在我的证明之前，已知能满足爱因斯坦方程所设定条件的紧致空间，只有‘局部齐性’的空间，也就是说，任何彼此靠近的两点看起来是一样的。不过我所得到的空间，既非齐性、也不具对称性，至少没有整体的整体对称性。对我而言，这不啻是跨过了一道巨大的障碍，因为一旦挣脱整体对称的桎梏，便开启了数之不尽的各种可能性，让这个世界变得既有趣也更纷杂。
起初，我只是沉醉于这些精致空间以及曲率本身的美，还不曾想过实际应用的可能性。但是要不了多久，种种应用相继出现，有的在数学内部，有的在数学之外。以前，我们一度认为卡拉比的想法‘好到难以置信’，结果却发现它竟然比‘好到难以置信’还要更好。”
8．完成卡拉比猜想证明后的思索
1977年，丘成桐在发表的一篇两页的论文里，正式宣告完成了卡拉比猜想的证明。1978年，丘成桐又接着发表了一篇关于证明卡拉比猜想的论文。在这篇长达73页的论文中，丘成桐不仅写出了更为详细的完成卡拉比猜想的证明，还在这篇文章中附带证明了另外5个相关的定理。对于丘成桐来说，论文中附带证明的另外5个相关定理，可以说是在他完成了卡拉比猜想证明的同时得到的意外收获。
从此，卡拉比猜想成为了卡拉比-丘定理，而丘成桐得到的“意外收获”，则更可以说是尽在情理之中，因为它们无一处不浸透着丘成桐的辛勤汗水和艰苦付出，就如他回忆的那样：
“综而言之，这些意外的收获，其实源自我思索卡拉比猜想时的非常境遇。我先是想证明他的猜想是错的，后来又掉头，试图证明它是对的。非常幸运，我所有的努力都没有白费，每一着错步，每条看似不通的死路，后来都被我用上了。我号称的‘反例’（从卡拉比猜想导出的结论，我想证明它们是错的），因为卡拉比猜想的成立，结果连带也是正确的。因此这些失败的反例，事实上是正确的典例，很快都成了数学定理，其中有些还颇为著名呢……”
在这些被丘成桐证明的定理中，有一项最重要的定理又带领数学家们导出了“赛弗利猜想”。对于这个庞加莱猜想的复数版本，数学家们在20多年的时间里都无法证明出它是对还是错。
丘成桐在进行这个证明之前，要先证明一个关于复曲面拓扑分类的重要不等式。他对这个不等式感兴趣的原因，离不开哈佛大学数学家曼弗德（David Mumford）的演讲。而这个问题是荷兰雷登大学的安东尼斯·凡·德文（Antonius van de Ven）首先提出的，讨论的内容是关于凯勒流形陈氏类的不等式。凡·德文的证明是：凯勒流形第二陈氏类的8倍，不小于其第一陈氏类的平方。但是当时很多人相信将不等式中的8换成3，将会得到更强的不等式，也就是说，大家认为3是可能的最佳值。而曼弗德提出的，就是能不能证明这个不等式。
这个问题是曼弗德于1976年9月在加州大学尔湾分校演讲时提出的。丘成桐正好听了这场演讲，而这时的丘成桐也刚刚证明了卡拉比猜想，因此，曼弗德的演讲刚刚进行到中途，丘成桐就十分有把握地确定，自己曾经遇过相同的问题。于是在演讲之后的讨论中，丘成桐告诉曼弗德说，自己应该可以证明这个困难的不等式。
当天回到家后，丘成桐立即对自己曾经做过的计算进行检查，果然如他所想到的那样，他在1973年向卡拉比猜想进军时，曾经试图用这个不等式来否证卡拉比猜想。因此现在，自己则可以倒过来，用卡拉比-丘定理来证明这个不等式。
而推导出赛弗利猜想的同时，丘成桐也获得了更丰盛的收获。因为他运用了其中的特殊情况，也就是一个“等式”——第二类陈氏类的3倍“等于”第一陈氏类的平方——来证明了赛弗利猜想。
推导出赛弗利猜想，对于丘成桐来说，仅仅是他成功证明卡拉比猜想后的开始，实际无论是卡拉比猜想的应用，还是卡拉比猜想所涵盖的范围，其在高深的数学研究领域的深远影响和意义都是无法估量的，这无疑更让我们看到，丘成桐成功完成卡拉比猜想的工作对当时的数学界具有何等重要的意义。虽然那一年，他只有27岁。
这些，我们从丘成桐院士的回忆中，应该有更深的体会：
