如果这项共识是正确的，汉米尔顿和帕瑞尔曼的整体努力，正可以代表数学的伟大胜利，同时也可说是几何分析的至高成就。他们的贡献远超过菲尔茨奖的得奖标准，帕瑞尔曼因此获奖。同样值得奖励的汉米尔顿，则因为菲尔兹奖得主年纪需少于40岁的规定，而失去获奖资格。
谈及几何分析，依我估计，这个领域在此之前30年所发展出来的定理、引理和其他各种工具，大约半数都被用于汉米尔顿和帕瑞尔曼的研究，最后终于道出庞加莱猜想与瑟斯顿几何化猜想的证明。”
从丘成桐院士的回忆中我们不难看出，他对汉米尔顿与帕瑞尔曼为解决庞加莱猜想付出的整体努力给予了极高的评价，却没有提及帕瑞尔曼与汉米尔顿同样使用他与李伟光研究的“李伟光-丘成桐不等式”以及他与汉米尔顿共同研究庞加莱猜想的历程。
而这些，正是丘成桐对解决庞加莱猜想的重要贡献。
12．证明镜对称猜想
1991年，丘成桐与刘克峰、连文豪合作开始研究弦理论学家提出的著名的镜对称猜想。关于他们的研究成果，我们从丘成桐院士的回忆中可领略一二：
“1984年弦理论在理论物论学中广受重视后，我好几个有关的工作受到理论物理学家的关注，物理学家对数学的洞察力也使我惊诧，在我的博士后中，有十多位是物理学博士，我从他们那里学习物理。最令我惊讶的一次是，其中一位博士后格林（Brian Greene）跑到我的办公室，向我解释他最新的发现，就是在卡拉比-丘空间中，存在所谓镜对称的观点，这个发现对代数几何有极大的冲击。由它导出的一条漂亮公式，从全新的角度解释了代数几何里百年来不解的现象，但物理学家没有办法给出一个证明，6年后在众多数学家努力的基础上，刘克峰、连文豪和我终于找到一个满意的证明。但是我觉得对镜对称这个现象还没有最深入地了解，两年后史聪闵格、札斯洛和我终于找到这个对称的几何解释，引起了一连串重要的突破……”
从丘成桐院士的另一段回忆中，我们可以对他们证明镜对称猜想的过程了解得更为详细一些。
“我和我的合作者从1991年起，就开始研究镜对称以及它的推广，大致就是在坎德拉斯宣告他们的结果时。1996年3月，加州大学伯克莱分校的吉文塔（AlexanderGivental）在数理论文档案网站arXiv的一篇论文中，宣称他证明了镜猜想。我们很小心地详加检视这篇文章，结果和一些人一样都觉得难以理解。在那一年，我还私下邀请麻省理工学院一位该领域的专家（他希望保持匿名），到我们的研讨班演讲吉文塔的证明。不过他很礼貌地拒绝了，因为他对该文章的论证有严重的疑虑。我和合作者无法重建吉文塔的整个论证，我们也曾试图联络他，希望能将我们最感疑惑的步骤拼凑起来。最后我们放弃了这段努力，重新找出我们自己对镜猜想的证明，一年之后我们将结果发表。
包括贾特曼在内的一些数学家，认为我们的论文是镜猜想‘第一个完整又严格的证明’，他们认为‘吉文塔的证明很难索解，在有些地方又写不完整’。和卡兹一起合写《镜对称与代数几何》的考克斯（DavidCox）是安默斯特学院的数学家，他也认为我们给出了镜猜想的‘第一个完整证明’。但另一方面，也有人看法不同，认为吉文塔比我们早一年发表的论文是完整的并没有什么严重的缺漏。虽然大家有继续辩论的自由，但我相信目前最好的结论是，这两篇论文构成镜对称的证明，然后应该暂时放下争执。因为再为证明荣耀谁属而争，并没有什么意思，尤其现在数学尚未解决的问题还那么多，我们该把精力摆在这上头才是。
先将争论摆一边，那么，这两篇论文到底证明了什么？首先，镜猜想的证明显示坎德拉斯的曲线数预测公式是正确的。不过我们所证明的结果还多很多，结论可以应用到更多类型的卡拉比-丘流形（包括物理学家感兴趣的部分）……而且在我们的推广里，镜猜想并不只可以计数曲线而已，还可以计数其他类型的几何物件。
