化思想的具体数学方法，在解综合题中几乎没有一题不体现转化思想的运用。
例1若x、ｙ都是实数，且｜x2-9｜+2(x-3ｙ)2x2-7x+12＝0，求2x+3ｙ的值。
解：依题意，得
x2-9＝0
2x-3ｙ＝0
x2-7x+12＞0①
②
③
解①、②得：x＝3
ｙ＝2x＝-3
ｙ＝-2
将x＝3代入③不适合，舍去，而x＝-3适合③
∴x＝-3，ｙ＝-2，2x+3ｙ＝-12
说明：常规的二元二次方程的解是不定的，而此例条件中的方程很特殊，它利用非负数的性质转化为含有二元方程的不等式组。此时③是一元二次不等式，超出现行初中教学内容，但可以通过解①、②后，代入③进行检验，使问题得解。
例2设关于x的二次方程(a2+1)x2-4ax+2＝0的两根为x1，x2，若2x1x2＝x1-3x2，试求a的值。
略解：依题意，得x1+x2＝4aa2+1①
x1x2＝2a2+1②
由2x1x2＝x1-3x2，得
2x1x2+(x1+x2)＝2(x1-x2)
左右平方，得
4(x1x2)2+4x1x2(x1+x2)＝3(x1+x2)2-16x1x2
将①、②代入后，得
4×(2a2＋1)2＋4×2a2＋1×4aa2＋1
＝3×(4aa2+1)2-16×2a2+1
解得a=3，a=-1
当a＝3时，方程5x2-6x+1＝0两根为1、15，且x1＝1，x2＝15时满足题目条件。
当a=-1时，方程x2+2x+1＝0两根为-1，-1也满足题目条件。
∴a=3或a=-1。
说明：此例将一元二次方程两根的不对称式平方后通过配方转化为对称式，再利用根与系数关系构造关于a的方程，求出a值后必须检验它是否符合题意。
2.运用方程的思想巧解综合题
把未知转化为已知，常有两种思考路径。一种是从已知数量的运算求出未知，这种仅由已知数参与运算，逐步扩大已知量最终求得结果的方法常称为算术方法。另一种是通过设元，并把未知量运用到运算中去，抓住问题中的等量关系，构造方程或方程组，通过求解方程从已知探索未知，实现未知向已知的转化，这就是处理数学问题的方程思想。列方程解应用题就是培养方程思想的典型内容，待定系数法求函数的解析式也是方程思想的体现，这里就不再举例。下面举例说明方程思想在解几何综合题中的运用。
例1已知：如图4-18，AB是⊙O直径，点P在过点B的切线上。⊙O的割线PCD与AB交于Q，若CQ＝4，QD＝3，AQ＝2，求PB的长。
分析：由已知CQ，QD，AQ的长，想到相交弦定理，则可以求QB的长，这种思路与方法称为算术方法，即BQ＝CQ·QDAQ＝4×32＝6.
再计算PQ，算术方法就不易奏效，由四个已知数的运算不易求出图中的某条未知线段，因此要通过设元，设PB＝x，PC＝ｙ。并让它们也参与运算，如PQ＝ｙ+4，再抓住等量关系构造方程、方程组。在Rt△PQB中，由勾股定理得PQ2＝QB２＋PB2，即(ｙ+4)2＝36+x2。由切割线定理得PB2＝PC·PD，即x2＝ｙ(ｙ+7)。
解方程组(x+4)2＝362+x2
x2＝ｙ(ｙ+7)得ｙ＝20
x＝±615
∵x＞0
∴x＝-615舍去，可得PB＝615
这就是我们所讲的运用方程的思想实现未知向已知的转化。
解：略。
例2已知：如图4-19，正方形ABCD，边长为1.以A点为圆心，以AD为半径作BD；以点D为圆心，以DA为半径作AC，⊙O与AC，BD及AB分别相切于M、N、E点，求⊙O的半径。
分析：用方程的思想解题，关键在分析等量关系，通过设元，建立方程，解出未知数。
本题中⊙O与⊙A内切于N。则点N在AO的延长线上，⊙O与⊙D外切，则M在OD上，由于⊙A、⊙D半径都是已知数1，因此AO、DO都是建立等量关系不可缺少的线段。⊙O与AB相切于E，则过切点的半径OE是常规辅助线OE⊥AB，∠A＝90°，则图中出现以OE为所求，AD为已知的直QE梯形，正是建立等量关系的基本图形。
略解：连OE，OD，AN，作OF⊥AD于F。
4-20