“赛弗利猜想与这个应用范围更广的不等式（有些时候被称为‘波格莫洛夫-宫冈-丘不等式以表彰另两位数学家的贡献）是卡拉比证明最初的主要副产品，此后还有其他应用接踵而至。事实上，卡拉比猜想涵盖的范围比我之前提到的更宽广，其中不只包含黎奇曲率为零的情况，也包括黎奇曲率为正常数与负常数的情形。到目前为止，还没有人能证明出正常数条件中最普遍的情况。事实上，正常数的情形，卡拉比原先的猜想并不成立，后来我提出一个新猜想，加上某个容许正常黎奇曲率度规存在的特殊条件。过去20年，许多数学家（包括多纳森）对这个猜想都有相当重要的贡献，但仍未能完全将它证明。虽然如此，我倒是证明了负曲率的情况，这是我整体论证的一环，法国数学家奥邦也独立证明了这个部分。负曲率的解决，则证实了存在着一类涵盖更广的流形，称为凯勒-爱因斯坦流形。这门新建立的几何学，后来有出人意料的丰硕研究成果。
在思索卡拉比猜想的直接应用上，我可说是诸事顺遂，在短期内解决了六七个问题。事实上一旦你知道存在某个度规，就会顺势得到许多结果。例如你可以反过来导出流形的拓扑性质，并不需要知道度规的确切表示。然后又可以运用这些性质去指认出流形的唯一特色。这就好像你不需要知道星系中众星体的细节，就能辨识星系；或者，不需要知道整副牌的细节，就能推理出许多手中牌张的性质（牌数、大小、花色等）。对我来说，这就是数学的神奇之处，比起巨细靡遗的细节齐备之后才能做推论，这样反而更能彰显数学的威力。”
而在完成了卡拉比猜想并同时得到证明另外5个相关的定理的收获后，丘成桐又有了新的思索：
“见到我艰苦的努力终于得到回报，或者看着他人继续向我没想到的路径迈进，都让我觉得心满意足。但尽管拥有这些好运道，还是有个想法不时在心头扯咬着我。在我内心深处，我很确定这项研究除了数学之外，在物理学中也一定有其意义，虽然我并不知道究竟为何。就某个观点而言，这个信念其实十分显然，因为在卡拉比猜想中求解的微分方程（黎奇曲率为零的情况），基本上就是真空的爱因斯坦方程，对应到的是没有背景能量或宇宙常数为零的宇宙。而卡拉比-丘流形就是爱因斯坦方程的解……卡拉比方程不但满足爱因斯坦方程，而且形式格外优雅，至少我觉得有令人忘形之美。所以我认为它在物理学中必定占据着某个重要位置，只是不知道究竟在哪儿。
我能做的不多，只能不断告诉我的物理学博士后研究员以及物理友人，为什么我认为卡拉比猜想以及从中出现的卡拉比-丘定理，也许对量子引力论很重要。主要的问题是我当时还不够了解量子引力，无法将我的直觉付诸实践。这个念头经常出现在我脑海，但我往往只能在一旁枯坐，看看会有谁做出什么成果。”
9．和孙理查证明正质量猜想
关于与孙理查证明正质量猜想的研究，虽然从引起关注到着手解答中间相隔好几年，但丘成桐最初对正质量猜想的注意也与他证明卡拉比猜想的灵感一样，同样来自于1973年斯坦福大学举办的国际几何研讨会，就如他回忆证明卡拉比猜想时所说：
“很凑巧地，我这次的灵感也是在1973年斯坦福大学举办的国际几何研讨会上得到的，亦即格罗赫谈到正质量猜想的那场研讨会。一般来说，参加学术会议是得知你的领域内和领域外最新进展的好方法，而这次也不例外。它们是和难得见面的同行互相交换想法的绝佳场合。然而，难得会有一场研讨会就此改变了你的生涯历程，遑论改变两次！”
那次会议上，一个来自相对论的问题吸引了丘成桐的注意，这就是芝加哥大学的物理学家格罗赫（Robert Geroch）谈到的一个物理学研究悬疑已久的迷，即被称为“正质量猜想”或“正能量猜想”的问题。
“正质量猜想”的具体内容就是：在任何孤立的引力系统里，总质量或能量必定是正的。（在这里，质量和能量这两个术语是互通的。）因为宇宙可以被视为孤立系统，所以正质量猜想也适用于整个宇宙。而这个问题又关乎时空的稳定性及相对论本身的一致性，因而每当举办广义相对论的大型学术会议时，都会有专门的议程讨论这个重要问题。