我的观点是，证明镜猜想提供了弦理论中某些概念的相容性检测，这项检测是以严格的数学为基础，因此为理论建立更坚实的数学立足点。而来自弦理论的回报更是丰厚，镜对称为代数几何学创造了许多研究课题，其中枚举几何学是最主要的受益者之一，因为弦理论为这些领域中立时已久的难题提供了解答。事实上，很多代数几何领域的同行告诉过我，过去15年来，除了源自镜对称的研究外，他们其余的研究都不是太有趣。弦理论为数学带来的意外财富显示，物理学家的直觉一定有某种意义。就算大自然的运作方式并不完全如弦理论所述，但弦理论中一定有某种真理存在，因为运用这些概念可以解决数学的经典问题，这是光用数学家自己的工具办不到的。如果没有弦理论，就算是在多年之后的现在，仍然很难想象有另一个独立的方法，可以推导出类似坎德拉斯他们所得到的公式。
讽刺的是，镜猜想的证明并没有说明镜对称本身。从很多方面来说，这个由物理学家发现、然后被数学家倾力使用的现象依然神秘难解。然而现在已经有两个主要的理路正积极地寻求镜对称的解释，一个想法称为‘同调镜对称’，另一个则简称为‘SYZ’。SYZ的想法提供镜对称的几何解释，而同调镜对称则使用比较代数的取向。”
丘成桐在文中提到的“SYZ”就是他与刘克峰、连文豪合作证明了弦理论学家提出的著名的镜对称猜想后，又与史聪闵格、札斯洛共同对镜对称猜想继续进行的“SYZ猜想”研究。SYZ是1996年一篇论文的3位作者姓名的缩写，分别代表史聪闵格、丘成桐和札斯洛。
通过他们的研究，史聪闵格认为：“镜对称比较没那么神秘了，数学家喜欢这个想法，是因为它提供了镜对称的几何描述，因此他们不需要再提及弦理论。”札斯洛认为：“SYZ除了提供镜对称几何解释外，也‘提供了构造镜对称对的方法’。”
丘成桐则说：“但是我们务必要记住，SYZ仍然只是一个猜想，只在某些特定情况才已经被证明，但并非一般的普遍情况。虽然这个猜想原始叙述或许不能证明，但通过新洞识所做的琢磨修改，SYZ猜想已经逐渐变成今日镜对称研究的典型，就像札斯洛所说的：‘它正慢慢吸收涵纳所有镜对称的想法。’
有些人可能觉得最后这句话颇有可议，或许认为是言过其实。但是，孔策维奇以及堪萨斯州立大学的梭伊贝曼已经运用SYZ去证明同调镜对称的特殊情况，这是另一个为镜对称提供基本数学描述的主要尝试。”
与刘克峰、连文豪合作证明弦理论学家提出的著名的镜对称猜想，无疑是驰骋在数学王国的丘成桐又一卓越贡献，而与史聪闵格、札斯洛共同对镜对称猜想继续进行的“SYZ猜想”研究，则更让我们看到丘成桐院士一贯坚韧、锲而不舍的学术研究精神。
13．锲而不舍与研求之乐
虽然完成了在数学界最具有影响力的卡拉比猜想的证明后，丘成桐又同时和继续完成了“正质量猜想”、“镜对称猜想”等世界级难题的证明，但他在数学王国驰骋的脚步却从没有停歇。他仍在向一个个数学难题发起挑战，用他不懈的努力和超众的数学天分，锲而不舍地向数学尖端进攻，他的研究成果更是无人可及。谈起自己对数学的研究，丘成桐院士是这样说的：
“在代数几何得到一定成果后，我接触到很多代数几何学家，也开始了解这个学科的走向。卡拉比猜想是关于度量的猜测，我开始比较度量几何和复纤维丛上的度量问题，我猜想纤维丛也有类似于卡拉比猜想中的度量，它和纤维丛的稳定有关，乌伦贝克和我花了很长一段工夫才将这个问题全部解决。（在这期间，英国的唐纳森用不同的方法解决了二维的情形。）在完成这个问题后，我建议威滕考虑这个定理的物理意义，他当时认为这个定理的物理意义不大，但一年后他改变了想法，写了一篇文章解释它在弦理论上的作用，直到今天，这个结果在弦理论上仍占据着很重要的位置。这篇文章花了乌伦贝克和我很长的时间，可说是极为艰苦的奋斗才完成的。乌伦贝克来普林斯顿大学访问我时，为了寻找这个问题的解法，竟然关在房间里三天之久。我和乌伦贝克的工作以后被推广，尤其是希奇恩引进希格斯场以后，成为代数几何和算数几何中强有力的工具。