设⊙O半径为r，则OE＝r，AO＝1-r，OD＝1+r
易证四边形AEOF为矩形，∴AF＝OE＝r
由勾股定理，得AO2-AF2＝OF2＝OD2-DF2
可得方程(1-r)2-r2＝(1+r)2-(1-r)2
化简整理得6r=1
∴r＝16
3.运用数形结合的思想巧解综合题
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，运用对立统一的规律，数与形既相互影响，相互渗透，又形成了研究数形关系的数学方法，数形结合是研究数学的重要数学思想方法，它的实质是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，以直观辅助抽象的思考，以抽象研究直观的细节，正如著名数学家华罗庚先生所说的“数缺形时少直觉，形少数时难入微”。因此我们在解数学题时要有意识地运用数形结合的思想，特别是在解代数几何综合题时要经过由形到数、由数到形的多次反复，寻求最佳的解题路径。
例1
在直角坐标系xoy中，点A(m，-6)，m＜0，点B(n，-4)，n＞0，且∠AOB＝90°，直线AB与ｙ轴交于C，设∠AOC＝sinα·cosα=0.48，求直线AB的一次函数解析式。
分析：题意如图4-21，作AA′⊥x轴于A′，作BB′⊥x轴于B′
设∠AOA′＝β。这样就把直角坐标系中的坐标条件转化为图中的几何条件，即AA′＝6，BB′＝4，OA′＝｜m｜，OB′＝n
又∵∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOC+∠BOB′＝90°
∴∠BOB′＝a
∴α+β＝90°
∴cosα=sinβ
则sinα·cosα=sinα·sinβ
＝BB′OB·AA′OA＝24OA·OB＝0.48
∴OA·OB＝50，则S△ABO＝25
由结论考虑，要求直线AB的一次函数解析式，则要求点A、点B的坐标，即要求m、n的值，因此又要由“形”来求“数”。
略解：∵S△AOB＝25，Rt△AOA′∽Rt△OBB′
∴AA′OB′＝OA′BB′
∴mn＝-24。
又由面积关系有：
(AA′+BB′)·A′B′2
＝12×AA′·OA′+12×OA·OB+12×BB′·OB′
∴5(n-m)=-3m+25=2n
化简得3n-2m=25
解方程组mn=-24
3n-2m=25得m1=-8
n1=3或m2＝-92
n2＝163
∴点A(-8，-6)，B(3，-4)时，或点A(-92，-6)，点B(-16〖〗3，-4)
当点A(-8，-6)，B(3，-4)时，由待定系数法可得直线AB的一次函数解析式为ｙ＝211x-5011
当点(-92，-6)，B(163，-4)时，由待定系数法可得直线AB的一次函数解析式为ｙ＝1259x-30059
例2若方程ax2-2x+1＝0(a＞0)的两根满足：x1＜1，1＜x2＜3，求a的取值范围。
解：原方程化为x2-2ax+1a＝0(a＞)
设ｙ＝x2-2ax+1a(a＞0)
依题意，画示意图。
x＝1时，ｙ＜0①
x＝3时，ｙ＞0②
①与②组成不等式组
1-2a+1a＜0(a＞0)
9-6a+1a＞0
整理得：a-1＜0
9a-5＞0，解得a＜1
a＞59
∴59＜a＜1
说明：此例给出的解法，是利用二次函数图象来解决一元二次方程根的分布问题。由于a＞0，所以抛物线开口向上，由于x1＜1，1＜x2＜3，在图中点(x1，0)位于点(1，0)左侧，点(x2，0)位于点(1，0)与点(3，0)之间，由图象可以看出当x＝1时，ｙ＜0；当x＝3时，ｙ＞0。依形构造不等式组，使问题得解。
4.运用分类讨论思想巧解综合题