在这次的斯坦福会议上，格罗赫向几何学家发出了战帖，他邀请他们攻克在当时物理学家仍然无法解决的“正质量猜想”问题。格罗赫之所以寻求于几何学家，不仅是因为几何学和引力在理论基础上有着紧密的关联，也因为质量密度为正，相当于空间中每一点的总曲率平均必定是正值，因此物理上的正质量猜想可以转化成一个几何问题。
从后来格罗赫的回忆可以看出，他当年非常渴望得到关于正质量猜想的解答，“我们很难相信这个猜想是错的，但要证明它成立也同样困难……像这样的事情，我们不能依赖直觉，因为直觉未必会正确地引导我们。”
物理学家格罗赫提出的挑战也就此印刻在了丘成桐的脑海里。几年后，当丘成桐和他的研究生、后来成为斯坦福大学教授的孙理查合作研究一个别的问题时，一直把格罗赫提出的挑战记在心上的丘成桐突然心血来潮，他想到了与孙理查刚刚发展出来的几何分析技巧，或许可以用到正质量猜想。
于是他们首先依照处理大型问题时的惯用策略，把问题切割成几个较小的问题，以便各个击破。这样做是因为正质量猜想对几何学家来说并不容易理解，更别说要去证明了。所以在对付整个猜想之前，他们先试着证明几个特例。还有一个原因就是他们当时并不相信这个猜想可以成立，因为从纯几何的观点来看，这个猜想所断言的结论似乎太强了。
而在当时对正质量猜想持这种想法的还不止丘成桐与孙理查，例如纽约大学暨法国高等科学研究院的著名几何学家格罗莫夫（MishaGromov）就告诉丘成桐和孙查理说，根据他的几何直觉，正质量猜想的一般情形明显是错误的。而对于格罗莫夫的说法，还有许多几何学家也表示同意。
但同时在另一方面，大多数物理学家却都认为正质量猜想是正确的。这样过了一年又一年，物理学家们在学术会议上始终坚持他们的观点。这样的形势，反而坚定了丘成桐研究正质量猜想的决心。因此他说：“单单这一点，就足以激励我们去仔细探究，看看它能否成立。”
他们采取了和最小曲面有关的证明策略，或许是最小曲面和正质量猜想没有明显的关联，他们也因此成了第一次使用这个策略来解决正质量猜想的人。虽然如此，丘成桐和孙理查仍然认为这条路径应该有所收获，因为解题就如做工程一样，需要恰当的工具。
他们开始先假设其中某一特定空间的总质量“不是”正的，接着从总质量不为正的前提出发，他们证明可以找到一个面积极小化的“肥皂膜”，但同时他们又证明在类似我们的宇宙里，这种肥皂膜不可能存在，因为它的曲率性质互相抵触。于是从非正总质量的前提，导出了重大的矛盾，因此前提必然不正确，而总质量（或总能量）必定是正的。
就这样，在丘成桐和孙理查的刻苦钻研下，终于如物理学家格罗赫所期望的那样，解决了广义相对论中的正质量猜想。
这一年是1979年。
10．卡拉比丘流形的无穷魅力
几年过去了，丘成桐和其他一些数学家仍在继续研究卡拉比猜想，以推动他们在几何分析研究中欲达到的宏大目标。
与此同时，在物理学界也掀起了钻研卡拉比丘空间的热潮。在丘成桐完成了卡拉比猜想后，他的“预言”“在我内心深处，我很确定这项研究除了数学之外，在物理学中也一定有其意义……”，终于由物理学家们开始“实施”了。
差不多是在1984年的时间，当时还在普林斯顿高等研究院任职的物理学家史聪闵格（他后来就职于哈佛大学）与德克萨斯州大学喜好数学的物理学家菲利普·坎德拉斯，以及另外两位物理学家赫罗维兹与威滕，他们经过共同合作研究探索，终于走到了丘成桐在卡拉比猜想中证明存在的空间。对此，史聪闵格是这样说的：
“现代科学发展的优美之处，就是物理学家和数学家经常因不同的理由，却得到相同的结构。物理学家有时走在数学家的前头；有时候，则是数学家领先。这次的情况，是数学家拔得头筹，他们比我们早理解其中的意义。”
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