卡拉比猜想的一个重要结论是，代数空间具有很强的拓扑限制如宫冈-丘不等式之类，从而有代数流形的刚性结果。我用这个结果解决了古老的塞维利猜想。在这个基础上，我猜测某些代数空间有更一般的刚性结果，并提出用调和映射的方法来解决它。其实在更早的时候，我和舍恩已经在调和映射做了不少工作，例如在群作用的问题上，当我向萧荫堂先生提出我的猜想和解决办法时，他开始时并不相信这个方法可行，但是他还是循着这个路径去解决了我猜想的一部分，以后约斯特和我，以及萧荫堂和他的合作者更成功地将调和映射应用到一些更经典的刚性问题上去。
……扎斯洛是跟随我的博士后，他以后成为西北大学的大教授。当时我和他还做了一个重要的工作，从弦学上“膜”的观点，我们找到一个所谓丘扎斯洛公式。这个公式可以用来计算K3曲面上的有理曲线的个数。公式由数论中的某些著名的函数给出，这是数论函数出现在计算曲线数目的第一次，以后很多代数几何学家继续这个研究，将这个公式推广到更一般的情形。
与物理学家合作是愉快的经验，可以有跳跃性的进展，而又不停地去反思，希望能够从数学上解释这些现象，在这个过程中往往拓宽了数学的前沿。
过去20多年，我也花了一些工夫去做应用数学的工作，一方面和金芳蓉在图论上合作，一方面和弟弟成栋研究控制理论，近年来更和顾险峰等合作做图像处理的研究。这些工作都和我从前研究的几何分析有关，尤其是我和李彼得研究的特征函数的问题，起源于当年我在斯坦福研究调和函数的梯度估计。我还记得我傍晚时躲在办公室里，试验用不同的函数来算这些估值，舍不得去看斯坦福校园落日的景色……”
努力钻研的同时，也意味着艰苦的付出，但丘成桐却从中体会到刻苦钻研的快乐：
“简洁有力的定理使人喜悦，就如读《诗经》和《论语》，言短而意深。有些定理，孤芳自赏。有些定理却引起一连串的突破，使我们对数学有更深入的认识。每一个数学家都有自己的品味和看法，我本人则比较喜欢后一类数学。当定理证明后，我们会觉得整个奋斗的过程都是有意思的，正如智者持竿，往往大鱼上钩后，又将之放生，钓鱼的目的就是享受与鱼比试的乐趣，并不在乎收获。从数学的历史看，只有深度的理论才能够保存下来。千百年来，定理层出不穷，但真正名留后世的却是凤毛麟角，这是因为有新意的文章实在不多，有时即使有新意，但是深度不够，也很难传世。当年我看武侠小说，很是兴奋，也很享受，但是很快就忘记了。在阅读有深度的文学作品时，却有不同的感觉……
这是一种奇妙的经验，每一个环节都要花上很多细致地推敲，然后才能够将整个画面构造出来，正如曹雪芹写作《红楼梦》一样，‘字字看来皆是血，十年辛苦非寻常’尼采也说：‘一切文学，余爱以血书者。’我和众多朋友开拓的几何分析，也差不多花了十年才成功奠基，虽不敢说‘以血书成’，但每一次的研究都很花费工夫，甚至废寝忘食，失败再尝试，尝试再失败，经过不断的失败，最后才成就一幅美丽的图画……
做科研虽要付出代价，但其乐无穷。先父的心愿是：‘寻孔颜乐处，拓万古心胸。’我只知自得其乐，找寻心目中宇宙的奥秘……”
锲而不舍地钻研，在不断钻研与奋进中，独享其快乐。这是数学家丘成桐做学问的一贯作风，而正是如此的作风，铸就了一个著名的国际数学大师——驰骋在数学王国的一代天骄丘成桐。
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