当a是实数时，化简a2要分为a≥0与a＜0两种情况，因为不同的情况有不同的结果；在证明圆周角定理、弦切角定理时，尽管有相同的结论，但要分为直角、锐角、钝角三种情况证明，因为证明的方法在不同情况下是不同的，这些都蕴含了一种数学思想，叫做分类讨论的思想。分类讨论思想是一种重要的数学思想，在解综合题时经常用到。在同一个题设前提下，不同的情况可能产生不同的结果，不同的情况有不同的处理方法，这时都要运用分类讨论的思想。运用分类讨论思想解题最重要的是做到“不重”、“不漏”，保证分类的科学性与合理性。
例1已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-1＝0的两实根为x1、x2，且x1>x2，求一个关于x的一元一次方程，使它们两根为｜x1｜、｜x2｜。
解：依题意，得△＝4-4(m-1)＞0，即m＜2
∵｜x1｜·｜x2｜＝｜x1｜·｜x2｜＝｜m-1｜
∴对m应分以下三种情况讨论：
当m=1时，原方程x2+2x＝0两根为x1＝0，x2＝-2
∴所求方程为x2-2x＝0
当m＜1时，x1+x2＝-2，x2x2＝m-1＜0
∴｜x1｜·｜x2｜＝1-m
｜x1｜+｜x2｜＝)｜x1｜+｜x2｜)2
＝(｜x1｜+｜x2｜)2+2｜x1｜·｜x2｜-2x1x2
＝22-m
∴所求方程为x2-22-m·x+1-m=0
当1＜m＜2时，x1+x2＝-2，x1x2＝m-1＞0(x1＜0，x2＜0)
∴｜x1｜·｜x2｜＝m-1，
｜x1｜+｜x2｜＝-x1-x2＝2
∴所求方程为x2-2x+m-1=0
说明：当由一元二次方程根的判别式得到m＜2后，怎么想到分m＝1、M＜1、1＜m＜2三种情况讨论是本例的难点。由根与系数关系得｜x1｜·｜x2｜＝｜x1x2｜＝｜m-1｜，要想化去绝对值符号，先找使｜m-1｜＝0的特殊m值，即m＝1，而1把m＜2分为m＜1、m=1、1＜m＜2三部分。注意掌握此种分类方法。
例2已知：一次函数ｙ＝x+2的图象与x轴交于点A，与正比例函数ｙ＝kx的图象交于点B，若∠ABO＝30°，求AB的长及k值。
分析：易知直线y=x+2经过第一、二、三象限。设直线y=x+2与y轴交于点D，易求DO＝AO＝2，所以∠ADO＝45°.对于函数y＝kx的图象来说，当k＜0时，交点B在第二象限，此时∠ABO＞∠BDO，所以∠ABO≠30°。当k＞0时，点B在第一或第三象限，都具有∠ABO＝30°的情况。因此也要分类讨论。
解：设直线y=x+2与ｙ轴交于点D，则D(0，2)；与x轴交于点A，则A(-2，0)。
∴AO＝DO，∠ADO＝∠DAO＝45°
∵直线ｙ＝x+2经过第一、二、三象限，若k＜0，点B在第二象限，则∠ABO＞∠ADO
∴∠ABO≠30°
∴k＞0，则点B在第一或第二象限.
①当点B在第一象限时，如图4-23，
图4-23
作OC⊥AD于C，
∴OC＝2，AC＝2
在Rt△BOC中，
∵∠CBO＝30°
∴BC＝3·OC＝6
AB＝AC+BC＝2+6
作BB′⊥x轴于B′，
在Rt△ABB′中，B′B＝AB·sin45°
∴BB′＝(2+6)·22＝3+1
AB′＝BB′＝3+1
OB′＝AB′-AO＝3+1-2＝3-1
∴点B的坐标为(3-1，3+1)
∵点B在ｙ＝kx图象上，
∴3+1＝k(3-1)
∴k＝3+13-1＝2+3
②当点B在第三象限时，如图4-24，作OC⊥AD于C，OC＝2
在Rt△BOC中，
∵∠CBO＝30°
∴CB＝6
∵AC＝2
∴AB＝6-2
作BB′⊥x轴于B′
∵∠CAO＝∠BAB′＝45°
∴BB′＝AB·sin45°
＝(6-2）·22
＝3-1
∴AB′＝BB′＝3-1
OB′＝OA+AB′＝2+3-1＝3+1
∴点B坐标为(-31，1-3)
∵点B在ｙ＝kx图象上，
∴1-3＝k(-3-1)
∴k＝3-13+1＝2-3
综上所述，当点B在第一象限时，AB＝6+2，k＝2+3；当点B在第三象限时，AB＝6-2，k＝2-3。
上篇提高各科学习成绩的有效的具体方法
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